GUIA  FUNCIONES  

 (1)  verifique  si  la  ecuación  define  a  “y”  como  una  función  de  “x”  

(a)      𝑥! + 2𝑦 = 4                    (b)    3𝑥 + 7𝑦 = 21                (c)      𝑥 = 2𝑦!                (d)      𝑥! + 𝑦 = 9  (e)    𝑥!𝑦 + 𝑦 = 1                              (f)     𝑥 + 𝑦 = 12                        (g)    2𝑥 + 𝑦 = 0  

 (2)  Evalúe  la  función  en  los  valores  indicados:  (a)  𝑓(𝑥) = 2𝑥! + 3𝑥 − 1,  evalúe  lo  siguientes:  (a1)  !(!)!!(!)

!=              (a2)  𝑓(−𝑎)                  (a3)    𝑓(𝑎 + ℎ)                (a4)    !(!!!)!!(!)

!, ℎ ≠ 0  

 (b)    𝑔(𝑡) = 𝑡 + !

!  

(b1)    𝑔(2) =         (b2)    𝑔(−1) =                        (b3)    𝑔 !!=                  (b4)    𝑔(𝑎 − 1)  

(b5)    !(!)!!(!)!!!

=                  (b6)      !(!!!)!!(!)!

=    (c)  𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑥  (c1)    𝑓(−2)                    (c2)    𝑓(4)                      (c3)    𝑓(0)                        (c4)      𝑓(𝑥!)                  (c5)      𝑓 !

!  

 (d)      𝑔(𝑥) =   !!!!

!!!  

(d1)    𝑔(1)                                  (d2)    !(!)!!(!)!!!

                           (d3)      !(!!!)!!(!)!

   

(e)    𝑓(𝑥) =            𝑥!                  𝑠𝑖    𝑥 < 0      𝑥 + 1          𝑠𝑖  𝑥 ≥ 0

         

(e1)    !(!)!!(!!)!(!)!!

                       (e2)           𝑓(3)− 𝑓(2) ! − 𝑓(−2)− 𝑓(−2) ! =    

(f)    𝑔(𝑥) =𝑥! + 2𝑥                          𝑠𝑖  𝑥 ≤ −1

                 𝑥                                  𝑠𝑖    − 1 < 𝑥 ≤ 1−1                                              𝑠𝑖  𝑥 > 1

   

(f1)    !(!!)!!(!)!!(!)!!(!)!!(!)

=                                            (f2)    (𝑔𝑜𝑔𝑜𝑔)(−1)      (3)  En  las  siguientes  funciones  determine        !(!)!!(!)

!!!    y      !(!!!)!!(!)

!, 𝑐𝑜𝑛  ℎ ≠ 0  

(a)      𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2                                (b)    𝑓(𝑥) = 𝑥! + 2𝑥                          (c)      𝑓(𝑥) = 𝑐,      𝑐𝑜𝑛  𝑐  𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.    (d)    𝑓(𝑥) = !!!!

!!!!                                      (e)    𝑓(𝑥) = 1− 2𝑥 − 3𝑥!            (d)    𝑓(𝑥) = !!!!

!!                                        

         

Universidad  de  Tarapacá-­‐Facultad  de  Ciencias-­‐Departamento  de  Matemática  Iquique,  Cálculo  I  

   

(3)  Bosqueje  las  gráficas  de  las  siguientes  funciones:    (a)    𝑓(𝑥) =            𝑥!                  𝑠𝑖    𝑥 < 0

     𝑥 + 1          𝑠𝑖  𝑥 ≥ 0                              (b)      𝑓(𝑥) =      1                  𝑠𝑖    𝑥 < 1

     𝑥2+ 1          𝑠𝑖  𝑥 ≥ 1          

 (c)  𝑓(𝑥) =      2𝑥 + 3                  𝑠𝑖    𝑥 < 2

     3𝑥 − 1          𝑠𝑖  𝑥 ≥ 2                        (d)  𝑓(𝑥) =      4                𝑠𝑖    𝑥 < −1      −2          𝑠𝑖  𝑥 ≥ −1          

 

(f)    𝑓(𝑥) =𝑥! + 2𝑥                          𝑠𝑖  𝑥 ≤ −1

                 𝑥                                  𝑠𝑖    − 1 < 𝑥 ≤ 1−1                                              𝑠𝑖  𝑥 > 1

           

 

(g)      𝑓(𝑥) =−𝑥                      𝑠𝑖  𝑥 ≤ −1

                 9− 𝑥!            𝑠𝑖    − 1 < 𝑥 ≤ 1𝑥 − 3                        𝑠𝑖  𝑥 > 1

 

   (4)  Si  𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5      y      𝑔(𝑥) = 𝑥! − 3,  determine:  (a)    𝑓(𝑔(0))                  (b)    𝑔(𝑓(0))                            (c)    𝑓(𝑔(𝑥))                          (c)    𝑔(𝑓(𝑥))                            (d)    𝑔(𝑔(2))    (e)    𝑓(𝑓(𝑥))                  (f)    𝑓(𝑓(−1))                            (g)    𝑔(𝑔(𝑥))                          (h)    𝑔(𝑔(−1))                    (5)    Determine    𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ:  

(a)    𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1,      𝑔(𝑥) =  3𝑥,      ℎ(𝑥) = 4− 𝑥  

(b)    𝑓(𝑥) = 𝑥! + 1,      𝑔(𝑥) =  2𝑥 − 1,      ℎ(𝑥) = 2𝑥  

(c)    𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1,      𝑔(𝑥) =   !!!!

,      ℎ(𝑥) = !!  

(d)    𝑓(𝑥) = !!!!!!

,      𝑔(𝑥) =   !!

!!!!,      ℎ(𝑥) = 2− 𝑥      

   

 (6)    Evalúe  cada  expresión  con  el  uso  de  las  funciones:  

   𝑓(𝑥) =            𝑥!                  𝑠𝑖    𝑥 < 1      𝑥 + 1          𝑠𝑖  𝑥 ≥ 1

                   𝑔(𝑥) =      2𝑥 − 1                  𝑠𝑖    𝑥 < 0      3𝑥 + 1                  𝑠𝑖  𝑥 ≥ 0          

 (a)    𝑓(𝑔(0))                        (a)    𝑔(𝑓(1))                    (a)    𝑓(𝑓(2))                          (a)    𝑔(𝑔(𝑓(0))) =                        

TIPOS  DE  FUNCIONES    (i)  Función  Inyectiva:    Una   función  𝑓  entre   los   conjuntos   A   y   B   se   dice   que   es   inyectiva,   cuando   cada  elemento   de   la   imagen   de  𝑓  lo   es,   a   lo   sumo,   de   un   elemento   de   A.   Seule   decirse  también  que  la  función  es  uno  a  uno.  Dicho  de  otra  forma:    

𝑓:  𝐴   → 𝐵  𝑒𝑠  𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎    ⇔    ∀  𝑎, 𝑏   ∈ 𝐴   𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)  ⇔  𝑎 = 𝑏      Ejercicios:  (1)  Determina  si  cada  una  de  las  aplicaciones  siguientes  es  inyectiva:  

(a) A  cada  alumno  de  cálculo  se  le  asigna  el  número  que  corresponde  a  su  edad.  

(b) A  cada  país  en  el  mundo  se  le  asigna  la  longitud  y  la  latitud  de  su  capital.  

(c) A  cada  libro  escrito  por  un  determinado  autor,  se  le  designa  con  el  nombre  del  

mismo.  

(d) A  cada  país  en  el  mundo  que  tenga  un  primer  ministro  se  le  asigna  su  primer  

ministro.  

 (2)  Determina  si  𝑓  es  inyectiva:  

(a)    𝑓:  ℝ → ℝ  tal  que    𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3    

(b)    𝑓(𝑥) = 𝑐,    con  c:  constante,  

(c)  𝑓:  ℝ → ℝ  tal  que    𝑓(𝑥) = 𝑥!  

(d)    𝑓:  ℝ− 1 → ℝ− 2  tal  que    𝑓(𝑥) = !!!!!!!

 

(e)  𝑓:  ℝ → ℝ  tal  que    𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 5𝑥 + 1  

 (3)  Defina  las  siguientes  funciones  para  que  sean  inyectivas:  

(a)  𝑓(𝑥) = !!!!!!!!

                     (b)    𝑓(𝑥) = 3− 2𝑥                              (c)      𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 3𝑥 + 1      

(d)    𝑓(𝑥) = 𝑒!!!                      (e)      𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1                                (f)      𝑓(𝑥) = 3− 2𝑥 − 𝑥!                

(g)  𝑓(𝑥) = 1− 𝑥  

                   

(ii)    Función  Epiyectiva  o  Suprayectiva:    Una   función  𝑓  entre   los   conjuntos   A   y   B   se   dice   que   es   epiyectiva,     suprayectiva   o  sobreyectiva,  cuando  cada  elemento  de  B  es  imagen  de,  al  menos,  un  elemento  de  A,  es  decir,  

𝑓:  𝐴   → 𝐵, 𝑒𝑠  𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎    ⇔    ∀𝑏 ∈ 𝐵,∃  𝑎 ∈ 𝐴  𝑡𝑎𝑙  𝑞𝑢𝑒    𝑓(𝑎) = 𝑏    En  otras  palabras,  𝑓  es  sobreyectiva  si  la  imagen  de  𝑓  es  todo  el  conjunto  B,  es  decir  si  𝐼𝑚𝑔(𝑓) = 𝐵      Ejercicios:  (1)  Sea    𝑓:  𝐴 → 𝐵  donde  𝐴 = 𝐵 = ℝ    y    𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, ∀𝑥 ∈ 𝐴,  es  sobreyectiva?    (2)  Defina  las  siguientes  funciones  para  que  sean  sobreyectivas  

(a)  𝑓(𝑥) = !!!!!!!!

                     (b)    𝑓(𝑥) = 3− 2𝑥                              (c)      𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 3𝑥 + 1      

(d)    𝑓(𝑥) = 𝑒!!!                      (e)      𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1                                (f)      𝑓(𝑥) = 3− 2𝑥 − 𝑥!                

(g)  𝑓(𝑥) = 1− 𝑥      (iii)  Funciones  Biyectivas:    Una   función  𝑓  entre   los   conjuntos   A   y   B   se   dice   que   es   biyectiva,   cuando   es,   a   un  mismo  tiempo,  inyectiva  y  sobreyectiva.    Ejercicios:  (1)  Analice  si  las  siguientes  funciones  son  biyectivas:  (a)    𝑓:  𝐴 → 𝐵  donde  𝐴 = 𝐵 = ℝ    y    𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3  

(b)    𝑓:  𝐴 → 𝐵  donde  𝐴 = 𝐵 = ℝ    y    𝑓(𝑥) = !!!!!

 

(c)    𝑓:  𝐴 → 𝐵  donde  𝐴 = 𝐵 = ℝ    y    𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 𝑥 + 1  

(d)    𝑓:  ℝ− 2 → ℝ− 1  donde      𝑓(𝑥) = !!!!!!

 

(e)    𝑓:   −1,1 → 0,1 ,    𝑓(𝑥) = 𝑥!  

(f)    𝑓:   −1,1 → 0,1 ,    𝑓(𝑥) = 𝑥! − 𝑥  

 (2)  Defina  las  siguientes  funciones  para  que  sean  biyectivas  

(a)    𝑓(𝑥) = !!!!!!

 

(b)  𝑓(𝑥) = 1− 4𝑥  

(c)    𝑓(𝑥) = 𝑥! − 3𝑥 + 1  

(d)    𝑓(𝑥) = 1− 2𝑥!  

(e)    𝑓(𝑥) =   𝑥 − 1  

(f)    𝑓(𝑥) = 1− 𝑥