guia mate 9°
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Índice
N° de
pagina Presentación y jornalización. 3
Planificaciones didácticas. 4
Unidad 1. Utilicemos ecuaciones con radicales
Guía N° 1. Determinantes. Elementos y orden. Filas, columnas y diagonales. Determinantes de segundo orden 2 x 2.
22
Guía N° 2. Ecuaciones con radicales que se reducen a ecuaciones de primer grado. Eliminación de la raíz por la propiedad potencia de otra potencia.
23
Unidad 2. Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales
Guía N° 3. Línea recta, sistema de coordenadas cartesianas, coordenadas de un punto (abscisa, ordenada).
24
Guía N° 4. Pendiente (m), pendiente positiva, pendiente negativa, pendiente cero, pendiente indefinida.
25
Guía N° 5. Gráfica: intercepto con el eje de las ordenadas, ecuación de una recta y = mx + b 26
Guía N° 6. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método de determinantes. 27
Unidad 3. Calculemos la dispersión
Unidad 4. Midamos ángulos
Guía N° 7. Ángulos coterminales. 28
Unidad 5. Resolvamos ecuaciones de segundo grado
Unidad 6. Apliquemos técnicas de conteo
Unidad 7. Resolvamos sistemas de ecuaciones
Guía N° 8. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Métodos de solución. 29
Guía N° 9. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Regla de Sarrus. 30
Guía N° 10. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Regla de Cramer. 31
Guía N° 11. Resolución de problemas que conllevan sistemas de ecuaciones de tres incógnitas. 33
Unidad 8. Utilicemos potencias algebraicas
Unidad 9. Utilicemos radicales
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PRESENTACIÓN Editorial Santillana, ante la disposición ministerial de que los programas de estudio actuales deben abarcar el 80% de los contenidos de los programas de estudio anteriores, decide realizar el análisis de los contenidos desarrollados en los textos escolares “Competentes”, los cuales fueron creados bajo el enfoque por competencias y el modelo constructivista. Con este fin, Editorial Santillana decide crear una guía complementaria de estudio con el propósito de apoyar, de forma responsable, el trabajo que realiza el personal docente que actualmente utiliza nuestros textos escolares. Esta iniciativa pedagógica nace con la intención de cubrir aquellos contenidos que establece la nueva propuesta curricular del MINED (los programas de estudio) y, con ello, volver vigentes nuestros textos escolares para facilitarle al personal docente la búsqueda de información y procesos metodológicos requeridos en dicho programa. De igual forma, Santillana aprovecha la oportunidad para brindarles una propuesta de: Jornalización para cada asignatura tomado en consideración: el tiempo, las unidades, los
contenidos y los sistemas de evaluación trimestral que indica el MINED. Planificación del proceso de enseñanza-aprendizaje (unidades didácticas) basada en
competencias: contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; indicadores de logro; y orientaciones metodológicas y de evaluación, mediante la creación de actividades integradoras.
Desarrollo de nuevos contenidos que nuestros textos no cubren, que desarrollan de forma parcial o que necesitan ampliación.
Con este esfuerzo editorial, garantizamos el cumplimiento del programa de estudio. Jornalización
Total de horas
anuales
Total de horas
semanales
Nº de unidades
Nº de horas clase por
unidad
Unidades Fecha de
inicio Fecha de
finalización Evaluación trimestral
20 1. Utilicemos
ecuaciones con radicales
12 de enero
6 de febrero
20
2. Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales
9 de febrero
6 de marzo
15 3. Calculemos la
dispersión 9 de
marzo 27 de abril
23 de
marzo al 27 de abril
15 4. Midamos ángulos 30 de marzo
24 de abril
30 5. Resolvamos
ecuaciones de segundo grado
27 de abril 8 de junio
25 6. Apliquemos
técnicas de conteo 9 de junio 14 de julio
10 al 14 de
julio
20 7. Resolvamos
sistemas de ecuaciones
15 de julio 18 de agosto
25 8. Utilicemos
potencias algebraicas
19 de agosto
23 de septiembre
200
5
9
23 9. Utilicemos
radicales 24 de
septiembre26 de
octubre
15 de julio al 26
octubre
3
Planificación de unidad didáctica
Unidad 1. Utilicemos ecuaciones con radicales Competencias
• Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 20 horas
Objetivo de la unidad: X Utilizar con seguridad los determinantes y las ecuaciones con radicales, aplicando sus propiedades en la propuesta de soluciones a situaciones
problemáticas del aula y del entorno.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
− Determinantes
Elementos y orden Filas, columnas y
diagonales
− Explicación del proceso de formación de un determinante.
− Identificación de los elementos de los
determinantes: filas, columnas, diagonales y orden.
− Construcción de determinantes a partir de
las ecuaciones.
− Confianza al explicar el proceso de formación de un determinante.
− Seguridad al identificar los elementos
de un determinante.
− Segundo orden
2 x 2 aplicando la diferencia del producto de sus diagonales
− Resolución de ejercicios de determinantes de 2 x 2, aplicando la diferencia del producto de sus diagonales.
− Resolución de problemas aplicando
determinantes de segundo orden.
− Orden al resolver ejercicios y problemas de determinantes de 2 x 2.
Guía Nº 1
Ecuaciones con radicales que se reducen a ecuaciones de primer grado.
− Identificación y explicación de las ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de primer grado.
− Seguridad al identificar ecuaciones con radicales.
Guía Nº 2
4
Eliminación de la raíz por la propiedad potencia de otra potencia.
− Aplicación de reglas de los exponentes en la solución de ecuaciones con radicales.
− Resolución de ejercicios y problemas,
utilizando las ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de primer grado.
− Interés por aplicar reglas de los exponentes al resolver ecuaciones con radicales.
Sugerencias metodológicas: • Orienta al grupo a explorar métodos de solución de ecuaciones. • Presente diferentes matrices, pídales que enumeren sus elementos y construyan el concepto de determinantes. • Proporcione la guía de ejercicios y problemas aplicando determinantes de segundo orden.
Indicadores de logro: 1.1 Explica con confianza el proceso de formación de un determinante
e identifica sus elementos. 1.2 Construye y resuelve de manera ordenada ejercicios y problemas
aplicando determinantes de segundo orden. 1.3 Identifica y explica con seguridad serie de ecuaciones con
radicales transformables en ecuaciones de primer grado aplicando reglas de los exponentes.
1.4 Resuelve ejercicios y problemas utilizando ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de primer grado.
Actividades de evaluación: • Elaborar una actividad donde las y los estudiantes, organizados en equipo,
resuelvan ejercicios y problemas de determinantes de segundo orden. • Presentar una situación problemática en la cual los alumnos y las alumnas
plantean ecuaciones con radicales encontrando el conjunto solución. Criterios de evaluación: • Colaboración • Respeto • Orden • Aseo
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Planificación de unidad didáctica
Unidad 2. Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales Competencias • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 20 horas
Objetivo de la unidad: X Graficar la línea recta e interpretar sus elementos y características, con el fin de proponer soluciones a problemas relacionados con el ámbito
escolar y del entorno. X Proponer alternativas de solución a situaciones problemáticas de la vida diaria aplicando los sistemas de ecuaciones lineales, utilizando los
diferentes métodos de solución y valorar el aporte de los demás.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Línea recta − Sistemas de coordenadas
cartesianas. − Coordenadas de un punto P
(abscisa, ordenada). − Pendiente (m)
m= y2 – y1 Pendiente positiva Pendiente negativa Pendiente cero Pendiente indefinida
− Identificación de los elementos de un sistema de coordenadas cartesianas.
− Identificación y colocación de las
coordenadas de un punto p(x, y) en el plano cartesiano.
− Interpretación y explicación del uso de la
fórmula de la pendiente de la recta, cuando se conoce el valor de dos puntos por donde esta pasa.
− Cálculo del valor de la pendiente positiva,
negativa, cero e indefinida de una recta, cuando se conoce el valor de dos puntos por donde esta pasa.
− Resolución de problemas donde se utilice
la pendiente.
− Seguridad al identificar elementos del sistema cartesiano.
− Seguridad al colocar en el plano
cartesiano las coordenadas de puntos.
− Valoración del uso de la fórmula de
la pendiente. − Exactitud al calcular la pendiente
cuando se conocen las coordenadas de dos puntos.
− Esmero para encontrar la solución
a problemas de pendiente.
Guía N° 3
Guía Nº 4
− Gráfica: intercepto con el eje de las ordenadas.
− Construcción del gráfico de la recta identificando la pendiente y el intercepto
− Seguridad al graficar la recta, utilizando el intercepto.
Guía Nº 5
6
− Ecuación de una recta
y = mx + b
con el eje de las ordenadas si se conocen las coordenadas de dos puntos.
− Utilización de la ecuación y = mx + b en
ejercicios de aplicación. − Resolución de problemas de la ecuación
pendiente- intercepto.
− Interés al calcular correctamente la
pendiente y el intercepto en la ecuación punto pendiente y = mx + b de la recta.
− Perseverancia en la resolución de
problemas. − Sistema de dos ecuaciones − Ecuaciones con dos
incógnitas. − Sistema de ecuaciones
lineales.
− Determinación y explicación de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
− Resolución de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
− Esmero al plantear situaciones cotidianas, mediante un sistema de dos ecuaciones lineales.
− Interés al identificar un sistema de
ecuaciones con dos variables.
48 51
− Método para resolver un sistema de ecuaciones con dos variables:
Gráfico Sustitución Igualación Reducción
− Resolución de sistemas de ecuaciones usando el método gráfico.
− Utilización del método gráfico para
solucionar problemas de aplicación. − Resolución de sistemas de ecuaciones
usando el método de igualación, sustitución y reducción.
− Utilización del método de igualación,
resolución y reducción para solucionar problemas de sistema de ecuaciones.
− Valoración de la importancia del método gráfico para la solución de un sistema de ecuaciones.
− Seguridad y precisión en el trazo
de las rectas. − Interés en utilizar el método gráfico
en problemas de aplicación. − Seguridad al resolver un sistema
de ecuaciones usando el método de sustitución, igualación y reducción.
− Interés y orden al aplicar el método
de sustitución, igualación y reducción en problemas de aplicación.
52 54 53 55
7
− Determinantes. − Resolución de sistemas de ecuaciones usando el método de determinantes.
− Utilización del método de determinantes
para solucionar problemas de sistema de ecuaciones.
− Seguridad al resolver un sistema de ecuaciones usando el método de determinantes.
− Interés en utilizar el método de
determinantes en problemas de aplicación.
Guía Nº 6
Sugerencias metodológicas: • Presentar un plano cartesiano, en un cartel, para que los alumnos y las alumnas escriban las coordenadas de los puntos señalados. • Proporcionar, en los sistemas de ecuaciones, situaciones de su entorno para que las expresen como ecuaciones y encuentren el conjunto
solución. • Proponer ecuaciones de rectas conocidos dos puntos para calcular la pendiente y su clasificación.
Indicadores de logro: 2.1 Identifica y coloca con seguridad las coordenadas de un punto,
en el plano cartesiano. 2.2 Utiliza, valora y calcula con exactitud el valor de la pendiente
positiva, negativa, cero e identifica de una recta al conocer los valores de las coordenadas de dos puntos.
2.3 Construye con seguridad el gráfico de la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas y resuelve problemas.
2.4 Determina, explica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Actividades de evaluación: • Presentar una hoja de ejercicios para que, las alumnas y los alumnos
organizados en equipo, calculen los diferentes tipos de pendientes y resuelvan problemas usando la fórmula.
• Desarrollar la actividad de la página 56 del texto como síntesis de la aplicación de sistemas de ecuaciones.
Criterios de evaluación: • Colaboración • Respeto • Orden • Aseo
8
Planificación de unidad didáctica
Unidad 3. Calculemos la dispersión
Competencias • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 15 horas
Objetivo de la unidad: X Aplicar la desviación típica al analizar críticamente fenómenos numéricos y hechos sociales, con el fin de proponer y sustentar sus ideas,
respetando la opinión de los y las demás.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Medidas de dispersión − Dispersión
− Amplitud o rango
− Desviación típica para
datos sin agrupar.
− Cálculo de medias aritméticas − Explicación de las medidas de
dispersión. − Establecimiento de la dispersión de
datos a partir del rango − Resolución de ejercicios y/o problemas
aplicando la amplitud o rango en series de datos.
− Resolución de ejercicios y problemas
aplicando las fórmulas para el cálculo de la desviación típica de un conjunto de datos no agrupados.
− Interés por calcular medias aritméticas
− Seguridad al explicar las medidas de
dispersión. − Establece con orden y seguridad la
dispersión de datos a partir del rango.
− Orden al resolver ejercicios y/o
problemas aplicando el rango en series de datos.
− Dominio y confianza al aplicar las
fórmulas de las medidas de dispersión.
10
11
Sugerencias metodológicas: • Plantee una situación del entorno para introducir las medidas de dispersión. • Realice comparaciones de series de datos; recolectados por los estudiantes, aplicando la desviación típica.
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Indicadores de logro: 3.1 Calcula con interés las medidas aritméticas 3.2 Explica las medidas de dispersión y establece con orden y
seguridad la dispersión de datos a partir del rango. 3.3 Resuelve con dominio y confianza ejercicios y problemas
aplicando las fórmulas para el cálculo de la desviación típica para datos no agrupados.
Actividades de evaluación: • Calcular, con los datos recolectados por los y las estudiantes, el rango y
la desviación típica para datos no agrupados. Criterios de evaluación: • Participación activa • Orden • Respeto • Colaboración
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Planificación de unidad didáctica
Unidad 4. Midamos ángulos Competencias • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 15 horas
Objetivo de la unidad: X Aplicar los ángulos y sus propiedades, en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
− Ángulos. − Positivos y negativos.
− Utilización de giros en sentido horario y anti-horario para construir y señalar ángulos positivos y negativos.
− Seguridad al utilizar giros en sentido horario y anti-horario. 142
− Coterminales. − Construcción de parejas de ángulos coterminales.
− Cálculo y explicación del menor ángulo
positivo y el mayor ángulo negativo que sea coterminal a un ángulo dado.
− Resolución de problemas determinando el
menor ángulo positivo y el mayor ángulo negativo que sean coterminales a un ángulo dado.
− Precisión al construir ángulos coterminales.
− Confianza al calcular ángulos
coterminales. Guía Nº 7
− Sistema de medida sexagesimal y circular.
− Conversiones
− Arco como sección de una
circunferencia. − Longitud de arco
− Determinación y explicación de las medidas de ángulos en grados sexagesimales y radianes.
− Conversión de medidas de ángulo expresadas
de grados a radianes y viceversa. − Resolución de problemas utilizando los
factores de conversión. − Construcción y explicación del arco
− Esmero al determinar y explicar las diferentes medidas de los ángulos.
− Confianza en la utilización de
factores de conversión. − Seguridad en la construcción
de longitud de arco.
143 144 145 204 240
11
− Área de un sector circular.
− Deducción y explicación de la fórmula para
determinar la longitud de un arco S = rt − Cálculo de áreas de sector utilizando la
fórmula A�伊ʌr2n / 360
− Resolución de problemas utilizando las fórmulas de área y longitud de arco.
− Circunferencia y círculo. Definición. Elementos de una circunferencia.
− Área de la corona, del sector y del trapecio
circular.
− Interés por el uso de S = rt del cálculo de la longitud de arco.
− Esmero para encontrar el área
de un sector circular.
Sugerencias metodológicas: • Presente un reloj de pared y que las y los alumnos experimenten el giro de las manecillas, para encontrar ángulos positivos y negativos. • Continúe con la propuesta del texto que se encuentra páginas 143 y 204.
Indicadores de logro: 4.1 Utiliza con seguridad los giros en sentido horario y anti-horario
para construir y señalar ángulos positivos y negativos. 4.2 Calcula y resuelve problemas determinando el menor ángulo
positivo y el mayor ángulo negativo que sean coterminales a un ángulo dado.
4.3 Utiliza con confianza factores de conversión para resolver problemas que involucran medidas angulares.
4.4 Construye, calcula y resuelve problemas de la longitud de arco S = rt y el área de un sector circular.
Actividades de evaluación: • Retomar la actividad del inicio de unidades y que las y los alumnos
construyan los ángulos y efectúen conversiones del sistema sexagesimal al sistema circular y viceversa.
• Partir de una situación del entorno, construir la circunferencia y el círculo y calcular la longitud del arco y su área.
Criterios de evaluación: • Creatividad • Precisión • Orden • Aseo
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Planificación de unidad didáctica
Unidad 5. Resolvamos ecuaciones de segundo grado Competencias • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 30 horas
Objetivo de la unidad: X Interpretar y resolver con seguridad, situaciones problemáticas, escolares y sociales, utilizando las ecuaciones de segundo grado
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Ecuaciones de
segundo grado. − Ecuación general: − Ax2 + bx + c = 0 − Ecuaciones
incompletas:
Puras Mixtas
− Determinación de los elementos y las características que tiene una ecuación de segundo grado.
− Diferenciación y resolución de las ecuaciones
completas e incompletas, puras y mixtas, a partir del número de sus términos.
− Resolución de problemas aplicando
ecuaciones cuadráticas incompletas, puras y mixtas.
− Aplicación del método completando trinomios
para encontrar raíces en ecuaciones cuadráticas.
− Resolución de ecuaciones cuadráticas
aplicando cuadrados perfectos. − Deducción y aplicación de la fórmula general
que desarrolla ecuaciones de segundo grado a partir de una ecuación cuadrática.
− Resolución de problemas utilizando la fórmula
general.
− Interés por determinar una ecuación de segundo grado a partir de sus características.
− Confianza al diferenciar y resolver las
ecuaciones cuadráticas. − Perseverancia al resolver problemas
aplicando ecuaciones cuadráticas incompletas, puras y mixtas.
− Interés y disposición por encontrar las
raíces de una ecuación de segundo grado.
− Interés por deducir y explicar, de
manera correcta, la fórmula general que desarrolla ecuaciones de segundo grado.
− Orden y seguridad al utilizar la
fórmula general en ecuaciones cuadráticas.
− Seguridad y confianza al deducir,
116 117
13
− Deducción, explicación y resolución de
ejercicios y problemas utilizando el discriminante en la fórmula general: 〉伊�b2� 伊異伊4ac
explicar y resolver ejercicios y problemas utilizando el discriminante: 〉伊�b2� 伊異伊4ac
− Métodos de solución:
Por factorización Por complementación
de cuadrados. Fórmula general Discriminante
− Métodos de solución para la ecuación general. − Factorización. Justificación. Ejercicios. − Complementación de trinomios cuadrados
perfectos. Justificación. Ejercicios. − Fórmula para resolver una ecuación de
segundo grado. − Discriminante y naturaleza de las soluciones.
119 120 121 122
Sugerencias metodológicas: • Elabore una guía de ejercicios de factorización, especialmente de trinomios y diferencias de cuadrados. • Fabrique un rompecabezas de cuadrados y rectángulos y, organizados en equipos, orientar a los alumnos y las alumnas para completar
trinomios que se conviertan en cuadrados perfectos. • Oriente al grupo para que deduzca la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
Indicadores de logro: 5.1 Determinar con interés los elementos y características que tiene
una ecuación de segundo grado. 5.2 Diferenciar las ecuaciones completas e incompletas, puras y
mixtas a partir del número de sus términos, mostrando confianza. 5.3 Resolver con perseverancia problemas utilizado ecuaciones
cuadráticas incompletas, puras y mixtas.
Actividades de evaluación: • Presentar situaciones problemáticas y, organizados en equipos, que
las y los estudiantes planteen las ecuaciones y las resuelvan. • Elaborar un juego de cartas para que, en equipos, determinen los
elementos y características de una ecuación cuadrática, su discriminante y los diferentes métodos de resolución.
Criterios de evaluación: • Participación • Cautividad • Perseverancia • Aseo • Colaboración.
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Planificación de unidad didáctica
Unidad 6. Apliquemos técnicas de conteo Competencias • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 25 horas
Objetivo de la unidad: X Tomar decisiones, a partir de la valoración de la ocurrencia de un suceso, al aplicar las probabilidades y respetar la opinión de los demás.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Técnicas de conteo
Principio de la multiplicación.
Factorial de un
número Permutación
− Determinación, construcción y explicación del principio de la multiplicación.
− Aplicación del principio de multiplicación al
resolver ejercicios y problemas de conteo. − Determinación, interpretación y explicación
del factorial de un número. − Resolución de problemas de conteo
aplicando el factorial de un número. − Interpretación, aplicación y explicación de la
permutación. − Resolución de permutaciones tomando
todos los elementos de un conjunto.
− Seguridad al determinar y explicar correctamente el principio de multiplicación.
− Seguridad al resolver problemas
aplicando el principio de la multiplicación.
− Seguridad al determinar e interpretar
el factorial de un número. − Perseverancia al resolver problemas
aplicando el factorial de un número. − Seguridad al determinar el número
de permutaciones de un conjunto tomando todos los elementos.
13 15 16
− Número de ordenamientos
Tomando todos los
elementos del conjunto.
Tomando parte de los
− Determinación del número de permutaciones de un conjunto tomando parte de los elementos.
− Resolución de problemas utilizando las
permutaciones.
− Confianza al resolver problemas aplicando permutaciones.
− Interés en interpretar combinaciones. − Seguridad en la determinación del
número de combinaciones de un
17 18
15
elementos del conjunto.
Combinación
− Deducción, interpretación y explicación de combinaciones.
− Determinación del número de
combinaciones de un conjunto de elementos.
− Resolución de problemas que involucren
combinaciones.
conjunto de elementos. − Seguridad al resolver problemas
aplicando las combinaciones
Sugerencias metodológicas: • Inicie la unidad con una actividad similar a la planteada en el texto, en la página 13. • Plante diversas situaciones de su entorno y aplicar las diferentes técnicas de conteo, haciendo énfasis en sus diferencias. • Finalice con la actividad del texto planteada en las páginas 24 y 25.
Indicadores de logro: 6.1 Determina, construye y aplica con seguridad el principio de la
multiplicación en la resolución de ejercicios y problemas de conteo.
6.2 Determina, interpreta y resuelve con perseverancia problemas de conteo aplicando el factorial de un número.
6.3 Interpreta, aplica y resuelve con seguridad permutaciones tomando todos o parte de los elementos de un conjunto.
6.4 Deduce, interpreta y determina con seguridad el número de combinaciones de un conjunto de elementos.
6.5 Resuelve con seguridad problemas que involucran permutaciones y combinaciones.
Actividades de evaluación: • Retomar la actividad del texto sugerida al inicio de la unidad y que, en
parejas, resuelvan problemas que involucren permutaciones y combinaciones.
Criterios de evaluación: • Colaboración • Respeto • Orden • Limpieza
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Planificación de unidad didáctica
Unidad 7. Resolvamos sistemas de ecuaciones Competencias • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 20 horas
Objetivo de la unidad: X Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales y aplicar sus métodos y técnicas en la propuesta de alternativas de solución a problemas de su
realidad. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Sistemas de ecuaciones
lineales. − Métodos de solución:
Reducción (suma y resta)
Regla de Sarrus Regla de Cramer
− Identificación, construcción y explicación de un sistema de ecuaciones lineales de tres incógnitas.
− interpretación, aplicación y explicación de los métodos de solución para un sistema lineal de tres incógnitas.
− Resolución de problemas que conlleven sistemas de ecuaciones de tres incógnitas
− Seguridad al identificar y formar un sistemas lineal con tres incógnitas.
− Confianza al aplicar los métodos de solución para un sistema lineal de tres incógnitas.
− Orden y perseverancia al resolver sistemas de ecuaciones lineales de tres incógnitas.
Guía Nº 8 Guía Nº 9
Guía Nº 10 Guía Nº 11
Sugerencias metodológicas: • Inicie con una actividad sobre los conocimientos previos de sistemas de ecuaciones lineales. • Oriente la construcción de sistemas de ecuaciones lineales de tres incógnitas y los diferentes métodos de resolución: guías 8, 9, 10 y 11.
Indicadores de logro: 7.1 Identifica, construye y explica con seguridad un sistema de
ecuaciones lineales de tres incógnitas. 7.2 Interpreta, aplica y explica los métodos de solución para
sistemas lineales de tres incógnitas. 7.3 Resuelve problemas que conlleva sistemas de ecuaciones de
tres incógnitas, con orden y perseverancia.
Actividades de evaluación: • Elaborar una guía de situaciones problemáticas, en la cual, los y las
estudiantes, planteen sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas y encuentren el conjunto solución.
Criterios de evaluación: • Responsabilidad • Colaboración • Orden • Aseo
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Planificación de unidad didáctica
Unidad 8. Utilicemos potencias algebraicas Competencias • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 25 horas
Objetivo de la unidad: X Proponer con criticidad soluciones a diversos problemas relacionados con el ámbito escolar y social, aplicando la potenciación algebraica y sus
propiedades. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana − Potenciación en números
reales con polinomios como base y exponentes enteros.
Binomio de Newton.
Desarrollo de la potencia n-ésima de un binomio:
(a+b)n=an + an-1b + an-
2b2+….+ abn-1 + bn Triángulo de Pascal
− Resolución de ejercicios y problemas aplicando la potenciación en números reales con polinomios como base y exponentes enteros.
− Aplicación del Binomio de Newton,
para obtener la potencia de un binomio.
− Construcción del triángulo de Pascal
hasta n = 9.
− Esmero al utilizar las potencias en ejercicios y problemas de aplicación.
− Perseverancia al aplicar el Binomio de
Newton. − Orden y aseo en la construcción del
triángulo de Pascal.
74 75 76 79
− Término general − Deducción, aplicación y explicación de la fórmula para el cálculo del término general del desarrollo de un binomio.
− Resolución de problemas utilizando la
fórmula que determina el término general de un binomio.
− Seguridad al aplicar la fórmula para el cálculo del término general.
− Confianza al resolver problemas
utilizando la fórmula que determina el término general de un binomio.
80
Sugerencias metodológicas: - Inicie la unidad con la actividad propuesta en el texto de la página 75. - Explore los conocimientos previos de las combinaciones para aplicar el binomio de Newton al obtener las potencias de un binomio. - Proponga que deduzcan la fórmula que determina el término general.
18
Indicadores de logro: 8.1 Resuelve con esmero ejercicios y problemas aplicando la
potenciación en: números reales con polinomios como base y exponentes enteros.
8.2 Aplica con perseverancia el binomio de Newton para obtener la potencia de un binomio.
8.3 Construye con orden y aseo el triángulo de Pascal hasta n = 9. 8.4 Deduce, aplica y resuelve con confianza problemas utilizando el
término general de un binomio.
Actividades de evaluación: • Solicitar a las alumnas y los alumnos que, organizados en equipos,
construyan el triángulo de Pascal hasta n= 9. • Desarrollar, en parejas, las actividades de las páginas 76 y 77 del libro
de texto. Criterios de evaluación: • Perseverancia • Orden • Aseo • Responsabilidad
19
Planificación de unidad didáctica
Unidad 9. Utilicemos radicales Competencias: • Razonamiento lógico matemático • Comunicación con lenguaje matemático • Aplicación de la matemática al entorno
Tiempo: 23 horas
Objetivo de la unidad: X Aplicar, con seguridad, las leyes de los radicales para la resolución de problemas relacionados con el aula y el entorno.
Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana
− Radicación algebraica.
− Raíz n-enésima.
− Reglas de los radicales: Potencia n-ésima de la
raíz n-enésima. Raíz n-enésima de un
producto. Raíz n-enésima de un
cociente.
− Identificación de los elementos de un radical y explicación de raíz n-enésima.
− Extracción de la raíz n-enésima.
− Simplificación de diversas expresiones
con radicales aplicando las propiedades.
− Confianza y seguridad al reconocer los elementos de una raíz.
− Perseverancia al extraer una raíz n-enésima.
− Seguridad y perseverancia al
simplificar expresiones con radicales.
86 88 87
Raíz n-enésima de una potencia m-enésima.
88
Raíz n-enésima de otra raíz m-enésima.
Exponente fraccionario.
− Conversión de una expresión radical a potencias con exponentes fraccionarios y viceversa.
− Interés y esmero al transformar un radical en potencia con exponente fraccionario.
88
Métodos para cambiar la forma de un radical.
Extraer factores de un radical.
Introducir factores bajo el signo radical.
− Identificación y reducción de radicales semejantes.
− Extracción de factores de un radical. − Introducción de factores bajo el signo
− Seguridad al identificar y reducir radicales semejantes.
− Valoración y seguridad al extraer un
factor de un radical.
90 91 92 94 95 96
20
21
Cambio del índice de un radical.
Operaciones con radicales.
Suma y resta. Multiplicación. División Racionalización.
radical. − Transformación de radicales utilizando
cambio de índice. − Suma y resta radicales. − Multiplicación y división de radicales. − Racionalización de expresiones
radicales. − Resolución de problemas utilizando
radicales y sus operaciones.
− Perseverancia al introducir un factor bajo el signo radical.
− Seguridad al transformar el índice de
un radical. − Seguridad al efectuar sumas y restas
de radicales. − Destreza y seguridad al efectuar
multiplicación y división de radicales. − Orden al aplicar la racionalización. − Perseverancia y orden al resolver
problemas.
97
Sugerencias metodológicas: • Inicie con la propuesta del texto que define la radicalización como la operación inversa de la potenciación (página 86). • Identifique los elementos de un radical y continuar con la propuesta del texto que se encuentran en las páginas 86 a la 102.
Indicadores de logro: 9.1 Identifica con seguridad todas las partes de un radical, extrae la raíz n –
enésima y simplifica expresiones que contengan radicales, empleando sus propiedades.
9.2 Convierte expresiones con radicales a potencias con exponentes fraccionarios e identifica radicales semejantes.
9.3 Extrae e introduce factores de y bajo un radical. 9.4 Resuelve operaciones: suma, resta, multiplicación y división de radicales. 9.5 Resuelve problemas utilizando radicales y sus operaciones con
perseverancia y orden.
Actividades de evaluación: • Proporcionar una guía de ejercicios de propiedades de radicales,
operaciones y radicación, para que lo resuelvan en pareja. • Realizar una prueba individual, que puede ser de simplificación
de expresiones que contengan radicales, empleando sus propiedades.
Criterios de evaluación: • Perseverancia • Colaboración • Orden • Aseo
Una matriz es un arreglo de números reales.
113
322
064
−
• Las filas son los números escritos en forma horizontal. • Las columnas de la matriz son los números que aparecen en
forma vertical.
• El orden de una matriz se expresa como m x n, donde “m” representa el número de filas y “n” el número de columnas.
312 − 37
76
−
876
302−
• A cada matriz cuadrada B se le asocia un número llamado
determinante de B. El valor de un determinante se calcula restando el producto de sus diagonales
bcaddc
ba−=
17215)1)(2()5)(3(
51
23=+=−−=
−
Un sistema de ecuación se puede expresar en términos de un determinante.
El sistema le asignamos tres determinantes. ⎩⎨⎧
=+=+fdycx
ebyax
dc
baP =Δ Se llama determinante principal ( formada por los
coeficientes de las variables x e y, tomados en ese mismo orden.
)PΔ
df
bex =Δ
fc
eay =Δ Determinantes de las variables ( )xΔ ( )yΔ
que se obtiene reemplazando la columna respectiva por los constantes del sistema, en ese mismo orden. Ejercicio resuelto
En el sistema , encuentre las matrices , ⎩⎨⎧
=+=−
24
622
yx
yx ( )PΔ ( )xΔ y
41
23 −=ΔP
42
26 −=Δx
21
63=Δy
Para comenzar Escribe verdadero (v) o falso (f). Los coeficientes de la ecuación 2x3 – 3x = 1 son: a) , 1, 0 _________ 3b) 2, - 3 _________ c) 2, - 3, 1 _________
Columna 1 Columna 2 Columna 3
1 6 0 - 2 2 3
3 1 1
Matriz 1 x 3 Matriz 2 x 2 Matriz 2 x 3
+ -
DETERMINANTES. ELEMENTOS Y ORDEN. FILAS COLUMNAS Y DIAGONALES. DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN 2 X 2
Fila 1
Fila 2
Fila 3
1. De los siguientes determinantes
a)tsr
pnm b)
53 c)
42
987
65 4
321−
Identifica las filas, columnas y el orden de cada uno. 2. Encuentra el valor de los siguientes determinantes de
segundo orden
a) 32 −13 −
3. Encuentra el determinante principal ( )PΔ y los
determinantes de las variables ( yx ΔΔ , ) en los siguientes
sistemas de ecuaciones.
a) ⎩⎨⎧
=+=+feydx
cnymx
b) ⎩⎨⎧ =+− 132 yx
=+− 3yx
( )yΔ
22
ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO ELIMINACIÓN DE LA RAÍZ POR LA PROPIEDAD POTENCIA DE OTRA POTENCIA.
16m 1 6mx 6mx
• Mediante la experimentación y la aplicación de modelos matemáticos se ha logrado determinar que la distancia “d” en metros a la que cae un objeto partiendo del reposo en “t”
segundos, esta expresado por la fórmula
• Mediante la experimentación y la aplicación de modelos matemáticos se ha logrado determinar que la distancia “d” en metros a la que cae un objeto partiendo del reposo en “t”
segundos, esta expresado por la fórmula 5
dt = .
• Un grupo de alumnos decidió verificar esta fórmula dejando caer una piedra desde un puente y, tomando el tiempo en que la piedra tarda en llegar al suelo ¿Cuál será la altura del puente, según la fórmula, si la piedra cayó en 2 segundos?
5
dt =
52
d=
54
d= md 20=
Luego, la altura del puente es 20 m sobre el río. Para solucionar este problema fue necesario resolver una ecuación que contenía raíces y cuya incógnita formaba parte de su cantidad subradical. Observa el siguiente ejercicio
Encuentra el conjunto solución de: 5+x + 2+x = 6 1. Trasladamos al miembro derecho el término que contiene
radical.
5+x = 26 +− x 2. Elevamos al cuadrado ambos miembros
2)5( +x = 2)26( +− x
Resolvemos
x + 5 = 36 – 12 2+x + x + 2 x + 2 = 144
1089
2)2( +x = 2
12
33⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Luego x = ⇒16
95
Problema resuelto El área de un cuadrado mide 256 m2, ¿cuál es la medida de su diagonal?
1º) Escribimos la fórmula del área del cuadrado a = l2
2º) Sustituimos las variables por su valor 256 m2 = l2
3º) Resolvemos 2256m = 2l 16 m = l
La medida del lado es 16 m; pero como nos pregunta la medida de su diagonal
d = 22 )16()16( mm + d = 22 256256 mm +
d = 2512m d = 22.6 m Luego, la medida de
su diagonal es 22.6 m
Para comenzar El producto notable (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Desarrolla los siguientes productos notables: • (2 + x)2 = • (m – n)2 =
(2 + a )2 =
Toma nota Los elementos de una raíz son:
n a
Índice
Cantidad subradical
Signo radical
Toma nota Ecuación con radicales es una igualdad en la que intervienen raíces y cuya incógnita forma parte de una o más cantidades subradicales.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. 55 =−x
b. 16432 =+x
c. 7+ 35 =+− xx
d. 33119 =−+x
23
2. Resuelve los siguientes problemas. a. La resistencia de un circuito es de R = 18 ohms, su potencia P = 980 watts.
Utiliza la fórmula R
PI = para calcular la intensidad de la corriente I.
b. Calcula la velocidad, sustituyendo d por 6 en la ecuación v2 = 64 d.
16 X
LINEA RECTA, SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS, COORDENADAS DE UN PUNTO (ABSCISA, ORDENADA)
• Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas
numéricas perpendiculares entre si, cuyo punto en común es el cero de cada una.
• Para representar un punto (a, b) en el plano se localiza el primer elemento de la pareja en el eje horizontal y el segundo en el eje vertical. Para comenzar
Escribe el signo igual (=) o no es igual (≠) entre los siguientes pares ordenados. (1, 2) (2, 1) (- 1, 2) (- 1, 2)
•
x
y
(a, b)
(b, a)
(a, b) ≠ (b, a)
• Las coordenadas cartesianas dividen al plano cartesiano en cuatro cuadrantes que se enumeran en dirección contraria a las agujas del reloj.
I cuadranteII cuadrante
III cuadrante IV cuadrante
+
+-
-
0 Eje de las abscisas (x)
Eje de las ordenadas (y)
1) Escribe, en cada cuadrado, el
cuadrante donde se ubica el punto que corresponde a cada par ordenado.
a. (2, 3) b. (- 2, 3) c. (3, - 2) d. ( - 2, - 3)
2) Observa el plano cartesiano.
1 2 3 4 5
1
2
3
A
B
C
D
E
(2, 3)
• Escribe, en los espacios en blanco, las
coordenadas con que se identifican cada uno de los puntos. a) A ____ b) B ____ c) C ____ d) D ____ e) E ____
• Coloca, en el mismo plano de coordenadas, los siguientes puntos. a) (3, 1) b) (1, 1) c) (4, 0) d) (0, 5) e) (2, 3) f) (5, 1)
24
PENDIENTE (M); PENDIENTE POSITIVA, PENDIENTE NEGATIVA, PENDIENTE CERO, PENDIENTE INDEFINIDA
Observa el gráfico
x
yP2(x2,y2) y2 - y1
P1(x1,y1)
x2 - x1
(- 0, 4) (1, 7) x1y1 x2y2
Figura 1 • Una recta representada en el plano cartesiano tiene una
inclinación que está determinada por medio del concepto de pendiente (figura 1).
• Si P1 y P2 son puntos de una recta representados por las
coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente se define la
pendiente m de la recta como 12
12
xx
yym
−−
= .
Ejemplo resuelto 1. Determina la pendiente de la recta que representa la función f(x)
= 3x + 4 que pasa por los puntos (0, 4) y (1, 7).
Solución:12
12
xx
yy
−m
−= =
−−
=01
473
1
3=
La pendiente de la recta que representa la función f(x) = 3x + 4 es 3. • En una recta, cuando la variable “x” aumenta y la variable “y”
aumenta, la pendiente es positiva (recta creciente) ejemplo: f(x) = 3x + 4.
• La función f(x) = - 3x + 2 es decreciente; es decir, cuando la variable “x” aumenta, la variable “y” disminuye. Su pendiente es negativa.
• Si la gráfica de la función es paralela al eje “x” la pendiente m = 0.
• Si la gráfica de la función es paralela al eje “y” la pendiente no esta definida.
1. Calcula la pendiente de la recta que pasa por
cada par de puntos. b) (1, 2); (3, 4) c) (0, -3); (-6, 7)
2. Dibuja las rectas que corresponden a cada par
de puntos, en el plano cartesiano.
3. Indica cuáles de las siguientes rectas tienen pendiente: negativa, positiva, cero o indefinida.
Para comenzar Dado los pares ordenados x1y1 x2y2 (2, 3) (5, 7) Encuentra
?52
73=
−−
?25
37=
−−
y
y y
x
y
x x
25
GRÁFICA: INTERCEPTO CON EL EJE DE LAS ORDENADAS, ECUACIÓN DE UNA RECTA Y = MX + B
• Dado que una función se puede representar por medio de una
expresión algebraica y además una función afín se representa por una línea recta, la expresión y = mx + b representa una línea recta.
Pendiente
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
(1,2)
(0,-1)
• La expresión y = mx + b se denomina ecuación de la recta. En esta ecuación “m” es la pendiente y “b” es el valor de “y” en la cual la recta corta al eje “y”, este valor se llama intercepto. Ejemplo: La ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y que corta al eje “y” en -4 es
y = mx + b y = -3x – 4
Ejercicio resuelto • Encuentra la pendiente y el intercepto de la recta y = 3x -1.
Solución: Como la ecuación de la recta es de la forma y = mx + b; la pendiente es m = 3 y el intercepto es b = -1.
• Representa gráficamente la ecuación anterior. Solución: 1. Se ubica en el plano el punto (0, -1); pues el intercepto en y
es -1. 2. Como la pendiente es m =3, entonces por cada unidad que
aumenta el valor de la variable “x”, la variable “y” aumenta 3 unidades, por lo tanto la recta pasa por el punto (1, 2)
Para comenzar Indica el eje (x, - x, y, - y) en que se localizan los puntos que corresponden a los siguientes pares ordenados a. (0, - 2)____ b. (2, 0)_____ c. (5, 0)_____ d. (0, - 5)____ Intercepto
1) Identifica en cada una de las ecuaciones
la pendiente y el intercepto con el eje “y”.
Ecuación Pendiente Intercepto con el eje y
7x + 4 = y y = -2x + 10 y = -3 -2x y = 1 + 7x
2) Escribe la ecuación de cada recta a
partir de los datos dados. a. m = 4, b = -6 b. m = - 3, b = -2
c. m = 4
1, b =
3
2
d. m = 1, b = 5
3) Grafica cada recta a partir de los datos dado: a) Pendiente 2; intercepto igual a -3
b) Pendiente 5
3; intercepto igual a 0
26
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. MÉTODO DE DETERMINANTES
¿Que método se utiliza para resolver el sistemas de ecuaciones en el método de determinantes? Regla de Cramer.
Ejemplo: Resolver el sistema ⎩⎨⎧
=+=−
24
623
yx
yx
1. Encontrar el determinante principal 41
23 −=ΔP
2. Determinantes de las variables ( )yx ΔΔ , 42
26 −=Δx
21
63=Δy
El valor de las incógnitas se calcula así:
214
28
212
424
)1)(2()4)(3(
)2)(2()4)(6(
41
23
42
26
=−
=++
=−−−−
=−
−
=⇒ΔΔ
= xP
xx
014
0
212
66
)1)(2()4)(3(
)1)(6()2)(3(
41
23
21
63
==+−
=−−
−=
−=⇒
ΔΔ
= yP
yy
Ejemplos: Resolver La suma de dos números enteros pares consecutivos es 30 y su diferencia es 2. Encuentra los números. Solución:
Paso 1: Sea “x” un número entero par y “y” el otro número entero par.
Paso 2: Las ecuaciones que se forman son: ⎩⎨⎧
=−=+
2
30
yx
yx
Paso 2: Las ecuaciones que se forman son: ⎩⎨⎧
=−=+
2
30
yx
yx
162
32
11
230
)1)(1()1)(1(
)1)(30()2)(1(
11
11
12
130
=−−
=−−−−
=−−
−=
−
−=
ΔΔ
=P
xx
142
28
11
302
)1)(1()1)(1(
)1)(30()2)(1(
41
11
21
301
=−−
=−−
−=
−−−
=
−
=ΔΔ
=P
xy
Los números son 16 y 14.
1. Resuelve, aplicando el método de
determinantes.
a) b) ⎩⎨⎧
=+=−
33
12
yx
yx
⎩⎨⎧
=−=+
102
164
yx
yx
2. Aplicando el método de determinantes, resuelve:
Entre monedas de 10 y de 5 centavos Ana reúne US$1.05; tiene en total 12 monedas. Responde: ¿Cuántas monedas de 10 y cuántas monedas de 5 tiene Ana?
Para comenzar Encierra en un círculo el proceso correcto de la división de fracciones.
1. b
a ÷ d
c = bd
ac
2. b
a ÷ d
c = bc
ad
27
ÁNGULOS COTERMINALES
En una circunferencia, una rotación completa en sentido contrario a las agujas del reloj equivale a 360º grados ó 2ヾ radianes.
• Los ángulos coterminales son aquellos que en posición normal
tienen el mismo lado inicial y terminal.
Para comenzar
Si し es un ángulo cualquiera, por ello para encontrar el menor ángulo positivo coterminal, se encuentra así:
360º = 2ヾ radianes 180º = ヾ radianes Escribe en radianes la medida que corresponde a los siguientes ángulos: 90º ______ 30º ______ 60º ______
し + 360º ふ し + 2ヾ
Y el mayor ángulo negativo
し – 360º ふ し - 2ヾ 45º ______
Ejemplo resuelto a. Encontrar el mayor ángulo negativo y menor ángulo positivo a
し = 60º 60º + 360º = 420º 60º - 360º = - 300º
b. Encontrar dos ángulos entre 0 y 2ヾ, que sean coterminales
con 4
11π y dibujar uno de ellos.
Como 2ヾ < 4
11π < 3ヾ restamos una vuelta ふ 2ヾ radianes
4
11π- 2ヾ =
4
811 ππ − = π
4
3
x
y
4
11 π
π4
3
Otro ángulo coterminal a 4
11π
4
5
4
832
4
3 πππππ −=
−=−
c. Si し = 40º 16’ 10’’, encontrar el mayor ángulo negativo que sea
coterminal a dicho ángulo. Se descompone 360º en grados, minutos y segundos
360º = 359º 59’ 60’’; luego
(40º 16’ 10’’) – (359º 59’ 60’’) = - (319º 43’ 50’’)
1. Dibuja el ángulo dado en posición
normal y determina dos ángulos coterminales positivos y dos negativos. a. 120º b. 35º 23’ 38’’ c. – 30º
d. 3
2π
2. Encuentra el ángulo entre 0 y 2ヾ radianes coterminales al ángulo dado.
a. 4
π−
b. 2
17π
c. 5.3ヾ d. – 4 e. 7
28
Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas forman un sistema de
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODOS DE SOLUCIÓN - Reducción (suma y resta)
de ecuaciones lineales
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
rkzhygx
qfzeydx
pczbyax
Resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas es encontrar una solución única, es determinar el trío ordenado(x, y, z) de números reales que satisfacen a la vez a las tres ecuaciones.
• Método de reducción Observa cómo se resuelve el siguiente sistema
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=−−
=++
5252
1323
10332
zyx
zyx
zyx
• Eliminamos la incógnita z, sumando las ecuaciones (1) y (2)
Para comenzar Cuando en una expresión algebraica las variables se sustituyen por valores numéricos específicos, al resultado obtenido se le denomina valor numérico de la expresión algebraica. El valor numérico de 3x2 para x = 3 es 27 Encuentra el valor numérico • 2x – 3y + z Si x = - 1 y = 3 z = 5
(1) (2) (3)
2x + 3y + 3z = 10 + 3x – 2y – 3z = - 1 5x + y = 9 (4)
• Eliminamos la misma incógnita z de las ecuaciones (2) y (3), multiplicando estas ecuaciones por 2 y 3 respectivamente y las sumamos:
• Formamos un nuevo sistema con las ecuaciones (4) y (5). Multiplicamos la ecuación (4) por ( - 11) para reducir la incógnita “y” y hallamos “x”:
2x – 2y – 3z = - 1 x 2 6x – 4y – 6z = - 2 →2x + 5y + 2z = - 1 x 3 → 6x + 15y + 6z = 15 12x + 11y = 13 (5)
5x + y = 9 x - 11 - 55x – 11y = - 99 →12x + 11y = 13 → 12x + 11y = 13
- 43x = - 86 x = 2 →
• Ahora, reemplazamos el valor x = 2 en la ecuación (4): 5x + y = 9 ⇒ 5(2) + y = 9 ⇒ 10 + y = 9 ⇒ y = - 1
• Para calcular el valor de la incógnita z, reemplazamos x = 2 e y = - 1 en la ecuación (1) 2x + 3y + 3z = 10 2(2) + 3(- 1) + 3z = 10 ⇒ z = 3 ⇒
El conjunto solución es { })3;1;2( −
1. En los espacios en blanco, numera del 1 al 5 para ordenar el proceso de respuesta de un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
______ Formamos un nuevo sistema con las ecuaciones (4) y (5). ______ Para calcular el valor de la incógnita z
reemplazamos los valores encontrados para x, y. ______ Reemplazamos el valor de x en la ecuación (4)
para encontrar el valor de y. ______ Eliminamos la incógnita z sumando, las
ecuaciones (1) Y (2). ______ Eliminamos la misma incógnita z de la ecuación
(2) y (3).
2. Encuentra el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuación, por el método de reducción.
a)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=−+=+−
1442
153
1534
zyx
zyx
zyx
b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−+=+−−=++
8523
32
1
zyx
zyx
zyx
29
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS
La regla de Sarrus es útil para calcular el valor de determinantes de orden 3.
• Para calcular el valor del determinante.
Los términos con signo positivo (+) se encuentran multiplicando los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 Los términos con signo negativo se forman al multiplicar los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto. = - a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a32 Ejemplo. Halla el valor de:
879
456
231
=A
Para comenzar Para sumar cantidades con signos iguales. • Se suman las cantidades y se
escribe el signo común. - 2 + - 3 = - 5
• Partiendo de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede formar un determinante de orden 3 x 3.
Ejemplo ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=+−=−+
532
2
323
zyx
zyx
zyx
El determinante se forma con los coeficientes de las variables
321
111
213
−−
−
1. Escribe los determinantes
correspondientes a los siguientes sistemas de ecuaciones.
a.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−−=++=+−
3
192
233
zyx
zyx
zyx
b.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+=++−
135
232
73
zyx
zyx
zyx
2. Evalúa los siguientes
determinantes, utilizando la regla de Sarrus.
a.
111
163
276
−
− b.
43
12
765
3
232
1
−
2 + 3 = 5 • Signos diferentes, se restan las
cantidades y se escribe el signo del numero de mayor valor absoluto. - 8 + 3 = - 5
Resolver - 2 + - 10 = _______ 6 + - 10 = _______ - 9 + 3 – 10 = _______
= (1)(5)(8) + (3)(9)(4) + (6)(2)(7) – (9)(5)(2) – (1)(7)(4) (6)(3)(8) –
= 40 + 108 + 84 – 90 – 28 – 144 = - 30
30
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Regla de Cramer
Para comenzar Regla de los signos del producto (+) x (+) = + (+) x (-) = - (-) x (+) = -
• Para resolver sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer, seguimos el siguiente proceso:
Supongamos que queremos resolver
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
rkzhygx
qfzeydx
pczbyax
(-) x (-) = + • Tendremos 4 matrices de las cuales calcularemos sus
determinantes: Resuelve: a) (-2)(3)(-1) = ______ b) (5)(2)(-1) = ______ c) (-3)(-1)(-2) = ______
Importante Todo determinante tiene un valor que se calcula como se indica: • Recuerda que primero se debe
repetir las dos primeras columnas a la derecha de la matriz y luego operamos.
• La primera matriz, la principal, se formará utilizando los
coeficientes de las variables.
khg
fed
cba
P =Δ
• Otras tres, las determinantes de las variables, se obtienen
reemplazando en la matriz principal la columna respectiva por las constantes o términos independientes del sistema:
khr
feq
cbp
x =Δ ;
krg
fqd
cpa
P =Δ ;
rhg
qed
pba
P =Δ
• El valor de cada incógnita del sistema será encontrado
calculando los cocientes que siguen:
P
xx
ΔΔ
= ; P
yy
ΔΔ
= ; P
zz
ΔΔ
=
khg
f eed
cba
P =Δhg
d ba
• Resolver el sistema
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=−+=−−
5532
2
332
zyx
zyx
zyx
=ΔP 1º) Encontramos la determinante principal (aek + bfg + cdh) – (ceg + afh + bd
532
111
321
−−−−−
=ΔP
k)
⇒ (1)(1)(-5) + (-2) (-1) (2) + (-3) (1) (-3) = 8
- - - + + +
⇒ (-3)(1)(2) + (1) (-1) (-3) + (-2) (1) (-5) = 7
Finalmente 8 – 7 = 1 ⇒ 1=ΔP
31
2º) Reemplazamos los coeficientes de dicha variable por la columna de los términos independientes
535
112
323
−−−−−
=Δx
552
121
331
−−−
=Δy
⇒ (3)(1)(- 5) + (- 2) (- 1) (5) + (- 3) (1) (- 3) = 13 ⇒ (- 3)(1)(5) + (3) (- 1) (- 3) + (- 2) (2) (- 5) = 14
Finalmente 13 – 14 = - 1 ⇒ 1−=Δx
⇒ (1)(2)(- 5) + (3) (- 1) (2) + (- 3) (1) (5) = - 31
Toma nota Para resolver un sistema de ecuaciones se debe ordenar alfabéticamente.
⇒
532
211
321
−
−=Δy
(- 3)(2)(2) + (1) (- 1) (5) + (3) (1) (- 5) = - 32
Finalmente – 31 – (- 32) = 1 ⇒ 1=Δy
⇒ (1)(1)(5) + (-2) (2) (2) + (3) (1) (-3) = - 12 ⇒ (3)(1)(2) + (1) (2) (-3) + (-2) (1) (5) = - 10
Finalmente – 12 – (- 10) = - 2 ⇒ 2−=Δz
Luego 11
1−=
−−
=ΔΔ
=P
xx ; 1
1
1==
ΔΔ
=P
yy ; 2
1
2−=
−=
ΔΔ
=P
zz
Conjunto solución { })2;1;1( −−
1. Calcula el valor de los determinantes.
a.
152
203
312
−−
b.
111
111
111
−−
−−
2. Encuentra PΔ en el siguiente sistema de
ecuaciones.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=−+−=−+
xzy
yzx
zyx
824
3322
2123
3. Encuentra el conjunto solución.
a)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−
=−+
24634
62
932
zyx
yx
zyx
b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−+=+−=++
2634
523
1154
jnm
jnm
jnm
32
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS QUE CONLLEVAN SISTEMAS DE ECUACIONES DE TRES INCÓGNITAS
A continuación se presenta un problema que se resuelve mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Para comenzar Escribe en lenguaje algebraico: 1. El doble de un número. 2. El triple de un número,
disminuido en cinco. 3. El cuadrado de un número
aumentado en tres.
Toma nota Para resolver un problema: 1. Lee y comprende el
problema. 2. Plantea la solución. 3. Desarrolla el plan. 4. Revisa y reflexiona sobre
la solución.
Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que los hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de los niños. También se sabe que los hombres y las mujeres duplican el número de niños. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar el número de hombres, mujeres y niños. Solución. Llamamos x, y, z al número de hombres, mujeres y niños respectivamente. A partir de los datos del problema obtenemos el siguiente sistema lineal de tres ecuaciones E1, E2, E3 con tres incógnitas x, y, z: E1 s x + y + z = 30 E2 s x + 3y = 20 + 2z E3 s x + y = 2z Ordenamos las ecuaciones y formamos la determinante principal
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=−+=++
02
2023
30
zyx
zyx
zyx
6
211
231
111
−=−−=ΔP
Luego encontramos
60
210
2320
1130
−=−−=Δx 60
201
2201
1301
−=−−=Δy 60
011
2031
3011
−==Δz
Luego 106
60=
−−
=ΔΔP
x; 10
6
60=
−−
=ΔΔP
y; 10
6
60=
−−
=ΔΔP
z
El número de hombres es 10, mujeres 10 y niños 10
1. Calcula el valor de los determinantes.
c.
320
223
616
−
d.
113
422
302
1
−−
2. Resuelve los siguientes problemas aplicando el método de determinantes. b. Un ganadero tiene a su cargo 110 animales entre
gallinas, cerdos y pavos. Si 8
1 del número de gallinas,
más 9
1 del número de cerdos, más 5
1 del número de
pavos, equivalen a 15 y la suma del número de gallinas con el de pavos es 65. ¿Cuántos animales de cada clase posee dicho ganadero?
c. Rosa, Fanny y Gisela tienen juntas $140. Sabiendo que Gisela tiene la mitad de lo que tiene Rosa, y Rosa posee $10 más que Fanny. ¿Cuánto dinero tiene cada una?
d. La suma de tres números es 12. El tercero es el cuádruplo del segundo y el segundo es igual a 6 veces el primero. ¿Cuáles son los números?
33