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7/27/2019 Guia Mate Unam Temp

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Mnimo comn mltiplo (m.c.m.).- Es elnmeromenor de los mltiplos en comn de ungrupode nmeros. Para calcularlo se descomponen en factoresprimoscada uno de losnmeros hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos.

Mximo comndivisor(M.C.D.).- Es el nmeromayorde los mltiplos en comn de un

grupo de nmeros. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de losnmeros hasta que no tengan un divisor primo comn y se multiplican los primosobtenidos.

1.3.Operacionesconnmeros racionales:

Sumay resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de losdiferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicandoporcadanumerador. Al final los nmeros obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso.

Nota: Cuando los denominadores son iguales, entoncessolose suman o restan losnumeradores.

Multiplicacin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador ydenominador por denominador.
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Divisin de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundodenominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primerdenominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador.

Potencia y Raz

Potencia: Es el nmero de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, segn suexponente.

Raz: Es elvalorque al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el ndice,se obtiene el valor que esta dentro del radical.

Ejem:

Ejem:

1.4 Razones y Proporciones

Razn: Es el cociente de dos nmeros, esdeciruna fraccin, donde el numerador se llamaantecedente y al denominador consecuente. La razn se representa como sigue:

Ejem:

Proporcin: Es laigualdadde dos razones. La razn se representa como sigue:

Ejem:

donde los nmeros 7 y 6 son extremos y los nmeros 3 y 14 sonmedios.
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=5c6fca695e069f92&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=5c6fca695e069f92&fi=f89300dbf85ba54chttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=5c6fca695e069f92&fi=f89300dbf85ba54chttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/medios-comunicacion/medios-comunicacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.013130119847265642&pb=5c6fca695e069f92&fi=f89300dbf85ba54chttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


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1.5 Regla de Tres

Regla de tres directa Proporcin directa.- Cuando comparamos dos razones del mismotipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporcin, es decir, si una aumenta odisminuye, la otra tambin aumenta o disminuye en la misma proporcin.

Ejem: Si enuna empresaun empleado gana $4400 por 20 das trabajados. Cuanto ganarpor 30 das?

Regla de tres inversa Proporcin inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de losparmetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos deproduccinconrespecto altiempo.

Ejem: Si en unaempresa20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 das. Cuantos obrerosse requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 das?

1.6 Tanto por Ciento

Definicin: Es una fraccin cuyo denominador es 100, es decir la centsima parte de algo.Se expresa con el smbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar poruna fraccin o por un decimal equivalente.

Ejem: 18% 0.18

33.5% 0.335

Clculo del porcentaje:

Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado enforma decimal.

Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655

1450(0.32) = 464 1655(0.03) = 49.65

Tambin se puede obtener un nmero en especfico con regla de tres directa.

Ejem: Hallar el nmero del cual 400 es el 8%
http://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtml


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Ejem: Hallar el nmero del cual 4590 es el 60%

Tambin se puede aplicar para resolverproblemascomo los siguientes:.

Ejem: Un vendedor recibe de comisin el 12% porventarealizada. Si vende mercanca porun total de $44000. Cuanto recibir de comisin?

$44000(0.12) = $5280

Ejem: Unproductoque cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una gananciadel 8.5%. En cuanto debe venderse?

Reactivos Unidad 1:
http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT


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UNIDAD 2.

lgebra

2.1 Propiedades y Definiciones

Trmino Algebraico.- Es la expresin algebraica, que se compone de: signo, coeficiente,base literal y exponente.


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Trmino Semejante.- Es la expresin algebraica, que se compone de misma base y mismoexponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes.

Ejem: es semejante a

Ejem: es semejante a

Clasificacin de Trminos Algebraicos.- Se clasifican segn su nmero de trminos, de lasiguiente manera:

Monomio = un solo trmino Ejem:

Binomio = dos trminos Ejem:

Trinomio = tres trminos Ejem:

Polinomio = 2 ms trminos Ejem:

2.2Leyesde los signos

Sumay Resta:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:
http://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtml


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Multiplicacin y Divisin:

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:

2.3Signosde Agrupacin

Definicin.- Son los signos que nos sirven para agrupar trminos u operaciones entreellos,los principales son:

Parntesis Corchete Llave

Cuando se aplican en operaciones, elobjetivoes suprimirlos multiplicando por el trmino signo que le antecede. Si en una expresinmatemticaexisten varios signos de agrupacin,se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera.

Ejem: Ejem:

Ejem:
http://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Elloshttp://en.wikipedia.org/wiki/Elloshttp://en.wikipedia.org/wiki/Elloshttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Elloshttp://www.monografias.com/trabajos36/signos-simbolos/signos-simbolos.shtml


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2.4Evaluacinde expresiones algebraicas

El valor numrico de una expresin algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o

literales por un valor especfico.

Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresin:

sustituyendo:

Ejem: Si & de la expresin:

sustituyendo:

2.5Lenguajealgebraico

Definicin.- Es la forma de expresin comn o coloquial que se expresa de formaalgebraica.

Ejem:

Un nmero cualquiera x

Un nmero cualquiera aumentado en dos

La diferencia de dos nmeros cualquiera

El triple de un nmero disminuido en cuatro
http://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/concepto-de-lenguaje/concepto-de-lenguaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/concepto-de-lenguaje/concepto-de-lenguaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/concepto-de-lenguaje/concepto-de-lenguaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/concepto-de-lenguaje/concepto-de-lenguaje.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conce/conce.shtml


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La cuarta parte de un nmero

Las tres cuartas partes de lasumade dosnmeros

La suma de tres nmeros naturales consecutivo

Las dos quintas partes de un nmerodisminuido en cuatro es igual a 24

Lasumade tres nmeros pares consecutivos,es igual al cudruple del menor ms la mitad

del mayor

2.6 Leyes de los Exponentes

Multiplicacin: Sumar los exponentes

Ejem: Ejem:

Divisin: Restar los exponentes

Ejem: Ejem:

Potencia : Multiplicar los exponentes

Ejem: Ejem:

Inverso: Cambiar signo de exponente

Ejem: Ejem:

Unitario: Siempre es igual a uno

Ejem: Ejem:

2.7 Operaciones algebraicas

Sumay Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restartrminos semejantes.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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Ejem: Sumar &

Ejem: Restar de

Multiplicacin.- La operacin algebraica de multiplicar, bsicamente puede efectuarse,como sigue:

Monomio por monomio

Ejem:

Monomio por polinomio

Ejem:

Ejem:


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Polinomio por polinomio

Ejem:

Divisin.- La operacin algebraica de dividir, bsicamente puede efectuarse, como sigue:

Monomio entre monomio

Ejem: Ejem:

Polinomio entre monomio


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Ejem:

Polinomio entre polinomio

Ejem:

T

T

2.8 Radicales

Propiedades de los radicales:

ndice = potencia :


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Ejem: Ejem:

ndice ? potencia:

Ejem: Ejem:

Multiplicacin con mismo ndice:

Ejem: Ejem:

Ejem:

Multiplicacin con diferente ndice:

Ejem:

Ejem:

Raz de una raz:

Ejem: Ejem:

Divisin con ndices iguales:

Ejem: Ejem:

Divisin con ndices diferentes:

Ejem:

Ejem:


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Operaciones con radicales:

Sumay Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen de sumar restarradicales semejantes, es decir, con el mismo ndice y la misma base, segn la siguienteregla:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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Racionalizacin.- Es el convertir una fraccin con denominador en forma de radical, enotra fraccin equivalente, donde su denominador sea un nmero entero.

De un denominador monomio:

Forma: se multiplica por y se simplifica.

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obtenindose:

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador,obtenindose:

De un denominador binomio:

Forma: se multiplica por el conjugado del denominador yse simplifica.

Ejem: se multiplica por: el numerador y el denominador, obtenindose:

Ejem: se multiplica por: el numerador y eldenominador, obtenindose:

Nmeros Imaginarios.- Es el expresado como " i ", significa la raz cuadrada de "-1", es

decir:

Entonces tambin:


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Ejem:

Ejem:

Ejem:

Operaciones con nmeros imaginarios

Sumay Resta.- Las operaciones algebraicas de suma resta, se obtienen aplicando:

Ejem: Resolver:

Ejem: Resolver:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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Ejem: Resolver:

2.9ProductosNotables

Definicin.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemosllegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Binomio al cuadrado Binomios conjugados Binomios con trmino comn Binomio al cubo

Binomio al cuadrado

Regla:

Ejem: Ejem:

Binomios conjugados

Regla:

Ejem: Ejem:
http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml


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Binomios con trmino comn

Regla:

Ejem:

Ejem:

Binomio al cubo

Regla:

Ejem:

Ejem:

2.10 Factorizacin

Definicin.- Es la forma ms simple de presentar unasumao resta de trminos como unproducto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:

Factor comn Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma Trinomio de la forma

Factor comn
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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Regla: Paso 1: Obtener el mximo comndivisor( MCD )

Paso 2: Menor exponente de las literales comunes

Paso 3: Dividir cada trmino entre el factor comn obtenido

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2+bx+c

Regla:

Ejem: Ejem:

Trinomio de la forma ax2+bx+c

Simplificacin de fracciones algebraicas.- Es la aplicacin de los conocimientos deproductos notables y factorizacin, tanto en el numerador como en el denominador, sesimplifica a su mnima expresin.

Sumay resta con denominadores diferentes
http://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisorhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Divisor


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Ejem: Ejem:

Divisin

Ejem: Ejem:

Ejem: Ejem:


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Multiplicacin

Ejem: Ejem:

Reactivos Unidad 2:


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UNIDAD 3.

Ecuaciones

3.1Ecuacionesde primer grado con una incgnita

Definicin.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, dondela incgnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que sedeben tener las siguientes consideraciones:
http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION


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3.2 Desigualdades de primer grado con una incgnita

Definicin.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros,donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solucin,se aplican bsicamente las mismas reglas que para una ecuacin, adems de las siguientesconsideraciones:

Regla: Cada vez que un trmino se multiplique divida entre un nmero negativo, cambiael sentido de la desigualdad

Signos de Desigualdad y Grfica


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3.3Sistemade Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incgnitas)

Definicin.- Es el llamado "Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incgnitas", en queel objetivo es encontrarlos valoresde stas 2variables. Existen variosmtodospara susolucin, entre los cuales estn los llamados "Reduccin" (Sumay Resta) y"Determinantes" (Regla de Kramer), que se explican a continuacin:

Mtodo de Reduccin (Suma y Resta)

Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una las 2 ecuaciones por un factor factores que hagan que lasumade una de las variables sea "cero" y despejar la variable
http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml


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restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de lasecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable.

Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)


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Problemas de Aplicacin

Dentro delprocesode resolucin de problemas, se pueden diferenciar seis etapas:

1. Leer el problema

2. Definir las incgnitas principales de forma precisa 3.Traduccinmatemtica del problema 4. Resolucin del problema matemtico 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuacin de esas soluciones

Ejem: En un zoolgico hayaves(de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoolgicocontiene 60 cabezas y 200 patas, cuntas aves y cuntos tigres viven en l?
http://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCEhttp://www.monografias.com/trabajos32/traductor/traductor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos32/traductor/traductor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos32/traductor/traductor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos5/hiscla/hiscla2.shtml#aveshttp://www.monografias.com/trabajos5/hiscla/hiscla2.shtml#aveshttp://www.monografias.com/trabajos5/hiscla/hiscla2.shtml#aveshttp://www.monografias.com/trabajos5/hiscla/hiscla2.shtml#aveshttp://www.monografias.com/trabajos32/traductor/traductor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/administ-procesos/administ-procesos.shtml#PROCE


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3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incgnitas)

Definicin.- Es el llamado "Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incgnitas", en queel objetivo es encontrar losvaloresde stas 3 variables. Los mtodos para su solucin, son:"Reduccin" (Sumay Resta) y "Determinantes" (Regla de Kramer):

Mtodo por Determinantes (Regla de Kramer)

Realizar los pasos siguientes:

1. Se escribe el determinante de tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican entre si los tres nmeros por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los nmeros que estn en las diagonales trazadas de izquierda a

derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signocambiado.
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


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3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incgnita

Clasificacin


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Mtodos de solucin

Completas: forma ax2 + bx + c = 0

Es cuando, la ecuacin est compuesta por un trinomio, donde existen los valores de "a, b yc" , y para encontrar sus dos races soluciones, se utilizan los mtodos siguientes:

Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0

Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de "a y b,pero no de c", y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza elmtododefactorizacin por trmino comn y se despeja, como sigue:
http://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtml


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Incompletas puras: forma ax2 + c = 0

Es cuando, la ecuacin est compuesta por un binomio, donde existen los valores de "a y c,pero no de b", y para encontrar sus dos races soluciones, se utiliza el mtodo de despeje,como sigue:

Reactivos Unidad 3:


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44/120


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48/120


49/120

Cul es el valor de "x" que satisface la ecuacin ?

a) b) c) d) e)

Cul es el valor de "x" que satisface la ecuacin ?

a) b) c) d) e)


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Al resolver la ecuacin , se obtiene:

a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)

El valor de "x" que cumple con la igualdad es:a) b) c) d) e)

El valor de "x" que cumple con la igualdad es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)

De la ecuacin el valor de "x" que satisface es:


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a) b) c) d) e)

De la ecuacin el valor de "x" que satisface es:

a) b) c) d) e)

Al resolver la siguiente ecuacin se obtiene:

a) b) c) d) e)

:Lasumade dos nmeros naturales enteros consecutivos es 183, hallar los nmeros:a) b) c) d) e)

El menor de dos nmeros impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en15. Hallar los nmeros

a) b) c) d) e)

El triple de la suma de un nmero con su mitad igual a las 2/3 partes del mismonmero aumentado en 46.

a) b) c)

d) e)

Cul es el nmero que sumado con su duplo da 261?a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89

Lasumade dos nmeros es 450 y su cociente 8. Hallar los nmeros.a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420 y 30

Si a un nmero aado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2,obtengo 122. Cul es el nmero?

a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si ste tiene 30 aos Cules la edad de Roberto?

a) 14 aos b) 18 aos c) 13 aos d) 10 aos e) 12 aos

Lasumade dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Cules son losnmeros?

a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54

Encontrar los tres nmeros consecutivos cuya suma sea 186.a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34 e) 62,62 y 62

Lasumade las edades de Sonia y Too es 84 aos y Too tiene 8 aos menos queSonia. Hallar ambas edades.

a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41

Un cateto de un tringulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otrocateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos

a) b) c) d) e)

Cules son las races de ?

a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de es:

a) b) c) d) e)
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)


a) b) c) d) e)

Cul de los siguientes valores cumple con:


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a) b) c) d) e)

Cul de los siguientes afirmaciones es verdadera, si

a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de es:a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de la desigualdad es:a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de la desigualdad es:

a) b) c) d) e)

El intervalo que satisface a es:

a) b) c) d) e)

La expresin que representa "a lo ms tengo 250" es:

a) b) c) d) e)

La expresin que representa "por lo menos tengo 500" es:a) b) c) d) e)

El conjunto solucin de es:a) b) c) d) e)


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Los valores de las incgnitas del sistema son: a) b) c)

d) e)

o Los valores de las incgnitas del sistema son:

a) b) c)

d) e)

o El valor de "x" del sistema de ecuaciones es:

a) b) c) d) e)

o El valor de "y" del sistema de ecuaciones es:

a) b) c) d) e)

o Si x = 2 y y = 3 . La solucin del sistema de ecuaciones simultneas es:

a) b) c)

d) e)

o Un perro y su collar han costado $54, yel perrocost 8 veces lo que elcollar. Cunto cost el perro y cunto el collar?

a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22 c) Perro $50 y collar $4

d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar $7

o La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 aos.Hallar ambas edades.

a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan 12, Pedro 12

d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21
http://en.wikipedia.org/wiki/El_perrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_perrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_perrohttp://en.wikipedia.org/wiki/El_perro


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o El valor de "x" , por medio de determinantes es:

a) b) c)

d) e)

o El valor de "y" , por medio de determinantes es:

a) b) c)

UNIDAD 4.

lgebra de funciones

Valor de una funcin

Se obtiene, al sustituir el valor de "x" en lafuncinf(x):

Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-4) y f(3)

http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml


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4.1Dominioy Rango

Dominio, es el conjunto de todos los valores de "x" admisibles para una funcin.

Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de "y" al sustituir cada una delos elementos del dominio en la funcin.

Ejem: El dominio de la funcin racional

entonces, sus races son:



Ejem: Para que valor de "x" la funcin seindetermina:

entonces, para: la funcin se indetermina

Funcin cuadrtica

Es de la forma y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba

cuando "a" es positiva y es hacia abajo cuando "a" es negativa.

El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto:

Los puntos donde la grfica interseca al eje "x", son la solucin de la ecuacin.Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vrtice, se puede obtener eldominio y el rango de la funcin.
http://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtml


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Ejem: Sea la funcin obtener su dominio y rango.

El vrtice es: entonces, y la curva es cncavahacia arriba

ahora, las races de: sus races son:

entonces:

Ejem: Graficar las siguientesfuncionesindicando dominio y rango.

4.2 Funciones y relaciones

Definicin

Se le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2conjuntos.

Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada"x", corresponda un solo elemento de "y".
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml


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Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar unavertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de interseccin. Es decir, si slotoca un punto, se refiere a una funcin; si toca ms de un punto se refiere a unarelacin.

Clasificacin de Funciones

4.3 Funcin Logartmica y exponencial:


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Es de la forma

, donde:

Forma logartmica: corresponde a:

Forma exponencial:

Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:



entonces:

Ejem: Al convertir en forma

exponencial, obtenemos:

Reactivos Unidad 4:


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UNIDAD 5.

Geometra euclidiana

5.1 ngulos

Clasificacin Bsica


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Se le llamangul o complementar io, son los ngulo cuyasumaes igual a 90o .

Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque


Se le llamangul o suplementar io, los ngulo cuyasumaes igual a 180o .

Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque


5.2 Conversin de grados a radianes yviceversa

Reactivos Unidad 5:

UNIDAD 6.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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Trigonometra

6.1 Teorema de Pitgoras

Definicin.- Aplicado para todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa (

c ) es igual a lasumade los cuadrados de sus catetos (a y b ).

6.2 Funciones Trigonomtricas

Definicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulorectngulo y son:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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o Unaoficinade forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m,Cunto mide el otro lado?

a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

o Segn la figura, la razncorresponde a la funcin:

o Segn la figura, la razn : corresponde a la funcin:
http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml


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Respuestas a Reactivos de Matemticas


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4. Si Pm (-1,3) es el punto medio del segmento AB y B tiene por coordenadas B(8,6)entonces las coordenadas de A son:


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a) (- 10, 0) b) (- 10, 3) c) (- 3, - 10) d) (0, 10)e) (10, 3)

5. Cul es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P1 (- b, - a) y P2(a,b)?

a) b) c) (0, 0) d)

7.3

Pendiente de una recta.

La pendiente es la inclinacin que tiene una recta, es el cociente de laalturay la base.Podemos calcularla a partir de dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2), la pendiente quedadeterminada como:

Ejemplo.

1. Cul es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, -1) y B (7, 2)

Nota: Te sugerimos realizar los siguientes ejercicios como medida de refuerzopara

aprenderte las frmulas. Te recomendamos verificar leyes de lossignos, ya que es el errorcomn en ste tipo de ejercicios.

Encuentre la distancia, la pendiente y el punto medio entre los puntos dados:

1) P (-5, 1) y Q (3, 7) 2) R (5, 7) y S (3, 1) 3) A (2, -4) y B (- 4, 4)
http://en.wikipedia.org/wiki/Alturahttp://en.wikipedia.org/wiki/Alturahttp://en.wikipedia.org/wiki/Alturahttp://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=0be068245125479a&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=0be068245125479a&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=0be068245125479a&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=0be068245125479a&fi=f16b4d69d02b6516http://ads.us.e-planning.net/ei/3/29e9/cfa010f10016a577?rnd=0.2593141865707812&pb=c2c547d8fb03ec1c&fi=f16b4d69d02b6516http://en.wikipedia.org/wiki/Altura


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4) C (-1, - 4) y D (3, 6) 5) G (0, 0) y H (- 6, -7) 6) T (- 2,5) y S (6, 4)

7.4 Ecuacin de la recta.

La recta esta determinada por una ecuacin deprimergrado; es decir, el exponente de lasvariables es 1. Su forma generales:

Ax + By + C = 0

Cuenta con 2 elementos principales, la pendiente ( m) y su ordenada alorigen(b).

Pendiente Ordenada al origen

Y con stos datos obtenemos la forma Simplificada:

De la ecuacin simplificada, consideramos y = 0, obtenemos un valor que llamaremos a(abscisa). Obteniendo la ecuacin Simtrica:

Ejercicio 3:

1. La pendiente de la recta 2x + 4y - 5 = 0 es:

a) - 1/2 b) c) - 4/5 d) 2 e)- 2

2. La pendiente de la recta 6x -2y +1 = 0 es:

a) - 1/2 b) c) - 4/5 d) - 3 e)3

3. La pendiente de la recta 6x - 3y + 1 = 0

a) - 1/2 b) c) - 2 d) 2 e)3

4. La pendiente y ordenada alorigende la recta 4(x - 1) + 2y = 0 son:
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a) m = - 2, b = - 2 b) m = - 2, b = 2 c) m = 2, b = 2 d) m = 3, b = 2e) m = 4, b = - 1

Ahora analizaremos algunos casos especiales para encontrar la ecuacin de una recta:

Caso I. Si nos dan dos puntosA(x1, y1) y B (x2, y2);primerocalculamos la pendiente yposteriormente utilizamos la ecuacin:

... Ecuacin Punto pendiente

Ejemplo.

Encuentre la ecuacin de la recta formada por los puntos A (3, - 1) y B (7, 2)

Primero calcularemos la pendiente.

Posteriormente utilizaremos la ecuacin punto pendiente, sustituyendo cualquiera de los

dos puntos dados y la pendiente encontrada. Tomaremos A (3, - 1) y pendiente

y - (-1) = 3/4 (x - 3)

4 (y + 1) = 3 (x - 3)

4y + 4 = 3x - 9

- 3x + 4y + 4 + 9 = 0

- 3x + 4y + 13 = 0

3x - 4y - 13 = 0 solucin.

Ejercicio 4:

1. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos P(5, 0) Y Q (0, - 3) es:

a) 3x - 5y + 15 = 0 b) 3x - 5y - 15 = 0 c) 3x - 5y + 1 =0

d) 5x - 3y -1 = 0 e) 5x + 3y - 1 = 0

2. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos C (-5, 0) y B (0, 6) es:
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a) 6x + 5y + 30 = 0 b) 6x - 5y - 30 = 0 c) 5x + 6y + 30= 0

d) 5x - 6y + 30 = 0 e) 6x - 5y + 30 = 0

3. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-2, - ) y (-1/5 , 3)?

a) -35x - 18y + 61 = 0 b) 35x - 18y + 61= 0 c) - 35x + 18y + 61 = 0 d) 35x + 18y +61 = 0

4. La ecuacin de la recta que pasa por los puntos P1(- 2, - 1) y P2 ( , 6) es:

a) 14y - 5x + 4 = 0 b) 14y - 5x - 4 = 0 c) 5y - 14x - 23 = 0 d) 5y + 14x + 23= 0

Caso 2. Si nos dan un punto y la pendiente, se sustituyen los datos en la ecuacin punto

pendiente.

Encuentre la ecuacin de la recta formada por el punto A ( 2, - 3) y la pendiente m = - 2.

y - (-3) = -2 (x - 2)

y + 3 = -2x + 4

2x + y + 3 - 4 = 0

2x + y -1 = 0 solucin.

Ejercicio 5:

1. Cul es la ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/5 y pasa por el punto (- 6, - 8 )?

a) 5y + 3x + 58 = 0 b) 5y - 3x + 22 = 0 c) 5y - 3x + 58 = 0 d)5y + 3x - 22 =0

2. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto P( 1/3, - 4) y cuya pendiente es - 2?

a) 3x + 6y - 25 = 0 b) 3x + 6y + 23 = 0 c) 6x + 3y - 14 = 0 d) 6x + 3y + 10 =

0

3. Cul es la ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/2 y que interseca al eje y en (0, -5)?

a) 3x + 2y - 10 = 0 b) 3x + 2y + 10 = 0 c) 6x + 2y - 5 = 0 d) 6x + 2y + 5 =0


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4. Ecuacin de la recta cuya pendiente es - 3/8 y que interseca al eje y en (0, - 1)?

a) 3x + 8y - 1 = 0 b) 3x + 8y + 8 = 0 c) 8x + 3y + 8= 0 d) 8x + 8y + 3 =0

7.5 Paralelismo y perpendicularidad.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas.

- Paralelassi m1 = m2(Si las pendientes son iguales)

- Perpendicularessi: m1m2 =- 1(Si son de signo contrario y recprocas)

Caso 3. Encontrar la ecuacin de una recta dado un puntoy la ecuacin de una rectaparalelaa ella.

Como las rectas son paralelas, entonces las pendientes soniguales, por lo que si tomamos elpunto dado y la pendiente de la recta dada, tendremos nuestro problema resuelto.

Ejemplo:

La ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, - 2) y es paralela a la recta 5x + 12y - 30 =0 es:

Como son paralelas, las pendientes son iguales, entonces m = - 5 / 12

Tomando el punto (5, - 2) y la pendiente m = - 5 / 12; la sustituimos en la ecuacin punto

pendiente y- y1 = m (x- x1)

y - (-2) = -5 / 12 (x - 5)

12 (y + 2) = -5 (x - 5)

12y + 24 = - 5x + 25

5x + 12y + 24 -25 = 0

5x + 12y -1 = 0 solucin.

Ejercicio 6:

1. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto (-1, 6) y es paralela a la recta x - 5y+ 6 = 0?

a) x - 5y + 31 = 0 b) x - y + 11 = 0 c) 5x + y + 11 = 0 d)5x - y + 11 = 0
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2. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es paralela a la recta y = -1/2x+15/2, es:

a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y + 5 = 0 c) x + 2y - 15 =0 d) x - 2y + 15 =0 e) 2x - 4= 0

3. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 8, 4) y es paralela a la recta y = 2x +5 es:

a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y +20 = 0 c) x + 2y - 15 =0 d) x +2y=0 e) x - y =0

4. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 5, - 5) y es paralela a la recta y = - x +5es:

a) x +y = 0 b) x - y = 0 c) x + y - 10 =0 d) x - y +10 = 0e) x + y + 10 = 0

Caso 4. Encontrar la ecuacin de una recta dado un punto y la ecuacin de una rectaperpendiculara ella.

Como las rectas son perpendiculares, entonces las pendientes son inversas y de signocontrario, por lo que si tomamos el punto dado y la pendiente perpendicular de la rectadada, tendremos nuestro problema resuelto.

Ejemplo:

La ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, - 2) y es perpendicular a la recta 5x + 12y

- 30 = 0 es:

Como son perpendiculares, las pendientes son recprocas y de signo contrario, entonces m1= -5 / 12 y su perpendicular m2 =12 / 5

Tomando el punto (5, -2) y la pendiente m = 12 / 5; la sustituimos en la ecuacin puntopendiente y- y1 = m (x - x1 )

y - (-2) = 12 / 5 (x - 5)

5 (y + 2) = 12 (x - 5)

5y + 10 = 12x - 60

12x - 5y - 60 - 10 = 0

12x - 5y - 70 = 0 solucin.

Ejercicio 7:


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1. Cul es la ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 1, 6) y es perpendicular a la rectax - 5y + 6 = 0?

a) x + 5y + 11 = 0 b) x + y + 11 = 0 c) 5x + y - 1 = 0 d) 5x - y + 11= 0

2. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 7) y es perpendicular a la recta y= - 1/2x+ 15/2, es:

a) 2x + y - 5=0 b) 2x - y + 5=0 c) x + 2y - 15 =0 d) x - 2y +15=0 e) 2x - 4 = 0

3. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 8, 4) y es perpendicular a la recta y = 2x+ 5 es:

a) 2x + y - 5 = 0 b) 2x - y + 5 = 0 c) x + 2y - 15 = 0 d) x + 2y =

0 e) x - y = 0

4. La ecuacin de la recta que pasa por el punto (- 5, - 5) y es perpendicular a la recta y = -x + 5 es:

a) x +y = 0 b) x - y = 0 c) x +y -10 = 0 d) x -y +10 = 0e) 5x+ 5y = 0

UNIDAD 8.

Circunferencia

8.1 Forma cannica.

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 Ecuacin Ordinaria o cannica

A partir de la ecuacin ordinaria, podemos determinar su centro C(h, k) y el radio r, pero si desarrollamos los binomios al cuadrado eigualamos a cero obtenemos la forma general.

Ejemplo.

Encontrarel centroy el radio de la circunferencia determinada porla ecuacin (x - 3)2 + (y + 7)2 = 36

El centro es (3, - 7) y su radio 6. (nota: los valores de la ecuacincambian de signo al incorporarlos al centro) Para encontrar laecuacin general desarrollamos el binomio al cuadrado.
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Ejemplo.

Dada la ecuacin ordinaria, determine la ecuacin general de la circunferencia (x - 3)2 + (y+ 1)2 = 25

Desarrollando los cuadrados

x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0

x2 + y2 - 6x + 2y - 15 = 0 solucin.

8.2 Forma general.

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuacin general

Elementos:

Centro Radio

Caso I. Dada la ecuacin general, encontrar los elementos, el centro yel radio.

Ejemplo.

El centroy el radio de la circunferencia x2 + y2 - 2x - 14y + 5 = 0 son:

Centro C y su radio
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Ejercicio 8:

1. Coordenadas del centro de la circunferencia: x2 + y2 + 4x - 6y + 12 = 0

a) (- 2, - 3 ) b) ( 2, - 3 ) c) (- 2, 3 ) d) ( 2,

3 )

2. El centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 8x+ 14y + 31 = 0 son:

a) C(7, - 4) r = 5 b) C(- 7,4) r = 3 c) C(4, - 2) r = 3 d) C(- 4, 2) r =

e) C(4, -7), r =

3. El centro yel radiode la circunferencia x2 + y2 +2x +2y - 11 = 0 son:

a) C(1, 1) r = 13 b) C(1, -1) r = 11 c) C (1, 1) r = d) C(-1, -1) r =

e) C(-1, 1) r =

4. Dada la ecuacin de la circunferencia x2 + y2 +4x + 6y + 9 = 0, su centro y radio son:

a) C(- 2, - 3), r = 2 b) C(- 2, 3), r = 4 c) C(2, -3), r = 2 d) C(4, 6) r =3 e) C(4, 6), r = 9

Caso II. Dados los elementos, centro y radio, encontrar la ecuacin ordinaria o general.

Solo sustituimos el centro y el radio en la ecuacin ordinaria y en el caso de que soliciten la

general, desarrollamos los cuadrados igualamos a cero y simplificamos.

Ejemplo.

Cul es la ecuacin ordinaria de la ecuacin cuyo centro esta en (-3, 4) y radio 8?

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 64 Nota: los valores del centro al ingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,

x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 - 64 = 0

x2 + y2 - 6x - 8y - 39 = 0 solucin.

Ejercicio 9:

1. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 4, 6) y radio 6?

a) (x - 4)2 + (y + 6)2 = 36 b) (x - 4)2 + (y + 6)2 = 6
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c) (x + 4)2 + (y - 6)2 = 36 d) (x + 4)2 + (y - 6)2 = 6

2. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 1, 1/5) y radio 9?

a) (x - 1)2 + (y + 1/5)2 = 3 b) (x + 1)2 + (y - 1/5)2 = 3

c) (x - 1)2 + (y + 1/5 )2 = 81 d) (x + 1)2 + (y - 1/5)2 = 81

3. Cul es la ecuacin de la circunferencia con centro en (- 3, - 4) y radio 3?

a) x2 - 8x + y2 + 6y = - 16 b) x2 + 8x + y 2 - 6y = -16

c) x 2+ 6x + y2 + 8y = -16 d) x 2 - 6x + y2 + 8y = -16

4. x2 + y2 - 8x +6y + 9 =0 es la ecuacin de una circunferencia en la forma general, suecuacin en forma cannica es:

a) (x - 4)2 + (y - 3)2 =9 b) (x + 4)2 + (y - 3)2 = 9 c) (x -4)2 + (y + 3)2 = 9

d) (x +4)2 + (y - 3)2 =16 e) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 16

Caso III. Dadoel centroy un punto de la circunferencia.

Primero debemos calcular el radio, ste se calcula utilizando la distancia entre dos puntos,posteriormente sustituimos el centro y el radio en la ecuacin ordinaria, si solicitan laecuacin general, desarrollamos los binomios.

Encuentre la ecuacin ordinaria de la circunferencia, si tiene como centro el punto (3, - 1) ypasa por el punto (7, 2)

Primero calculamos la distancia entre los puntos

Posteriormente tomamos el centro de la circunferencia (3, - 1) yel radio5 y lo sustituimosen la ecuacin ordinaria.

(x - 3)2 + (y + 1)2 = 25

Desarrollando los cuadrados

x2 - 6x + 9 + y2 + 2y + 1 - 25 = 0

x2 + y2 - 6x + 2y -15 = 0 solucin.
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Ejercicio 10:

1. La ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto P(6, 0), con centro en C(2, - 3) es:

a) x2 + y2 + 4x - 6y + 2 = 0 b) x2 + y2 - 4x + 6y - 12 = 0 c) x2 +

y2 - 6x + 4y - 12 = 0

d) x2 + y2 - 6x + 4y = 0 e) x2 + y2 - 6x -12 = 0

Caso IV. Dado dos puntos que conforman el dimetro.

Al calcular el punto medio de los dos puntos del dimetro, obtenemosel centro; luegocalculamos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos para obtenerel radio.

Ejemplo:

Encuentre la ecuacin de la circunferencia cuyo dimetro esta determinada por elsegmento que une los puntos A (- 4, -10) y B (6, 14)

Primero calcularemos el punto medio para encontrar el centro

Ahora calcularemos la distancia del centro a cualquiera de los dos puntos dados.

Conel centroC (1,2) y el radio 13, los sustituimos en la ecuacin ordinaria.

(x - 1)2 + (y - 2)2 = 169 Nota: los valores del centro al ingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,

x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 - 169 = 0

x2 + y2 - 2x - 4y -159 = 0 solucin.

2. La ecuacin de la circunferencia cuyo dimetro es el segmento que une los puntos A(3, -2) y B(5, 4) es:

a) x2 + y2 - 2x - 8y = 0 b) x2 + y2 -2x - 8y + 1= 0 c) x2 +y2 - 8x - 2y + 9 = 0

d) x2 + y2 - 8x - 2y + 7 = 0 e) x2 + y2 + 8x - 2y = 0
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Parbola

9.1 Horizontal y vertical con vrtice en elorigen.

Vertical Horizontal

x2 + Ey = 0 Ecuacin General de la Parbola y2 + Dx = 0

x2 = 4py Ecuacin Ordinaria y2 = 4px

Vrtice: V(0, 0) Vrtice: V(0, 0)

Foco: F(0, p) Foco: F(p, 0)

Directriz: y = - p Directriz: x = - p

Lado recto: LR = 4p Lado recto: LR = 4p

Ejemplo:

Encuentre las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin es x2 -12y = 0

Primero despejamos x2 de la ecuacin, obtenindose: x2 = 12 y

Comparando con la ecuacin de la parbola de la forma: x2 = 4pyconcluimos que es vertical cncava a la derecha
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Y si la coordenada del foco se define como: F ( 0, p ) e igualando 4p = 12 , al despejarse obtiene p = 3

Concluimos que la coordenada del foco es F( 0, 3 )

Ejercicio 11:

1. Las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin esx2 = - 16y son:

a) ( 0 , 4 ) b) ( 4 , 0 ) c) (- 4 ,0 ) d) ( 0, - 4 )

2. Cul es el foco para la parbola 12x = - 3y2?

a) F( 0, 1) b) F(1 , 0) c) F(0, -1) d) F(-1, 0)

3. Cules son las coordenadas del foco de la parbola -y2 = - 7/2 x?

a) F (- 7/8 , 0) b) F(0, - 7/8) c) F ( 7/8 , 0 ) d) F(0, 7/8)

4. Cul es la ecuacin de la directriz de la parbola y2 = - 8 / 3 x?

a) x = - 2/3 b) x = 2/3 c) x = - 32/3 d) x =32/3

5. La ecuacin de la parbola con vrtice en elorigeny foco F (7, 0) es:

a) - y2 = 7x b) y2 = 14x c) y2 = -21x d) y2 =28x e) y2 = - 28x

6. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en el origen, foco en ( , 0) y directriz x= - ?

a) x2 = - 3y b) y2 = - 3x c) x2 = 3y d) y2= 3x

7. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en el origen y cuyo foco es el punto F(0,1/8 )?

a) x2 = -1/8 y b) y2 = -1/2 x c) x2 = 1/2 y d)y2 = 1/8 x

8. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en (0, 0), foco en x, y pasa por (4, 6)?


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a) x2 = 9y b) y2 = 9x c) x2 = - 9y d) y2= - 9x

9.2 Horizontal y vertical con vrtice fuera delorigen.

Vertical Horizontal

Ax2 +Dx + Ey + F = 0 Ecuacin General Cy2 +Dx +Ey + F = 0

(x-h)2 = 4p (y-k) Ecuacin Ordinaria (y-k)2 = 4p (x-h)

Vrtice: V(h, k) Directriz: y = k - p Vrtice: V(h, k)Directriz: x = h - p

Foco: F(h, k+ p) Lado recto: LR = 4p Foco: F(h + p, k)Lado recto: LR = 4p

Para transformar la ecuacin general a ecuacin ordinaria, sedebecompletar a un trinomiocuadrado perfecto y factorizar. En el caso inverso, slo se desarrolla el cuadrado, elproducto, se factoriza y se iguala a cero.

Ejemplos:

1. Encontrar el vrtice de la ecuacin de la parbola x2 - 6x - 12y - 51 = 0
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El primer paso consiste en dejar nicamente a la incgnita que este elevada al cuadrado

x2 - 6x = 12y + 51

Posteriormente completar cuadrados: x2 - 6x + 9 = 12y + 51 +9

Factorizar: (x - 3)2 = 12y + 60

Factorizar: (x - 3)2 = 12(y + 5)

Obtener el vrtice V (3, - 5)

Ejercicio 12:

1. La parbola cuya ecuacin esy2 + 4y - 4 x + 16 = 0, tiene por vrtice el punto:

a) (3, 2) b) (2, 3) c) (3, - 2) d) (-2, 3)

2. Cules son las coordenadas del foco de la parbola cuya ecuacin es y2 - 6y + 8x = 7?

a) (0, 3) b) (5, 2) c) (3, 0) d) (3,4)

3. Cul es el foco de la parbola cuya ecuacin es: 5y2 + 30y + x + 50 = 0?

a) F (- 29/5, - 3) b) F (- 101/20, -3 ) c) F (- 9/5, - 5) d) F

(- 61/20, - 5)

4. Encuentre la longitud del lado recto de la parbola: x2 - 4y + 8 = 0

a) 8 b) 16 c) 2 d) 4

5. Cul es la longitud del lado recto de la parbola cuya ecuacin es y2 + 6y + 6x + 39 = 0

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6

6. Cul es la ecuacin de la directriz de la parbola: x2 - 3x + 3y - 15/4 = 0?

a) y = - 5 b) y = - 11/4 c) y = 5/4 d) y =1

7. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F( - 6, 4) y la directriz la recta x = 2 es:

a) y2 + 16x - 8y + 48 =0 b) x2 + 2x - 8y - 7 = 0 c) y2 - 8x -2y + 7 = 0


86/120

d) y2 + 8x - 2y - 41 =0 e) x2 + 6x - 16y - 41 = 0

8. La ecuacin de la parbola con foco F (0, 3) y directriz y + 3 = 0, es:

a) y2 + 12x - 2y - 3 = 0 b) x2 - 12x - 4y = 0 c) x2 + 12x -

6y +1 = 0

d) x2 - 12y = 0 e) y2 - 12x = 0

9. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F(5, - 2) y la directriz la recta x = - 3 es:

a) x2 + 4x - 8y + 7 =0 b) x2 - 4x - 8y - 7 = 0 c) y2 + 16x -4y - 20 = 0

d) y2 -16x + 4y + 20 =0 e) x2 + 6x - 16y - 41 = 0

10. La ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto F(- 2, - 2) y la directriz la recta y = 2es:

a) y2 + 8x + 4y + 4 =0 b) y2 - 8x - 4y - 4 = 0 c) x2 - 4x -8y - 4 = 0

d) x2 + 4x + 8y + 4 =0 e) y2 + 8x = 0

11. Cul es la ecuacin de la parbola cuyo foco est en (1, 8) y la ecuacin de su directrizes y = - 4?

a) (x - 1)2 = 24 (y - 2) b) (y - 1)2 = 24 (x - 2) c) (x - 2)2 = -24 (y - 1) d)(y - 2)2 = - 24 (x - 1)

12. Cul es la ecuacin de la parbola con V(4, 2); L.R = 6. Eje horizontal.

a) (y + 2)2 = +6(x + 4) b) (y - 2)2 = +6(x - 4) c) (x - 2)2 = +6(y - 4)d) (x + 2)2 = +6(y + 4)

13. Cul es la ecuacin de la parbola con vrtice en (3, - 1) y ecuacin de la directriz x =- ?

a) y2 - 6y + 2x + 11 = 0 b) 2x2 - 12x + y + 19 = 0 c) y2 + 2y - 14x + 43 = 0d) 2x2 + 12x - 7y + 25 = 0

14. La ecuacin de la parbola con vrtice en (3, 2) y directriz x - 5 = 0 es:

a) y2 + 8x - 4y - 20 = 0 b) y2 + 4y +20 = 0 c)y2 + x - 2y- 10 = 0


87/120

d) y2 - 4x + 8y - 10 = 0 e y2 - 8x + 4y + 20 = 0

UNIDAD 10.

Elipse

10.1 Horizontal y vertical con centro en elorigen.

C: Centro

V y V" : Vrtices

F y F" : Focos


88/120


89/120


90/120


91/120


92/120

a) b) c)

d)

13. Cul es la longitud del eje mayor de la elipse cuya ecuacin es 25x2 + 36y2 = 900?

a) 5 b) 6 c) 10 d) 12

10.2 Horizontal y vertical con centro fuera delorigen.

C: Centro

V y V" : Vrtices

F y F" : Focos

Ecuacin ordinaria (a > b)

(Horizontal) (Vertical)


93/120


94/120

Como: , sustituyendo: entonces: , a = 3 yb = 2

Tambin, lado recto es: , y la excentricidad es:

Concluyendo, entonces tenemos: Vrtices:

Focos:

Eje menor:

eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6, eje menor BB" = 2b = y eje focal FF" = 2c =

Ejercicio 14:

1. Cul es el nuevoorigende la ecuacin: x2 + 9y2 + 4x - 18y - 23 = 0 ?

a) (2, - 1) b) (- 2, 1) c) (1, - 2) d) (- 1,2)

2. Las coordenadas del centro de la elipse cuya ecuacin es 4x2 + y2 - 24x - 4y + 24 = 0

son:

a) C (- 2, - 3) b) C (- 2, 3) c) C (2, - 3) d) C (2. 3)e) C (3, 2)

3. Cuales son los vrtices de la elipse cuya ecuacin es ?

a) b) c)

d)

4. Cules son los vrtices de la elipse cuya ecuacin es: ?


95/120


96/120

a) b) c) d)

13. El lado recto de la elipse 4x2 + y2 - 24x -4y + 24 = 0 es:

a) b) 2 c) 3 d) 4 e)8

14. Cul es la ecuacin de la elipse con V1 (- 8, 5 ); V2 ( 12, 5 ), LR = 5?

a) b) c)

d)

15. La ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos F(2, 1), F(- 2, 1) y excentricidad e = es:

a) b) c)

d) e)

16. La ecuacin de la elipse cuyos focos son los puntos F(3, 0), F(3, - 4) y excentricidad e= 1/2 es:

a) b) c)

d) e)


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98/120


99/120


100/120

Eje transverso 2a

Eje conjugado 2b

Distancia focal 2c

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 - Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuacin General

Ejercicio 15:

1.De acuerdo con sus datos de la grfica, Cul es su ecuacin?

a)

b)

c)

d)


101/120

2. Cules son las coordenadas de los vrtices de la hiprbola cuya ecuacin es

?

a) (2, 5), (10, 5) b) (5, 2), (5, 10) c) (-2, 5), (-10,5) d) (5, - 2), (5, - 10)

3. Cules son las coordenadas de los vrtices de la hiprbola cuya ecuacin es

?

a) (- 4, 0), (- 4, 4) b) (2, - 7), (2, - 1) c) (2, - 6), (2, - 2)d) (- 4, - 1), (4, 5)

4. Cules son las coordenadas de los focos de la hiprbola cuya ecuacin es

?

a) (- 5, - 2), (- 5, 2) b) (- 7, 0), (- 3, 0) c) (- 5, - 2), (- 5, 2) d) (- 5-2 , 0), (- 5 + 2, 0)

5. Cules son las coordenadas de los focos de la hiprbola cuya ecuacin es

?

a) (7, - 5), (- 23, - 5) b) (- 7, - 5), (23, - 5) c) (- 5, - 7), (- 5, 23) d) (- 5,7),( - 5, - 23)


102/120

6. Cul es la distancia entre los focos de la hiprbola cuya ecuacin es ?

a) 17 b) c) 145 d)

7. Cul es la distancia entre los focos de la hiprbola cuya ecuacin es 16x2 - 9y2 = 144?

a) 2 b) 7 c) 27 d) 10

8. El lado recto de la hiprbola es igual a:

a) 4 u. l. b) 10 u. l. c) 16 u. l. d) 20 u. l. e)

36 u. l.


a) 4 u. l. b) 16 u. l. c) 12 u. l. d) 6 u. l. e)20 u. l.


a) 2 u. l. b) 3 u. l. c) 1 u. l. d) 4 u. l. e)9 u. l.

11. La ecuacin representa una hiprbola cuyo lado recto es igual a:

a) 1 b) c) 2 d)

e)

12. La excentricidad de la hiprbola 9x2 - 7y2 + 256 = 0 es:

a) -3/4 b) c) 7/9 d) 9/7 e)4/3

13. Cules son las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola cuya ecuacin es 4x2 - y2 =16?


103/120

a) y = + x b) y = + x c) y = + 2x d) y = +4x

14. Cules son las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola cuya ecuacin es 36x2 -16y2 = 64?

a) y = + 3/2 x b) y = + 8/3 x c) y = + 2/3 x d) y = +3/8 x

15. La ecuacin de la hiprbola con centro en elorigen, vrtice en el punto V(6, 0) y uno desus focos es el punto F(12, 0) es:

a) 3x2 - y2 + 108 = 0 b) x2 + 3y2 + 108 = 0 c) 3x2 - y2 -108 = 0

d) 3x2 - 12y2 - 108 = 0 e) 3x2 + 12y2 - 108 = 0

16. La ecuacin de la hiprbola cuyos focos son F( 6, 0) y F(-6, 0) y excentricidad igual a3/2 es:

a) 5x2 + 4y2 - 80 = 0 b) 5x2 - 4y2 - 80 = 0 c) x2 - y2 -16 = 0

d) 4x2 - 4y2 - 80 = 0 e) 3x2 - 2y2 - 20 = 0

UNIDAD 12.

Ecuacin general de segundo grado12.1 Identificacin de cnicas

A partir de la ecuacin general, calcularemos el discriminante (B2 - 4AC), de sta manerapodemos determinar la seccin cnica.

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

B2 - 4AC < 0, La curva es una elipse.

B2 - 4AC = 0, La curva es una parbola.

B2 - 4AC > 0, la curva es una hiprbola.

En el caso particular de que B = 0,

Obtenemos: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0


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Si A = C representa una circunferencia

Si A C y tienen el mismo signo, es una elipse

Si A y C tienen signos diferentes es una hiprbola

Si A = 0 y C 0, o A 0 y C = 0 es una parbola

Si A = 0 y C = 0 es una recta.

Anlisis de una curva a partir de su ecuacin.

Ejercicio 16:

1. La representacin grfica de la ecuacin: 9x2 + 16y2 + 36x - 524 = 0 es:

a) Un Punto b) Una elipse c) Una hiprbola d)Una parbola

2. La ecuacin 24x2 - 16y2 + 24x - 32y - 10 = 0 corresponde a la grfica de un a

a) Un punto b) Hiprbola c) Rectas que se cortan d)Rectas paralelas

3. La ecuacin 9x2 - 4y2 -12x + 8y + 104 = 0 corresponde a la grfica de una

a) Elipse b) Parbola c) Hiprbola d)

Circunferencia

4. La ecuacin general Ax2 + B xy + Cy2 + Dx + E y + F =0, representa una elipse,cuando:

a) B2 - 4AC =0 b) B2 - 4AC > 1 c) B2 - 4AC > 0 d) B2 - 4AC 1e) B2 - 4AC < 0

5. La curva cuya ecuacin es 4x2 - 24 xy + 11 y2 + 56x - 58y + 95 = 0 presenta una:

a) Circunferencia b) Recta c) Parbola d)

Hiprbola e) Elipse

6. La curva cuya ecuacin es x2 + y2 + 2x - 4y - 8 = 0, representa una:

a) Circunferencia b) Recta c) Parbola d)Hiprbola e) Elipse

7. La ecuacin 6x2 + 4xy + y2 + 4x - 2y + 2 = 0 corresponde a:


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106/120

2 c 2 e 2 a 2 b

3 b 3 b 3 a 3 c

4 c 4 c 4 c 4 e

5 c 5 d 5 b 5 d

6 e 6 b 6 d 6 a

7 e 7 d 7 d 7 d

8 a 8 b 8 b 8 d

9 c 9 a 9 d 9 c

10 a 10 b 10 e

11 d 11 c 11 c

12 a 12 d 12 e

13 d 13 b 13 c

14 b 14 a15 b 15 c

16 d 16 b

17 b

UNIDAD 4.

lgebra de funciones

Valor de una funcin

Se obtiene, al sustituir el valor de "x" en lafuncinf(x):



4.1Dominioy Rango
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/doin/doin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml


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Dominio, es el conjunto de todos los valores de "x" admisibles para una funcin.

Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de "y" al sustituir cada una de loselementos del dominio en la funcin.





Ejem: Para que valor de "x" la funcin se indetermina:

entonces, para: la funcin se indetermina

Funcin cuadrtica

Es de la forma y representa una parbola, donde su concavidad es hacia arriba cuando"a" es positiva y es hacia abajo cuando "a" es negativa.

El vrtice de la parbola, se obtiene en el punto:

Los puntos donde la grfica interseca al eje "x", son la solucin de la ecuacin.Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vrtice, se puede obtener el dominioy el rango de la funcin.

Ejem: Sea la funcin obtener su dominio y rango.

El vrtice es: entonces, y la curva es cncava haciaarriba


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ahora, las races de: sus races son:

entonces:

Ejem: Graficar las siguientesfuncionesindicando dominio y rango.

4.2 Funciones y relaciones

Definicin

Se le llama relacin, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2conjuntos.

Se le llama funcin, a la relacin entre dos conjuntos, de tal manera que para cada "x",corresponda un solo elemento de "y".
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml


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Regla: Para determinar si una grfica es una funcin relacin, basta con trazar unavertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de interseccin. Es decir, si slo tocaun punto, se refiere a una funcin; si toca ms de un punto se refiere a una relacin.

Clasificacin de Funciones

4.3 Funcin Logartmica y exponencial:

Es de la forma ,

donde:

Forma logartmica: corresponde a: Forma

exponencial:




entonces:

Ejem: Al convertir en forma exponencial,

obtenemos:

Reactivos Unidad 4:


110/120


111/120


112/120

Se le llamangu lo complementar io, son los ngulo cuyasumaes igual a 90o .



Se le llamangu lo suplementar io, los ngulo cuyasumaes igual a 180o .



5.2 Conversin de grados a radianes yviceversa

Reactivos Unidad 5:

UNIDAD 6.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Viceversahttp://en.wikipedia.org/wiki/Sumahttp://en.wikipedia.org/wiki/Suma


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Trigonometra

6.1 Teorema de Pitgoras

Definicin.- Aplicadopara todotringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa ( c ) es

igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (a y b ).

6.2 Funciones Trigonomtricas

Definicin.- Son las razones existentes establecidas entre los lados de un tringulorectngulo y son:
http://en.wikipedia.org/wiki/Para_todohttp://en.wikipedia.org/wiki/Para_todohttp://en.wikipedia.org/wiki/Para_todohttp://en.wikipedia.org/wiki/Para_todo


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Unaoficinade forma rectangular, un lado mide 4m y su diagonal mide 5 m,Cunto mide el otro lado?

a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

Segn la figura, la razncorresponde a la funcin:

Segn la figura, la razn : corresponde a la funcin:
http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml


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Respuestas a Reactivos de Matemticas


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guia mate unam temp

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