mate ii soluciones
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carpeta dematemática
IIII
carpeta dematemática
Libro para el docenteLibro para el docente
Tapa carpeta de matematica II docente.indd 1 10/17/13 12:36 PM
Berman, Andrea Carpeta de matemática II : recursos para el docente / Andrea Berman y Pablo Juan Kaczor. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2013. 24 p. ; 28x22 cm.
ISBN 978-950-46-3369-3
1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Kaczor, Pablo Juan II. Título CDD 510.712
Jefa de arte: Claudia Fano.Diagramación: Diego Ariel Estévezy Exemplarr.Corrección: Paula Smulevich.
© 2013, EDICIONES SANTILLANA S.A.Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN: 978-950-46-3369-3 Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.
Impreso en Argentina. Printed in Argentina.Primera edición: diciembre de 2013
Este libro se terminó de imprimir en el mes de diciembre de 2013, en Grafi sur, Cortejarena 2943, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, República Argentina.
Libro para el docente
CARPETA DE MATEMÁTICA II Libro para el docente es una obra colectiva, creada,
diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana,
bajo la dirección de Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo:
Andrea BermanPablo J. Kaczor
Edición: Laura Spivak.Jefa de edición: María Laura Latorre.
Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich.
ÍndiceRecursos para la plani� cación, pág. 2
Soluciones, pág. 7
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10 y
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y e
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en
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ción
cie
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esol
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n de
cál
culo
s en
not
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n ci
entífi
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ació
n y
uso
de la
not
ació
n ci
entífi
ca e
n co
ntex
tos.
Uso
de
la c
alcu
lado
ra.
Núm
eros
ra
cion
ale
s I
3 4N
úmer
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raci
ona
les
II
MATII_REC.indd 3 11/18/13 4:55 PM
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
4
Recu
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par
a la
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Cap
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loE
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oduc
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ccio
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con
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los
cons
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ieda
des
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s,
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opu
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s po
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vér
tice.
Cál
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de
com
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ento
s y
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ngul
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áng
ulos
ady
acen
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nto
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ón.
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acci
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ione
s qu
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volu
cran
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ulos
com
plem
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su
plem
enta
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os p
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s de
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riáng
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s pr
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s de
los
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s y
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ulos
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ngul
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s.
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y
los
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los.
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s qu
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volu
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nes
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y
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des.
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ngul
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edad
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ngul
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n tr
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ices
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para
res
olve
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o co
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ente
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tro
dado
.
Con
stru
ccio
nes
de m
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tric
es,
bise
ctric
es y
de
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ngul
o co
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a o
tro
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.
Traz
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men
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egla
y c
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s, e
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terp
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com
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con
junt
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que
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e su
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os. T
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s m
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tric
es d
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s la
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n tr
iáng
ulo
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obac
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de q
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en
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que
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cent
ro d
e la
ci
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ncia
que
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s vé
rtic
es. T
raza
do d
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rices
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reg
la
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s. R
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que
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grue
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stru
ir tr
iáng
ulos
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iert
as c
ondi
cion
es.
Con
stru
cció
n de
triá
ngul
os c
on
regl
a y
com
pás.
Con
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cció
n de
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os d
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alg
unos
dat
os, y
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lisis
de
la u
nici
dad.
A
nális
is d
e la
fact
ibili
dad
de la
con
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cció
n de
un
triá
ngul
o co
n al
guno
s re
quis
itos
dado
s.
Apl
icar
crit
erio
s de
con
grue
ncia
de
triá
ngul
os c
omo
herr
amie
nta
de d
emos
trac
ión.
Crit
erio
s de
con
grue
ncia
de
triá
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os.
Rec
onoc
imie
nto
de e
lem
ento
s ho
mól
ogos
en
triá
ngul
os c
ongr
uent
es.
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ión
de lo
s cr
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s de
con
grue
ncia
de
triá
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os e
n si
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ione
s di
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as. R
edac
ción
de
just
ifica
cion
es. E
valu
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n de
la p
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ilida
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aliz
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onst
rucc
ione
s de
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ngul
os c
ongr
uent
es a
par
tir d
e ci
erto
s da
tos
apor
tado
s.
Trad
ucir
del l
engu
aje
colo
quia
l al s
imbó
lico
y vi
ceve
rsa.
Leng
uaje
sim
bólic
o.
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resi
ones
alg
ebra
icas
. Val
or
num
éric
o de
una
exp
resi
ón
alge
brai
ca.
Trad
ucci
ón d
el le
ngua
je c
oloq
uial
al s
imbó
lico
y vi
ceve
rsa.
U
so d
el le
ngua
je s
imbó
lico
para
exp
resa
r pe
rímet
ros
y ár
eas,
y p
ara
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raliz
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ropi
edad
es d
e lo
s nú
mer
os. O
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ción
del
val
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umér
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xpre
sion
es a
lgeb
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as.
Inte
rpre
tar
el le
ngua
je m
atem
átic
o y
adqu
irir,
en fo
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prog
resi
va, n
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es d
e ex
pres
ión
cada
vez
más
cla
ros
y fo
rmal
es.
Ope
raci
ones
con
mon
omio
s.R
esol
ució
n de
sum
as, r
esta
s, m
ultip
licac
ione
s y
divi
sion
es c
on
mon
omio
s. D
escu
brim
ient
o y
corr
ecci
ón d
e er
rore
s.
Ope
rar
con
expr
esio
nes
alge
brai
cas.
C
ompr
ende
r la
ven
taja
del
uso
del
Álg
ebra
par
a la
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solu
ción
de
prob
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as.
Ope
raci
ones
con
exp
resi
ones
al
gebr
aica
s: p
ropi
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di
strib
utiv
a, fa
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es c
omun
es y
cu
adra
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e un
bin
omio
.
Apl
icac
ión
de la
pro
pied
ad d
istr
ibut
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con
expr
esio
nes
alge
brai
cas
en s
ituac
ione
s de
scon
text
ualiz
adas
y c
onte
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as. B
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fact
ores
com
unes
de
expr
esio
nes
alge
brai
cas
para
tra
nsfo
rmar
las
en
prod
ucto
s. D
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de
cuad
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s de
bin
omio
s. In
terp
reta
ción
de
área
s de
cua
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dos
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rado
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dos
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los.
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olve
r si
tuac
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s m
edia
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el p
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uaci
ones
lin
eale
s.E
cuac
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s lin
eale
s co
n un
a in
cógn
ita.
Res
oluc
ión
de e
cuac
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s lin
eale
s de
scon
text
ualiz
adas
y e
n co
ntex
tos
sign
ifica
tivos
. Des
cubr
imie
nto
del t
érm
ino
falta
nte
de u
na e
cuac
ión,
da
da s
u so
luci
ón. C
ompr
obac
ión
de s
oluc
ione
s de
ecu
acio
nes.
6Le
ngua
je
alg
ebra
ico
MATII_REC.indd 4 11/18/13 4:55 PM
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lana
S.A
. Pro
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da s
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Ley
11.
723
© S
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S.A
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Ley
11.
723
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ítu
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ias
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5
7G
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iláte
ros.
c
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cos
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rese
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reta
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ntos
en
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orde
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iana
s y
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rtir
de t
abla
s y
gráfi
cos.
Sis
tem
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coo
rden
adas
ca
rtes
iana
s. P
unto
s de
l pla
no
com
o pa
res
orde
nado
s.
Ubi
caci
ón y
esc
ritur
a de
pun
tos
del p
lano
con
coo
rden
adas
car
tesi
anas
. Id
entifi
caci
ón d
el s
igno
de
la a
bsci
sa y
la o
rden
ada
segú
n el
cua
dran
te.
Inte
rpre
taci
ón d
e pu
ntos
con
com
pone
ntes
nul
as.
Inte
rpre
tar
gráfi
cos
cart
esia
nos.
Inte
rpre
taci
ón d
e gr
áfico
s ca
rtes
iano
s. V
aria
bles
in
depe
ndie
nte
y de
pend
ient
e.
Inte
rpre
taci
ón d
e la
info
rmac
ión
brin
dada
por
un
gráfi
co c
arte
sian
o.
Prod
ucir
e in
terp
reta
r fór
mul
as, t
abla
s de
val
ores
y g
ráfic
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de s
ituac
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s co
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tual
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dan
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les
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pro
porc
iona
lidad
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a e
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Noc
ión
de f
unci
ón. D
omin
io e
im
agen
de
una
func
ión.
Lec
tura
de
grá
ficos
.
Rec
onoc
imie
nto
de g
ráfic
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e fu
ncio
nes,
de
las
varia
bles
invo
lucr
adas
, de
los
dom
inio
s y
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s im
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ón d
e fó
rmul
as d
e fu
ncio
nes
en c
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xtos
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erm
inad
os, y
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enci
ón d
e im
ágen
es.
Func
ión
linea
l. Pe
ndie
nte
y or
dena
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en. C
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crec
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nto.
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nte.
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fecc
ión
de g
ráfic
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linea
les.
Det
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inac
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de la
co
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pond
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a de
una
fórm
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con
una
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ión
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l. D
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rpre
taci
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e fó
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as.
Func
ión
de p
ropo
rcio
nalid
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dire
cta.
Con
stan
te d
e pr
opor
cion
alid
ad d
irect
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ráfic
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la f
unci
ón.
Arm
ado
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abla
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Con
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alid
ad in
vers
a.
Hip
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la.
Arm
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cran
fu
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ropo
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nalid
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a.
Rec
onoc
er y
cla
sific
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uadr
iláte
ros.
Cla
sific
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n de
cua
drilá
tero
s co
nvex
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egún
el p
aral
elis
mo
de s
us la
dos.
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los
ángu
los
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s de
un
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y c
lasi
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long
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s y
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us la
dos.
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prop
ieda
des
de c
uadr
iláte
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dem
ostr
arla
s y
aplic
arla
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ruir
cuad
rilát
eros
.
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ieda
des
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s pa
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, rom
boid
es
y tr
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dos.
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os a
par
tir d
e su
s pl
antil
las.
Prod
ucir
y an
aliz
ar c
onst
rucc
ione
s co
n án
gulo
s co
nsid
eran
do la
s pr
opie
dade
s in
volu
crad
as.
Áng
ulos
com
plem
enta
rios,
su
plem
enta
rios,
con
secu
tivos
, ad
yace
ntes
y o
pues
tos
por
el v
értic
e.
Cál
culo
de
com
plem
ento
s y
supl
emen
tos
de á
ngul
os d
ados
. Tra
zado
de
áng
ulos
ady
acen
tes
a un
o da
do y
rec
onoc
imie
nto
de s
u re
laci
ón.
Red
acci
ón d
e afi
rmac
ione
s qu
e in
volu
cran
áng
ulos
com
plem
enta
rios,
su
plem
enta
rios,
ady
acen
tes
y op
uest
os p
or e
l vér
tice.
Rec
onoc
imie
nto
de á
ngul
os c
onse
cutiv
os.
Nom
brar
par
es d
e án
gulo
s de
term
inad
os p
or d
os
rect
as p
aral
elas
y u
na s
ecan
te; r
econ
ocer
y ju
stifi
car
sus
rela
cion
es.
Áng
ulos
ent
re p
aral
elas
.R
econ
ocim
ient
o y
dete
rmin
ació
n de
áng
ulos
cor
resp
ondi
ente
s, a
ltern
os y
co
njug
ados
ent
re p
aral
elas
. Jus
tifica
ción
de
las
ampl
itude
s de
los
ángu
los
que
se fo
rman
ent
re d
os p
aral
elas
y u
na s
ecan
te.
Cla
sific
ar t
riáng
ulos
.M
anej
ar la
s pr
opie
dade
s de
los
lado
s y
los
ángu
los
de lo
s tr
iáng
ulos
.
Triá
ngul
os. C
lasi
ficac
ione
s.
Prop
ieda
des
de lo
s la
dos
y
los
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los.
Res
oluc
ión
de s
ituac
ione
s qu
e in
volu
cran
cla
sific
acio
nes
de t
riáng
ulos
y
prop
ieda
des.
Apl
icac
ión
de la
sum
a de
los
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los
inte
riore
s de
un
triá
ngul
o. D
educ
ción
de
la p
ropi
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de
un á
ngul
o ad
yace
nte
a un
áng
ulo
inte
rior
de u
n tr
iáng
ulo.
Traz
ar m
edia
tric
es y
bis
ectr
ices
, y e
valu
ar s
u ut
ilida
d co
mo
recu
rso
para
res
olve
r pr
oble
mas
. Tra
zar
un á
ngul
o co
ngru
ente
a o
tro
dado
.
Con
stru
ccio
nes
de m
edia
tric
es,
bise
ctric
es y
de
un á
ngul
o co
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ente
a o
tro
dado
.
Traz
ado
de la
med
iatr
iz d
e un
seg
men
to c
on r
egla
y c
ompá
s, e
in
terp
reta
ción
com
o el
con
junt
o de
pun
tos
que
equi
dist
an d
e su
s ex
trem
os. T
raza
do d
e la
s m
edia
tric
es d
e lo
s la
dos
de u
n tr
iáng
ulo
y co
mpr
obac
ión
de q
ue s
e co
rtan
en
un p
unto
que
es
cent
ro d
e la
ci
rcun
fere
ncia
que
pas
a po
r su
s vé
rtic
es. T
raza
do d
e bi
sect
rices
con
reg
la
y co
mpá
s. R
esol
ució
n de
situ
acio
nes
que
invo
lucr
an m
edia
tric
es. T
raza
do
de u
n án
gulo
con
grue
nte
a ot
ro d
ado.
Con
stru
ir tr
iáng
ulos
dad
as c
iert
as c
ondi
cion
es.
Con
stru
cció
n de
triá
ngul
os c
on
regl
a y
com
pás.
Con
stru
cció
n de
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os d
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alg
unos
dat
os, y
aná
lisis
de
la u
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dad.
A
nális
is d
e la
fact
ibili
dad
de la
con
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cció
n de
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triá
ngul
o co
n al
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s re
quis
itos
dado
s.
Apl
icar
crit
erio
s de
con
grue
ncia
de
triá
ngul
os c
omo
herr
amie
nta
de d
emos
trac
ión.
Crit
erio
s de
con
grue
ncia
de
triá
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os.
Rec
onoc
imie
nto
de e
lem
ento
s ho
mól
ogos
en
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ngul
os c
ongr
uent
es.
Apl
icac
ión
de lo
s cr
iterio
s de
con
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ncia
de
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os e
n si
tuac
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s di
vers
as. R
edac
ción
de
just
ifica
cion
es. E
valu
ació
n de
la p
osib
ilida
d de
re
aliz
ar c
onst
rucc
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s de
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os c
ongr
uent
es a
par
tir d
e ci
erto
s da
tos
apor
tado
s.
Trad
ucir
del l
engu
aje
colo
quia
l al s
imbó
lico
y vi
ceve
rsa.
Leng
uaje
sim
bólic
o.
Exp
resi
ones
alg
ebra
icas
. Val
or
num
éric
o de
una
exp
resi
ón
alge
brai
ca.
Trad
ucci
ón d
el le
ngua
je c
oloq
uial
al s
imbó
lico
y vi
ceve
rsa.
U
so d
el le
ngua
je s
imbó
lico
para
exp
resa
r pe
rímet
ros
y ár
eas,
y p
ara
gene
raliz
ar p
ropi
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es d
e lo
s nú
mer
os. O
bten
ción
del
val
or n
umér
ico
de e
xpre
sion
es a
lgeb
raic
as.
Inte
rpre
tar
el le
ngua
je m
atem
átic
o y
adqu
irir,
en fo
rma
prog
resi
va, n
ivel
es d
e ex
pres
ión
cada
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más
cla
ros
y fo
rmal
es.
Ope
raci
ones
con
mon
omio
s.R
esol
ució
n de
sum
as, r
esta
s, m
ultip
licac
ione
s y
divi
sion
es c
on
mon
omio
s. D
escu
brim
ient
o y
corr
ecci
ón d
e er
rore
s.
Ope
rar
con
expr
esio
nes
alge
brai
cas.
C
ompr
ende
r la
ven
taja
del
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del
Álg
ebra
par
a la
re
solu
ción
de
prob
lem
as.
Ope
raci
ones
con
exp
resi
ones
al
gebr
aica
s: p
ropi
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di
strib
utiv
a, fa
ctor
es c
omun
es y
cu
adra
do d
e un
bin
omio
.
Apl
icac
ión
de la
pro
pied
ad d
istr
ibut
iva
con
expr
esio
nes
alge
brai
cas
en s
ituac
ione
s de
scon
text
ualiz
adas
y c
onte
xtua
lizad
as. B
úsqu
eda
de
fact
ores
com
unes
de
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esio
nes
alge
brai
cas
para
tra
nsfo
rmar
las
en
prod
ucto
s. D
esar
rollo
de
cuad
rado
s de
bin
omio
s. In
terp
reta
ción
de
área
s de
cua
drad
os d
ivid
idos
en
dos
cuad
rado
s y
dos
rect
ángu
los.
Res
olve
r si
tuac
ione
s m
edia
nte
el p
lant
eo d
e ec
uaci
ones
lin
eale
s.E
cuac
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s lin
eale
s co
n un
a in
cógn
ita.
Res
oluc
ión
de e
cuac
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s lin
eale
s de
scon
text
ualiz
adas
y e
n co
ntex
tos
sign
ifica
tivos
. Des
cubr
imie
nto
del t
érm
ino
falta
nte
de u
na e
cuac
ión,
da
da s
u so
luci
ón. C
ompr
obac
ión
de s
oluc
ione
s de
ecu
acio
nes.
MATII_REC.indd 5 11/18/13 4:55 PM
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
6
Recu
rsos
par
a la
pla
nific
ació
n
Cap
ítu
loE
xpec
tati
vas
de
log
roC
on
ten
ido
sE
stra
teg
ias
did
ácti
cas
perí
met
ros,
á
rea
s y
volú
men
es
9 10pr
oba
bilid
ad
y es
tadí
stic
a
Man
ejar
rel
acio
nes
y eq
uiva
lenc
ias
entr
e un
idad
es
de m
edid
a.Pe
rímet
ro d
e un
pol
ígon
o.
Uni
dade
s de
long
itud.
Uni
dade
s de
áre
a.
Cál
culo
de
perím
etro
s co
n da
tos
dado
s en
dife
rent
es u
nida
des
de
long
itud.
Det
erm
inac
ión
de e
quiv
alen
cias
ent
re á
reas
exp
resa
das
en
dist
inta
s un
idad
es. C
álcu
lo d
el á
rea
de fi
gura
s co
mpu
esta
s po
r
cuad
radi
tos
y tr
iang
ulito
s.
Rec
onoc
er e
inte
rpre
tar
mod
elos
ele
men
tale
s en
figu
ras
más
com
plej
as. A
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ar c
once
ptos
con
ocid
os p
ara
dete
rmin
ar á
reas
de
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as c
ombi
nada
s.
Áre
as d
e tr
iáng
ulos
y
cuad
rilát
eros
.C
álcu
lo d
el á
rea
de fi
gura
s co
mpu
esta
s po
r cu
adril
áter
os y
triá
ngul
os.
Rec
onoc
er la
util
idad
del
teo
rem
a de
Pitá
gora
s y
aplic
arlo
en
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acio
nes
dive
rsas
.Po
lígon
o re
gula
r. Á
rea
de u
n po
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o re
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r.
Teor
ema
de P
itágo
ras.
Las
te
rnas
pita
góric
as.
Long
itud
de la
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unfe
renc
ia.
Áre
a de
l círc
ulo.
Lon
gitu
d de
l ar
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e ci
rcun
fere
ncia
. Áre
a de
l se
ctor
circ
ular
.
Cál
culo
del
áre
a y
las
long
itude
s de
la a
pote
ma
y lo
s la
dos
de
políg
onos
reg
ular
es.
Apl
icac
ión
del t
eore
ma
de P
itágo
ras
en s
ituac
ione
s de
scon
text
ualiz
adas
y
cont
extu
aliz
adas
. Det
erm
inac
ión
de t
erna
s pi
tagó
ricas
.
Apl
icac
ión
de la
s fó
rmul
as p
ara
calc
ular
el r
adio
, el d
iám
etro
, el p
erím
etro
o
el á
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de u
n cí
rcul
o. O
bten
ción
del
áre
a y
el p
erím
etro
de
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as
com
plej
as c
on p
arte
s ci
rcul
ares
.
Obt
ener
áre
as y
vol
úmen
es d
e di
vers
os c
uerp
os.
Rec
onoc
er la
inde
pend
enci
a en
tre
el á
rea
y el
per
ímet
ro
de u
na fi
gura
, así
com
o en
tre
el á
rea
y el
vol
umen
de
un
cue
rpo.
Áre
as d
e pr
ism
as y
cili
ndro
s re
ctos
. Áre
as d
e pi
rám
ides
y
cono
s re
ctos
.Vo
lúm
enes
de
cuer
pos.
U
nida
des.
Cál
culo
de
las
área
s la
tera
l y t
otal
de
pris
mas
, cili
ndro
s, p
irám
ides
y
cono
s re
ctos
. R
esol
ució
n de
situ
acio
nes
que
invo
lucr
an e
l cál
culo
del
vol
umen
de
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, cili
ndro
s, p
irám
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, con
os y
esf
eras
.
Rel
acio
nar
volú
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es, c
apac
idad
es y
mas
as, e
inte
rpre
tar
el c
once
pto
de d
ensi
dad.
Rel
ació
n en
tre
unid
ades
de
volu
men
, cap
acid
ad y
mas
a.
Den
sida
d.
Res
oluc
ión
de s
ituac
ione
s co
ntex
tual
izad
as q
ue in
volu
cran
rel
acio
nes
en
tre
unid
ades
de
volu
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, cap
acid
ad y
mas
a. In
terp
reta
ción
del
co
ncep
to d
e de
nsid
ad.
Det
erm
inar
esp
acio
s m
uest
rale
s y
calc
ular
pro
babi
lidad
es
sim
ples
.E
xper
imen
tos
alea
torio
s.
Esp
acio
mue
stra
l. E
vent
o o
suce
so. P
roba
bilid
ad d
e un
suc
eso.
Ord
enam
ient
o de
suc
esos
del
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os p
roba
ble
al m
ás p
roba
ble.
Red
acci
ón
de s
uces
os im
posi
bles
y s
egur
os. D
eter
min
ació
n de
esp
acio
s m
uest
rale
s.
Det
erm
inac
ión
de c
asos
favo
rabl
es e
n ex
perim
ento
s al
eato
rios.
Cál
culo
de
pro
babi
lidad
es s
impl
es. I
nter
pret
ació
n de
resu
ltado
s ob
teni
dos.
Es
tabl
ecim
ient
o de
la re
laci
ón e
ntre
pro
babi
lidad
y fr
ecue
ncia
.
Res
olve
r pr
oble
mas
de
cont
eo c
on p
erm
utac
ione
s y
varia
cion
es. C
alcu
lar
prob
abili
dade
s qu
e in
cluy
en
prob
lem
as d
e co
nteo
.
Prob
lem
as d
e co
nteo
. Dia
gram
a de
árb
ol. E
sque
ma
de c
asill
as.
Perm
utac
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s. V
aria
cion
es.
Res
oluc
ión
de p
robl
emas
de
cont
eo q
ue in
volu
cran
per
mut
acio
nes
y va
riaci
ones
. Con
fecc
ión
de d
iagr
amas
de
árbo
l o e
sque
mas
de
casi
llas
para
el
con
teo
de c
asos
. Cál
culo
de
prob
abili
dade
s en
situ
acio
nes
que
invo
lucr
an
perm
utac
ione
s o
varia
cion
es p
ara
dete
rmin
ar e
l esp
acio
mue
stra
l.
Iden
tifica
r la
s no
cion
es d
e po
blac
ión,
mue
stra
re
pres
enta
tiva
y va
riabl
e es
tadí
stic
a. D
eter
min
ar
frec
uenc
ias
abso
luta
s, r
elat
ivas
y p
orce
ntua
les.
Dat
os e
stad
ístic
os: p
obla
ción
, m
uest
ra y
var
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es. T
abla
s de
fr
ecue
ncia
s ab
solu
ta, r
elat
iva
y po
rcen
tual
.
Iden
tifica
ción
de
pobl
acio
nes,
var
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es y
mue
stra
s re
pres
enta
tivas
en
dis
tinto
s co
ntex
tos.
Det
erm
inac
ión
de f
recu
enci
as r
elat
ivas
y
porc
entu
ales
. Con
stru
cció
n e
inte
rpre
taci
ón d
e ta
blas
de
frec
uenc
ias
abso
luta
s, r
elat
ivas
y p
orce
ntua
les.
Con
stru
ir e
inte
rpre
tar
gráfi
cos
de b
arra
s y
circ
ular
es.
Grá
ficos
est
adís
ticos
: de
barr
as
y ci
rcul
ar.
Elab
orac
ión,
inte
rpre
taci
ón y
com
para
ción
de
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cos
de b
arra
s y
circ
ular
es.
Arm
ado
de ta
blas
de
frec
uenc
ias
a pa
rtir
de g
ráfic
os e
stad
ístic
os.
Obt
ener
med
ias,
mod
as y
med
iana
s; a
naliz
ar s
u va
riaci
ón
y pe
rtin
enci
a.Pr
omed
io, m
oda
y m
edia
na.
Obt
enci
ón e
inte
rpre
taci
ón d
e m
edid
as d
e te
nden
cia
cent
ral.
Cue
stio
nam
ient
o de
su
repr
esen
tativ
idad
en
dife
rent
es s
ituac
ione
s.
Cor
recc
ión
de e
rror
es.
MATII_REC.indd 6 11/18/13 4:55 PM
7
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
© S
antil
lana
S.A
. Pro
hibi
da s
u fo
toco
pia.
Ley
11.
723
Nota: las respuestas que no figuran se consideran a cargo de los alumnos.
1 Números enteros
preparando el viaje
a) $4.960
b) 238 · $15 – 25 · $48 + $1.800 + 15 · 12 · $8 – $650 = = $4.960
1. a) (908 – 8) + 34 = 934
b) (1.286 + 4) – 70 = 1.220
c) 93 ∙ (4 · 25) = 9.300
d) (7 · 3) · (200 · 5) = 21.000
2. a) ≠ b) ≠
3. Por ejemplo:
a) (80 + 3) · 6 = 480 + 18 = 498
b) (80 – 1) · 8 = 640 – 8 = 632
4. a) = b) ≠
5. a) 32 b) 36 c) 9 d) 42 e) 16 f) 3
6. a) 29 c) 1, 2, 13 o 26. e) Por ej., 19.
b) 47 d) Por ej., 34. f) Por ej., 45.
7. a) 10, 13, 20, 26, 52, 65. b) 18.
8. b) 740 2, 5, 10. 65.007 3, 9.
3.219 3 81.300 2, 3, 5, 6, 10.
9. a) Por ej., 72.045. c) Por ej., 1.716.
b) Por ej., 56.232. d) 31.500.
10. 2 ramos de 36, 3 de 24, 4 de 18, 6 de 12, 8 de 9, 9 de 8, 12 de 6, 18 de 4, 24 de 3, 36 de 2.
11. 28 1, 2, 4, 7, 14, 28 6 Compuesto
31 1, 31 2 Primo
65 1, 5, 13, 65 4 Compuesto
43 1, 43 2 Primo
99 1, 3, 9, 11, 33, 99 6 Compuesto
12. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
13. a) 5 y 11. b) 2 y 7. c) 3, 11 y 11.
14. 294 = 2 · 3 · 7 · 7 260 = 2 · 2 · 5 · 13 825 = 3 · 5 · 5 · 11
15. a) 2 · 73 d) 2 · 132 · 17
b) 5 · 7 · 132 e) 2 · 32 · 7 · 11
c) 3 · 53 f) 3 · 5 · 7 · 112
16. 105
17. 1, 5, 17, 23, 85, 115, 391, 1.955.
18. a) 19.800 c) 60 e) 33.000
b) 10 d) 4.500 f) 30
19. a) Dentro de 180 segundos.
b) 288
c) 20, cada una con 4 caramelos, 6 chicles y 5 chupetines.
d) 35 cuadrados de 36 cm de lado.
20. a) –4 °C; 8 °C. b) –58; –320 m.
21. a) –$235 c) $128.700 e) –341
b) 670 m d) –7
22. b) Por ejemplo, –1 y 1. c) 5 y –5.
23. –5 °C
24. B
25. 3.er subsuelo.
26. a) …lejos… b) …cerca…
27. a) –9 c) –1 e) 7
b) –6 d) –7 f) –7
28. b) El hermano; el carpintero.
29. a) > c) > e) > g) <
b) > d) < f) < h) <
30. a) −10 = 10 c) 6 e) 0 g) 9
b) 8 d) 8 f) 1 h) –2
31. a) > b) = c) < d) > e) = f) >
32. –3
33. a) Por ejemplo, –100, –99, –98, –97, –96.
b) Se representan –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 y 4.
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57. a) 5 · (–3) = –35 + 20 = –15
b) (–2) · (–12) = 10 + 14 = 24
c) 6 : (–6) = 3 – 4 = –1
d) (–12) · 9 = –72 – 36 = –108
e) 8 · 12 = 80 + 16 = 96
f) 7 : (–7) = 3 – 4 = –1
58. a) 12 – 8 + 9 – 4 + 7 = 12 + 1 – (–3) = 16
b) 3 – 7 – 5 + 9 – 1 + 8 = –4 – (–4) + 7 = 7
59. a) No se separó bien en términos. –12 + (–4) = –16
b) No se separó bien en términos. 6 + 5 – 21 = –10
60. a) –7 b) –32 c) 42 d) 2
61. a) –20 b) 2
62. a) 18 b) 15 c) 0 d) 15
63. Las que tienen por dividendo 8.046, 18.036 y 120.800.
64. A = 46, B = 39, C = 42, D = 36, E = 33, F = 35.
65. 26 · 5, 13 · 7 + 13, 4 · 13 – 13, 13 · 5 + 26.
66. No, porque todos son divisibles por 1 y por sí mismos, así que tienen al menos 2 divisores naturales.
67. Sí, por ejemplo 13 y 12.
68. Divisores de 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Divisores de 85: 1, 5, 17, 85.
Divisores de 91: 1, 7, 13, 91.
Divisores de 95: 1, 5, 19, 95.
Divisores de 161: 1, 7, 23, 161.
69. 507 = 3 · 132 1.960 = 23 · 5 · 72
750 = 2 · 3 · 53 900 = 22 · 32 · 52
70. a) 126.750 e) 152.100 i) 4.500
b) 3 f) 3 j) 150
c) 993.720 g) 147.000 k) 88.200
d) 1 h) 10 l) 20
71. a) 240 y 4. b) 216 y 6. c) 180 y 5.
72. El m.c.m. es su producto y el m.c.d. es 1.
73. a) –18 °C d) –$125.000 g) –235 j) 50
b) $5.800 e) 9.500 m h) 3
c) –2 f) –27 m i) –10
34. –10 y 10.
35. a) –4 b) El tercero.
36. a) A 7 °C. Cálculo: –1 + 8 = +(8 – 1) = +7 = 7.
b) Al 4.º piso. Cálculo: –3 + 7 = +(7 – 3) = +4 = 4.
37. a) –30 c) –10 e) 0 g) –45 i) –100
b) –15 d) 30 f) 50 h) 20
38. Leo Retrocedió 2. 6 – 8 = –2 Fede Está en la casilla 2. 2 – 6 = –4 Paz Está en la casilla 6. 5 – 6 = –1
39. a) –18 b) –14 c) –30 d) 16
40. 8 – (–40) = 48 Vivió 48 años.
41. a) Subió 4 °C. b) –4; 4; –6. El 2.º.
42. a) 2 + 9 = 11 c) 2 – 9 = –7
b) 2 – 9 = –7 d) 2 + 9 = 11
43. Ana: 13. Maxi: (4 + 5 + 7 + 8) – ( 6 + 2 + 3) = 13.
44. a) 5 b) –4 c) 10 d) –25 e) –1 f) –50
45. a) –1 b) 4
46. a) 2 > 0 b) 0 > –1
47. En el 9°; 0 – 2 + 5 + 4 – 6 + 8 = 9.
48. a) –12 c) –38 e) 21 g) 1 i) –4 k) 0
b) –42 d) –10 f) 0 h) –5 j) –9 l) 25
49. a) 6 b) –10 c) –10 d) –72 e) 0 f) –1
50. a) –6 c) 2 e) –14 g) 5 i) 2
b) –1 d) 12 f) 0 h) 5
51. a) < b) > c) > d) < e) < f) >
52. a) Negativo. b) Positivo.
53. a) 2 b) –10 c) –2 d) 24
54. –2 –6 12 3–4 –16 64 4–7 56 –392 –812 –24 –288 –2
55. a) Negativo. b) –1
56. a) Se multiplica por (–2). 16; –32; 64; –128; 256.
b) Se divide por (–3). –81; 27; –9; 3; –1.
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74. Más lejos.
75. –100; –50; –40; –25; –1; 0; 5; 12; 33.
76. Hay que marcar –3, –5, 4 y –6. Luego, 2 y –1.
77. Se representan –300, –200, –150, –50, 250 y 400.
78. A = 15, B = –12, C = 10, D = –20, E = –30, F = –5.
E < D < B < F < C < A
79. a) –w b) A la derecha.
80. a) B b) No. c) –B
81. No; la cantidad siempre es impar.
82. A = 25, B = 30, C = –2, D = 20, E = 0, F = –15.
F < C < E < D < A < B
83. No. Por ejemplo, − + − =2 2 0.
84. Está equivocada; por ejemplo, –1 + 1 = 0.
85. –9 –10 –8 9 9
–1 –2 0 1 1
–19 –20 –18 19 19
–21 –22 –20 21 21
–99 –100 –98 99 99
–109 –110 –108 109 109
86. a) 49 d) –41 g) –20 j) 14
b) –8 e) –21 h) 23 k) 13
c) –15 f) 2 i) –37 l) –7
87. a) F. Ejemplo: − =7 7. d) V.
b) F. Ejemplo: 5 – 8 = –3. e) V.
c) F. Ejemplo: –1 – (–5) = 4.
88. a) En el año –322.
b) Platón, ya que murió a los 80 años.
89. a) 70 – 100 = –30. Le quedaron 30 puntos en contra.
b) –22 + 15 = –7. A –7 metros.
c) 4 – 9 + 3 = –2. Marca –2 °C.
d) 12 – (–4) = 16. Es de 16 °C.
e) 3 – 5 + 7 = 5. En el 5.º piso.
90. –2 5 –10 9 0 0
7 –6 –42 –10 –3 30
–14 –30 –90 0
91. a) –15 b) –6 c) 63 d) –5 e) 23 f) 7
92. 23 – 2 · 15 = –7 Tendrá una temperatura de –7 °C.
23 – 2 · 30 = –37 Tendrá una temperatura de –37 °C.
93. 4
94. a) 4 = 4 b) –3 < 0 c) –5 < –4 d) –2 < –1
95. a) –8 b) 5 c) 9 d) –1
96. a) 7 b) 8 c) –11 d) –8
97. a) 4 c) –2 e) 25 g) –27
b) –9 d) –37 f) 5 h) –29
98. a) –36 : (2 + 1) – 7 · 2 = –26
b) (–36 : 2 + 1 – 7) · 2 = –48
c) –36 : 2 + (1 – 7) · 2 = –30
d) –36 : (2 + 1 – 7) · 2 = 18
2 Más sobre los números enteros
redes saturadas
a) 8, 16, 32, 64, 128, 256.
b) 2 = 21; 4 = 2 · 2 = 22; 8 = 2 · 2 · 2 = 23;
16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24; 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25;
64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26;
128 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27;
256 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28.
c) 220 = 1.048.576
1. a) (–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81
b) (–1)5 = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = –1
c) 53 = 5 · 5 · 5 = 125
2. a) 49 d) –64 g) –125 j) –1
b) –729 e) 64 h) 0 k) 1
c) 10.000 f) –125 i) 1 l) –1
3. 1 1 4 4 9 91 –1 8 –8 27 –27
4. Hay que señalar b), c) y e).
5. a) 0 b) 1 c) 1 d) –1
6. a) (–3)8 c) (–3)15 e) (–3)9
b) (–3)3 d) (–3)6 f) (–3)15
7. a) (–12)2 = 144 c) (–3)3 = –27
b) 83 = 512 d) (–5)4 = 625
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24. a) Da 4. b) Bien. c) Da –4. d) Da –2.
25. a) 0 b) –2
26. a) 133 = 2.197 d) (–15)3 = –3.375
b) (–4)5 = –1.024 e) (–1)15 = –1
c) 28 = 256 f) (–1)10 = 1
27. 0, 1, 4 y 9.
28. A 6 m.
29. a) –21 b) 4 c) No existe. d) 0
30. a) –27 b) 3 c) 0 d) –1
31. a) –6 b) –4 c) 126 d) 5
32. a) 625 b) 8
33. a) 10 d) –1 g) –6 j) –67
b) 8 e) –23 h) –11 k) 3.394
c) –4.608 f) –13 i) 11 l) 1
3 Números racionales I
¿con la derecha o con la izquierda?
a) El 12%. b) 110
; 120
.
1. a) I) 34
III) 78
V) 310
VII) 56
II) 12
IV) 23
VI) 54
VIII) 712
b) Sí, =54
1 .14
c) I) 0,75 III) 0,875 V) 0,3 VII)
0,83
II) 0,5 IV)
0,6 VI) 1,25 VIII)
0,583
2. a) =810
0,8 e) − = −6100
0,06
b) − = −4510
4,5 f) =3751.000
0,375
c) =35100
0,35 g) =251.000
0,025
d) =51.000
0,005 h) =341.000
0,034
3. a) 49
P c) 350
E e) 73
P g) 74
E
b) 32
E d) 158
E f) 316
E h) 511
P
e) 94 = 6.561 i) (–10)6 = 1.000.000
f) (–3)6 = 729 j) 23 = 8
g) 47 = 16.384 k) a7
h) (–7)1 = –7 l) a52
8. a) < b) = c) > d) < e) < f) <
9. a) Menor; mayor. b) Menor; igual.
10. a) En 5. b) Al 6.
11. a) A que el número debe ser positivo.
b) No, porque el cuadrado de ningún número es negativo.
12. a) 15 c) –1 e) –3 g) –4 i) 98
b) 6 d) 0 f) 100 h) 3 j) 9
13. a) 22 cm b) 39 cm
14. a) 9 · 10 = 90 f) 9 : 3 = 3
b) –4 : (–2) = 2 g) 7296 = 3
c) 5 · 2 · 7 = 70 h) 2564 = 4
d) –2 : (–1) = 2 i) 2 · 5 · 3 = 30
e) –2 · 3 = –6 j) –6 : 3 = –2
15. a) La raíz no se distribuye. Da 5.
b) La raíz no se distribuye. Da 10.
16. a) =512 29 c) 9
b) 14 · 5 = 70 d) ⋅ = ⋅ =729 4 3 2 66
17. a) 32 b) 7
18. g) c) a) d) j) b) e) f) h) i)
–1 25 –4 21 –20 59 160 –40 102 97
19. a) Índice 3, exponente 2.
b) Exponente 3, índice 4.
c) Exponentes 1, 1 y 0, respectivamente.
20. No se separó bien en términos; la raíz cuadrada de 81 no es 8; en el último término hay que resolver primero la poten-cia; en el último paso está mal el signo del tercer término. El cálculo da –16.
21. 30; 31; 32; 33.
22. Se da un ejemplo en cada caso.
a) 70 b) 13 c) (–2)2 d) (–1)3
23. a) 9 c) 169 e) –1 g) 0
b) –125 d) 625 f) 1 h) 1
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4. a)
0,4 c) 0,06 e)
2,3 g) 1,75
b) 1,5 d) 1,875 f) 0,1875 h)
0,45
5. a) 32125
c) 15750
e) 516
b) 3200
d) 12120
f) 118
6. → → →13560
94
225100
2,25
→ → →0,3125 3.12510.000
516
40128
→ → →27120
940
2251.000
0,225
→ → →3,125 3.1251.000
258
10032
7. = = =22,5 22510
452
22 12
= = =3,25 325100
134
3 14
= = =3,625 3.6251.000
298
358
8. a) 9 décimos = =0,9 910
90 centésimos = 0,90 = =90100
910
900 milésimos = 0,900 = =9001.000
910
b) Se puede agregar o quitar ceros al final de la parte deci-mal de un número.
9. a) Conviene dividir la unidad en 12 partes iguales y contar hacia la derecha desde cero 10 partes, 8 partes, 15 par-tes y 7 partes, respectivamente.
b) Hay que representar − 712
.
c) Hay que representar − 54
; está entre –2 y –1.
11. = − = −A 258
3,125
= − = −P 2512
2,083
= − = −B 52
2,5
= − = −Q 43
1,3
= − = −C 94
2,25
= − = −R 76
1,16
= − = −D 78
0,875 = − = −S 34
0,75
= − = −T 13
0,3
= =U 512
0,416
12. a) F = 2,57 H = 2,64 J = 2,7
b) Es 2,75 (quinta rayita a la derecha de J).
13. a) < b) > c) < d) > e) < f) >
14. a) 0,500 = 0,5, porque ambas equivalen a 12
.
b) 0,17 < 0,3, porque 0,3 = 0,30 y 17 < 30.
c) <55110
611
, porque =611
60110
y 55 < 60.
d) 0,44 <
0,4, porque 0,44 = 0,440, mientras que
0,4 = 0,444...
15. Se da un ejemplo en cada caso.
a) 0,7 c) 0,7 e) –7,815
b) –4,8 d) 3,55 f) − 322
16. − < − < − < − < < < < <34
35
310
120
15
14
12
710
45
17. a) 10,5 b) –14,596 c) –10,01
18. a)
< < < <0,16 0,16 16
0,60 0,61
b) − < − < − < − < −23
610
0,34 13
0,333
19. 3 3,8 3,85 4 3,9 3,85
29 29,2 29,29 29 29,3 29,29
92 92,9 92,92 93 92,9 92,93
0 0,0 0,00 0 0,0 0,01
2 2,7 2,71 3 2,7 2,72
9 9,5 9,55 10 9,6 9,56
20. a) 1; 1,4; 1,44. b) 3; 2,9; 2,89.
21. 5, 6, 7, 8 o 9.
22. a) 37
c) − 720
e) 320
g) − 350
b) 0 d) 0 f) 1136
h) 254
23. a) 3112
b) 6750
c) 3536
24. Llevó 112
kg más.
25. a) 715
c) − 203
e) − 163
b) 910
d) 4125
f) 6340
26. a) 2342
b) En la 3.ª; en la 2.ª.
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g)
=179
1,8 i) =13100
0,13
h) =1980
0,2375
45. a) 7250
c) 27500
e) 3780
b) 9400
d) 4916
f) − 395
46. a), c) y f).
47. a) 0,092 c) 0,1625 e)
0,1583
b)
0,273 d)
0,116 f) 1,8125
48. No, por ejemplo,
=79180
0,438.
49. a) = =1410
75
1,4 c) = =112100
2825
1,12
b) = =4051.000
81200
0,405 d) = =2112
74
1,75
50. 0,405 < 1,12< 1,4 < 1,75
51. a) Entre –1 y 0. b) –1
52. b) De menor a mayor:
− − −1,6; 1,4; 0,7; 0,3.
c) A la izquierda, porque 0,3 <
0,3.
d) A la derecha, porque –1,6 >
−1,6.
53. a) > b) > c) < d) <
54. a)
< < < <2,01 2,1 2,101 2,10 2,1
b) �� �
< < < <2,010 2,010 2,01 2,1011 2,11
55. Se dan ejemplos en cada caso.
a) 1,5; 1,55; 1,58. c) –3,77; –3,75; –3,72.
b) 1,71; 1,72; 1,73. d) − 4920
56. a) …décimos. b) …centésimos. c) …milésimos.
57. Redondea.
58. 0, 1, 2, 3 o 4.
59. a) En ambos casos 3; 3,2; 3,22.
b) Truncado: 1; 1,5; 1,55. Red.: 2; 1,6; 1,56.
c) Truncado: 0; 0,7; 0,71. Red.: 1; 0,7; 0,71.
60. a) 5; 5,2; 5,18 5 < 5,18 < 5,2
b) 7; 6,7; 6,73 6,7 < 6,73 < 7
61. a) 169
c) 611
e) 4
b) 85
d) 117
f) 1
27. No, porque le faltaban 1330
del trayecto, que es menos que un medio.
28. Más, porque le faltan >720
13
.
29. Menos, porque le faltan <940
1040
.
30. a) − 29
d) 34
g) 34
j) 6
b) 310
e) 14
h) –10 k) − 163
c) − 128
f) 43
i) 38
l) − 715
31. a) multiplicar por 10. d) dividir por 10.
b) dividir por 100. e) multiplicar por 2.
c) multiplicar por 100. f) dividir por 2.
32. a) El 2.º, el 3.º y el 4.º. b) 70
33. 120
34. $12,75
35. a) 9 c) Para 18 días y sobran 0,3 kg.
b) 12 d) 18; 0,05 m.
36. a) Bruno; 10% más. b) El 55%.
37. a) I) P · 0,85 III) P · 0,85 V) 0,15 · P
II) 1,85 · P IV) 0,15 · P VI) 1,15 · P
b) I) = 204 III) = 204 V) = 36
II) = 444 IV) = 36 VI) = 276
38. a) El 12%. b) $16,40 c) $72,16
39. a) Es la 3.ª. b) $10,95
40.
33,3%; 25%.
41. De $1.190.
42. a) –5 c) 1730
e) 75
b) − 3110
d) 43
f) − 13
43. El cálculo da − 295.
44. a) =225
0,08 d) =1316
0,8125
b)
− = −59
0,5 e)
=611
0,54
c)
=111
0,09 f) =134
3,25
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62. a) 18
b) − 29105
c) 198
d) 4330
63. Cecilia, porque le falta menos, ya que <19
18
.
64. a) − 47
b) − 29
c) 1 d) 36 e) –1 f) 365
65. $21,42
66. 50 jarras.
67. 25 m
68. Está equivocado; son iguales.
69. a) El 35%. b) $17,42
70.
16,6%
71. $185
72. a) 3128
b) − 112
c) − 3215
4 Números racionales II
diseño de una bandera
b) Verde: 12
; Azul: 14
; Gris: 18
; Blanco o rojo: 116
.
1. a) )( =25
8125
3
c) )(− = −13
127
3
b) )(− =34
916
2
d) )( =23
1681
4
2. a) − 132
e) 0,000001 i) 1
b) 1009
f) 1,21 j) –0,125
c) 110.000
g) 0,000004 k) –0,00000016
d) − 1125
h) 0,0001 l) 0,001
3. a) 34
c) –8 e) 16
b) − 1125
d) –1.000.000 f) 2254
4. 58
con el 2.º, el 4.º y el 6.º de arriba, y con el 2.º y el 5.º de
abajo; 0,064 con el último de arriba y con el 1.º, el 3.º, el 4.º y el 6.º de abajo; 1,44 con el 1.º, el 3.º y el 5.º de arriba, y con el último de abajo.
5. a) –3 b) –1 c) –3 d) –2
6. a) 8 b) − 32
c) –10 d) 2,5
7. a) 1.000.000 c) 103
e) 15
b) 494 d) 16
25 f) 1
8. A que el número debe ser positivo.
9. a) − 14
c) 0,007 e) –0,2 g) 16
b) 23
d) 310
f) 0,2 h) 16
10. a) 8,5 cm b) 3,5 cm c) 2,5 cm
11. a) 2455
c) − 1003
e) 1100
g) 16
b) − 1350
d) 0,6 f) 5 h) − 25
12. En ninguno de los casos se puede distribuir la raíz.
a) 512
b) 215
c) 120
d) 18
13. a) 524
b) 415
c) 340
14. a) El 3.º.
b) ⋅ =4,5 : 0,0225 3,15 : 0,0225 630
c) 0,0405 m3
15. a) 2 c) 34
e) 0 g) 2
b) 32
d) − 143
f) 32
h) 813
16. a) 106 c) 1011 e) 10–6
b) 1012 d) 10–5 f) 10–12
17. El resultado está formado por un 1 y ceros. Si el exponente es positivo, el resultado es un 1 seguido de tantos ceros como indica el exponente; si es negativo, la parte entera del resultado es 0, y el exponente indica la cantidad de cifras decimales significativas.
18. a) 9,35 · 1010 e) 8 · 10–9
b) 7,2 · 108 f) 3,4 · 10–6
c) 6 · 1013 g) 2,09 · 10–7
d) 8,219 · 1010 h) 7,426 · 10–5
19. a) 2 · 1016 c) 6 · 10–5
b) 1,6 · 1011 d) 3 · 10–19
20. Mercurio: 5,79 · 1010 m.
Urano: 2,871 · 1010 hm.
Marte: 2,279 · 108 km.
Neptuno: 4,497 · 1015 mm.
Saturno: 1,427 · 1011 dam.
21. A = 1,6 · 10–7 B = 4 · 106 C = 9 · 10–5
a) 4,05 · 10–12 b) 2 · 1013
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41. Quinientos veinticinco mil seiscientos millones de horas.
42. 1,08 · 109
43. 1,9 · 1019 km
44. a) 5 · 1012 c) 5 · 1012
b) 6 · 103 d) 8 · 1024
5 Ángulos. triángulos. criterios de congruencia
Una luz en el espejo
a) Perpendiculares. c) 150°
b) 60° d) Un lado.
1. 52°; 68°.
2. 125°
3. a) 45° b) Recto.
4. Opuestos por el vértice. De igual amplitud.
5. a) …agudo. d) …agudo, recto o llano.
b) …agudo. e) …recto.
c) …llano.
6. Hay que unir Alternos internos, Correspondientes y Alternos externos con Tienen igual amplitud; Conjugados internos y Conjugados externos, con Suman 180°.
7. Se da un ejemplo en cada caso.
a) 2 y 7. c) 5 y 8. e) 2 y 4.
b) 2 y 3. d) 1 y 8.
8. 2 y 3 son conjugados internos; =2 38o .
= = =4 7 5 38o =6 142o
Se puede justificar de varias maneras.
9. = = = = =1 3 4 53 5 2 127o o
Se puede justificar de varias maneras.
10. = = = = = =2 5 7 116 1 3 6 64o o
Se puede justificar de varias maneras.
11. b) Opuestos por el vértice; correspondientes.
c) Los cuatro tienen la misma amplitud; por lo tanto, cada uno mide 208° : 4 = 52°.
d) 128° cada uno.
12. A violeta; B rojo; C azul; D marrón; E verde; F anaranjado.
22. a) (0,25 m)2 = 0,0625 m2 b) 421,875 cm3
23. a) –1 b) –2 c) –2 d) –3 e) –5 f) –1
24. a) 0,1 c) 5 e) 34
b) 100 d) 73
f) 23
25. a) > b) > c) = d) < e) < f) >
26. No se distribuye el exponente en ninguno de los casos.
a) 289100
b) 289144
c) 16169
d) 1
27. a) < d) =
b) > e) =
c) = f) =
28. No. Por ejemplo, 0,13 < 0,12.
29. ) ) ) ) )( ( ( ( (< < < <− − −1
414
14
14
14
5 1 2 3
30. a) 64 b) 1.024 c) 494
d) 43
31. − = −132
12
5
32. a) 4,5 cm b) 6,5 cm
33. a) 0,13 b) 0,02 c) 0,4 d) 0,02
34. a) 110
c) 13
e) 0,8
b) 13
d) 1 f) 1,2
35. a) 13
b) 130 c) 11
40
36. a) 154
b) 656
c) − 25
d) − 289
37. a) 90.000.000 c) 0,0000052
b) 8.120.000.000 d) 0,0000104
38. a) 4,7 · 105
b) 4,7 · 10–4
c) 4,7 · 104
d) 4,7 · 10–1
e) 4,7 · 103
f) 4,7 · 10–3
39. a) 2,3 · 107
b) 73 · 10–5 = 7,3 · 10–4
c) 428 · 10–6 = 4,28 · 10–4
40. a) 3,4 · 10–4 d) 1,5 · 1011
b) 8,5 · 109 e) 1,3 · 10–3
c) 1,4 · 10–5 f) 1 · 10–8
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13. a) 20 cm y 10 cm; 15 cm y 15 cm. b) 8,5 cm
14. a) Escaleno. d) Imposible.
b) Imposible. e) Escaleno.
c) Isósceles. f) Equilátero.
15. a) Por ejemplo, 60, 70 y 90.
b) Por ejemplo, 60, 90 y 160.
16. 40° 60° 80° Acutángulo Escaleno
35° 100° 45° Obtusángulo Escaleno
90° 55° 35° Rectángulo Escaleno
34° 112° 34° Obtusángulo Isósceles
60° 60° 60° Acutángulo Equilátero
17. a) 42 ; ˆ 48 .o oδ = ϕ =
b) α = β = ε =ˆ ˆ 45 ; ˆ 135 .o o
c) ˆ 65 ; ˆ 30 ; ˆ 150 .o o oβ = ε = α =
d) α = ε = β =ˆ 59 ; ˆ 38 ; ˆ 83 .o o o
18. a) ε + γ =ˆ ˆ 180o por ser adyacentes y α + β + γ =ˆ ˆ ˆ 180 ,o
entonces, ε = α + βˆ ˆ ˆ.
b) δ = β + γˆ ˆ ˆ
c) ϕ = α + γˆ ˆ ˆ
d) ...los ángulos interiores no adyacentes a él.
19. d) Isósceles.
20. Es la mediatriz del segmento rojo.
21. Sí, es cierto.
23. Se trazan los lados del ángulo recto con los catetos de la escuadra y luego, su bisectriz. Cada uno de los ángulos en que quedó dividido mide 45°.
25. Los que son únicos son el de lados de 3 cm, 2 cm y 2,5 cm; el de un lado de 4 cm y ángulos de 35° y 55°, no opuestos a ese lado, y el de dos lados de 2,5 cm y el ángulo compren-dido entre ellos de 70°.
27. Alcanza con medir 3 elementos.
29. a) LAL b) LLL c) ALA
30. Porque podrían ser de diferentes tamaños. Hace falta que tengan al menos un lado respectivamente congruente.
31. alternos internos; alternos internos; lado; ALA.
32. a) LAL b) ALA c) LAL d) LLL
33. LAL o LLL.
34. a) Obtuso, porque mide 137°.
b) β = δ = ε =ˆ 66 ; ˆ 33 (agudo); ˆ 132 (obtuso).o o o
35. a) y d).
36. a) β =ˆ 55 30'o b) Un ángulo recto.
37. Los ángulos obtusos (verde y anaranjado) miden 129° y los demás, 51°.
38. a) β =ˆ 41o
b) δ = ε =ˆ 98 ˆ 41o o
c) ϕ =ˆ 98o
d) 41° (opuesto por el vértice de α) y 98° (opuesto por el vértice de ϕ).
e) Obtusángulo; isósceles.
39. a) a veces e) a veces
b) nunca f) siempre
c) siempre g) siempre
d) a veces
40. 51° 15'; escaleno.
41. De arriba hacia abajo: sí, no, no, sí.
42. a) d = 97°; a = 83°; obtusángulo escaleno.
b) b = 165°; obtusángulo escaleno.
43. a) Sí, con dos ángulos de 50°.
b) No, porque los ángulos suman más de 180°.
c) No, porque sería acutángulo en cualquier caso.
d) No, porque sería isósceles.
44. 68° 45' (acutángulo) o 42° 30' y 95° (obtusángulo).
45. Se traza la mediatriz del segmento para marcar su punto medio y luego, la mediatriz de cada mitad.
47. Se traza la bisectriz del ángulo y luego, la bisectriz de cada uno en los que quedó dividido.
48. a) La mitad de 45°, o sea, 22° 30'.
49. c = 72° por adyacente de acd ebc = 23° abc = 46°
a = 62°.
52. En c) (LAL), en d) (ALA) y en e) (LLL).
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12. a) 5x2 – 11x + 2 c) 3a3 – 11a2 – 4a
b) –m3 + m2 + 6m d) –y2 + 2y + 3
13. a) A = (m + r)(b + a) = m · b + m · a + r · b + r · a
m · b área roja.
m · a área verde.
r · b área celeste.
r · a área azul.
b) A = (x + y) · h : 2 = (x · h) : 2 + (y · h) : 2
(x · h) : 2 área azul.
(y · h) : 2 área roja.
14. a) 7 · (2x + 1) d) 11x2 · (x – 2x2 + 3)
b) 6t · (2t4 – 1) e) 6bx · (–x2 + 2b)
c) 3a2 · (1 + 5a) f) 3a · (a2 + 4a – 3)
15. a) 16x2 + 24x + 9 c) x2 – 2x + 1
b) 49n2 + 84n + 36 d) x2 + 10x + 25
16. a) Área total = 49 + 14x + x2
49 área celeste.
14x área violeta.
x2 área roja.
b) Área total = (3m + 1)2 = 9m2 + 6m + 1
9m2 área amarilla. 6m área verde.
1 área violeta.
17. a) x = 7 d) x = 3
b) x = 5 e) x = –13
c) x = –2 f) x = 12
18. a) x = − 18
c) x = − 232
b) x = –1 d) x = 12
19. a) x = 4 d) x = 2
b) x = –4 e) x = 2
c) x = –4 f) x = 113
20. a) x = –3 d) 7 cm y 8 cm.
b) x = 4 e) 76°
c) Luli, 100; Ana, 150.
21. Es cierto, porque se llega a un absurdo al intentar resolver la ecuación.
22. Hay que completar con el número 5.
Se llega al absurdo 0 = –18.
23. b); h); d); g); a); e).
53. Sí, ya que la hipotenusa queda dividida en dos segmentos congruentes y los triángulos tienen un lado en común.
6 Lenguaje algebraico
a prestar atención
a) ≤; ≤; ≤; ≤.
b) v > 90; v ≤ 90.
1. a) n – 1 c) 3 · (n + 1)
b) n + n + 1 = 2 · n + 1 d) 3 · n + 1
2. a) a + b + r c) r : 2 – 4 · b
b) 2 · a + 3 · r d) ( a + b + r) : 4
3. a) El 1.º con el 3.º; el 2.º con el 4.º; el 3.º con el 1.º y el 4.º con el 2.º.
b) n + 7
4. a) n + n2 b) 56; 110; 20.
5. 4 · a a2 24 cm 36 cm2
2 · a + 2 · b a · b 28 cm 48 cm2
a + b + c (a · b) : 2 24 cm 24 cm2
6. a) 2 5 6 8 12 14
–3 6 9 15 27 33
–4 5 8 14 26 32
0 3 8 24 80 120
b) Sí, en la que está encabezada por 3 · n.
c) 4 · n; 7 · n.
7. a) 10 · x b) 50 cm; 26 cm.
8. a) 6x f) 10m4
b) 8mx = 8xm g) 23
a7
c) –10x5 h) 3x3
d) m2b i) –11t3
e) 5,5mn3 j) 25p6
9. a) 16 c) – 4 y 3.
b) 3 d) 18 y 3.
10. a) –4ab c) 48x4
b) 14x2 d) –1
11. a) 6x3 – 15x2 d) –5xy2 + 2
b) –4a2 + 8a e) 9m3 – 3m + 12
c) 7 + 5m
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24. a) Área = x2 Perímetro = 4 · x
b) Perímetro = 2 · b + 2 · h Área = b · h
25. a) an + m c) an · m
b) an – m d) ⋅ an m
26. a) 3e + 4g b) 2p + 4e + g
27. n 8 10 20
54n2 80 m2 125 m2 500 m2
28. a = 25 a = 16
a) 35 26
b) 15 6
c) 23 14
d) 150 96
e) 31 22
f) 26 17
g) 20 16
h) 10 8
i)256
83
29. a) 5,5x d) –4,5ab
b) 13m e) 4mt
c) 5m f) 0
30. a) 2x d) –x
b) Bien. e) 4x
c) x2 f) Bien.
31. 5m2 15m2 10mt2 –m2
15m2t 45m2t 30mt3 –3m2t
–10tm –30tm –20t3 2tm
20m3 60m3 40m2t2 –4m3
32. a) 7 c) –3a e) 10t
b) - 52 d) 8m f) –2ab2
33. a) 4x2 – 8x e) –2x + 2,5
b) 4x2 + 10x f) t – 2
c) –2m3 + 2m2 g) –2a + 14
b
d) 0,6xy2 + 0,4x2y h) 2 + 4a
34. a) x2 – 3x + 2
b) 4 – x2
c) –m3 + 3m2 – m + 3
d) b2 – 16a2
e) 43
xt + 13 x
2 + t2
f) 5a – 2
g) z2 – 0,5nz – 0,5n2
h) 7x – 4x2
35. Como suma de áreas: (n + 3) · n + (n + 3) · 5. Como producto: (n + 3)(n + 5).
En ambos casos el desarrollo es n2 + 8n + 15.
36. a) 3x · (1 + 6x) d) 14 x · (3x2 + 5x – 1)
b) 20x · (5y + 1) e) 2,5mn · (1 + 2nm)
c) y · (y2 – y – 1) f) 5ab · (5a2 + 6b2 – 1)
37. a) x2 + 12x + 36 d) 19 x
2 + 23 xa + a2
b) 4a2 – 4a + 1 e) m2 – 2m + 1
c) 16 + 16n + 4n2 f) 49t2 – 70t + 25
38. a) a2 + 2b · a + (a + 2b) · 2b = a2 + 4ab + 4b2
b) 2m · (2m + 5) + 52 + 5 · 2m = 4m2 + 20m + 25
39. a) 4x2 – 4x + 1
b) 116 m
2 + 1,5m + 9
c) 81 – 72x + 16x2
40. a) 2; 36; 81. b) 6; 16. c) 1; 14
; 1.
41. a) 47
c) –2 e) 0
b) –3 d) –1
42. a) −152
c) 23
e) –2
b) 4 d) 323
f) 1315
43. a) 4 b) –1 c) –2
44. a) 16 cm
b) 1.800 litros.
c) 7 cm; 7 cm y 11 cm. Es 3x – 4.
7 Gráficos y funciones
¿dónde me siento?
b) F5B4 y F5B5; F5B5 y F5B8; F5B8 y F5B9.
1. b) Por ejemplo, m = (–1; 8); la ordenada puede ser cual-quier número positivo.
Por ejemplo, p = (–5; –3); la abscisa puede ser cualquier número negativo.
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12. a) x 0 1
y = –2x + 2 2 0
m = –2 b = 2
x 0 2
y = 4x – 2 –2 6
m = 4 b = –2
x 0 –2
y = –1,5 –1,5 –1,5
m = 0 b = –1,5
b) Decrece; crece; no varía.
13. > y <; < y >; = y >; > e =.
14. a) y = 200 · x + 1.000 Julia gráfico rojo.
y = 100 · x + 2.000 Ana gráfico azul.
b) b; x; m; y.
15. 1 4 5 11 m = 7 y = 7x7 28 35 77
2,4 12 15 4,5 m = 13
=y 13
x0,8 4 5 32
–2 1 7 1
7 m = –7 y = –7x14 –7 –49 –1
16. a) Sí, porque los puntos pertenecen a una recta que pasa por (0; 0); =y
x2,5 para cualquier par ordenado.
b) =y 52x; 8 L.
17. a) 5 3 2 4 Fórmulay = 3,50x17,50 10,50 7 14
Los puntos del gráfico no se unen, ya que la variable inde-pendiente toma solo valores enteros.
b) El precio de un alfajor.
c) 0; 35.
18. a) Se tacha.
b) k = 4
c) k = –2,5
d) Se tacha.
e) k = –2
2. a = (0; 5) b = (4; 1) c = (–6; 2)
d = (4; –2) e = (6; 0) f= (8; –2) g = (6; –5)
m = (–6; –2) n = (–4; –2) p = (–2; –4)
q = ( –9; –4)
3. a) II; III; IV; I. b) En el eje y; en el eje x.
4. a) 6 °C; a las 13 h.
b) A las 5 h; de –3 °C.
c) A las 1 h, 9 h y 24 h.
d) Entre la 1 h y las 9 h.
e) De 13 h a 14 h, y de 15 h a 24 h.
f) Aumentó.
g) Se mantuvo constante.
5. a) Ganó 2, perdió 3 y empató 3.
b) No, porque las variables solo toman valores naturales.
6. a) Imagen de 0 = 2;
f(8) = –2; f(3) = –2; f(15) = 5;
Imagen de 5 = –3;
f(13) = 6; f(19) = 2; f(14,5) = 5.
b) 1, 9 y 24.
c) 24; 6.
7. a) 2 2,5 3 4,5 11
8 10 12 18 44
b) f(x) = 4x
c) 60 cm; 102,4 cm.
d) Porque para cada valor de la medida del lado, hay un único valor para el perímetro.
8. El 1.º, porque hay valores del dominio que tienen más de una imagen.
El Dominio de la función representada en el 2.º gráfico está formado por todos los números desde –3 hasta 3 (ambos incluidos), y la Imagen, por todos los números desde –6 hasta 6 (ambos incluidos).
9. a) 0 1 2,5 3 3,5 4
30 90 180 210 240 270
b) y = 60x + 30 c) $450 d) 8 h
10. b) Sí, todos los puntos pertenecen a la misma recta.
11. Sí Sí No Sí Sí No Sí
7 1 ––– –2 –5 ––– 13
2 –9 ––– 6 0 ––– 1
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19. a) x y b) x y c) x y0,5 12 0,25 4 0,1 2001 6 0,5 2 1 202 3 1 1 2 106 1 2 0,5 4 5
=y 6x =y 1
x =y 20x
21. a) 2 3 4 6 12
150 100 75 50 25
b) Sí, porque el producto entre los valores correspondien-tes es siempre 300.
c) =y 300x
d) SÍ; NO; SÍ; NO; SÍ.
22. Los datos son suficientes.
k = –2 · (–6) = 12 =y 12x
Son las dos ramas de la hipérbola que contiene los puntos (–6; –2), (–3; –4), (–1; –12); (1; 12), (2; 6), (3; 4), (6; 2).
23. Hay infinitas soluciones. Un ejemplo puede ser
p = (–3; 4), q = (–3; –1), r = (1; –1).
24. Hay infinitas soluciones. El punto c puede pertenecer a la recta x = –1, a la recta x = 2 o a la circunferencia de diáme-
tro ab. Por ejemplo, c = (–1; 10).
25. a) 80 ml b) 40 ml; 10 ml. c) 7 horas.
26. a) 7 horas; a las 15 h.
b) 2 paradas, la 1.ª de 2 horas a 30 km de la escuela, y la 2.ª de 1 hora a 50 km.
c) A las 12 h y a las 14:30 h.
27. Lunes rojo. Martes verde.
28. a) Es función. El Dominio está formado por los números 1, 2, 3, 4 y 5; la Imagen, por el número 4.
b) No es función; a la abscisa 2 le corresponde más de una imagen.
29. a) 5; 4. c) No; sí.
b) 2 y 6. d) 5 es la imagen de 0.
30. a) I) y = –2x + 8 III) y = –x II) y = x – 1 IV) y = 1
b) I) Decreciente, pues m < 0. II) Creciente, pues m > 0. III) Decreciente, pues m < 0. IV) Constante, pues m = 0.
c) IV; II; III; I.
31. y = 2x Pasa por el origen de coordenadas.
y = 12
Recta horizontal.
y = x + 2 Corta el eje vertical en (0; 2).
32. a) $660
b) 9 clases.
c) y = 80x + 100
d) No, porque la ordenada al origen no es 0.
33. a) No es de proporcionalidad.
b) Es de proporcionalidad inversa; k = –7,5; = −y 7,5x
.
c) Es de proporcionalidad directa; constante = −yx
2; y = –2x.
d) Es de proporcionalidad inversa; k = 15; =y 15x
.
34. a) 0,25 400
0,50 200
0,625 160
1 100
2 50
5 20
b) La capacidad de cada envase.
c) Sí, es de proporcionalidad inversa; k = 100; =y 100x .
35. a) k = 24; =y 24x
.
b) No; sí; reemplazando en la fórmula.
36. Sí, porque = ⇒ = ⇒ =y kx
10 k1
k 10.
8 cuadriláteros. cuerpos geométricos
alto en el cielo
a) Hay que unir el 1.º, el 3.º y el 5.º con el Modelo 2, y los demás con el Modelo 1.
b) Sí, el 2.
1. El 1.º con Trapecio isósceles.
El 2.º con Paralelogramo común, Rectángulo, Rombo y Cuadrado.
El 3.º con Romboide.
El 4.º con Trapecio rectángulo.
El 5.º con Rectángulo y Cuadrado.
El 6.º con Rombo y Cuadrado.
2. a) 51°, 77° y 142°. b) 151°, 51° y 112°.
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22. a) Rectángulo. b) Prisma triangular.
23. Tetraedro, Octaedro e Icosaedro con Triángulos equiláte-ros; Hexaedro con Cuadrados; Dodecaedro con Pentágo-nos regulares.
24. 4 6 8 12 20
4 8 6 20 12
6 12 12 30 30
25. a) Falta aclarar que las caras laterales deben ser triángulos equiláteros.
b) El C.
26. a) Octaedro regular.
b) Cono circular recto.
c) Tetraedro regular.
d) Cilindro circular recto.
27. Rectángulo y triángulo isósceles, respectivamente.
28. = = =q t 122 30'; r 57 30'.o o
29. No, porque deben ser suplementarios.
30. a) …nunca… e) …a veces…
b) …nunca… f) …a veces…
c) …a veces… g) …a veces…
d) …a veces…
31. = = = =x 120 ; w 60 ; y 100 ; z 80 .o o o o
36. a) Criterio LLL. b) = = = =a c 38 ; b d 142 .o o
39. a) El rombo. b) El rombo es cuadrado.
40. a) = = = =a c 52 ; b 156 ; d 100 .o o o
b) = = = =a c 90 ; b 115 ; d 65 .o o o
c) = = = =a 66 ; c 94 ; b d 100 .o o o
41. Sí, tiene un ángulo recto. En el 2.º caso tendría dos ángulos rectos.
42. b) Debe medir 4,5 cm.
43. 14 cm, 10 cm, 10 cm y 2 cm.
44. = = = =a b 54 30'; c d 125 30'.o o
45. a) 9 caras, 16 aristas y 9 vértices.
b) 12 caras laterales, 24 vértices y 36 aristas.
c) Eneágono; 11 caras; 18 vértices.
d) Decágono; 11 caras; 11 vértices.
3. = = = =a 93 b 62 c 65 d 140o o o o
4. Se completa con bc, dc, c, d.
5. a) Miden 2,5 cm y 5 cm.
b) 32°, 32°, 148° y 148°.
6. a) = = = =q n 42 m p 138o o
b) = = = =a c 156 b d 24o o
7. Se completa con β ϕad, bc, ˆ , ˆ , ALA, congruentes, mc,mb.
8. a) ac mide 3 cm y bd, 4 cm.
b) Es un rombo.
c) Cuatro rectos.
9. Tienen ab en común, = =a b 90o y =ad cb por ser lados
opuestos; se cumple el criterio LAL, por lo tanto, =db ac.
11. Dos miden 4 cm y los otros dos, 10 cm.
12. a) 95° cada uno.
b) 109° 30’ cada uno.
c) α = γ = ε = =ˆ 33 ; ˆ 54 ; ˆ 54 ; b 93 .o o o o
13. Se completa con
β ε β ε∆ˆ; ˆ; acb; ac; ab; cb; LLL; congruentes; ˆ; ˆ; b.
14. a) = = = =a 122 ; b 80 ; c 78 ; d 80 .o o o o
b) = = = =a 108 ; b 94 ; c 108 ; d 50 .o o o o
15. = = = =a 70 ; b 104 ; c 82 ; d 104 .o o o o
16. a) 7 cm y 3 cm. b) 5 m, 10 m y 15 m.
17. a) Dos miden 129° y los otros dos, 51°.
b) Dos miden 120° y los otros dos, 60°.
c) Dos miden 69° y los otros dos, 111°.
19. a) Se completa con pirámide pentagonal; 5; triángulo isós-celes; 10.
b) Se completa con prisma triangular; 3; rectángulo; 9.
c) Se completa con pirámide rectangular; 5; 4; triángulo isósceles.
d) Se completa con prisma rectangular; 6; 4; rectángulo.
20. Se completa con 7; 2; 21; 14.
21. a) Pirámide cuadrada.
b) Sí, se cumple: 6 + 8 = 12 + 2.
c) Trapecio isósceles.
d) Triángulo isósceles.
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e) Pentagonal; 7 caras; 15 aristas.
f) Un hexágono; 7 caras; 12 aristas.
46. a) Sí; sí. c) No. e) Sí; sí.
b) Sí; sí. d) Sí; sí. f) No.
47. Trapecio isósceles.
48. a) Icosaedro regular.
b) Pirámide cuadrada.
c) Prisma cuadrado.
d) Cubo.
e) Dodecaedro regular.
49. Un octaedro regular.
50. Círculo.
51. No, usó 18 pajitas, porque 10 + 10 = 18 + 2 (relación de Euler).
9 perímetros, áreas y volúmenes
¡peligro de gol!
a) No alcanza. Se necesitan 10.800 paneles.
b) 3.780 m
1. a) 14 m = 1.400 cm b) 0,344 m; 34,4 cm.
2. a) 1.800 cm = 1,8 dam
b) 11 m2 14 m2
110.000 cm2 1.400 dm2
0,11 dam2 0,0014 hm2
11.000.000 mm2 0,000014 km2
3. a) 390 mm2
b) 202,5 m2
c) 1.200 cm2
4. a) 130,83 cm2 b) 15,6 cm2
5. a) 10 cm c) 5 cm
b) 20 cm d) 14 cm
6. Pablo tiene razón: 12 cm, 8 cm y 10 cm no cumplen la rela-ción pitagórica.
7. a) @ 389,71 cm2 b) 60 cm
8. Sí, porque la distancia es de unos 46,8 cm.
9. @ 34,64 cm
10. Altura: @ 13,5 m. Distancia: @ 16,92 m.
11. 370,71 m
12. 179,62 m
13. a) P = 11,42 cm A = 7,85 cm2
b) P = 21,42 cm A = 23,13 cm2
14. Área roja = 127,17 cm2 P = 56,52 cm
15. 3.037,5 m2
16. Arco rojo = 1,57 cm Área amarilla = 2,36 cm2
17. Área = 219,36 m2 Perímetro = 60,56 m
18. Área = 78,5 m2
19. Sí, se puede hacer, ya que los lados del triángulo miden 5 m y el ángulo, 60°.
Perímetro del arco = 15,23 m
Área del sector = 13,08 m2
20. Para el cubo, 1.350 cm2 y para el cilindro, 1.059,75 cm2. En total, 2.409,75 cm2.
21. Área total de la pirámide = 800 cm2
Área total del cono = 628 cm2
22. Volumen del cubo = 3.375 cm3
Volumen del cilindro = 2.649,38 cm3
Volumen de la pirámide = 1.280 cm3
Volumen del cono = 1.004,8 cm3
23. No es cierto. Si se duplica la medida de la arista del cubo, el volumen se multiplica por 8. Si se duplica el diámetro de la base del cilindro, el volumen se multiplica por 4.
24. Área total = 5,46 m2 Volumen = 0,72 m3
25. a) Volumen de la pieza A = 0,52 cm3
Volumen de la pieza B = 1,05 cm3
b) Entran 6 piezas B. Quedan libres aproximadamente 2,7 cm3.
26. a) 0,75 L d) 2.250 g
b) 0,5 dm3 e) 3.500 L = 3,5 m3
c) 1,5 L f) 250 kg = 250 L
27. Volumen interior = 2.500 cm3 Entran 2,5 L.
28. a) 384,65 ml b) 242,33 g
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b) Área violeta = 30,51 cm2
Perímetro de la zona blanca = 24,37 cm
50. a) Las áreas laterales son iguales.
Los volúmenes son diferentes (el de A es el doble que el de B).
Volumen de la pieza A = 565,2 cm3
Volumen de la pieza B = 282,6 cm3
b) Área total = 126,60 cm3
Volumen = 94,2 cm3
Nota: en el cálculo se redondeó la raíz cuadrada a los centésimos.
51. El perímetro de B es el doble que el de A.
El área de B es el cuádruplo que la de A.
52. Altura del prisma = 30 cm
Altura de la pirámide = 90 cm
53. b) Área total = 227,04 cm2
Volumen = 249,12 cm3
c) No, el volumen es menor que 250 cm3.
54. 0,93 g/cm3
55. a) 75,36 cm3
b) No, en cada cono caben 67,8 g de arena como máximo.
56. a) 12 esferitas. b) 275,6 g
10 probabilidad y estadística
¿Qué número saldrá?
a) No, ella tiene más chances de ganar.
Vero gana con 2, 3, 5, 7 y 11, mientras que Fede gana con 4, 8 y 12.
b) Por ejemplo, Vero gana con los números pares y Fede, con los impares.
1. a) P(C) < P(A) < P(B) < P(D)
b) Por ejemplo, sacar un número mayor que 15 y sacar un número menor que 20, respectivamente.
2. a) 14
d) 512
g) 34
b) 112
e) 12
h) 1112
c) 148
f) 4748
i) 0
29. a) Apotema del hexágono = 10,39 m Capacidad del tanque = 2.992,32 kl
b) Masa del tanque lleno = 3.000 t
Nota: en los cálculos se redondearon las raíces cuadradas a los centésimos.
30. Pirámide de madera = 192 g Pirámide de mármol = 691,2 g
31. a) dbronce = 8,8 g/cm3
b) 663,17 g
32. a) 21 g
b) 1 L de leche, porque pesa 1.030 g, mientras que 1 L de alcohol pesa 790 g.
33. 0,96 m
34. A pesa 3.796 mg y B, 2.709 mg.
35. 4,96 dm; 0,624 m; 128 cm.
36. 205 cm de cinta.
37. 600 cm2
38. El perímetro se duplica, pero el área se cuadruplica.
39. 2 cm
40. A 3 6 8 9 15
B 4 8 15 40 20
C 5 10 17 41 25
41. 839,52 cm2
42. 5,20 cm2
43. Perímetro = 48 cm Área = 120 cm2
44. 18,2 m
45. a) Sí, alcanza. Se necesitan 900 m. b) 3 ha
46. 7,065 m2
47. a) Perímetro = 27,7 cm Área = 13,625 cm2
b) Perímetro = 22,84 cm Área = 9,42 cm2
c) Perímetro = 25,12 cm Área = 41,12 cm2
48. a) 200,96 m2 b) 64 m c) 145,92 m2
49. a) Área violeta = 1,72 cm2
Perímetro de la zona blanca = 11,14 cm
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3. a) 30 b) 115
4. a) =28
14
b) 38
c) 18
5. a) 5.040 b) 120 c) 840 d) 343
6. a) 24 b) 14
7. a) 1720
b) 12
8. a) 15
b) 140
9. a) Los habitantes de la ciudad.
b) Los 500 habitantes encuestados.
c) Con rojo: I y III. Con azul: II y IV.
10. a) 0,3 b) 30%
11. a) 50
b) 12 0,24 24%
18 0,36 36%
15 0,3 30%
5 0,1 10%
50 1 100%
c) 1; 100%.
d) 40%
e) Sí, es cierto.
12. a) 30 20%
15 10%
45 30%
60 40%
c) 45; sí, es cierto.
d) Sí, es cierto; en el gráfico circular.
13. a) A 60 niños.
b) varicela; angina.
c) Angina: 20%; alergia: 10%; varicela: 5%; bronquitis: 15%; gripe: 50%.
14. a) Barras. b) Barras. c) Circular.
15. 100 50% 180°
10 5% 18°
50 25% 90°
40 20% 72°
16. a) 4,4 km b) 5 km c) 8 km
17. 40, 47 y 60.
18. a) 40
b) Es la frecuencia de la barra más alta; 20.
c) Es el tercero; 2,75.
d) El promedio disminuiría; no habría moda.
19. a) Media = 13,5 Mo = 13 Me = 13
b) Media = 11,75 Mo y Me no varían.
La media, ya que las edades “no están alrededor de los 11,75 años”. La media es sensible a la presencia de da-tos extremos.
20. Al sumar las alturas, no multiplicó las dos últimas por su frecuencia.
No se debe dividir por 7, sino por 11. El promedio es 186 cm.
Que 179 esté en el medio de la tabla no significa que se encuentre en el lugar central de la lista, con los datos orde-nados en forma creciente. La mediana es 192 cm.
21. a) Son igualmente probables.
b) Por ejemplo, que salga un número mayor que 12 y que salga un número menor que 13, respectivamente.
c) Por ejemplo, que salga un número menor que 4 y uno mayor que 1, respectivamente.
22. a) 14 b) 2
9
23. a) Que sumen 5.
b) A que sumen 7, porque hay 6 casos favorables de los 36 posibles, mientras que los demás números tienen menos.
c) =236
118
; 0.
24. a) 14
b) 736
c) 0
25. Sí, hay 40.320 formas.
26. De 120 formas.
27. a) 4 números (111; 121; 212; 222).
b) 12
c) 34
28. a) 120 d) Que empiece con una vocal.
b) 24 e) 1120
c) 24
29. a) 125 b) 4125
30. a) 102.400
b) Es cierto. La probabilidad de que no haya elementos
repetidos es =33.600102.400
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c) El 70%.
d) Promedio = 8,8 vueltas; Mo = 9; Me = 9.
34. La 1.ª.
35. La 3.ª.
36. a) 12 alumnos.
b) 3,3 horas (o 3 h 18 min).
c) 3 horas.
37. 27
38. No. Por ejemplo, los datos 4, 5 y 15 tienen promedio 8.
39. a) 12; 14; 14; 14; 15; 16; 17; 18.
b) No es única, otra posibilidad es
12; 14; 14; 14; 15; 15; 18; 18.
40. A Juan, porque tiene un rendimiento más homogéneo.
41. a) 12 alumnos. b) Sí, es cierto.
31. a) =3341.000
167500
b) 10 números.
32. a) Nota f fr f%
1 1
0,03
3,3%3 1
0,03
3,3%4 2
0,03
6,6%5 3 0,1 10%
6 5
0,16
16,6%7 10
0,3
33,3%8 5
0,16
16,6%9 3 0,1 10%
Total 30 1 100%
b) El 60%.
d) La moda. Mirando la barra más alta.
e) Nota promedio:
6,46.
Puede ser que respondan que no es representativa, porque el 60% de los alumnos se sacó más de 6.
33. a) 20
b) Cantidad de vueltas f fr f%
7 2 0,1 10%
8 4 0,2 20%
9 10 0,5 50%
10 4 0,2 20%
Total 20 1 100%
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