magnitudes vectoriales

5/14/2018 Magnitudes Vectoriales - slidepdf.com

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MAGNITUDES

VECTORIALES



Cuando deseamos dar la posición de un objeto para que alguienvaya a buscarlo no basta con decir está a 2(m)

Si un piloto de avión, después de viajar una hora transmite por radioa la base que debe descender porque se le está agotando el

combustible, e informa "estoy a 60 [Km]", ha dado una informaciónincompleta, pues para ubicarlo se le tendría que buscar en lospuntos de una circunferencia de radio 60 [Km]. La informacióncompleta podría haber sido "estoy a 60 [Km], 30° al N del E deUds.", en este último caso, se está especificando la magnitud, 60[Km], la dirección, 30 al N del E, y el sentido, desde la torre al avión.

Se definen magnitudes escalares y magnitudes vectorialesMagnitudes escalares tiempo, masa temperatura, energía cinética,presión, etc. Para informarlas basta un valor y su unidad. Suoperatoria es la aritmética.

Magnitudes vectoriales: velocidad, desplazamiento, fuerza, campo

magnético, etc. Tienen su propia operatoria y se expresan con unmódulo, una dirección y un sentido, y se representan con un trazodirigido y se simbolizan con la letra del concepto y una flecha sobreella.

F



Dibuje las siguientes magnitudes vectoriales:

1. la fuerza aplicada es de 10 (N), NS al N

2. la fuerza aplicada es de 10 (N), EO al E

3. la fuerza aplicada es de 10 (N), 35º al N del O

4. la fuerza aplicada es de 10 (N), 20 º al E del S

5. la fuerza aplicada es de 10 (N), 50º al O del S

6. la fuerza aplicada es de 10 (N), NS al S



• Lea las siguientes magnitudes vectoriales

S

N

O E

15º

80º

60º

30º



SUMA DE MAGNITUDES VECTORIALES

• Para sumar magnitudes vectoriales se dibuja un vector a

continuación del otro, el vector resultante es el que va desde elprimer origen a al última flecha.



Sume:

a bb

ae d

c

b

d

a c a b

a c

b d

2 2

7( ), direccion horizontal a la derecha

2 ,direccion horizontal a la derecha

3 4 25 5

3irección tag = 53ºrespecto al eje horizontal positivo

4

a b cm

a c cm

b d cm

D



Nociones de trigonometría

Recuerde que un triángulo rectángulo está formado por dos catetosperpendiculares entre sí y la hipotenusa. Podemos distinguir un cateto del

otro refiriéndonos a un ángulo respecto a la hipotenusa. En el triángulomostrado en la figura a y b son los catetos y c es la hipotenusa, de esta seobserva que:

Respecto al ángulo :

a es el cateto adyacente

b es el cateto opuestorespecto al ángulo ß:

a es el cateto opuesto

b es el cateto adyacente.

bc

a



Relaciones entre lados detriángulos semejantes

En su cuaderno dibuje untriángulo rectángulo, mida eltamaño de cada lado y escribaesos valores en la columna T1.

Dentro del triángulo anterior,dibuje una paralela a uno de loslados, de manera de obtener un

triángulo semejante. Vuelva amedir y anote sus resultados enla tabla.

Repita para cuatro triángulossemejantes al primero.

Calcule los valores pedidos en

las tres últimas filas.Compare los resultadosobtenidos en cada una de lastres últimas filas. ¿Quéconcluye?

T1 T2 T3 T4 T5a

b

c

a/c

b/ca/b



Como Ud. se puede dar cuenta, los resultados de los cuocientes nodependen del tamaño del triángulo. Aún cuando cambiaron laslongitudes de los lados, los ángulos no cambiaron, y los cuocientestampoco. A estos cuocientes entre los lados de un triángulo

rectángulo, que dependen unívocamente de los ángulos, se lesllama funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas sonseis.

Las otras tres funciones son los valores recíprocos de las anteriores,

y se denominan, respectivamente: cosecante, secante ycotangente. Haciendo uso de estos valores, y mediante lasfunciones trigonométricas inversas, se pueden determinar losángulos que nos dan las direcciones de los vectores

cos cos

tan

catetoopuestoseno sen

hipotenusa

catetoadyacenteeno

hipotenusa

catetoopuestogente tg

catetoadyacente



Resta de magnitudes vectoriales.

• Para restar dos magnitudes vectoriales, se dibujan ambos vectores a

partir del mismo origen y el vector diferencia es aquel que sumado con el

sustraendo da el minuendo.• En consecuencia, para obtener el vector diferencia se dibuja el vector desde el

extremo del substraendo al extremo del minuendo

a b

b

a

a

b

b

aa b



Reste

Dado los siguientes vectores

a

e d

c

b

a c

ab

a b

a ca

d

a d

b

e

b e

8

6

a cm

b c d e cm



Descomposición de magnitudes vectoriales Toda magnitud vectorial, , se puede expresar en función de sus componentes

con respecto a un sistema de coordenadas, en el cual se representa lamagnitud. Las componentes están determinadas por las proyecciones delextremo final del vector sobre los ejes OX, OY, OZ. Naturalmente que, paramedir estas componentes, se empleará la escala que corresponda a lamagnitud física en cuestión. Las componentes, por definición, son escalares.

a

aX horizontala la derecha

Y

X0

ay vertical

hacia arriba



• Para indicar la dirección y sentido se definen vectores unimodulareso unitarios, es decir de tamaño 1 asociados a cada eje.

•Por lo cual, el vector lo podemos escribir en función de suscomponentes en la forma:

• Cuando se suman o se restan dos o más magnitudes vectorialescualesquiera se pueden expresar cada una de ellas en función de lascomponentes, y luego sumar o restar las componentes respectivas,

resultando otra magnitud vectorial, expresada en función de lascomponentes. Por lo tanto la magnitud de ella se obtendrá usando elteorema de Pitágoras, es decir:

• Y la dirección

ˆ módulo 1, eje X positivo

ˆ módulo 1, eje Y positivo

ˆ módulo 1, eje Z positivo

i

j

k i

ˆk

ˆ

j

X

Z

Y

ˆˆ ˆ x y za a i a j a k

a

22

2 x x ys a b b c

x x

y y

a barctg

a b



• En tres dimensiones, queda

X

Z

Y

B

z B x B

y B

ˆˆ ˆ x y z B B i B j B k

2 2 2

Cuyo módulo es:

x y z B B B B



• Exprese las siguientes magnitudes vectoriales en función de suscomponentes.

1 cm

g

f e

d

c b

a



• Para expresar una fuerza de tamaño 40(N), 37º con la horizontal en funciónde sus componentes:

• Podemos dibujarla en un sistema de coordenadas cartesianas y

descomponerla en dos componentes ortogonales (perpendiculares entresi).Se observa que la componente x Fx es el cateto adyacente al ángulo y Fy

es el cateto opuesto, por lo tanto usando las funciones trigonométricas senoy coseno se puede determinar Fx y Fy.

• Cuando se conoce el tamaño y dirección de la magnitud vectorial,• sus componentes serán

cos 40 0,8 32

40 0,6 24

Por lo tanto , en función de las componentes queda:

ˆ32 24

x

y

F F N

F Fsen N

F i j N

F 37º

xF

y

F

Si la dirección se da respecto del eje X

cos

Si la dirección se da respecto del eje Y

cos

x

y

x

y

a a

a asen

a asen

a a



a) Exprese las siguientes magnitudes vectoriales en función de suscomponentes:

1. la velocidad es 5(m/s), 30º al S del E

2. la velocidad es 5(m/s), 60º al S del O

3. la velocidad es 5(m/s), 50º al E del N

4. la velocidad es 5(m/s), 20º al N del O

b) Determine el módulo y dirección de las siguientes magnitudes vectoriales:

1

2

3

4

5

ˆ ˆ) 10 20

ˆ ˆ) 15 30

ˆ ˆ) 8 10

ˆ ˆ) 6 8

ˆ ˆ) 5 5

a F i j

b F i j

c F i j

d F i j

e F i j

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