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Metodos Estadısticos de la Ingenierıa

Tema 8: Algunas Distribuciones Notables

de Variables Aleatorias

Grupo B

Area de Estadıstica e Investigacion OperativaLicesio J. Rodrıguez-Aragon

Marzo 2010

Contenidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Variables Aleatorias Discretas 3

Distribucion Uniforme, Uniform Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Distribucion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Distribucion Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Distribucion Binomial con R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Distribucion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Distribucion de Poisson con R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Variables Aleatorias Continuas 12

Distribucion Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Distribucion de Uniforme con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Distribucion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Distribucion de Exponencial con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Distribucion Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Distribucion Normal con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Distribucion Normal Estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Teorema Central del Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Aproximaciones por la Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Aproximaciones por la Normal con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Distribucion χ2

n de Pearson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26χ2

n de Pearson con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Distribucion tn de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30tn de Student con R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Distribucion Fm,n de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Fm,n de Snedecor con R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

Contenidos

� Variables Aleatorias Discretas.

– Uniforme, Bernoulli, Binomial, Poisson.

� Variables Aleatorias Continuas.

– Uniforme, Exponencial, Normal, aproximaciones por la Normal, χ2 de Pearson, t deStudent y F de Snedecor.

Presentamos en este tema algunas Distribuciones de Variables Aleatorias, primero

discretas y luego contınuas, a continuacion presentaremos su Esperanza y Varianza.

The function describing the probability that a given value will occur is called the

probability function or probability density function, and the function describing the

cumulative probability that a given value or any value smaller than it will occur is

called the distribution function.

Licesio J. Rodrıguez-Aragon Tema 8, M.E.I. – 2 / 37

Variables Aleatorias Discretas 3 / 37

Distribucion Uniforme, Uniform Distribution

Sea X una variable aleatoria que toma valores x1, x2, . . . , xk con igual probabilidad, entonces laFuncion de Probabilidad de esta Variable Aleatoria Uniforme viene dada por,

f(x; k) = 1/k para x = x1, x2, . . . , xk,

siendo k un parametro de la distribucion de probabilidad.

The discrete Uniform distribution is also known as the “equally likely outcomes” distribution.

Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones:

E(X) = µ =k∑

i=1

xif(xi) =k∑

i=1

xi

k.

Var(X) = σ2 =k∑

i=1

(xi − µ)2

k=

k∑

i=1

x2i

k−(

k∑

i=1

xi

k

)2


2

Distribucion de Bernoulli

Se conoce como prueba de Bernoulli, todo experimento aleatorio en el que solo son posibles dosresultados, eg. “exito” o “fracaso”. Definamos X como la variable aleatoria que toma el valor 1con probabilidad p, “exito”, y 0 con probabilidad 1 − p, “fracaso”.

La Funcion de Probabilidad de la Variable Aleatoria X vendra dada por,

f(x; p) = px · (1 − p)1−x , para x = 0, 1.

The Bernoulli distribution is a discrete distribution having two possible outcomes in which

“success” occurs with probability p and “failure” occurs with probability q = 1 − p.

Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones:

E(X) = 0 · f(0) + 1 · f(1) = 0 · (1 − p) + 1 · p = p.

Var(X) = E(X2) − E(X)2 = (0 · f(0) + 1 · f(1)) − p2 = p − p2 = p(1 − p).


3

Distribucion Binomial

Supongamos que realizamos n experimentos de Bernoulli, con probabilidad de “exito” p para cadauno de ellos. Definamos la Variable Aleatoria X como el numero de exitos en esas n ejecucionesdel experimento.La Funcion de Probabilidad es la siguiente:

f(x;n, p) =

(

n

x

)

px(1 − p)n−x , para x = 0, 1, 2, . . . , n,

siendo n y p parametros de la distribucion de probabilidad.

The Binomial distribution gives the discrete probability distribution of obtaining exactly xsuccesses out of n Bernoulli trials.

Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones,

E(X) = µ = E(X1 + · · · + Xn) = E(X1) + · · · + E(Xn) = np.

Var(X) = σ2 = Var(X1) + · · · + Var(Xn) = np(1 − p).

Con Xi variables aleatorias independientes de Bernoulli.

Las graficas de la Funcion de Probabilidad y la Funcion de Distribucion de una variable aleatoriaBinomial, de parametros n = 10, p = 0.3.

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Distribución Binomial: n = 10, p = 0.3

Número de Exitos

Pro

babi

lidad

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Número de Exitos

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada


4

Distribucion Binomial

Variable Aleatoria Binomial de parametros n = 10, p = 0.6.

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


Número de Exitos

Pro

babi

lidad

0 2 4 6 8 100.

00.

20.

40.

60.

81.

0


Número de Exitos

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada


Distribucion Binomial con R

Funcion de Probabilidad:

> x <- 0:10

> plot(x, dbinom(x, size=10, prob=0.6), xlab="Numero de Exitos",

+ ylab="Probabilidad",

+ main="Distribucion Binomial: n = 10, p = 0.3", type="h")

> points(x, dbinom(x, size=10, prob=0.6), pch=16)

> abline(h=0, col="gray")

Funcion de Distribucion:

> x <- 0:10

> x <- rep(x, rep(2, length(x)))

> plot(x[-1], pbinom(x, size=10, prob=0.6)[-length(x)],

+ xlab="Numero de Exitos", ylab="Probabilidad Acumulada",

+ main="Distribucion Binomial: n = 10, p = 0.6", type="l")



5

Distribucion de Poisson

Una Variable Aleatoria discreta X se dice que es una variable de Poisson si su funcion deprobabilidad es de la forma:

f(x;λ) =λxe−λ

x!, para x = 0, 1, 2, . . . ,

siendo λ un parametro positivo.


E(X) = µ =∞∑

x=0

xf(x) =∞∑

x=0

xλxe−λ

x!= λe−λ

∞∑

x=0

λx−1

(x − 1)!= λ.

Var(X) = σ2 = E(X2) − E(X)2 = E(X(X − 1)) + µ − µ2 = µ = λ.

La distribucion de Poisson se presenta en experimentos en los que se estudia la ocurrencia desucesos en un intervalo de tiempo dado. Usualmente para sucesos “raros”, pi <<.

� El numero de vehıculos que pasan a traves de un cierto punto en una ruta durante unperiodo definido de tiempo.

� El numero de errores de ortografıa que uno comete al escribir una unica pagina.

� El numero de llamadas telefonicas en una central telefonica por minuto.

� El numero de servidores web accedidos por minuto.

� El numero de mutaciones de determinada cadena de ADN despues de cierta cantidad deradiacion.

Funcion de Probabilidad y de Distribucion,

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Distribución Poisson: Media = 3

x

Pro

babi

lidad

0 2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


x

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada

λ = 3


6

Distribucion de Poisson

Funcion de Probabilidad y de Distribucion,

0 5 10 15

0.00

0.05

0.10

0.15


x

Pro

babi

lidad

0 5 10 150.

00.

20.

40.

60.

81.

0


x

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada

λ = 6

La distribucion de Poisson aproxima de forma muy acertada a la distribucion Binomial cuandon > 25 y p < .1 y np = λ < 5

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20


Número de Exitos

Pro

babi

lidad

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20


x

Pro

babi

lidad

f(x;n, p) =

(

n

x

)

px(1 − p)n−x → f(x;λ) =λxe−λ

x!

Given a Poisson process, the probability of obtaining exactly x successes in n trials is given by

the limit of a binomial distribution


7

Distribucion de Poisson con R

Funcion de Probabilidad:

> x <- 0:15

> plot(x, dpois(.x, lambda=6), xlab="x", ylab="Probabilidad",

+ main="Distribucion Poisson: Media = 6", type="h")

> points(x, dpois(x, lambda=6), pch=16)



> x <- 0:15

> x <- rep(x, rep(2, length(.x)))

> plot(x[-1], ppois(x, lambda=6)[-length(.x)], xlab="x",

+ ylab="Probabilidad Acumulada",

+ main="Distribucion Poisson: Media = 6", type="l")



8

Variables Aleatorias Continuas 12 / 37

Distribucion Uniforme

Cuando el valor de la variable aleatoria se mide y no se cuenta, entramos dentro del concepto devariable aleatoria continua.

Una Variable Aleatoria sera Uniforme en el intervalo (a, b) si su Funcion de Densidad esconstante, es decir:

f(x) =

1b−a para a < x < b

0 en el resto.

A Uniform distribution, sometimes also known as a rectangular distribution, is a distribution that

has constant probability. Su Funcion de Distribucion, viene dada por:

F (x) =

∫ x

−∞

f(t)dt =

0 si x ≤ a,x−ab−a para a < x < b

1 si x ≥ b.

Siendo a y b los parametros de la distribucion.Su Esperanza y Varianza vienen dadas por las expresiones:

E(X) =

∫ ∞

−∞

xf(x)dx =

∫ b

axf(x)dx =

a + b

2.

Var(X) =

∫ ∞

−∞

(x − µ)2f(x)dx = E(X2) − E(X)2 =(b − a)2

12.

Las graficas de la Funcion de Densidad y de la Funcion de Distribucion para una VariableAleatoria Uniforme en (0, 1),

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distribución Uniforme: mín=0, máx=1

x

Den

sida

d

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Uniform Distribution: min=0, max=1

x

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada


9

Distribucion de Uniforme con R

Funcion de Densidad:

> x <- seq(-.5, 1.5, length=100)

> plot(x, dunif(x, min=0, max=1), xlab="x", ylab="Densidad",

+ main="Distribucion Uniforme: mın=0, max=1", type="l")



> x <- seq(-0.5, 1.5, length=100)

> plot(x, punif(x, min=0, max=1), xlab="x",


+ main="Uniform Distribution: min=0, max=1", type="l")



10

Distribucion Exponencial

Una Variable Aleatoria X sigue una distribucion Exponencial si su Funcion de Densidad vienedada por,

f(x;λ) =

λe−λx para x ≥ 0 y λ > 0

0 en el resto.

Su funcion de Distribucion sera,

F (x) =

∫ x

0f(t)dt =

{

0 si x ≤ 0,1 − e−λx para x ≥ 0


E(X) = µ =

∫ ∞

0xf(x)dx =

1

λ.

Var(X) = σ2 = E(X2) − E(X)2 = 1/λ2.

La representacon grafica de las Funciones de Densidad y de Distribucion para una Variablealeatoria que siga una distribucion Exponencial de parametro λ = 5,

0.0 0.5 1.0 1.5

01

23

45

Distribución Exponencial: λ = 5

x

Den

sida

d

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distribución Exponencial: λ = 5

x

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada

Given a Poisson distribution, the distribution of waiting times between successive changes is an

Exponential distribution.

La distribucion Exponencial modeliza el tiempo transcurrido entre dos sucesos “raros”consecutivos modelizados por la distribucion de Poisson.


11

Distribucion de Exponencial con R


> x <- seq(0, 1.52, length=100)

> plot(x, dexp(x, rate=5), xlab="x", ylab="Densidad",

+ main=expression(paste("Distribucion Exponencial: ",lambda," = 5")),

+ type="l")



> x <- seq(0, 1.52, length=100)

> plot(x, pexp(x, rate=5), xlab="x",


+ main=expression(paste("Distribucion Exponencial: ",lambda," = 5")),

+ type="l")



12

Distribucion Normal

La Distribucion Normal es clave en multitud de fenomenos naturales. Sobre todo destacar ladistribucion de errores de medida, que siguen una distribucion Normal.

Una variable aleatoria X, se dice que sigue una distribucion Normal si su Funcion de Densidad esde la forma,

f(x;µ, σ) =1

σ√

2πexp

{

−(x − µ)2

2σ2

}

,

con −∞ < x < ∞ siendo µ y σ parametros de la distribucion.

While statisticians use the term “normal distribution” for this distribution, physicists sometimes

call it a Gaussian distribution and social scientists refer to it as the “bell curve”.

Representacion grafica de las funciones de densidad de diferentes N (µ, σ),

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribución Normal: µ =−1, 0, 1, σ =1

x

Den

sida

d

µ = −1

µ = 0

µ = 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Distribución Normal: µ = 0 , σ = 0.5, 1, 1.5

x

Den

sida

d

σ = 0.5

σ = 1

σ = 1.5

La Esperanza y la Varianza de una variable aleatoria X de distribucion N (µ, σ), sonrespectivamente,

E(X) =

∫ ∞

−∞

xf(x)dx =1

σ√

2π

∫ ∞

−∞

xe

{

−(x−µ)2

2σ2

}

dx =

z = (x − µ)/σ, dx = σdz

=1√2π

∫ ∞

−∞

(µ + σz)e−z2/2dz = µ

Var(X) = E((X − µ)2) =σ2

√2π

∫ ∞

−∞

z2e−z2/2dz =

u = z, dv = ze−z2/2dz

=σ2

√2π

(

[

−ze−z2/2]∞

−∞+

∫ ∞

−∞

e−z2/2dz

)

= σ2(0 + 1) = σ2


13

Distribucion Normal con R


> x <- seq(-3.291, 3.291, length=100)

> plot(x, dnorm(x, mean=0, sd=1),col="blue",xlab="x", ylab="Densidad",

+ main=expression(paste("Distribucion Normal: ", mu, " = 0 , ", sigma, " = 1")),

+ type="l")



> x <- seq(-3.291, 3.291, length=100)

> plot(x, pnorm(x, mean=0, sd=1),col="blue",xlab="x", ylab="Probabilidad Acumulada",

+ main=expression(paste("Distribucion Normal: ", mu, " = 0 , ", sigma, " = 1")),

+ type="l")



14

Distribucion Normal Estandar

La funcion de Distribucion de una N (µ, σ),

F (x) =1

σ√

2π

∫ x

−∞

exp

{

−(t − µ)2

2σ2

}

dt.

La transformacion Z = (X − µ)/σ nos proporciona valores de una distribucion normal de mediacero y varianza uno, N (0, 1).

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distribución Normal: µ = 0, σ = 1

x

Pro

babi

lidad

Acu

mul

ada

Definimos entonces la Funcion de Distribucion de la Normal Estandarizada o Tipificada,

Φ(z) =1√2π

∫ z

−∞

exp

{

− t2

2

}

dt

Esta integral no puede calcularse por metodos ordinarios, debemos acudir a integracion numerica,esta funcion Φ se encuentra recogida en las Tablas de la Normal Tipificada.

De esta forma si X sigue una distribucion N (0, 1), para el calculo de P(a < X < b) podemoshacer uso de las tablas,

P(a < X < b) = Φ(b) − Φ(a).

The so-called “standard normal distribution” is given by taking µ = 0 and σ2 = 1 in a general

normal distribution.


15


X ≡ N (0, 1), P(1 < X < 2) = Φ(2) − Φ(1)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Φ(2)

x

Den

sida

d

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Φ(1)

x

Den

sity

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Φ(2)−Φ(1)

x

Den

sity

P(1 < X < 2) = Φ(2) − Φ(1)


16


Si X sigue una distribucion Normal cualquiera, N (µ, σ), la P(a < X < b) puede calcularserealizando la transformacion, Z = (X − µ)/σ, es decir:

P(a < X < b) = P((a − µ)/σ < Z < (b − µ)/σ) =

= Φ((b − µ)/σ) − Φ((a − µ)/σ).

Una conclusion de la definicion de Φ es que,

Φ(−x) = 1 − Φ(x),

esta relacion es muy util ya que en la mayorıa de las tablas, Φ solo aparece tabulada para valorespositivos de x.


17


Vamos ahora a calcular,P(µ − kσ < X < µ + kσ),

para X ≡ N (µ, σ),

P(µ − kσ < X < µ + kσ) = P(−k < (X − µ)/σ < k) =

= Φ(k) − Φ(−k) = 2Φ(k) − 1,

que no depende ni de µ ni de σ.

P(µ − σ < X < µ + σ) = 2Φ(1) − 1 = 0.6826895P(µ − 2σ < X < µ + 2σ) = 2Φ(2) − 1 = 0.9544997P(µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 2Φ(3) − 1 = 0.9973002

> 2*pnorm(1,mean=0,sd=1)-1

[1] 0.6826895


Teorema Central del Lımite

• Si X1,X2, . . . ,Xn son n variables aleatorias independientes yX = k1 · X1 + k2 · X2 + · · · + kn · Xn, entonces X es otra v.a. de media y varianza:

E(X) =∑

i

kiE(Xi) Var(X) =∑

i

k2i Var(Xi)

Si las Xi son normales, tambien lo sera X.

• Si las v.a. X1, . . . ,Xn, constituyen una muestra de una poblacion de media µ y varianza σ2 yX = 1

n

∑

Xi, es la media muestral:

E(X) =1

n

∑

i

E(Xi) = µ Var(X) =1

n2

∑

i

Var(Xi) =nσ2

n2=

σ2

n

Ademas se tendra que X ≡ N (µ, σ2/n), n > 30.


18

Aproximaciones por la Normal

Si X es una variable Binomial, de parametros n y p, entonces si n es grande y ni p ni 1 − p sonproximos a cero:podemos considerar que X sigue aproximadamente una distribucionN (µ = n · p, σ2 = n · p · (1 − p)).

Z =X − n · p

√

n · p · (1 − p)≡ N (0, 1).

25 30 35 40 45 50 55

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08


Número de Exitos

Pro

babi

lidad

25 30 35 40 45 50 55

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

Distribución Normal: µ = 40, σ = 4.8989

x

Den

sida

d

Si X es una distribucion de Poisson de parametro λ grande, λ > 25, en la practica se puedeconsiderar que X sigue una distribucion N (µ = λ, σ2 = λ).

Z =X − λ√

λ≡ N (0, 1).

20 30 40 50

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Distribución de Poisson: λ = 36

x

Pro

babi

lidad

20 30 40 50

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Distribución Normal: µ = 36, σ = 6

x

Den

sida

d


19

Aproximaciones por la Normal con R

Aproximacion de la Binomial por la Normal:

> x <- seq(24, 56, length=100)

> plot(x, dnorm(x, mean=40, sd=sqrt(24)), xlab="x", ylab="Densidad",

+ main=expression(paste("Distribucion Normal: ", mu, " = 40, ", sigma, " = 4.89")),

+ type="l")

> x <- 24:56

> points(x, dbinom(x, size=100, prob=0.4), col="red", pch=16)

Aproximacion de la distribucion de Poisson por la Normal:

> x <- seq(18, 57, length=100)

> plot(x, dnorm(x, mean=40, sd=sqrt(40)), xlab="x", ylab="Densidad",

+ main=expression(paste("Distribucion Normal: ", mu, " = 40, ", sigma, " = 6.32")),

+ type="l")

> x <- 18:57

> points(x, dpois(x, lambda=40), col="blue", pch=16)


20

Distribucion χ2n de Pearson

Karl Pearson (1857-1936). Sean X1,X2, . . . ,Xn, n variables aleatorias independientes entre sı, deltipo N (0, 1). La variable:

X = X21 + X2

2 + · · · + X2n,

se dice que es una χ2n, ji-cuadrado de Pearson con n grados de libertad.

La funcion de densidad de una variable aleatoria χ2n es:

f(x;n) =

xn/2−1e−x/2

2n/2·Γ(n/2)si x > 0

0 en el resto.

Siendo Γ la funcion gamma definida: Γ(α) =∫∞

0 xα−1e−xdx para α > 0. La Esperanza yVarianza de la distribucion χ2

n, son respectivamente,

E(X) = µ = n

Var(X) = σ2 = 2n

0 2 4 6 8 10 12

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Distribución χ2 : n = 1,2,3,4,5

χ2

Den

sida

d

n = 1

n = 2n = 3

n = 4n = 5


21


Propiedad: La suma de χ2n1

, χ2n2

, . . . , independientes, es otra χ2n siendo n = n1 + n2 + . . . .

La Funcion de Probabilidad F (x) nos permite saber, dada una variable aleatoria X ≡ χ2n,

P(X < a) = p =

∫ a

0f(x;n)dx.

El calculo de esta integral se encuentra en la Tabla de distribucion χ2n de Pearson.

> qchisq(0.95,df=3)

[1] 7.814728


22


Mas en concreto la Funcion de Distribucion Inversa: para distintos valores de n y de p se puedebuscar en la tabla su cuantil a.

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

χ2 n=3, P(X<a)=p=F(a)

x

Den

sida

d

p

a


χ2n de Pearson con R

Distribucion χ2n de Pearson:

> x <- seq(0, 12.116, length=100)

> plot(x, dchisq(x, df=1), xlab=expression(chi^2), ylab="Densidad",

+ main=expression(paste("Distribucion ", chi^2," : n = 1,2,3,4,5")), type="l")


> abline(v=0, col="gray")

> text(1,1,"n = 1",col="black")

> lines(x, dchisq(x, df=2),col="blue")

> text(2,.34,"n = 2",col="blue")

> lines(x, dchisq(x, df=3),col="green")

> text(3,.31,"n = 3",col="green")

> lines(x, dchisq(x, df=4),col="red")

> text(4,.28,"n = 4",col="red")

> lines(x, dchisq(x, df=5),col="pink")

> text(5,.25,"n = 5",col="pink")


23

Distribucion tn de Student

William Sealy Gosset (1876-1937). Sea Z una variable aleatoria N (0, 1) e Y una χ2n ambas

independientes, entonces la variable aleatoria,

X =Z

√

Y/n,

se denomina tn de Student con n grados de libertad.La funcion de densidad de una variable aleatoria tn es:

f(x;n) =

1√

nβ( 12, n2)

(

1 + x2

n

)−(n+1)/2para −∞ < x < ∞y n > 0

0 en el resto.

Siendo β la funcion beta definida: β(α1, α2) = Γ(α1)·Γ(α2)Γ(α1+α2) para α1, α2 > 0.

La Esperanza y Varianza de la distribucion tn, son:

E(X) = µ = 0, para n > 1, indefinida para otros valores.

Var(X) = σ2 =n

n − 2, para n > 2, indefinida para otros valores.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribución t Student : n = 1,2,3,4

x

Den

sida

d

N(0,1)

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4


24


Propiedad: A medida que aumenta n, tn −→ N (0, 1).

La Funcion de Probabilidad F (x) nos permite saber, dada una variable aleatoria X ≡ tn,

P(X < a) = p =

∫ a

−∞

f(x;n)dx.

El calculo de esta integral se encuentra en la Tabla de distribucion tn de Student.

> qt(0.975,df=5)

[1] 2.570582


25


Mas en concreto la Funcion de Distribucion Inversa: para distintos valores de n y de p se puedebuscar en la tabla su cuantil a.

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

t n=3, P(X<a)=p=F(a)

x

Den

sida

d

p

a


tn de Student con R

Distribucion tn de Student:

> x <- seq(-3.291, 3.291, length=100)

> plot(x, dnorm(x, mean=0, sd=1), xlab="x", ylab="Densidad",

+ main="Distribucion t Student : n = 1,2,3,4",, type="l")


> text(2,.38,"N(0,1)",col="black")

> lines(.x, dt(x, df=1),col="blue")

> text(2,.36,"n = 1",col="blue")

> lines(.x, dt(x, df=2),col="green")

> text(2,.34,"n = 2",col="green")

> lines(.x, dt(x, df=3),col="red")

> text(2,.32,"n = 3",col="red")

> lines(.x, dt(x, df=4),col="pink")

> text(2,.30,"n = 4",col="pink")


26

Distribucion Fm,n de Snedecor

George Waddel Snedecor (1881-1974). Sean U y V dos variables independientes distribuidassegun leyes ji-cuadrado de m y n grados de libertad respectivamente, la variable X,

X =U/m

V/n,

se dice que es una variable Fm,n de Snedecor con m y n grados de libertad, en el numerador ydenominador respectivamente.La funcion de densidad viene dada por la expresion,

f(x;m,n) =

(m/n)m/2

β(m2

, n2) · xm/2−1

(1+ mn

x)(m+n)/2 para x > 0 y m,n > 0

0 en el resto.

La Esperanza y la Varianza de una distribucion Fm,n son:

E(X) = µ =n

n − 2, para n > 2, indefinida para otros valores.

Var(X) = σ2 =2n2(m + n − 2)

m(n − 2)2(n − 4), para n > 4, indefinida para otros valores.

0 2 4 6 8

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Distribución F: m,n

f

Den

sida

d

m=1, n=1

m=2, n=1

m=5, n=2

m=100, n=1

m=100, n=100


27


Propiedad: Si X ≡ Fm,n entonces 1X ≡ Fn,m.

La Funcion de Probabilidad F (x) nos permite saber, dada una variable aleatoria X ≡ Fm,n,

P(X < a) = p =

∫ a

0f(x;m,n)dx.

El calculo de esta integral se encuentra en la Tabla de distribucion Fm,n de Snedecor.

> qf(0.95,df1=3,df2=4)

[1] 6.591382


28


Mas en concreto la Funcion de Distribucion Inversa: para distintos valores de m,n y de p sepuede buscar en la tabla su cuantil a.

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

F m=5,n=2, P(X<a)=p=F(a)

x

Den

sida

d

p

a


Fm,n de Snedecor con R

Distribucion Fm,n de Snedecor:

> x <- seq(0, 8, length=400)

> plot(x, df(x, df1=1, df2=1), xlab="f", ylab="Densidad",

+ main="Distribucion F: m,n", type="l")


> abline(v=0, col="gray")

> text(6,2,"m=1, n=1",col="black")

> lines(.x, df(x, df1=2, df2=1),col="blue")

> text(6,1.8,"m=2, n=1",col="blue")

> lines(.x, df(x, df1=5, df2=2),col="green")

> text(6,1.6,"m=5, n=2",col="green")

> lines(.x, df(x, df1=100, df2=1),col="red")

> text(6,1.4,"m=100, n=1",col="red")

> lines(.x, df(x, df1=100, df2=100),col="pink")

> text(6,1.2,"m=100, n=100",col="pink")


29

m todos estad sticos de la ingenier a tema 8: algunas ...cuando el valor de la variable aleatoria se...

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