variable aleatoria bidimensional

5/12/2018 Variable aleatoria Bidimensional - slidepdf.com

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Tema 3: VARIABLEALEATORIA BIDIMENSIONAL

Carlos Alberola López

Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación

Despacho 2D014

[email protected], [email protected],

http://www.lpi.tel.uva.es/sar



Juego de dardos:

• Cada lanzamiento es unexperimento aleatorio.

• Los errores (respecto delcentro) en sentido horizontal

serían realizaciones de las VAX.

• Los errores (respecto delcentro) en sentido vertical

serían realizaciones de las VAY.

Concepto de VA bidimensional

• ¿Cuándo será mejor un jugador que otro? Cuando másfrecuentemente (probablemente) alcance mayor puntuación.

• Necesitamos pues herramientas bidimensionales ….



Una modulación digital:

• Se envían símbolos duranteun tiempo T de la forma:

con

Un modelo real presenta ruido!!!


• Diseño de regiones de decisión para minimizar probabilidad deerror: sectores angulares similares a la diana.

• Valor de A que garantiza una determinada calidad en el servicio.




X

Y

( )YX,

Pc: Como norma general no esconocida a partir delconocimiento exclusivo de P1 yP

2



Caracterización de VA bidimensional

A) Función de distribución conjunta

x

y

x{ } x≤X

y

{ } y≤Y




x

y

{ } x≤X

y

{ } y≤Y { } 2S x ×≤X

x





x

y

{ } x≤X

{ } yS ≤× Y1

x

y





x

y

{ } x≤X

{ } yS ≤× Y1

{ } { } ySS x ≤××≤ YX 12 I

{ } { } y x ≤≤ YX I

x

y




Función de distribución conjunta

• Se define como la probabilidad de la región anterior:

• Nótese que:



• Es una función de probabilidad acumulada:

Función de distribución conjunta

{ } { }00 y x A ≤≤= YX I

{ } { }11 y x B ≤≤= YX I

( ) ( )1100 ,, y xF y xF XYXY

≤

pues:

B AC A B ⊂⇒= U



( ) ( )

( ) ( ) DP AP

D AP BP D A B

+=

=⇒= UU

x

y

2 x

y

1 x

D

x

y

2 x

y

1 x

A

x

y

2 x

y

1 x

B

( ) ( ) ( ) AP BP DP −=

( ) ( ) ( ) y xF y xF DP ,, 12 XYXY

−=

Función de distribución: usos



( ) ( ) ( ) ( ) DP AP BP E P −−=

( ) ( ) ( )2122 ,, y xF y xF E P XYXY

−=

Función de distribución: usos

2 x1 x

x

y

2 y

1 y

E

D x

y

2 x1 x

A

2 y

1

y

x

y

2 x1 x

B

2 y

1 y

( ) ( )( )1112 ,, y xF y xF XYXY

−−

( ) ( )

( ) ( ) ( ) E P DP AP

E D AP BP E D A B

++=

=⇒= UUUU



B) Función de densidad de probabilidad

• La función de distribución es poco versátil, pues sólo permitehallar probabilidades de regiones con geometría muy sencilla.

• ¿Qué sucede si necesitamos calcular la probabilidad de una

región con geometría arbitraria?

x

y

( )

∑ii

RP





• La función de densidad se define de la forma

• Y la relación inversa es

• De forma que la probabilidad asociada a una región arbitraria Ddel plano es

No negativa

Volumenencerrado=1





• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define

• se puede escribir de forma alternativa






• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define

• se puede escribir de forma alternativa x x Δ+ x

x

y y y Δ+

y



Ejercicio:

( ) ( ) xF xP XX −=> 1 ( ) ( ) y xF y xP ,1, XYYX −=>>¿ ?

¡¡NO!!

{ } { } y x y xS ≤≤>>= YXYX UU,

( ) { } { }( ) y x y xPSP ≤≤>>= YXYX UU,

( ) ( ) y xP y xP ≤≤+>>= YXYX U,1

( ) ( ) y xP y xP ≤≤−=>> YXYX U1,

( ) ( ) ( ) ( ) y xP yP xP y xP ≤≤−≤+≤=≤≤ YXYXYX IU

( ) ( ) ( )( ) y xF yF xF ,1XYYX

−+−=



Funciones marginales• Las funciones de distribución o densidad de cada variable por

separado, en este contexto se denominan funciones marginales.

• A partir de las funciones de densidad o distribución conjuntasiempre se pueden obtener las marginales

X

Y( )YX,

• Recíproco, en general,

no es cierto



Funciones de distribución marginales• Para obtener hay que definir el suceso a

partir del caso 2D. Para ello escribimos

• Es decir, que en el suceso compuesto la segunda variable no

suponga restricción alguna. Por ello

• De la misma forma

( ) xF X

( ) xP ≤X

( ) { }( )2S xP xP ×≤=≤ XX



Funciones de densidad marginales• En este caso:

• Lo cual se puede escribir de forma compacta como

• con

( )∫ ∞−=

x

d dx

d α α φ

( ) ( )∫ ∞

∞−= dy y f ,α α φ

XY



Funciones de densidad marginales• Para derivar bajo el signo integral acudimos a la regla:

• En nuestro caso tenemos:

• por lo que:

( ) ( ) ,∫ ∞−=

x

d

dx

d x f α α φ

X( ) ( )∫

∞

∞−= dy y f ,α α φ

XY

( ) ( ) ( )∫ ∞

∞−== dy y x f x x f ,

XYXφ



Funciones de densidad marginales• Por tanto:



Casos particulares:A) Dos variables discretas

Supongamos que nos preguntan:

con

( ) xP ≤X

( ) ( ) ( )C P BP AP ++= A B

C

222111 p p p ++=

{ } jiij y xP p === YX I



Casos particulares:B) Una variable continua y una discreta

Supongamos que nos preguntan:

2 R1

R

( ) y xP ≤≤ YX , ( )21 R RP U=

{ } { } y x R ≤== YX I11

{ } { } y x R ≤== YX I22

( ) ( )21 RP RP +=



( ) ( ) { } { }( ) { } { }( ) y xP y xP RP RP ≤=+≤==+ YXYX II 2121

( ) ( ) ( ) ( )2121, RP RP R RP y xP +==≤≤ UYX

( )( )

( )( )

2211

xP x yP xP x yP ==≤+==≤= XXYXXY

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∞− ∞−==+===

y y

Y d x f xPd x f xP τ τ τ τ 2211 XXXXY

Entonces:

Por lo que:

Es necesario pues conocer:

( )i xP =X

( )i

x y f =XY



Casos particulares:C) Componentes relacionadas mediante ( )XY g=

Se puede obtener la funciónconjunta a través de cada unade las marginales:

( ) xg y >

( ) )(),( xF xP y xF XXY

X =≤=

( ) xg y <

( )( ) ( ))(),(11

ygF ygP y xF −−

=≤= XXY X

( )( )xg,x



Casos particulares:Supongamos que las componentes están relacionadas mediante

una recta y nos piden la probabilidad de la región sombreada:

A

B C

D

R

( ))()(

)()(

DF C F

BF AF RP

XYXY

XYXY

−−+=

( ) xg y >

( ) xg y <

D

C B A ,,

( ) XXY 2== g

)0())0(()()( 1XXXYXY F gF C F BF === −

( )=−=

)()( DF AF RP XYXY ( )( ) =−

−

)1(5

1

XX F gF ( ) )1(2 / 5 XX F F −



Funciones condicionadas

• Se plantea cómo incluir más información en lasfunciones de caracterización total de las variables

aleatorias una vez que se sabe que un determinadosuceso se ha verificado.

• A tales funciones se les denomina funcionescondicionadas, y se representan:

donde M es un suceso de probabilidad no nula.



Funciones condicionadas



Funciones condicionadas,marginales y conjuntas

• Existe una relación importante entre estas tres

funciones, tanto a nivel de función de distribución comoa nivel de función de densidad.

• Para la función de distribución, supongamos que elcondicionante es y calculemos lafunción . Así pues

• Por ello:

• Y de forma similar

{ } y M ≤= Y

( ) M xF X



Funciones condicionadas,marginales y conjuntas

• Para la función de densidad, consideremos que el

condicionante es una franja de valores de la VA Y, asaber, { }21 y y M ≤<= Y

• Renombramos ahora para poder

acudir a cálculo diferencial:

⎩⎨⎧

+=

=

y y y

y y

Δ2

1



• Teníamos que

• Y con el cambio de variables:

• Calculando el límite:



• Repetimos la expresión:

• Y ahora derivando con respecto a x:

• Por lo que podemos escribir:



Comentarios adicionales

• ¿Cómo es una función de densidad condicionada a laotra variable?

• Esta expresión permite construir muestras de una VA

bidimensional mediante ordenador:

( )

( )muestras

x

100x,1N~

0,1N~

⎭⎬⎫

=XY

Xx=randn(100,1)

y=x+randn(100,1)



Teorema de la Probabilidad Total

• Nótese que podemos integrar estas expresiones yobtenemos las funciones marginales:



Teorema de Bayes

Teorema de la Probabilidad Total



Independencia de dos VAs

• Se dice que dos VAs son independientes si se verificaque los experimentos aleatorios de los que procedenson independientes. Esto trae consigo que:

con

• En particular si escogemospodemos afirmar que dos VAs son independientes si:

• O bien




• Vimos que de forma general podemos escribir

• Según hemos visto las variables son independientes sise verifica que

Por tanto si son independientes “el condicionante no

condiciona”

• Para el caso de las VAs discretas, la independencia setraduce en:



• La comprobación de la “no independencia” es muysencilla e intuitiva. En particular


Recorridos de VAs

dependientes entre sí!!!!!

( ) 0, 00 = y x f XY

pero( )

( )⎩⎨⎧

≠

≠

0

0

0

0

y f

x f

Y

X



• Objetivo: obtener la caracterización de Z a partir de lade X e Y.

• Procedimiento: a partir de la definición de función dedistribución:

siendo

el procedimiento consiste en:

1. Identificar la región Dz

2. Realizar la integral

Transformación de VA 2D. Caso Z=g(X,Y)



• Consideremos que . Obtengamosla función de distribución de la VA Z.

• Partimos de:

Transformación de VA 2D. Ejemplo

• Entonces:

• Para obtener la función dedensidad derivamos

( ) ( )∫ ∫

∞

∞−

−

∞−=

x z

z dxdy y x f DP ,XY

( )( ) ( )

dz

DdP

dz

zdF z f z== Z

Z



• Por tanto:

• Hagamos el cambio de variable

• Entonces


( )( )

( )∫ ∫ ∞

∞−

−

∞−==

x z z dxdy y x f

dz

d

dz

DdP z f ,

XYZ

xt y −=

( ) ( )∫ ∫ ∞

∞− ∞−−=

z

dxdt xt x f dz

d z f ,

XYZ

( )∫ ∫ ∞−

∞

∞− ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡ −=z

dt dx xt x f dzd ,

XY

( )∫ ∞−=

z

dt t dz

d ϕ

( ) ( ) ( )∫ ∞

∞−−== dx x z x f z z f ,

XYZϕ



• Nótese que si las VAs fuesen independientes, elresultado anteriormente obtenido:

• se escribiría

• Es decir

• Este resultado recibe el nombre de Teorema de la

Convolución (la función de densidad de la suma de 2VAs independientes es igual a la convolución de lasfunciones de densidad)

• Consultar tres ejemplos más en el libro.


( ) ( ) ( )∫ ∞

∞−−== dx x z x f z z f ,

XYZϕ

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∞

∞−−== dx x z f x f z z f

YXZϕ

( ) ( ) ( ) z f z f z f YXZ

∗=



• Consideremos ahora que partimos de:

• El objetivo es obtener la función de densidad de lasVAs de destino como función de la función de densidadde las VAs de origen.

• Llegaremos a una expresión que será el TeoremaFundamental extendido a dos dimensiones.

Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs



• Para ello, escribimos




• Generalizando

• Y dado que:




• Entonces resulta la expresión del teorema:

• con:




• Solución: la expresión del teorema fundamental es:



( ) ( ) ( ) y f x f y x f YXXY

=,

• Sólo hay una raíz del plano origen que se transforma en

una del plano destino (salvo para el (0,0), pero es unpunto aislado en el plano).

• Por ello, escribimos:

• Sustituyendo términos:



• Hemos obtenido pues:

• Y dado que W=X

• Ahora hay que indicar en qué zona del plano (z,w) es

cierta la conclusión obtenida.

( ) x x

w z f 11

, ==ZW

( ) ww z f

1

, =ZW

x

y

1

1

0 w

z

1

1

0 w

10≤≤≤

w z



• Consideremos ahora que partimos de:

es decir, de una transformación de 2 Vas.

• Supongamos que deseamos conocer su función de

densidad. Podemos emplear el teorema fundamentalhaciendo lo siguiente:

• Este procedimiento es el método de la VA auxiliar

Transformación de VA. Método de laVariable Auxiliar

( )w z f ,ZW ( ) ( )∫ ∞

∞−= dww z f z f ,ZWZ

(1)

(2) (3)



Tenemos pues:



Indep.

De forma que:

C i ió i l d VA 2D



• De forma similar al caso 1D, si se tiene y

se desea entonces se puede escribir:

• En particular, si

Caracterización parcial de VA-2D

( ){ }Zh E

( )YXZ ,g=

( ) ZZ =h

C t i ió i l d VA 2D



• Si ahora

Caracterización parcial de VA-2Dcba ++= YXZ

C t i ió i l d VA 2D



• Variables discretas:

• Esperanzas condicionadas: úsese función de densidadcondicionada

Caracterización parcial de VA-2D

M t d VA 2D



Momentos de una VA-2D

• Se dividen en

• No centrales:

• Centrales:

• Si las VAs son discretas:

M m t d VA 2D




• Con nombre propio

• Correlación:

• Covarianza:

• Existe relación entre ellos:

• Coef. de correlación:

Momentos de una VA 2D




• Variables ortogonales:

• Variables incorreladas:

• Independencia implica incorrelación:

• El recíproco no es cierto!!!!! (en general)

0=XY

R

0=XY

C

Momentos de una VA 2D




• Variables incorreladas:

• Varianza de la suma es igual a suma de lasvarianzas:

• Variables ortogonales:

• Si las variables son ortogonales el mismorazonamiento aplica para el valor cuadrático mediode la suma.

0=XY

C

0=XY

R

Unas nociones sobre estimación




• Se trata de poder predecir lo que vale una variable (Y)una vez que se ha observado lo que vale la otra (X):

( )XY g=ˆ (estimador de Y)





• Criterio de construcción de estimadores:minimizar elvalor cuadrático medio del error

• Veremos tres casos:

• Estimar mediante constante:

• Estimar mediante función lineal

• Estimador sin restricciones

YYε ˆ−= { } ( )2

2 ˆminmin YYε −= E E

( ) ag == XY

( ) bag +== XXY

( )XY g=ˆ





• Estimar mediante constante

• Estimar mediante función lineal

• Estimador sin restricciones

{ }2min ε E a

( ) ag == XY { }Y E a =∗

{ }2,min ε E

ba

{ } { }XY

X

XY

E a E b

C

a∗∗

∗

−==

2σ ( ) bag +== XXY

( ){ }2min ε E

g( )XY g=ˆ ( ) { } ( )∫

∞

∞−=== dy x y yf x E g

YXYX





• Es interesante ver que el coeficiente de correlación mideel grado de relación lineal entre las variables:

• VCM del error para estimador constante:

• VCM del error para estimador lineal

• Si ambos coinciden, ¿Por qué? Porque:

{ } 22

Yε σ = E

{ } ( )222 1XYY

ε ρ σ −= E

0=XY

ρ

{ } { }XY

X

XY

E a E b

C a

∗∗

∗

−=

=2σ

variable aleatoria bidimensional

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