sistemas aleatorios: variable aleatoria

Sistemas Aleatorios: Variable Aleatoria

Computacion / Matematicas

MA2006

Computacion / Matematicas Sistemas Aleatorios: Variable Aleatoria

Variables Aleatorias, Intro

Sea (S,P) un espacio muestral. Aunque nos pueden interesar losresultados individuales de la lista en S, con frecuencia interesanmas los eventos. Por ejemplo, en el espacio muestral del par dedados podemos necesitar conocer la probabilidad de que seandistintos los numeros en los dos dados. O bien, al lanzar 10 vecesuna moneda al aire, podrıamos necesitar conocer la probabilidad deobtener una cantidad igual de CARAS y CRUCES. Y en algunassituaciones, estaremos mas interesados en cierta cantidad asociadaa los eventos simples. El concepto de variable aleatoria se usarapara asignar a eventos simples otra cantidad u objeto en el cual sıestaremos interesados.


Variable Aleatoria

Una variable aleatoria es una funcion definida en un espacio deprobabilidad; esto es, si (S,P) es un espacio muestral, entoncesuna variable aleatoria es una funcion X : S → V (para algunconjunto V ). Normalmente V es un conjunto de numeros enteroso reales.


Ejemplo

Sea (S,P) el espacio muestral del par de dados. Sea X : S → N lavariable aleatoria que expresa la suma de los numeros en los dosdados.

s X

(1,1) 2

(1,2) 3...

...

(6,5) 11

(6,6) 12


Ejemplo

Sea (S,P) el espacio muestral que representa 3 volados con unamoneda no cargada. Sea X : S → Z la variable aleatoria queexpresa la cantidad de caras menos la cantidad de cruces.

s X

ccc 3

ccx 1

cxc 1

xcc 1

cxx -1

xcx -1

xxc -1

xxx -3


Ejemplo

Sea (S,P) el espacio muestral que representa 10 volados con unamoneda no caragada. Sea X : S → P(N) la variable aleatoria queexpresa las posiciones donde se observa cara.

s X

cccccccccc {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}cccccccccx {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

......

cxxxxxxxxx {1}xxxxxxxxxx {}


Extension de P

Sea (S,P) el espacio muestral y sea X : S → V una variablealeatoria. Digamos que la formula Y define un conjunto en Ventonces P(Y ) representara la probabilidad P(X−1(Y )).


Extension de P

Sea (S,P) un espacio muestral tal que S = {a, b, e, d}, yP(a) = 0.1, P(b) = 0.2, P(e) = 0.3, y P(d) = 0.4. Defina lasvariables aleatorias X y Y como:

s X (s) Y (s)

a 1 -1b 3 3e 5 6d 8 10

Escriba el evento X > 3 en forma de conjunto de resultados ycalcule P(X > 3).


Extension de P

Sea (S,P) un espacio muestral tal que S = {a, b, e, d}, yP(a) = 0.1, P(b) = 0.2, P(e) = 0.3, y P(d) = 0.4. Defina lasvariables aleatorias X y Y como:

s X (s) Y (s)

a 1 -1b 3 3e 5 6d 8 10

Escriba el evento X > 3 en forma de conjunto de resultados ycalcule P(X > 3).

X > 3 = {s ∈ S,X (s) > 3}= {e, d}

P(X > 3) = P({e, d})= P(e) + P(d)= 0.3 + 0.4 = 0.7


Extension de P

s P(s) X (s) Y (s)

a 0.1 1 -1b 0.2 3 3e 0.3 5 6d 0.4 8 10

Escriba el evento Y es impar en forma de un conjunto deresultados y calcule P(Y es impar).


Extension de P

s P(s) X (s) Y (s)

a 0.1 1 -1b 0.2 3 3e 0.3 5 6d 0.4 8 10

Escriba el evento Y es impar en forma de un conjunto deresultados y calcule P(Y es impar).

Y es impar = {s ∈ S,Y (s) es impar}= {a, b}

P(Y es impar) = P({a, b})= P(a) + P(b)= 0.1 + 0.2 = 0.3


Extension de P

s P(s) X (s) Y (s)

a 0.1 1 -1b 0.2 3 3e 0.3 5 6d 0.4 8 10

Escriba el evento X > Y en forma de un conjunto de resultados ycalcule P(X > Y ).


Extension de P

s P(s) X (s) Y (s)

a 0.1 1 -1b 0.2 3 3e 0.3 5 6d 0.4 8 10

Escriba el evento X > Y en forma de un conjunto de resultados ycalcule P(X > Y ). Como:

X > Y = {s ∈ S,X (s) > Y (s)}= {a}

P(X > Y ) = P({a})= P(a) = 0.1


Extension de P

s P(s) X (s) Y (s)

a 0.1 1 -1b 0.2 3 3e 0.3 5 6d 0.4 8 10

Escriba el evento X = Y en forma de un conjunto de resultados ycalcule P(X = Y ).


Extension de P

s P(s) X (s) Y (s)

a 0.1 1 -1b 0.2 3 3e 0.3 5 6d 0.4 8 10

Escriba el evento X = Y en forma de un conjunto de resultados ycalcule P(X = Y ). Como:

X = Y = {s ∈ S,X (s) = Y (s)}= {b}

P(X = Y ) = P({b})= P(b) = 0.2


Extension de P

Defina una nueva variable aleatoria Z = X + Y . Calcule P(Z = n)para todos los enteros n.

s P(s) X (s) Y (s) Z

a 0.1 1 -1 0b 0.2 3 3 6e 0.3 5 6 11d 0.4 8 10 18


Extension de P



a 0.1 1 -1 0b 0.2 3 3 6e 0.3 5 6 11d 0.4 8 10 18

n Z = n P(Z = n)

0 {a} 0.1

6 {b} 0.2

11 {e} 0.3

18 {d} 0.4

otro caso {} 0


Extension de P



a 0.1 1 -1 0b 0.2 3 3 6e 0.3 5 6 11d 0.4 8 10 18

n Z = n P(Z = n)

0 {a} 0.1

6 {b} 0.2

11 {e} 0.3

18 {d} 0.4

otro caso {} 0P(Z = n) =

0.1 si n = 00.2 si n = 60.3 si n = 110.4 si n = 180.0 otro caso


Ejemplo

Sea (S,P) el espacio muestral que representa 3 volados con unamoneda no cargada. Sea X : S → Z la variable aleatoria queexpresa la cantidad de caras menos la cantidad de cruces.

s X

ccc 3

ccx 1

cxc 1

xcc 1

cxx -1

xcx -1

xxc -1

xxx -3

Calcule P(X = 1), P(X ≤ 0)


Variable Aleatoria de Bernoulli

Cualquier variable aleatoria cuyos unicos valores son 0 y 1 se llamavariable aleatoria de Bernoilli.


Tipos de Variables Aleatorias

Sea D el conjunto de valores de una variable aleatoria X .

X se dice variable aletoria discreta si D es finito o bien o biennumerable.

X se dice variable aleatoria continua si

D es un intervalo real, posiblemente infinito como (−∞,+∞)o (a,∞) o (−∞, a).Ningun valor posible de D tiene probabilidad positiva: paratodo c de D, P(X = c) = 0.


Variable Aleatoria Binomial

Supongamos que con una moneda se obtienen CARA conprobabilidad p y CRUZ con probabilidad 1−p. La moneda se tira nveces al aire. Sea X la cantidad de veces que sale CARA. Sea h unentero. ¿Cual es P(X = h)? Si h < O o bien h > n, es imposibleque X (s) = h, por lo que P(X = h) = 0. Ası, concentraremosnuestra atencion al caso en que 0 ≤ h ≤ n. Hay exactamente Cn,h

sucesiones de n tiradas con exactamente h CARAS. Todas ellastienen la misma probabilidad: ph(l − p)n−h. En consecuencia

P(X = h) = Cn,h · ph(l − p)n−h

A X se le llama variable aleatoria binomial.


Ejemplo

Se arroja al aire tres veces una moneda no cargada. Esto semodela como un espacio muestral (S,P), donde S contiene lasocho listas, desde CCC hasta CCC, cada con probabilidad 1/8. SeaX la cantidad de veces que sale CRUZ. Escriba P(X = n) enforma explıcita de n.


Ejemplo

Se arroja al aire tres veces una moneda no cargada. Esto semodela como un espacio muestral (S,P), donde S contiene lasocho listas, desde CCC hasta CCC, cada con probabilidad 1/8. SeaX la cantidad de veces que sale CRUZ. Escriba P(X = n) enforma explıcita de n.

n P(X = n)

0 0.125

1 0.375

2 0.375

3 0.125

otro caso 0


Ejemplo

Se tira un par de dados legales. Sea X el (valor absoluto de la)diferencia entre los numeros que salen en los dados. EscribaP(X = n) en forma explıcita de n.


Ejemplo

Se tira un par de dados legales. Sea X el (valor absoluto de la)diferencia entre los numeros que salen en los dados. EscribaP(X = n) en forma explıcita de n.

P(X = n) =

6/36 si n = 010/36 si n = 18/36 si n = 26/36 si n = 34/36 si n = 42/36 si n = 50.000 otro caso


Variables Aleatorias Independientes

Sea (S,P) un espacio muestral y sean X y Y dos variablesaleatorias. X y Y se dice que son variables aleatoriasindependientes si para toda a y b se cumple:

P(X = a y Y = b) = P(X = a) · P(Y = b)


Cosas a recordar

Le nombre variable aleatoria es uno de los ejemplos maximos de unnombre erroneo. Una variable aleatoria ni es aleatoria ni esvariable. Mas bien es una funcion definida en un espacio muestral(S, P). Esto es, para toda s ∈ S , la variable aleatoria X produceun valor X (s). Ampliamos la notacion P(·) para incluir los eventosque describen las variables aleatorias; ası, por ejemplo, P(X = 3)es la probabilidad del evento {s ∈ S : X (s) = 3}. Las variablesaleatorias X y Y son independientes, si los eventos X = a y Y = bson independientes para todas a y b.


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