material tema 3 variable aleatoria

Capıtulo 3

Variable Aleatoria

3.1. Introduccion

En muchos estudios no estamos interesados en saber cual evento ocurrio, sino en

el numero de veces que ha ocurrido un evento. Por ejemplo, al lazar dos monedas,

podrıamos estar interesados en el numero de caras que ocurrieron. Al nacer 5 cinco

ninos, quesieramos saber cuantos son varones. Al seleccionar 20 artıculos de un pro-

ceso productivo podrıamos estar interesado en el numero de defectuosos. Todos estos

ejemplos tienen la caracterıstica de que a cada uno de los elementos del espacio mues-

tral se le asigna un numero real, que indica el numero de veces que esta presente la

caracterıstica de interes. Dicha asignacion se realiza a traves de una funcion la cual

llamamos variable aleatoria.

Definicion 3.1 Una variable aleatoria es una funcion X que asigna un numero real a

cada elemento del espacio muestral.

Por lo tanto, Una variable aleatoria puede definirse como,

81

82 CAPITULO 3. VARIABLE ALEATORIA

X : Ω → IR

es decir una funcion cuyo dominio es el espacio muestral y rango el conjunto de los

numero reales.

Ejemplo 3.2 Consideremos el experimento en el cual se lanza una moneda. El espacio

muestral para este experimento esta dado por Ω = {C, S}. Sea X = {Numero de caras},esta funcion asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral:

Si el resultado obtenido al lanzar la moneda es cara, w = C, entonces, X(w) = 1.

Si el resultado obtenido al lanzar la moneda es sello, w = S, entonces, X(w) = 0.

Por lo tanto, la variable aletaoria X toma los valores {0, 1}

Ejemplo 3.3 Consideremos el experimento en el cual se lanza dos monedas. El espa-

cio muestral para este experimento esta dado por Ω = {CC, CS, SC, SS}. Sea X =

{Numero de caras}, esta funcion asigna los siguientes valores a los elementos del es-

pacio muestral:

Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = CC, entonces, X(w) =

2.

Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = CS, entonces, X(w) =

1.

Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = SC, entonces, X(w) =

1.

Si el resultado obtenido al lanzar las dos monedas es w = SS, entonces, X(w) =

0.

3.2. CLASIFICACION DE LAS VARIABLES ALEATORIAS 83

Por lo tanto, la variable aletaoria X toma los valores {0, 1, 2}

3.2. Clasificacion de las Variables Aleatorias

Las variables aleatorias se pueden clasificar de acuerdo a su rango en discretas y con-

tinuas.

Definicion 3.4 (Variable Aleatoria Discreta) Una variable aleatoria X se dice

que es discreta si el numero posible de valores de X, es decir su rango, es finito o

infinito numerable.

La definicion anterior establece que X es discreta, si sus valores posibles se pueden

anotar como x1, x2, ..., xn en el caso finito o x1, x2, ... en el caso infinito numerable.

Definicion 3.5 (Variable Aleatoria Continua) Una variable aleatoria X se dice

que es continua si el numero posible de valores de X, es decir su rango, infinito no

numerable.

La definicion anterior establece que X es continua, si puede tomar cualquier valor en

un intervalo (a, b), pudiendo ser = −∞ y b = +∞.

En este tema solo estudiaremos el caso en que la variable aleatoria es discreta, para el

tratamiento del caso continuo es necesario tener algunos conocimientos matematicos

que hasta el momento no se han dado.

3.3. Distribucion de Probabilidad

Vamos a estudiar por separado cuando la variable aleatoria es discreta al caso continuo.


3.3.1. Distribucion de Probabilidad de una Variable Aleatoria

Discreta

Hemos visto que una variable aleatoria es una funcion definida sobre el espacio muestral

de un experimento aleatorio Ω. Por ejemplo si X es una variable aleatria definida sobre

Ω, que toma los valores X = {x1, x2, ..., xn}, entonces X = x1 esta asociado a un

subconjunto de Ω, al cual hemos llamado evento, por lo tanto,X = x1 es tambien un

evento y en consecuencia tiene asociada una probabilidad, la cual esta dada por:

P (X = x1) = P (A) = P ({w : X(w) = x1})

Al conjunto formado por los valores de una variable aleatoria con sus respectivas pro-

babilidades es lo que se conoce como distribucion de probabilidad.

Como la probabilidad es una funcion, entonces P (X = xi) se conoce como la funcion

de masa de probabilidad.

Definicion 3.6 Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x1, x2, ..., xn

entonces la funcion de masa de probabilidad de x, denotada por pi, se define como:

pi = P (X = xi) ; i = {1, 2, ..., n} (3.1)

Ejemplo 3.7 Consideremos el experimento en el cual se lanzan dos monedas. Sea

X = {Numero de caras},entonces

P (X = 0) = P ({SS}) = 14

P (X = 1) = P ({CS} ∪ {SC}) = P ({CS}) + P ({SC}) = 14

+ 14

= 12

P (X = 2) = P ({CC}) = 14

3.3. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD 85

Por lo tanto la funcion de masa de probabilidad puede escribirse como,

P (X = x)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

14, si x = 0 o x = 2;

12, si x = 1.

0, otro caso.

Otra forma de expresar este resultado es la manera tabular,

x 0 1 2

P (X = x) 14

12

14

Ejemplo 3.8 En un proceso productivo los artıculos pueden clasificarse como defec-

tuosos o no defectuosos. Se sabe por estudios anteriores que la produccion de artıculos

defectuosos es del 10%. Si se extraen 3 artıculos al azar, vamos a determinar la dis-

tribucion de probabilidad del numero de artıculos defectuosos. Para ello definamos la

siguiente variable aleatoria

X = {Numero de artıculos defectuosos}

entonces X = {0, 1, 2, 3} con las siguientes probabilidades

P (X = 0) = P ({DcDcDc}) = 0,9 ∗ 0,9 ∗ 0,9 = 0,729

P (X = 1) = P ({DDcDc} ∪ {DcDDc} ∪ {DcDcD})

= P ({DDcDc}) + P ({DcDDc}) + P ({DcDcD}) = 3 ∗ 0,92 ∗ 0,1 = 0,243

P (X = 2) = P ({DDDc} ∪ {DDcD} ∪ {DcDD})

= P ({DDDc}) + P ({DDcD}) + P ({DcDD}) = 3 ∗ 0,9 ∗ 0,12 = 0,027

P (X = 3) = P ({DDD}) = 0,1 ∗ 0,1 ∗ 0,1 = 0,001


Por lo tanto la funcion de masa de probabilidad puede escribirse como,

P (X = x)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0,729, si x = 0 ;

0,243, si x = 1;

0,027, si x = 2;

0,001, si x = 3;

0, otro caso.

De manera tabular quedarıa,

x 0 1 2 3

P (X = x) 0.729 0.243 0.027 0.001

Otra funcion que caracteriza la distribucion de probabilidad de una variable alea-

toria es la Funcion de Distribucion (FD).

Definicion 3.9 (Funcion de Distribucion) Sea X una variable aleatoria, la Fun-

cion de Distribucion de X se define como

F (x) = P (X ≤ x)

Como estamos considerando el caso en que X es discreta, la funcion de distribucion

viene dada por:

F (x) = P (X ≤ x) =∑

x

P (X = x)

Ejemplo 3.3.1 La funcion de distribucion para el ejemplo del lanzamiento de las dos

3.3. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD 87

monedas es

F (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, x < 0;

14, 0 ≤ x < 1;

34, 1 ≤ x < 2;

1, x ≥ 2.

Ejemplo 3.3.2 La funcion de distribucion para el ejemplo de los artıculos defectuosos

es

F (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0, x < 0;

0,729, 0 ≤ x < 1;

0,972, 1 ≤ x < 2;

0,999, 2 ≤ x < 3;

1, x ≥ 3.

Teorema 3.10 (Propiedades de la Funcion de Distribucion) La funcion de dis-

tribucion tiene las siguientes propiedades:

1. F (−∞) = 0 y F (+∞) = 1

2. La funcion es monotona no decreciente.

3. La funcion es continua a la derecha.

3.3.2. Problemas

1. Se lanzan tres monedas y se registran los resultados obtenidos.

a) Encuentre la distribucion de probabilidad del numero de sellos.

b) Grafique la funcion de masa de probabilidad.

c) Encuentre y grafique la Funcion de distribucion.


2. De una caja que contiene 4 pelotas negras y 2 verdes, se seleccionan 3 de ellas en

sucesion sin reemplazo.

a) Encuentre la distribucion de probabilidad para el numero de pelotas verdes.



3. Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Un hotel realiza

una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es el numero de televisores defectuosos

que se compran.

a) Encuentre la distribucion de probabilidad de X.



4. Se colocan tres bolas, numeradas 1,2 y 3, en una caja. Si se seleccionan 2 bolas

al azar sin reemplazo. ¿Cual es la funcion de masa de probabilidad de la suma

de los numero de las bolas seleccionadas?

5. Realizar el ejercicio anterior pero suponiendo que la seleccion se hacer con reem-

plazo.

6. Sea X la variable aleatoria que muestra el numero de varones en las familias de

cuatro hijos. ¿Cual es la distribucion de probabilidad de X si los nacimientos de

varones y de hembras son igualmente probables?.

7. Se lanzan dos dados. Sea X la suma de las caras que resultan. De una expresion

general para la funcion de masa de probabilidad.

3.4. VALOR ESPERADO 89

3.4. Valor Esperado

3.4.1. Valor Esperado de una Variable Aleatoria Discreta

Ademas de conocer la distribucion de probabilidad de una variable aleatoria es impor-

tante conocer algunas medidas descriptivas numericas, parametros, relacionadas con la

variable aleatoria, las cuales dan informacion importante sobre la variable en estudio.

Definicion 3.11 (Valor Esperado) Sea X una variable aleatoria discreta con fun-

cion de probabilidad p(x). El valor esperado de X, denotado por E(X), se define como

E(x) =∑

x

xp(x) =∑

x

xP (X = x) (3.2)

Ejemplo 3.4.1 Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas se tiene que

E(X) =∑

x

xP (X = x) = 0P (X = 0) + 1P (X = 1) + 2P (X = 2) = 01

4+ 1

1

2+ 2

1

4= 1

Este resultado indica que se espera que ocurra una cara al lanzar las dos monedas.

Ejemplo 3.4.2 Para el ejemplo de los artıculos defectuosos se tiene que el valor es-

perado es:

E(X) =∑

x

xP (X = x)

= 0P (X = 0) + 1P (X = 1) + 2P (X = 2) + 3P (X = 3)

= 0(0,729) + 1(0,243) + 2(0,027) + 3(0,001) = 0,3

Lo cual indica que se espera no hayan defectuosos en la extraccion de los tres artıculos.

El valor esperado no es mas que la media del conjunto de valores que toma la variable

aleatoria.


3.4.2. Valor Esperado de una Funcion de una Variable Alea-

toria Discreta

Teorema 3.12 Sea X una variable aleatoria discreta con funcion de masa de proba-

bilidad p(x) y sea g(X) una funcion de X. El valor esperado de g(X), denotado por

E(g(X)), esta dado por:

E(g(X)) =∑

x

g(x)p(x) =∑

x

g(x)P (X = x) (3.3)

Ejemplo 3.4.3 Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas se tiene que

E(X2) =∑

x

x2P (X = x) = 02P (X = 0) + 12P (X = 1) + 22P (X = 2)

= 01

4+ 1

1

2+ 4

1

4=

3

2

E(X3) =∑

x

x3P (X = x) = 03P (X = 0) + 13P (X = 1) + 23P (X = 2)

= 01

4+ 1

1

2+ 8

1

4=

5

2

Ejemplo 3.4.4 Para el ejemplo de los artıculos defectuosos se tiene que el valor es-

perado es:

E(X2) =∑

x

x2P (X = x)

= 02P (X = 0) + 12P (X = 1) + 22P (X = 2) + 32P (X = 3)

= 0(0,729) + 1(0,243) + 4(0,027) + 9(0,001) = 0,36

Teorema 3.4.1 (Propiedades del Valor Esperado) Sean X una variable aleato-

ria, g1 y g2 dos funciones de X, a y b dos constantes, entonces


1. E(a) = a

2. E(aX + b) = aE(X) + b

3. E[g1(X) ± g2(X)] = E[g1(X)] ± E[g2(X)]

Un resultado muy importante que se obtiene a partir del Teorema 3.12, es la posibilidad

de poder calcular la medida de dispersion mas importante de un conjunto de datos,

como lo es la varianza.

Definicion 3.13 Sea X una variable aleatoria discreta con funcion de masa de pro-

babilidad p(x), la varianza de X, denotada por V ar(x), se define como

V ar(x) = E[(X − E(x))2] (3.4)

Teorema 3.4.2

V ar(X) = E(X2) − [E(X)]2

Demostracion

V ar(X) = E[(X − E(x))2] = E[X2 − 2XE(X) + E(X)2] = E(X2) − 2E[XE(X)] + E[E(X)2]

= E(X2) − 2E(X)E(X) + E(X)2 = E(X2) − 2E(X)2 + E(X)2

= E(X2) − E(X)2

Ejemplo 3.4.5 Para el ejemplo del lanzamiento de las dos monedas, la varianza esta da-


da por,

V ar(X) = E(X2) − E(X)2 =3

2− 12 =

1

2

Ejemplo 3.4.6 Para el ejemplo de los artıculos defectuosos se tiene que la varianza

es:

V ar(X) = E(X2) − E(X)2 = 0,36 − 0,32 = 0,27

Teorema 3.4.3 (Propiedades de la Varianza) Sean X una variable aleatoria, g1

y g2 dos funciones de X, y a una constante, entonces

1. V ar(a) = 0

2. V ar(X + a) = V ar(X)

3. V ar(aX) = a2V ar(X)

3.4.3. Ejercicios

1. Encuentre el valor esperado y la varianza en los problemas 1 al 7.

2. En una apuesta una persona puede obtener una ganacia de 100 BsF o sufrir una

perdida de 50 BsF. La probabilidad de obtener la ganancia es de 0.6. ¿Cual es la

ganancia (o perdida) esperada en esa apuesta?.

3. La probabilidad de que un hombre de 30 anos sobreviva un ano mas es 0.99. Una

companıa de seguros ofrece a ese hombre venderle una poliza de seguro de vida


de un ano en 10.000 BsF. a un prima de 110 BsF. ¿Cual es la ganacia esperada

de la compania?.

4. La probabilidad de que una casa se incendie en el lapso de un ano es de 0.005.

Una aseguradora ofrece una poliza contra incendio que cubre 20.000 BsF. con

vigencia de un ano; se paga una prima anual por 150 BsF. ¿Cuanto espera ganar

la aseguradora?.

5. Se selecciona una muestra aleatoria de tres personas sin reemplazo de un grupo

de cuatro hombres y tres mujeres, para realizas los preparativos de un congreso.

¿Cual es el numero esperado de mujeres en la muestra?

6. Para la siguiente distribucion de probabilidad

x -20 -10 30

P(X=x) 310

210

510

Hallar: a) E(X), b)E(X2), E(X3) y V ar(X)

7. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribucion de probabilidad

x 10025 10050 10075

P (X = x) 0.2 0.3 0.5

Hallar: a) E(X), b)E(X2), E(X3) y V ar(X)

8. Una variable aleatoria X asume el valor 1 con probabilidad p y el valor 0 con

probabilidad 1 − p, Demuestre que E(X) = p y que V ar(X) = p(1 − p)

9. Si la varianza de una variable aleatoria es 0.8. ¿Cual es la varianza de: a) Y = 5X,

b)Y = 2X + 4 y c) Y = X2


3.5. Distribucion de Probabilidad Multivariable

3.5.1. Introduccion

Es posible definir diversas variables aleatorias en el mismo espacio muestral. Por ejem-

plo, considere el experimento en el cual se estudian las caracterısticas de una persona,

podrıamos definir las siguientes variables aleatorias: estatura, peso, edad, grado de

instruccion entre otras.

En la discusion que sigue introduciremos la nocion de funcion de probabilidad conjunta

de dos variables aleatorias, la funcion de probabilidad marginal y la funcion de proba-

bilidad condicional, tambien se hara una introduccion al estudio del valor esperado en

el caso de varias variables aleatorias.

3.5.2. Distribucion de Probabilidad Conjunta

En las secciones anteriores vimos que para conocer el comportamiento de una variable

aleatoria era importante determinar la probabilidad de que la variable asumiera un va-

lor particular, es decir, conocer su distribucion de probabilidad. Ahora, para estudiar

la relacion entre dos variables, nos interesa saber la probabilidad de que las dos varia-

bles en conjunto asuman valores particulares, es decir, la distribucion de probabilidad

conjunta de las dos variables que se consideran.

Al igual que para el caso de una variable aleatoria la distribucion de probabilidad

conjunta esta caracterizada por una funcion de probabilidad, conocida en este caso

como funcion de probabilidad conjunta, la cual se define a continuacion.

Definicion 3.14 (Funcion de Masa de Probabilidad Conjunta) Sean X y Y dos

variables aleatorias discretas, la funcion de probabilidad conjunta, denotada por p(x, y),

3.5. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD MULTIVARIABLE 95

se define como

p(x, y) = P (X = x, Y = y) (3.5)

Ejemplo 3.5.1 Supongamos el experimento en el que se lanzan tres monedas. Sean

X = {Numero de caras} y Y = {Numero de cambios}. El espacio muestral de este

experimento con los respectivos valores de X y Y se muestran a continuacion:

Punto Muestral X Y

CCC 3 1

CCS 2 2

CSC 2 3

SCC 2 2

CSS 1 2

SCS 1 3

SSC 1 2

SSS 0 1

Puesto que todos los puntos muestrales son igualmente probables, cada uno tiene una

probabilidad de 18. Por lo tanto la funcion de probabilidad conjunta se muestra en la

siguiente tabla cruzada.

��

��

�y

x0 1 2 3

1 18

0 0 18

2 0 28

28

0

3 0 18

18

0

Los resultados que se muestran en la tabla anterior se obtienen de la siguiente manera:

el evento(X=0,Y=1) ocurre solo una vez y como la probabilidad de cada punto muestral


es 18, entonces P (X = 0, Y = 1) = 1

8, el evento(X=0,Y=2) no ocurre, entonces P (X =

0, Y = 2) = 0, el evento(X=1,Y=2) ocurre dos veces y como la probabilidad de cada

punto muestral es 18, entonces P (X = 1, Y = 2) = 2

8, y ası sucesivamente.

Ejemplo 3.5.2 En cierto supermercado hay tres cajas registradoras. Dos clientes lle-

gan a ellas en diferentes momentos, cuando no hay otros clientes. Cada cliente elige in-

dependientemente una caja al azar. Sea X = {El numero de clientes que eligen la caja 1}y Y = {El numero de clientes que eligen la caja 2}. Vamos a calcular la funcion de

masa de probabilidad conjunta de X y Y .

Supongamos que el par {i, j} denota el evento en que el primer cliente elige la caja

i y el segundo elige la caja j, donde i, j = 1, 2, 3. El espacio muestral se muestra a

continuacion

Punto Muestral X Y

{1, 1} 2 0

{1, 2} 1 1

{1, 3} 1 0

{2, 1} 1 1

{2, 2} 0 2

{2, 3} 0 1

{3, 1} 1 0

{3, 2} 0 1

{3, 3} 0 0

Puesto que todos los puntos muestrales son igualmente probables, cada uno tiene una

probabilidad de 19. Por lo tanto la funcion de probabilidad conjunta se muestra en la

siguiente tabla cruzada.


��

��

�y

x0 1 2

0 19

29

19

1 29

29

0

2 19

0 0

Los resultados que se muestran en la tabla anterior se obtienen de la siguiente ma-

nera: el punto muestral {1, 1} es el unico punto muestral correspondiente a (X =

2, Y = 0), y en consecuencia, P (X = 2, Y = 0) = 19. Asimismo, P (X = 1, Y = 1) =

P ({1,2}o{2,1}) = 29. Y ası sucesivamente para los demas.

Al igual que para el caso de una variable, otra manera de caracterizar la distribucion

de probabilidad conjunta es usando la Funcion de Distribucion Conjunta, la cual se

define a continuacion:

Definicion 3.15 Sean X y Y dos variables aleatorias discretas, la funcion de distri-

bucion conjunta de X y Y , denotada por F (x, y), se define como:

F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) =∑t1≤x

∑t2≤y

p(t1, t2) (3.6)

Ejemplo 3.5.3 Considere las variables aleatorias X y Y del ejemplo *** . Vamos a

calcular F (−1, 2), F (1,5, 2) y F (5, 7).

De acuerdo con los resultados de la tabla ***, tenemos que

F (−1, 2) = P (X ≤ −1, Y ≤ 2) = 0

F (1,5, 2) = P (X ≤ 1,5, Y ≤ 2) = p(0, 0)+p(0, 1)+p(0, 2)+p(1, 0)+p(1, 1)+p(1, 2) =

89

F (5, 7) = P (X ≤ 5, Y ≤ 7) = 1


3.5.3. Distribucion de Probabilidad Marginal y Condicional

Definicion 3.16 Sean X y Y variables aleatorias discretas con funcion de masa de

probabilidad conjunta p(x, y). Entonces las funciones de masa de probabilidad marginal

de X y Y respectivamente, estan determinadas por

p(x) =∑

y

p(x, y) (3.7)

p(y) =∑

x

p(x, y) (3.8)

Ejemplo 3.5.4 Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas. Las

funciones de masa de probabilidad marginal estan dadas por:

Las marginales de X son:

p(x) =∑3

y=1 p(x, y) = p(x, 1) + p(x, 2) + p(x, 3)

Para x = 0, P (0) = p(0, 1) + p(0, 2) + p(0, 3) = 18

+ 0 + 0 = 18

Para x = 1, P (1) = p(1, 1) + p(1, 2) + p(1, 3) = 0 + 28

+ 18

= 38

Para x = 2, P (2) = p(2, 1) + p(2, 2) + p(2, 3) = 0 + 28

+ 18

= 38

Para x = 3, P (3) = p(3, 1) + p(3, 2) + p(3, 3) = 18

+ 0 + 0 = 18

Las marginales de Y son:

p(yx) =∑3

x=0 p(x, y) = p(0, y) + p(1, y) + p(2, y) + p(3, y)

Para y = 1, P (1) = p(0, 1) + p(1, 1) + p(2, 1) + p(3, 1) = 18

+ 0 + 0 + 18

= 28

Para y = 2, P (2) = p(0, 2) + p(1, 2) + p(2, 2) + p(3, 2) = 0 + 28

+ 28

+ 0 = 48

Para y = 2, P (3) = p(0, 3) + p(1, 3) + p(2, 3) + p(3, 3) = 0 + 18

+ 18

+ 0 = 28

Estas probabilidades se obtienen directamente a partir de la tabla cruzada donde se

muestran las probabilidades conjuntas, la marginal de X se obtiene al sumar las filas

de cada columna y la marginal de Y se obtiene al sumar las columnas de cada fila,


como se aprecia en la siguiente tabla.

��

��

�y

x0 1 2 3 p(y)

1 18

0 0 18

28

2 0 28

28

0 48

3 0 18

18

0 28

p(x) 18

38

38

18

1

Definicion 3.17 (Funcion de masa de probabilidad Condicional) Sean X y Y

variables aleatorias discretas con funcion de masa de probabilidad conjunta p(x, y) y

funciones de masa de probabilidad marginal p1(x) y p2(y). Entonces las funciones de

masa de probabilidad condicional de X, dado Y , es

p(x/y) = P (X = x/Y = y) =P (X = x, Y = y)

P (Y = y)=

p(x, y)

p2(y)(3.9)

Ejemplo 3.5.5 Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas, y va-

mos a calcular la distribucion condicional de X dado que Y = 1. Para ello, vamos a

concentrarnos en la fila correspondiente a Y = 1. Entonces

P (X = 0/Y = 1) = p(0,1)p2(1)

=1828

= 12

P (X = 1/Y = 1) = p(0,1)p2(1)

= 028

= 0

P (X = 2/Y = 1) = p(0,1)p2(1)

= 028

= 0

P (X = 3/Y = 1) = p(0,1)p2(1)

=1828

= 12

3.5.4. Variables Aleatorias Independientes

En el tema de probabilidades vimos que dos eventos A y B son independientes si y solo

si


P (A ∩ B) = P (A)P (B)

Veamos ahora cuando 2 variables aleatorias son independientes.

Definicion 3.18 Sean F1(x) y F2(y) funciones de distribucion de X y Y , respectiva-

mente, y F (x, y) la funcion de distribucion conjunta de X y Y . Entonces, se dice que

X y Y son independientes si y solo si

F (x, y) = F1(x)F2(y)

para todo par de numeros reales (x,y).

Por lo general, conviene establecer la presencia o ausencia de independencia por medio

del resultado del siguiente teorema.

Teorema 3.19 Sean X y Y variables aleatorias discretas con funcion de masa de

probabilidad conjunta p(x, y) y funciones de masa de probabilidad marginal p1(x) y

p2(y). Entonces X, y Y , son independientes si y solo si

p(x, y) = p1(x)p2(y) (3.10)

para todo par de numeros reales (x,y).

3.5.5. Valor esperado de una funcion de 2 variables aleatorias

discretas

Es la generalizacion de la definicion **** para el caso de varias variables. Veamosla a

continuacion


Definicion 3.20 Sean X y Y dos variables aleatorias con funcion de masa de proba-

bilidad conjunta p(x, y) y sea g(X, Y ) una funcion de esas dos variables. Entonces, el

valor esperado de g(X,Y ), esta dado por

E[g(X, Y )] =∑

x

∑y

g(x, y)p(x, y) (3.11)

Ejemplo 3.5.6 Consideremos el ejemplo del lanzamiento de las tres monedas. La dis-

tribucion conjunta para este caso estaba dada por:

��

��

�y

x0 1 2 3 p(y)

1 18

0 0 18

28

2 0 28

28

0 48

3 0 18

18

0 28

p(x) 18

38

38

18

1

Por lo tanto, si g(X, Y ) = XY

E(XY ) =3∑

x=0

3∑y=1

xyp(x, y)

= (0)(1)1

8+ (0)(2)0 + (0)(3)0 + (1)(1)0 + (1)(2)

2

8+ (1)(3)

1

8

= (2)(1)0 + (2)(2)2

8+ (2)(3)

1

8+ (3)(1)

1

8+ (3)(2)0 + (3)(3)0

= 0 + 0 + 0 + 0 +4

8+

3

8+ 0 + 1 +

6

8+

3

8+ 0 + 0 = 3

Teorema 3.21 Si g(X,Y ) = X ±Y entonces E[g(X,Y )] = E[X ±Y ] = E[X]±E[Y ]


Demostracion

E[g(X,Y )] = = E[X ± Y ] =∑

x

∑y

(x ± y)p(x, y) =∑

x

∑y

[xp(x, y) ± yp(x, y)]

=∑

x

∑y

xp(x, y) ±∑

x

∑y

yp(x, y) =∑

x

x∑

y

p(x, y) ±∑

y

y∑

y

p(x, y)

=∑

x

xpx(x) ±∑

y

ypy(x, y) = E[X] ± E[Y ]

Ejemplo 3.5.7 Para el ejemplo anterior ****. vamos a calcular E(X + Y ).

Usando la distribucion conjunta, tenemos que

E(X + Y ) =3∑

x=0

3∑y=1

(x + y)p(x, y)

= (0 + 1)1

8+ (0 + 2)0 + (0 + 3)0 + (1 + 1)0 + (1 + 2)

2

8+ (1 + 3)

1

8

= (2 + 1)0 + (2 + 2)2

8+ (2 + 3)

1

8+ (3 + 1)

1

8+ (3 + 2)0 + (3 + 3)0

=1

8+ 0 + 0 + 0 +

6

8+

4

8+ 0 + 1 +

5

8+

4

8+ 0 + 0 =

7

2

Si calculamos la E(X) y E(Y ) por separado, tenemos que

E(X) =3∑

x=0

px(x)

= (0)1

8+ (1)

3

8+ (2)

3

8+ (3)

1

8=

12

8=

3

2

E(Y ) =3∑

y=1

py(y)

= (1)2

8+ (2)

4

8+ (3)

2

8=

16

8= 2

Ahora,


E(X) + E(Y ) = 32

+ 2 = 72, el cual es el resultado obtenido con la distribucion

conjunta

Teorema 3.22 Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces E(XY ) =

E(X)E(Y )

Demostracion

E(XY ) = =∑

x

∑y

(xy)p(x, y) =∑

x

∑y

xypx(x)py(y)

=∑

x

∑y

xp(x)ypy(x, y) =∑

x

xpx(x)∑

y

ypy(y)

= E(X)E(Y )

3.5.6. Covarianza de dos variables aleatorias

Intuitivamente, consideraremos la dependencia entre dos variables aleatorias X y Y

como un procesos en el que una de las variables, digamos Y , aumenta o disminuye a

medida que cambia X. Concentraremos nuestra atencion en dos medidas de dependen-

cia: la covarianza entre dos variables aleatorias y su coeficiente de correlacion.

Definicion 3.23 Si X y Y son variables aleatorias con medias μx y μy respectivamen-

te, la covarianza de X y Y esta dada por:

Cov(X, Y ) = E[(X − μx)(Y − μy)] (3.12)

La covarianza mide el grado de asociacion lineal entre las variables X y Y . Mientras mas

grande sea el valor absoluto de la covarianza de X y Y , mayor sera la dependencia lineal

entre ellas. Los valores positivos indican que Y aumenta a medida que X aumenta; los

valores negativos indican que Y disminuye a medida que X aumenta.Si el valor de


la covarianza es cero, esto significa que no hay dependencia lineal entre X y Y . Es

importante tener en cuenta el hecho de que si la covarianza es cero, puede existir

cualquier otro tipo de relacion entre las variables distinta a la lineal.

La principal desventaja de la covarianza es que ella depende de la escala de medida en

que esten definidas las variables, por lo tanto no es facil especificar si una covarianza

en particular es grande o pequena. Ante esta desventaja definimos el coeficiente de

correlacion, que no es otra cosa que la covarianza estandarizada.

Definicion 3.24 Si X y Y son variables aleatorias con desviaciones estandar σx y σy

respectivamente, el coeficiente de correlacion de X y Y , denotado por ρ, esta dado por:

ρ =Cov(X, Y )

σxσy

(3.13)

Teorema 3.25 (Propiedades del Coeficiente de Correlacion) El coeficiente de

correlacion tiene las siguientes propiedades

1. −1 ≤ ρ ≤ 1

2. ρ = +1 indica una correlacion perfecta e implica que a medida que X aumenta

Y aumenta.

3. ρ = −1 indica una correlacion perfecta e implica que a medida que X aumenta

Y disminuye.

4. ρ = 0 indica que no hay correlacion.

El siguiente teorema especifica una formula conveniente para el calculo de la covarianza.


Teorema 3.26 Si X y Y son variables aleatorias con desviaciones estandar σx y σy

respectivamente, entonces

Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )

Demostracion

Cov(X,Y ) = E[(X − μx)(Y − μy)] = E(XY − Xμy − Y μx + μxμy)

= E(XY ) − E(Xμy) − E(Y μx) + E(μxμy)

= E(XY ) − μyE(X) − μxE(Y ) + μxμy

= E(XY ) − E(Y )E(X) − E(X)E(Y ) + E(X)E(Y ) = E(XY ) − E(Y )E(X)

Teorema 3.27 Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces

Cov(X, Y ) = 0

Demostracion

Cov(X,Y ) = E(XY ) − E(Y )E(X) = E(X)E(Y ) − E(X)E(Y ) = 0

Este teorema establece que si X y Y son independientes, entonces la covarianza es cero.

El recıproco no es cierto, es decir, si la covarianza es cero no implica que X y Y sean

independientes. Veamos un ejemplo,


3.5.7. Ejercicios

1. De un costal de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 uvas, se selecciona

una muestra aleatoria de 4 frutas. Si X es el numero de naranjas y Y es el numero

de manzanas en la muestra, encuentre La distribucion de probabilidad conjunta

de X y Y

2. Dos contratos de obras de construccion se otrogan aleatoriamente a una o mas

de las companıas A,B o C. Sea X1 la cantidad de contratos concedidos a la

companıa A y X2 la cantidad de contratos concedidos a la companıa B. Encuentre

la distibucion de probabilidad conjunta de X1 y X2.

3. En una empresa hay nueve ejecutivos, de los cuales cuatro estan casados, tres son

solteros y dos son divorciados. Tres de ellos seran seleccionados al azar para un

ascenso. Si X1 es el numero de ejecutivos casados y X2 el de ejecutivos solteros

entre los tres elegidos para el ascenso, encuentre la distribucion de probabilidad

conjunta de X1 y X2.

4. En seguida se muestra la distribucion de probabilidad conjunta relacionada con

los datos obtenidos en un estudio sobre los accidentes de automovil en los que

viajaba un nino (de menos de 5 anos), de los cuales por lo menos uno resulto

fatal. El estudio se concentro en determinar si el nino sobrevivio y en el tipo de

cinturon de seguridad que llevaba puesto, si acaso lo utilizaban. Defina

X1 =

⎧⎪⎨⎪⎩

0, si el nino sobrevive;

1, si el nino no sobrevive.


X2 =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

0, si no tenıa puesto cinturon de seguridad;

1, si utilizaba cinturon de seguridad;

2, si utilizaba cinturon de seguridad de asiento para bebe.

Observe que X1 representa la cantidad de muertes de ninos y, como los asien-

tos para bebe por lo comun tienen dos cinturones, X2 representa el numero de

cinturones de seguridad utilizados en el momento del accidente.

��

��

�y2

y10 1

0 0.38 0.17

1 0.14 0.02

2 0.24 0.05

Calcule e interprete F (1, 2)

5. Para los ejercicios * al * hallas las distribuciones marginales.

6. para el ejercicio de lo ninos

a) Calcule la distribucion de probabilidad condicional de X2 dado que X1 = 0

b) ¿Cual es la probabilidad de que un nino sobreviva si viajaba en un asiento

para bebe.

7. Para los ejercicios * al * estudie la independencia de las variables aleatorias.

8. Para el problema de las frutas,calcule

a) El numero esperado de naranjas


b) El numero esperado de manzanas

c) Usando el criterio del valor esperado, ¿son X y Y independientes?

d) ¿Cual es el grado de asociacion lineal entre las variables?.

9. Para el problema de los ninos, calcule

a) E(X1) y E(X2)

b) E(X1 − X2)

c) Cov(X1, X2)

10. Para el problema de los ejecutivos, calcule

a) E(X1) y E(X2)

b) E(X1 − 3X2)

c) Cov(X1, X2)

11. Suponga que X e Y tienen la siguiente distribucion de probabilidad conjunta:

��

��

�y

x2 4

1 0.10 0.15

3 0.20 0.30

5 0.10 0.15

a) ¿Cual es la probabilidad de que x = 2 y y = 3?

b) ¿Cual es la probabilidad de que x = 4 dado que y = 5?

c) Encuentre E[x] y E[y]


d) ¿Son X y Y independientes?

e) ¿Cual es el grado de asociacion lineal entre las variables?.

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