Variables Aleatorias

Introduccin

El concepto de variable aleatoria permite pasar de los resultadosexperimentales a una funcin numrica de los resultados.

En general, cada resultado de un experimento se puede asociar con un nmero que especifica una regla de asociacin (p. ej. la cantidad entre la muestra de diez componentes que no duran 1000 horas. o el peso total de equipaje de una muestra de 25 pasajeros de una aerolnea).

Esta regla de asociacin se llama variable aleatoria, una variableporque solo son diferentes valores numricos, y aleatoria porque elvalor observado depende de cul de los resultados experimentalesposibles resulte.

Hay dos tipos de variables aleatorias, variables aleatorias discretasy variables aleatorias continuas.

DefinicinUna v.a. es una funcin que asigna a cada punto del espacio muestralun nmero real

X : REjemplo:

: Estado de las unidades producidas en un proceso de fabricacin

={ falla , no falla }

X({no falla}) = 0X({falla}) = 1

fallano falla

Espacio Muestral

X({falla}) = 1X({no falla}) = 0

0 1 +

ConjuntoNmerosReales

IR

X : Rx IR

A cada s le correspondeexactamente un valor X(s)

: Estado de las unidades producidas en un proceso de fabricacin

a b

El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).

En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral

El espacio muestral original induce un espacio muestra Rx asociado

a la Variable Aleatoria X

Luego un evento A en induce un evento Ax en el espacio muestral RX

RX

X(s) = b; s

X(s) = a

siA

sk

Observaciones

Ejemplo:

X: Nmero de caras al lanzar 3 monedas.

Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC

N reales(# de caras) 0 1 2 3 caras

Ley de correspondencia

)(:

wXwEX

Establecer una variable aleatoria para un

experimento aleatorio no es ms que unamanera de asignar de "manera natural"nmeros a los eventos.

( a < x < b )( a < x b ][ a x < b )[ a x b ]

Ntese quepara cada parde nmerosreales a y bexisten lossiguientesconjuntos:

a b

RX

X(s) = b; s

X(s) = a

si

skA

( x > a ( x a

x < b ) - x b ]-

Eventos de inters

En el caso de unsolo nmero:

X = a o X = b

El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en elespacio muestral se puede aplicar a eventos en RX.

RX

X: RX

X(s) = x

1

0

f : R [0, 1]

f(x)0 P(X(s) = x ) = f(x) 1

s

Funcin de Probabilidad

Sea X una variable aleatoria.

Si el nmero de posibles valores de X (esto es su RX).- Es finito (contable) o.- Es contablemente infinito (numerable).

Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.

Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados.x1, x2, x3, ...., xn, .....

- En el caso contable la lista es finita.- En el caso numerable la lista es infinita contable

Variable Aleatoria Discreta

xx1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn

f(xi)

Los f(xi) deben satisfacer

0 f(xi) 1; i = 1, 2, 3, ... , n

f(xi) = 1

El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Funcin o Distribucin de Probabilidad o Cuantia.

A cada resultado posible xi se asocia un nmero f(xi) = P(X(s) = xi)

llamado la probabilidad de xi

i

Funcin de Probabilidad v.a. Discreta

Valores Probabilidad

0 1/4 = 0.25

1 2/4 = 0.50

2 1/4 = 0.25

Z

Z

Z Z

)(:

wXwEX

)()(]1,0[:

xXPxpxp

==

Ejemplo:

: Lanzar dos monedas legales

X: Nmero de caras que aparecen

Observa que aun si el espacio muestral es infinitonumerable, tambin podemos definir una variable aleatoriadiscreta y una funcin de probabilidad.

Ejemplo

Sea X = Nmero de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara.

Entonces:

P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 . 1/2 = 1/4

P(X = 3) = P(++C) = 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8

...y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1,2,.

Demuestra que est normalizada.

Ejemplo

Sea el experimento lanzar dos dados. Definamos el espacio muestral como:

= {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}

Definamos la variable aleatoria discreta X como:

con S = {2,3,...,12} la suma de puntos. Una posible funcin deprobabilidad es:

...363)2,2()13()31(4)4(

362)12()21(3)3(361)11(2)2(

]1,0[:

/),,P()P(Xf/),,P()P(Xf

/),P()P(Xff

========

====

P2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Funcin de probabilidad de la variable aleatoria X en el ejemplo anterior

Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y estnormalizada.

Dada una variable aleatoria discreta X se llama funcin de distribucin a la funcin F definida como:

)()(]1,0[:

xXPxFxF

=

En nuestro ejemplo de los dos dados:

F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)

F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

Funcin de Distribucin v.a. Discreta

x1

0

F(x)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn

P(X=x5) = f(x5) Funcin de Probabilidad de masaFuncin de Frecuencia

F(x) = 0 x < x1

= f( xi ) x1 x < x21

i = 1

= f( xi ) x2 x < x32

i = 1

= f( xi ) x3 x < x43

i = 1

= f( xi ) x4 x < x54

i = 1

Grfico de la FDA v.a. Discreta

0)()(lim)(lim)( ====

PxXPxFFxx

1)()(lim)(lim)( ====+++

PxXPxFFxx

)()()( 1221 xFxFxXxP = 0;

Sea X una variable aleatoria continua. La funcin densidad de probabilidad (fdf) es una funcin que satisface:

Propiedades:

x Rx , +

f(x) dx = 1Rx

a b

=b

a

dxxP(A) = P(a < x < b) )(f

A: un evento

A: { x| a < x b)

Funcin de Probabilidad v.a. Continua

==x

dttxXPxF )(f)()(

Observaciones1.

2.

3. F (-) = 0 ; F () = 1

4. Fx es no decreciente

5.

6.

=b

a

dxxbxaP )(f)(

[ ] =R|

)(f dxxxXE

[ ] [ ] =R

dxxfXExXV )()( 2

a b

=b

a

dxxfA )(f(x)

x

Si X es una variable aleatoria, la Funcin de Distribucin Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores:

F(x) = P(X x)

Si X es una v.a. Continua

F(x) = f(t) dt

Donde la sumatoria es reemplazada por una integracin para todos los valores de t x

x

-

Si X es una v.a. Continua

Funcin de Distribucin Acumulada

lim F(x) = 0 lim F(x) = 1x - x +

Luego P(] - , x ]) = F(x) define una Probabilidad

Adems: P( ]a,b] ) = F(b) - F(a)P( [a,b] ) = F(b) - F(a-)P( ]a,b[ ) = F(b-) - F(a)P( [a,b[ ) = F(b-) - F(a-)

Propiedades

)()( xfdx

xdF=

1.

2.

3.

abxf

= 1)( a x b

min mx

0,0

0,1

0,2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a b

f(x)

x

Sea a = 3; b = 12

A: el evento { 4 < x < 7 }

Entonces:

=7

4

dxP(A) = P(4 < x < 7) 91

P(A) = 1

3

EjemploSea X una variable aleatoria continua que puede tomar cualquier valor entre a x b; cuya pdf es:

Ejemplo

Supongamos que X tiene como funcin densidad a f(x) = 0.75(1-x2), si-1 x 1 y cero en otro caso. Encuentraa) La funcin de distribucinb) Las probabilidades P(-1/2 X 1/2) y P(1/4 X 2).c) x tal que P(X x) = 0.95

Solucin

a) Funcin de distribucin

F(x) = 0 , si x -1

F(x) = 1 , si x >1.

11- si , 25.075.050.0)1(75.0)( 31

2

6875.0)1(75.0)()()(21

21

221

21

21

21 ===

dvvFFXP

1

3164.0)1(75.0)()2()2( 2414141

=== dvvFFXP

73.095.025.075.05.0)()( 3 =+== xxxxFxXP

b) Probabilidades

c) Probabilidad inversa

Momentos de orden k centrados en el origen y en la media.

Observa que para k = 2: 2 = E((X - )2)

Momentos de orden k

Mediana:

Moda : es el valor para el cul la distribucin toma su mximo absoluto.

+

+

+

par es N si )(2/1impar es N si

2/)1(2/

2/)1(med

NN

N

xxx

x

5.0)()()( med === xXPxXPxF

Discreto.

Continuo.

Otras valores tpicos o medidas del valor central

x0

Mo = x0

Los momentos de orden superior son menos robustos y, por lo tanto, menos utilizados

3er momento: describe la asimetra de la distribucin.

Asimetra (skewness)

=

dxxfxxm

xxN

mN

i i

)()(

)(1

33

31

3

3

4o momento: describe el aplanamiento de la distribucin.

Kurtosis

=

dxxfxxmxx

Nm

N

i i )()( )(1 4

441

4

4

Se suele medir en una escala que toma 3como su cero, ya que ste es el valor de lakurtosis de una distribucin normal estndar

Ejemplo

Ejemplo

Solucin

Probabilidad inversa

EjemploEl nmero de artculos vendidos en una fbrica cada mes (en millones) esuna variable aleatoria con funcin de densidad:

a. Calcula el valor de k para que f (x) sea una funcin de densidad.b. Obtn la funcin de distribucin de X..c. Calcula la probabilidad de que en un mes se supere una venta de 0.8

(millones).d. Calcula la probabilidad de que en un mes el nmero de ventas est

comprendido entre 0.6 y 0.8 (millones).e. Si se quiere tener una garanta del 95% de que no se agote el producto en

un mes determinado, qu cantidad c del mismo debe pedirse a fbrica?.

Solucin

EjemploCalculamos la media y varianza de la variable nmero de artculos vendidos

EjercicioEl control de la calidad de ciertos productos se realiza contando el nmerode defectos por unidad y comprobando si dicho nmero est comprendidoentre ciertos lmites llamados lmites de control. Si el nmero de defectospor unidad en cierto proceso de fabricacin es una variable aleatoria X confuncin masa de probabilidad dada por:

a) Determina el nmero medio de defectos por unidadb) Si los lmites de control vienen dados por Lmite inferior de control:

3 y Lmite superior de control: +3. siendo = E[X], y seconsidera que el proceso est bajo control estadstico cuando elnmero de defectos que se van observando en una muestra deunidades est comprendido entre dichos lmites.

- Calcula la probabilidad de que una unidad de produccin no caiga entre los lmites de control.

- Calcula la probabilidad de que en una muestra de 5 unidades, al menos 1 no caiga entre los lmites de control.

.

EjercicioEl tiempo necesario en milisegundos para completar una reaccin qumica est aproximado por una funcin de distribucin dada por:

a) Obtn la funcin de densidad.b) Calcula el tiempo esperado para completar la reaccin.c) Calcula el porcentaje de reacciones completas antes de 200milisegundos.

EjercicioEl espesor de un recubrimiento conductor (en micrmetros) tiene unafuncin de densidad dada por

a) Obtn la funcin de distribucin.b) Calcula la probabilidad de que el espesor sea inferior a 110 mc) Calcula la probabilidad de que el espesor est comprendido entre 115 y

118 m.d) Si el costo promedio del recubrimiento es de 0.5 euros por micrmetro de

espesor en cada pieza, cul es el costo promedio del recubrimiento porpieza?.

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Varianza y desviacin estndar o tpica de una variable aleatoria discretaNmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Algunas propiedades de la varianzaNmero de diapositiva 40Nmero de diapositiva 41Nmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Nmero de diapositiva 44Nmero de diapositiva 45Nmero de diapositiva 46Nmero de diapositiva 47Nmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49Momentos de orden k centrados en el origen y en la media.Nmero de diapositiva 51Nmero de diapositiva 52Nmero de diapositiva 53Nmero de diapositiva 54Nmero de diapositiva 55Nmero de diapositiva 56Nmero de diapositiva 57Nmero de diapositiva 58Nmero de diapositiva 59Nmero de diapositiva 60Nmero de diapositiva 61Nmero de diapositiva 62Nmero de diapositiva 63