mat-032: variable aleatoria
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MAT-032: Variable aleatoria
Felipe Osoriofosorios.mat.utfsm.cl
Departamento de Matematica, UTFSM
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Lanzamiento de una moneda
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Maquina de Galton
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Maquina de Galton
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Variable aleatoria
Definicion 1 (variable aleatoria):
Una variable aleatoria X en (Ω,A,P) es una funcion real definida en Ω tal queX ≤ x es un evento aleatorio (x ∈ R). Es decir
X : Ω→ R,
es variable aleatoria si X ≤ x ∈ A para todo x ∈ R.
Notacion:
Diremos que X(ω) es variable aleatoria si
(X ≤ x)def= ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x ∈ A,
para todo x ∈ R.
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Variable aleatoria
Definicion 2 (distribucion de probabilidad):
X es variable aleatoria discreta si adopta valores en un conjunto finito o numerableX = x1, x2, . . . . En este caso se define la funcion de probabilidad
p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2 . . .
siempre que satisfaga las propiedades:
(a) p(x) ≥ 0, para todo x ∈ X .
(b)∑xi∈X
p(xi) = 1.
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Variable aleatoria
Definicion 3 (distribucion acumulada):
La funcion de distribucion acumulada (CDF) de X denotada por FX es definida por
FX(x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x
p(xi).
Observacion:
Evidentemente, tenemos que:FX : R→ [0, 1].
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Variable aleatoria
Ejemplo (lanzamiento de dos dados):
Considere el lanzamiento de 2 dados. Sea X la suma de sus caras. Entonces,
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X = x) 136
236
336
436
536
636
536
436
336
236
136
0 2 4 6 8 10 12
0.00
0.05
0.10
0.15
x
(a) p(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
CD
F
(b) CDF
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Funcion de distribucion
Propiedades:
I x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y) (es no decreciente).
I F es continua a la derecha.
I F (−∞) = 0 y F (+∞) = 1. (0 ≤ F (x) ≤ 1)
I P(X > x) = 1− F (x).
Ademas, para variables aleatorias discretas
P(X = x) = F (x)− F (x− 1).
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Variable aleatoria
Definicion 3 (funcion de densidad):
Si existe una funcion f(x) tal que
(a) f(x) ≥ 0, x ∈ R.
(b)
∫ ∞−∞
f(x) dx = 1.
(c) P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
af(x) dx, para a, b ∈ R.
Entonces f(x) es la funcion de densidad de la variable aleatoria continua X.
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Variable aleatoria
Sabemos que el area total bajo f(x) es 1, entonces P(a ≤ X ≤ b) es el area acotadapor las rectas x = a y x = b.
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
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Variable aleatoria
Para variables aleatorias continuas,
P(X = a) =
∫ a
af(t) dt = 0.
Entonces,
F (x) = P(X ≤ x) = P(X < x)
=
∫ x
−∞f(t) dt
Ademas,
P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a)
dF (x)
dx= f(x)
Evidentemente, tambien
1 = F (+∞) =
∫ ∞−∞
f(x) dx
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Variable aleatoria
Ejemplo:
Considere la funcion,
f(x) =
0, x ≤ −1,
kx2, −1 < x ≤ 1,
0, x > 1,
Para que f(x) sea una funcion de densidad, debemos tener que
1 =
∫ 1
−1f(x) dx = k
∫ 1
−1x2 dx = k
x3
3
∣∣∣1−1
=k
3
(13 − (−1)3
)=
2k
3.
Es decir, k = 3/2.
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Variable aleatoria
Ejemplo:
Supongaf(x) = k exp(−x/2), x > 0.
Evidentemente,
1 =
∫ ∞0
k exp(−x/2) dx = k
∫ ∞0
exp(−x/2) dx = −2k exp(−x/2)∣∣∣∞0
= −2k[
limz→∞
exp(−z/2)− exp(0)]
= 2k.
De ahı que k = 1/2. Luego,
F (x) =
∫ x
−∞f(t) dt =
∫ 0
−∞0 dt+
1
2
∫ x
0exp(−t/2) dt
= 1− exp(−x/2), x > 0.
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Variable aleatoria
Considere P(2 < X < 6), es decir:
0 2 4 6 8 10 12
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
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Variable aleatoria
De este modo,
P(2 < X < 6) =1
2
∫ 6
2exp(−x/2) dx = F (6)− F (2)
= [1− exp(−3)]− [1− exp(−1)] = 0.9502− 0.6321
= 0.3181
Adicionalmente,P(X < 8) = F (8) = 1− exp(−4) = 0.9817,
yP(X ≥ 8) = 1− F (8) = 1− 0.9817 = 0.0183.
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Variable aleatoria
Definicion 4 (Esperanza):
Sea X variable aleatoria. La esperanza (siempre que exista) de X es definida por:
I Para X discretaE(X) =
∑x∈X
x p(x),
I Si X es continua
E(X) =
∫ ∞−∞
xf(x) dx.
En general, tenemos
Eg(X) =∑x∈X
g(x)p(x), Eg(X) =
∫Rg(x)f(x) dx.
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Variable aleatoria
Propiedades:
(a) E(a) = a, para a una constante,
(b) E(aX + b) = aE(X) + b,
(c) E(a1X + a2Y ) = a1 E(X) + a2 E(Y ),
(d) Si g(x) ≥ 0, para todo x. Entonces Eg(X) ≥ 0.
(e) Eg1(X) ≤ Eg2(X) si g1(X) ≤ g2(X).
Demostracion:
En efecto, (a) sigue desde
E(aX + b) =
∫ ∞−∞
(ax+ b)f(x) dx = a
∫ ∞−∞
xf(x) dx+ b
∫ ∞−∞
f(x) dx
= aE(X) + b.
las propiedades restantes se muestran de forma similar (Tarea).
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Variable aleatoria
Definicion 5 (Varianza):
Sea X variable aleatoria. La varianza de X es definida como:
var(X) = E[X − E(X)2].
Suponga µ = E(X). Entonces, podemos escribir
var(X) =∑x∈X
(x− µ)2p(x),
para X discreta, y
var(X) =
∫ ∞−∞
(x− µ)2f(x) dx,
si X es continua.
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Variable aleatoria
Propiedades:
(a) var(X) = E(X2)− E2(X).
(b) var(aX + b) = a2 var(X).
Demostracion:
Tenemos(X − E(X))2 = X2 − 2X E(X) + E2(X),
de ahı que
var(X) = E[X − E(X)2] = E(X2)− 2 E(X) E(X) + E2(X) = E(X2)− E2(X).
Ahora, para notar (b), sea Y = aX + b y note que
Y − E(Y ) = aX + b− aE(X)− b = a(X − E(X)).
De este modo,
var(Y ) = E[Y − E(Y )2] = E[a2X − E(X)2] = a2 var(X).
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Variable aleatoria
Finalmente, podemos definir el r-esimo momento de X como
µr = E(Xr),
mientras que el r-esimo momento centrado, es dado por:
µ′r = E(X − µ)r,
con µ = µ1 = E(X).
De este modo es facil notar que
var(X) = µ2 − µ21.
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Variable aleatoria
Ejemplo:
Suponga
p(x) = P(X = x) =e−λλx
x!, x ∈ 0, 1, 2, . . . .
Evidentemente
∞∑x=0
p(x) =∞∑x=0
e−λλx
x!= e−λ
∞∑x=0
λx
x!
= e−λ(
1 + λ+λ2
2!+λ3
3!+ · · ·
)= e−λeλ = 1.
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Variable aleatoria
Note que
E(X) =∞∑x=0
xe−λλx
x!= e−λ
∞∑x=0
xλx
x!
= e−λ(
0 + 1λ
1!+ 2
λ2
2!+ 3
λ3
3!+ · · ·
)= e−λλ
(1 + λ+
λ2
2!+λ3
3!+ · · ·
)= λe−λ
∞∑x=1
λx−1
(x− 1)!= λe−λ
∞∑y=0
λy
y!,
con y = x− 1. De ahı queE(X) = λ
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Variable aleatoria
Resultado 1 (Desigualdad de Chebyshev):
Sea X variable aleatoria y g(·) funcion no negativa. Entonces, para k > 0,
P(g(X) ≥ k) ≤E(g(X))
k.
En particular,
P(|X − µ| ≥ rσ) = P((X − µ)2 ≥ r2σ2) ≤1
r2, r > 0.
o equivalentemente,
P(|X − µ| < rσ) ≥ 1−1
r2,
donde µ = E(X) y σ2 = var(X).
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Funcion generadora de momentos
Definicion 6 (Funcion generadora de momentos):
Sea X variable aleatoria con densidad f(x) se define la funcion generadora demomentos (MGF) de X como
MX(t) = E(etX) =
∫ ∞−∞
etxf(x) dx, |t| < h.
Observacion:
Es posible probar quedr
dtrMX(t)
∣∣∣t=0
= E(Xr) = µr
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