Simulacin de SistemasTema 03Variable AleatoriaDefinicin de variable aleatoria Un modelo de simulacin debe permitir un mejor entendimiento de cualquier sistema (en general). En un modelo es indispensable obtener la mejor aproximacin a la realidad, esto se consigue componiendo el sistema con variables aleatorias. Las variables aleatorias son aquellas que presentan un comportamiento probabilstico en la realidad V.g. el nmero de clientes que llegan cada hora a un cajero de banco, esto depende del momento del da, el da de la semana y otros factores.Definicin de variable aleatoria Las variables aleatorias deben cumplir reglas de distribucin de probabilidad: La suma de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la variable aleatoria es 1 La probabilidad de que un posible un valor de la variable se presente siempre es mayor o igual a 0. El valor esperado de la distribucin de la variable aleatoria es la media de la misma, la cual a su vez estima la verdadera media de la poblacin.Definicin de variable aleatoriaSi la probabilidad asociada a una variable aleatoria est definida por ms de un parmetro, dichos parmetros pueden obtenerse mediante un estimador no sesgado. V.g. la varianza de la poblacin puede ser estimada usando la varianza de una muestra que es S2, de la misma manera la desviacin estndar de la poblacin , puede estimarse mediante la desviacin de la muestra S.Tipos de variables Las variables aleatorias se diferenciande acuerdo con el tipo de valores que presentan. Variables aleatorias discretas: por ejemplo el nmero de cliente que solicitan cierto servicio en un periodo de tiempo determinado, tendramos valores como 0,1,2,3,n Variables aleatorias continuas: por ejemplo el tiempo que tarda en ser atendida una persona en cierto puesto de venta, obtendra valores como 1.54 minutos, 0.028 horas 1.37 das.Variable Aleatoria discreta Este tipo de variable cumple con:==+ + = = >00... ) (0 ) (ib a iiiP P P b x a PPx P Algunas distribuciones discretas son: la uniforme discreta, la de Bernoulli, la hipergeomtrica, la de Poisson y la binomial.Variable Aleatoria discreta Si se desea analizar un muestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo evaluacin es buena o mala, este tipo de comportamiento est asociado a la distribucin de Bernoulli. Si se desea modelar el nmero de usuarios que llamaran a un telfono de un call center, su comportamiento podra parecerse a la distribucin de PoissonVariable Aleatoria discreta Puede ocurrir que el comportamiento de la variable no se parezca a ninguna distribucin conocida, si este fuera el caso se puede emplear cualquier distribucin emprica que se ajuste a condiciones reales, esta distribucin puede ser una ecuacin una sumatoria de trminos que cumplan con las condiciones necesarias de una distribucin de probabilidad.Distribucin binomial (N=5, p=0.5Variable aleatoria continua Se representan mediante una ecuacin funcin de densidad de probabilidad. Dado esto, se cambia la sumatoria por la integral para conocer la funcin acumulada de la variable aleatoria. Las variables aleatorias continuas cumplen con:= = == => bax f b x a P b x a Px fa x Px P) ( ) ( ) (1 ) (0 ) (0 ) (Variable aleatoria continua Entre las distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme continua, la exponencial, la normal, la de Weibull, la Chi-cuadrada y la Erlang. Al igual que en el caso de las distribuciones discretas, algunos procesos pueden asociarse a distribuciones continuas.Distribucin 2-Erlang con media 10Variable aleatoria continua El tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga una distribucin de probabilidad muy semejante a una exponencial. El tiempo que le toma a un obrero realizar una serie de tareas se comporta de manera similar a la dispersin de una distribucin normal. Pero, este tipo de distribuciones tiene su desventaja: dada que el rango de valores posibles implica la posibilidad de tener tiempos infinitos de llegada de clientes o tiempos de desarrollo de tareas infinitos. Es muy poco probable que se presente este tipo de eventos.Determinacin del tipo de distribucin de un conjunto de datos Es posible determinar la distribucin de probabilidad de los datos histricos mediante las pruebas: Chi-cuadrada Kolmogorov SmirnovAnderson - DarlingPrueba Chi-cuadrada1. Obtener alo menos 30 datos de la variable aleatoria2. Calcular la media y la varianza de los datos3. Crear un histograma de m=n intervalos y obtener la frecuencia observada en cada intervalo Oi.4. Establecer la hiptesis nula, proponiendo unja distribucin de probabilidad que se ajuste a la forma del histograma.5. Calcular la frecuencia esperada Ei = n*P(x)6. Calcular el estadstico de prueba: 7. Definir el nivel de significancia de la prueba y determinar el valor crtico de la prueba: (k es nmero de parmetros estimados en la distribucin propuesta)8. Comparar el estadstico de prueba con el valor crtico, si es estadstico es menor que el valor critico no se rechaza la hiptesis nula.=

=mi ii iEO Ec12) (21 ,k mXEPrueba Chi-cuadrada El nmero de autos que se atienden en un grifo cada hora muestra el siguiente comportamiento:14 7 13 16 16 13 14 17 15 1613 15 10 15 16 14 12 17 14 1213 20 8 17 19 11 12 17 9 1820 10 18 15 13 16 24 18 16 1812 14 20 15 10 13 21 23 15 18 Determinar la distribucin de probabilidad con un nivel de significancia del 5%14 . 13 , 04 . 15 ) (11 , 50= == =Varianza promedio Mediam nPrueba Chi-cuadrada H0: Poisson = 15 autos / hora H1: otra distribucinDe acuerdo a los datos construimos el siguiente histogramaPrueba Chi-cuadrada Calculando la probabilidad de cada intervalo a partir de la funcin de probabilidad de Poisson:... 3 , 2 , 1 , 0 ,!15) (... 3 , 2 , 1 , 0 ,!) (15= == =

xxex Pxxex Pxx PP Por ejemplo calculemos para el intervalo 8 a 90519 . 0! 915! 815) 9 , 8 (15 9 15 8= + = = e ex P Luego se calcula para cada intervalo.Prueba Chi-cuadrada A partir de los clculos anteriores se obtiene:iO0 a 7 1 0.0180 0.9000 0.01118 a 9 2 0.0519 2.5950 0.136410 a 11 4 0.1149 5.7450 0.530012 a 13 10 0.1785 8.9250 0.129514 a 15 11 0.2049 10.2450 0.055616 a 17 10 0.1808 9.0400 0.101918 a 19 6 0.1264 6.3200 0.016220 a 21 4 0.0717 3.5850 0.048022 a 23 1 0.0336 1.6800 0.275224 a 25 1 0.0133 0.6650 0.168826 a0 0.0062 0.3100 0.310050 1 50 1.78Intervalo) (x P) ( ) 50 ( x P Ei=C ) ) )3100 . 00 3100 . 0...5926 . 22 5926 . 2900 . 01 900 . 0 ) (2 2 212

+

+

=

==mi ii iEO EC

Como C= 1.78 es menor a el valor de:307 . 18210 , 05 . 021 0 11 , 05 . 0= = X XNo se rechaza la hiptesis que la variable aleatoria se comporta de acuerdo a una distribucin de Poisson, con media de a5 autos / horaPrueba de Kolmogorov - Smirnov Se propuso en la dcada de 1930. Permite determinare la distribucin de probabilidad de un conjunto de datos. Una limitante de esta prueba estriba en que solo se puede aplicar al anlisis de variables continuas. El procedimiento es:1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar2. Calcular la media y la varianza de los datos3. Crear un histograma de m = n intervalos y obtener la frecuencia observada en cada OiPrueba de Kolmogorov - Smirnov4. Calcular la probabilidad observada en cada intervalo POi= Oi/ n, esto es dividir la frecuencia Oi entre el numerode datos.5. Acumular las probabilidades POipara obtener la probabilidad observada hasta el i-esmo intervalo POAi6. Establecer explcitamente la hiptesis nula, proponiendo una distribucin de probabilidad que se ajuste a la forma del histograma.7. Calcular la funcin de probabilidad propuesta.Prueba de Kolmogorov - Smirnov8. Calcular el estadstico de prueba:9. Definir el nivel de significancia de la prueba y determinar el valor critico de la prueba D,n(tabla estadstica para valores de Kolmogorov Smirnov)10. Comparar el estadstico de prueba con el valor crtico, si el estadstico de prueba es menor que el valor crtico no se puede rechazar la hiptesis nula.m k i POA PEA mx Ci i,... ..., 3 , 2 , 1 , ==Prueba de Kolmogorov - Smirnov Un estudio del comportamiento entre las roturas de cierto filamento medido en minutos/rotura se muestra a continuacin:4.33 1.61 2.16 2.88 0.7 0.44 1.59 2.15 8.59 7.369.97 7.86 5.49 0.98 4.52 2.12 4.44 0.82 6.96 3.042.81 14.36 3.44 9.92 4.38 8.04 2.18 6.19 4.48 9.664.34 1.76 2.3 5.24 11.65 10.92 12.16 6.6 0.85 4.821.36 3.53 6.58 1.45 8.42 3.96 2.44 0.28 1.9 2.89 Determinar la distribucin de probabilidad con un nivel de significancia = 5% n = 50, media muestral = 4.7336 varianza muestral = 12.1991 -> = 1.38 (parmetro de forma)y =5.19 (parmetro de escala)Prueba de Kolmogorov - Smirnov H0: distribucin de Weibull (= 1.38 y = 5.19) H1: otra distribucin ) ) . J1 2 1 211 2 1) 1 (

+ I+ I =+ I + =E E FE F KVarianzaMediaLa media y la varianza permiten calcular el valor de (forma) y (escala)Prueba de Kolmogorov - Smirnov Calculando la probabilidad observada en cada intervalo:= = =501,501,502,506,506,509,5013,501250i iiOnOPO Calcular la probabilidad esperada acumulada de cada intervalo PEAia partir de la funcin de probabilidad acumulada de Weibull38 . 119 . 5011 ) (1 ) () _ _ ( ) (

= ==xxxxe x Fe x Fdensidad de funcin e x x FEEFF E EEFPrueba de Kolmogorov - Smirnov Con la funcinde probabilidad esperada acumulada calcular para cada intervalo (lmite superior), v.g. para el intervalo 6 8 (intervalo superior =8)8375 . 0 1 ) (38 . 119 . 58==

e x F0 a 2 12 0.24 0.24 0.23526 0.00472 a 4 13 0.26 0.5 0.50247 0.00254 a 6 9 0.18 0.68 0.70523 0.02526 a 8 6 0.12 0.8 0.83747 0.03758 a 10 6 0.12 0.92 0.91559 0.004410 a 12 2 0.04 0.96 0.95839 0.001612 a 14 1 0.02 0.98 0.98042 0.000414 a 8 1 0.02 1 1 0.0000total 50 1 0.0375Intervalo iOiPOiPOAiPEAC0375 . 0 1 1 ,..., 50247 . 0 5 . 0 , 23526 . 0 24 . 0 === MAX PEA POA MAX Ci i1923 . 050 , 05 . 0= DValor crtico 0.1923 > CC= 0.0375,por tanto no se puede rechazar la hiptesis nula de que la variable se comporta de acuerdo a una distribucin de Weibull con parmetro de escala 5.19 y parmetro de forma 1.38Prueba de Anderson -Darling Dada a conocer en 1954, esta prueba tiene el propsito de corroborar si una muestra de variables aleatoriasproviene de una poblacin de probabilidad especfica. Se trata de una modificacin de la prueba de Kolmogorov Smirnov. La desventaja de esta prueba es que es necesario calcular los valores crticos para cada distribucin. La prueba es sensible en los extremos de la distribucin. Debe ser empleada con cuidado en distribuciones con lmite inferior acotado, y no es confiable en distribuciones de tipo discreto. Actualmente se encuentra tabla de valores crticos para la Normal, Lognormal, exponencial, log-logstica, de Weibull y valor extremo tipo IPrueba de Anderson -Darling Procedimiento:1. Obtener n datos de la variable aleatoria a analizar.2. Calcular la media y varianza de la variable3. Organizar los datos de manera ascendente: Yii=1,2,3,n4. Ordenar los datos de manera descendente Yn+1-ii=1,2,3,n5. Establecer explcitamente la hiptesis nula, proponiendo una distribucin de probabilidad.6. Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada nmero PEA(Yn+1-i), a partir de una funcin de probabilidad propuesta.Prueba de Anderson -Darling7. Calcular el estadstico de prueba:8. Ajustar el estadstico de prueba de acuerdo con la distribucin de probabilidad propuesta.9. Definir el nivel de significancia de la prueba y determinar su valor crtico a,n10. Comprar el estadstico de prueba y el valor critico, si el primero es menor que el segundo no se puede rechazar la hiptesis nula. ++== +nii n i nY PEA Y PEA inn A112))] ( 1 ln( )) ( )[ln( 1 2 (1Prueba de Anderson -DarlingDistribucin Estadstico de prueba ajustadoValores crticos 0.1 0.05 0.025 0.001Parmetros conocidos n51.933 2.492 3.070 3.857Normal 0.632 0.751 0.870 0.029Exponencial 1.070 1.326 1.587 1.943De Weibull 0.637 0.757 0.877 1.038Log-logstica 0.563 0.660 0.769 0.9062nA +2225 41n nAn+nAn5312+nAn5112+nAn4112Prueba de Anderson -Darling Los siguientes datos corresponden a un estudio de atencin a los clientes en una tienda de celulares, medido en minutos/cliente Determinar la distribucin de probabilidad con un nivel de significancia = 5%. n = 30H0: distribucin Normal: 1/=10 y =2H1: otra distribucin5.63282 7.11163 8.97359 9.34602 9.82943 12.195.76414 7.8266 9.1919 9.34602 9.83097 12.68535.76414 8.30552 9.25952 9.39954 9.93504 13.32296.95686 8.61959 9.26901 9.53164 10.0562 13.46637.11163 8.86415 9.27425 9.62768 10.2697 13.4663Prueba de Anderson -DarlingC1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11i Yi Yi' 2*i-2 Z'=(Yi-Media)/Varianza PEA = Z(Z') Z''=(Yi'-Media)/VarianzaZ(Z'') PEA = 1-Z LN(C4) LN(C8) C3 * (C9 + C10)1 5.63282 13.4663 1 -2.18359 0.0144962 1.73315 0.958465494 0.041534506 -4.2339 -3.1812 -7.41512 5.76414 13.4663 3 -2.11793 0.0170905 1.73315 0.958465494 0.041534506 -4.0692 -3.1812 -21.75143 5.76414 13.3229 5 -2.11793 0.0170905 1.66145 0.951688449 0.048311551 -4.0692 -3.0301 -35.49664 6.95686 12.6853 7 -1.52157 0.0640584 1.34265 0.910307334 0.089692666 -2.7480 -2.4114 -36.11535 7.11163 12.19 9 -1.444185 0.0743435 1.095 0.863241682 0.136758318 -2.5991 -1.9895 -41.29746 7.11163 10.2697 11 -1.444185 0.0743435 0.13485 0.553634764 0.446365236 -2.5991 -0.8066 -37.46247 7.8266 10.0562 13 -1.0867 0.1385847 0.0281 0.511208803 0.488791197 -1.9763 -0.7158 -34.99728 8.30552 9.93504 15 -0.84724 0.1984307 -0.03248 0.487044633 0.512955367 -1.6173 -0.6676 -34.27329 8.61959 9.83097 17 -0.690205 0.2450326 -0.084515 0.466323489 0.533676511 -1.4064 -0.6280 -34.583610 8.86415 9.82943 19 -0.567925 0.2850429 -0.085285 0.466017408 0.533982592 -1.2551 -0.6274 -35.767611 8.97359 9.62768 21 -0.513205 0.3039040 -0.18616 0.426159645 0.573840355 -1.1910 -0.5554 -36.675412 9.1919 9.53164 23 -0.40405 0.3430880 -0.23418 0.407422621 0.592577379 -1.0698 -0.5233 -36.640013 9.25952 9.39954 25 -0.37024 0.3556018 -0.30023 0.382000862 0.617999138 -1.0339 -0.4813 -37.880314 9.26901 9.34602 27 -0.365495 0.3573710 -0.32699 0.371837724 0.628162276 -1.0290 -0.4650 -40.336315 9.27425 9.34602 29 -0.362875 0.3583491 -0.32699 0.371837724 0.628162276 -1.0262 -0.4650 -43.244916 9.34602 9.27425 31 -0.32699 0.3718377 -0.362875 0.358349131 0.641650869 -0.9893 -0.4437 -44.423317 9.34602 9.26901 33 -0.32699 0.3718377 -0.365495 0.357370969 0.642629031 -0.9893 -0.4422 -47.239018 9.39954 9.25952 35 -0.30023 0.3820009 -0.37024 0.355601838 0.644398162 -0.9623 -0.4394 -49.062019 9.53164 9.1919 37 -0.23418 0.4074226 -0.40405 0.343087976 0.656912024 -0.8979 -0.4202 -48.770020 9.62768 8.97359 39 -0.18616 0.4261596 -0.513205 0.303903964 0.696096036 -0.8529 -0.3623 -47.393121 9.82943 8.86415 41 -0.085285 0.4660174 -0.567925 0.285042948 0.714957052 -0.7635 -0.3355 -45.061722 9.83097 8.61959 43 -0.084515 0.4663235 -0.690205 0.24503264 0.75496736 -0.7629 -0.2811 -44.890123 9.93504 8.30552 45 -0.03248 0.4870446 -0.84724 0.198430681 0.801569319 -0.7194 -0.2212 -42.326324 10.0562 7.8266 47 0.0281 0.5112088 -1.0867 0.138584707 0.861415293 -0.6710 -0.1492 -38.547325 10.2697 7.11163 49 0.13485 0.5536348 -1.444185 0.074343472 0.925656528 -0.5913 -0.0773 -32.756626 12.19 7.11163 51 1.095 0.8632417 -1.444185 0.074343472 0.925656528 -0.1471 -0.0773 -11.439927 12.6853 6.95686 53 1.34265 0.9103073 -1.52157 0.06405843 0.93594157 -0.0940 -0.0662 -8.489328 13.3229 5.76414 55 1.66145 0.9516884 -2.11793 0.017090498 0.982909502 -0.0495 -0.0172 -3.671629 13.4663 5.76414 57 1.73315 0.9584655 -2.11793 0.017090498 0.982909502 -0.0424 -0.0172 -3.400630 13.4663 5.63282 59 1.73315 0.9584655 -2.18359 0.014496195 0.985503805 -0.0424 -0.0146 -3.36442.8257media 10varianza 2alfa 0.05Prueba de Anderson -Darling Como es estadstico de prueba es 2.8257 y el valor de la tabla 2.492 entonces se rechaza la H0, Reformulando:H0: normal (1/=9.604 y =2) Otra distribucinPrueba de Anderson -DarlingC1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11i Yi Yi' 2*i-2 Z'=(Yi-Media)/Varianza PEA = Z(Z') Z''=(Yi'-Media)/VarianzaZ(Z'') PEA = 1-Z LN(C4) LN(C8) C3 * (C9 + C10)1 5.63282 13.4663 1 -1.98559 0.0235394 1.93115 0.973267747 0.02673 -3.74908 -3.62188 -7.370962 5.76414 13.4663 3 -1.91993 0.0274334 1.93115 0.973267747 0.02673 -3.59600 -3.62188 -21.653643 5.76414 13.3229 5 -1.91993 0.0274334 1.85945 0.96851831 0.03148 -3.59600 -3.45835 -35.271724 6.95686 12.6853 7 -1.32357 0.0928229 1.54065 0.938299004 0.06170 -2.37706 -2.78546 -36.137625 7.11163 12.19 9 -1.246185 0.1063482 1.293 0.90199447 0.09801 -2.24104 -2.32273 -41.073916 7.11163 10.2697 11 -1.246185 0.1063482 0.33285 0.630376243 0.36962 -2.24104 -0.99527 -35.599377 7.8266 10.0562 13 -0.8887 0.1870822 0.2261 0.589438178 0.41056 -1.67621 -0.89023 -33.363678 8.30552 9.93504 15 -0.64924 0.2580916 0.16552 0.565732645 0.43427 -1.35444 -0.83409 -32.828039 8.61959 9.83097 17 -0.492205 0.3112872 0.113485 0.545176973 0.45482 -1.16704 -0.78785 -33.2330610 8.86415 9.82943 19 -0.369925 0.3557192 0.112715 0.544871746 0.45513 -1.03361 -0.78718 -34.5950011 8.97359 9.62768 21 -0.315205 0.3763030 0.01184 0.504723366 0.49528 -0.97736 -0.70264 -35.2799912 9.1919 9.53164 23 -0.20605 0.4183759 -0.03618 0.485569417 0.51443 -0.87137 -0.66469 -35.3296013 9.25952 9.39954 25 -0.17224 0.4316244 -0.10223 0.459287058 0.54071 -0.84020 -0.61487 -36.3766514 9.26901 9.34602 27 -0.167495 0.4334903 -0.12899 0.448682781 0.55132 -0.83589 -0.59544 -38.6459315 9.27425 9.34602 29 -0.164875 0.4345212 -0.12899 0.448682781 0.55132 -0.83351 -0.59544 -41.4397116 9.34602 9.27425 31 -0.12899 0.4486828 -0.164875 0.434521185 0.56548 -0.80144 -0.57008 -42.5171717 9.34602 9.26901 33 -0.12899 0.4486828 -0.167495 0.433490291 0.56651 -0.80144 -0.56826 -45.2001118 9.39954 9.25952 35 -0.10223 0.4592871 -0.17224 0.431624426 0.56838 -0.77808 -0.56497 -47.0068519 9.53164 9.1919 37 -0.03618 0.4855694 -0.20605 0.418375927 0.58162 -0.72243 -0.54193 -46.7814720 9.62768 8.97359 39 0.01184 0.5047234 -0.315205 0.376303005 0.62370 -0.68374 -0.47209 -45.0775821 9.82943 8.86415 41 0.112715 0.5448717 -0.369925 0.355719187 0.64428 -0.60720 -0.43962 -42.9198422 9.83097 8.61959 43 0.113485 0.5451770 -0.492205 0.311287215 0.68871 -0.60664 -0.37293 -42.1217623 9.93504 8.30552 45 0.16552 0.5657326 -0.64924 0.25809163 0.74191 -0.56963 -0.29853 -39.0673424 10.0562 7.8266 47 0.2261 0.5894382 -0.8887 0.187082166 0.81292 -0.52859 -0.20713 -34.5784025 10.2697 7.11163 49 0.33285 0.6303762 -1.246185 0.106348242 0.89365 -0.46144 -0.11244 -28.1200026 12.19 7.11163 51 1.293 0.9019945 -1.246185 0.106348242 0.89365 -0.10315 -0.11244 -10.9948927 12.6853 6.95686 53 1.54065 0.9382990 -1.32357 0.092822947 0.90718 -0.06369 -0.09742 -8.5385328 13.3229 5.76414 55 1.85945 0.9685183 -1.91993 0.027433371 0.97257 -0.03199 -0.02782 -3.2892529 13.4663 5.76414 57 1.93115 0.9732677 -1.91993 0.027433371 0.97257 -0.02710 -0.02782 -3.1300330 13.4663 5.63282 59 1.93115 0.9732677 -1.98559 0.023539434 0.97646 -0.02710 -0.02382 -3.004101.3515media 9.604varianza 2alfa 0.05Prueba de Anderson -Darling Como el estadstico de prueba es: 1.3515 y el valor de tabla para la prueba A es: 2.492 (A es mayor q el estadstico de prueba), no se rechaza el grupo: distribucin Normal (9.604,2)Empleo de Stat::Fit Es una herramienta de Promodelempleada para analizar y determinar el tipo de probabilidad de un conjunto de datos. Esta herramienta permite comparar resultados entre varias distribuciones analizadas mediante una clasificacin. En sus algoritmos emplea las pruebas Chi-cuadrada, de Kolmororov Smirnov y Anderson Darling. Calcula adems los parmetros apropiados para cada tipo de distribucin, e incluye informacin estadstica adicional.Ingresando a Stat::FitClick en Stat::Fit de la pantalla de inicio en PromodelInicio del Stat::FitPantalla de inicio del Stat::Fit.Ingrese los datos a evaluar(puede copiarlos desde Ms Excel).Trabajando con Stat::Fit Estos datos pertenecen al estudio realizado para un grifo de GNV, los datos muestran la cantidad de autos que ingresan a cargar gas en una estacin de despacho por hora14 7 13 16 16 13 14 17 15 1613 15 10 15 16 14 12 17 14 1213 20 8 17 19 11 12 17 9 1820 10 18 15 13 16 24 18 16 1812 14 20 15 10 13 21 23 15 18 Determinarque distribucin de probabilidadtiene este conjunto de datos con una significancia del = 5% Ingrese estos datos en la interfaz de Stat::FitDATA TABLE (diapositiva anterior)Ingreso de valores a Stat::FitCantidad de valores ingresadosUna vez ingresados los datos existen una serie de opciones de anlisis estadstico, entre ellas la estadstica descriptiva, las pruebas de bondad y ajuste, etc.Presione sobre el men Statistics y seleccione DescriptiveVisualizando Descriptive StatisticsAparecen datos como: Numero de datos Dato minimo Dato maximo Media Mediana Moda Desviacin estandar Varianza, etcObteniendo la distribucin de probabilidadHacer click sobre el men Fit y seleccionar Auto::FitEn Auto::Fit seleccionar la opcin Discrete DistributionsObservacin En la ventana Auto::Fit se debe selecciona el tipo de distribucin que se desea probar Si dicha distribucin es no acotada en ambos extremos (unbounded), Si el lmite inferior est acotado (en este caso se puede aceptar la propuesta de que la cota del lmite inferior sea el dato mnimo) (lower bound) O seleccionar explcitamente otro valor como lmite inferior (assigned bound) Para el ejemplo se seleccion el tipo discreto ya que la variable aleatoria se ajusta a esa caractersticaObservando la ventana Automatic FittingAqu se describen las distribuciones analizadas, su posicin de acuerdo al ajuste y si los datos siguen o no alguna de las distribucionesSegn esto no se rechaza que los datos se ajusten a una distribucin Binomial de N=104 y p = 0.145O de Poisson con media 15Para ver el resultado de manera grfica presione sobre cualquier distribucinResultados grficos de Stat::FitHaciendo click sobre BinomialComparando las dos distribucionesRealiza el anlisis El siguiente conjunto de datos pertenece al estudio realizado en una tienda de venta de celulares, los datos corresponden a tiempo de atencin a clientes, medido en minutos / cliente. Se pide determinar la distribucin con un nivel de significancia de = 5%9.4 8.62 9.346 13.323 7.112 13.466 5.764 8.974 9.831 10.0567.445 6.619 9.26 6.775 8.306 5.633 8.864 13.944 8.952 9.35510.489 6.306 12.685 11.078 6.957 9.532 9.192 11.731 11.35 14.38912.553 8.045 9.829 11.804 9.274 12.19 10.27 14.751 9.237 6.51512.397 8.453 9.628 13.838 9.935 7.827 9.269 8.69 11.515 8.527Observando ResultadosGeneracin de variables aleatorias La variabilidad de eventos y actividades se representa a travs de funciones de densidad para fenmenos continuos, y mediante distribuciones de probabilidad para fenmenos de tipo discreto. La simulacin de estos eventos se realiza con ayuda de la generacin de variables aleatorias. Los principales mtodos para generar variables aleatorias son: Mtodo de la transformada inversa Mtodo de la convolucin Mtodo de la composicin Mtodo de la transformada directa Mtodo de aceptacin y rechazo.Mtodo de la transformada inversa Este mtodo se puede emplear para simular variables aleatorias continuas, lo que se genera mediante la funcin acumulada f(x) y la generacin de nmeros Pseudo aleatorios ri ~ U(0,1). Procedimiento: Definir la funcin de densidad f(x) que represente a la variable a modelar. Calcular la funcin acumulada f(x). Despejar la variable aleatoria x y obtener la funcin acumulada f(x)-1. Generar las variables aleatorias x sustituyendo valores con nmeros Pseudo aleatorios ri ~ U(0,1) en la funcin acumulada inversaMtodo de la transformada inversa Este mtodo tambin puede emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geomtrica, discreta general, etc. Se lleva a cabo mediante la probabilidad acumulada P(x) y la generacin de nmeros Pseudo aleatorios ri~ U(0,1). Procedimiento: Calcular todos los valores de la distribucin de probabilidad p(x) de la variable a modelar Calcular todos los valores de la distribucin acumulada P(x) Generar nmeros Pseudo aleatorios ri~ U(0,1). Comparar con el valor P(x) y determinar que valor de x corresponde a P(x).Mtodo de la transformada inversa Distribucin Uniforme: A partir de la funcin de densidad de las variable aleatorias uniformes entre a y bb x aa bx f

= ,1) ( Se obtiene la funcin acumuladab x aa ba xdxa bx Fx

=

=,1) (0 Igualando la funcin acumulada F(x) con el nmero Pseudo aleatorio ri ~ U(0,1). y despejando x se obtiene:i iir a b a xx F a b a x) () ( ) ( + = + =Mtodo de la transformada inversa Distribucin Uniforme: La temperatura de una cocina se comporta de manera uniforme dentro del rango de 95 a 100C. Una lista de nmeros Pseudo aleatorios y la ecuacin xi= 95 + 5rinos permiten modelar el comportamiento de la variable aleatoria que simula la temperatura de la cocina.medicin ri temperatura1 0.48 97.42 0.82 99.13 0.69 98.454 0.67 98.355 0 95xi= 95 + 5ri , 5 porque los ri (0,1)En caso ri=1 entonces la ecuacin seria :xi = 95 + 5(1)=100 y ese es el valor mximo que puede alcanzar la variable aleatoriaMtodo de la transformada inversa Distribucin Exponencial: A partir de la funcin de densidad de las variables aleatorias exponenciales con media 1/0 , ) ( > =

x e x fx PP Se obtiene la funcin acumulada:0 , 1 ) (0>= = x e dx e x Fxx x P PP Igualando la funcin acumulada F(x) con el nmero Pseudo aleatorio ri~ U(0,1). y despejando x se obtiene) 1 ln(1) ) ( 1 ln(1i ii ir xx F x==PPMtodo de la transformada inversa Distribucin Exponencial: Los datos histricos del tiempo de servicio de la caja de un banco se comportan de forma exponencial con media (1/) de 3 minutos/cliente. Una lista de nmeros Pseudo aleatorios ri~ U(0,1)y la ecuacinxi= -3ln(1 ri) , nos permiten simular el comportamiento de la variable aleatoria.cliente ri tiempo servicio1 0.64 3.062 0.83 5.323 0.03 0.094 0.5 2.085 0.21 0.71Mtodo de la transformada inversa Distribucin de Bernoulli:A partir de la funcin de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con media1 , 0 ; ) 1 ( ) (1==

x p p x px xSe calculan las probabilidades para x=0 y x=1, para obtenerp 1-p1 0 x) (x pMtodo de la transformada inversa Distribucin de Bernoulli:Acumulando los valores de p(x) se obtiene:1 1-p1 0 x) (x P Generando nmeros Pseudo aleatorios ri~ U(0,1) se aplica la regla:= = =1 ); 1 , 1 (0 ); 1 , 0 (x p r six p r sixiiiMtodo de la transformada inversa Distribucin de Bernoulli: Los datos histricos sobre la frecuencia de paros (por falla) de una mquina de empacado muestran que existe una probabilidad de 0.2 de que sta falle (x=1) y de 0.8 de que no falle (x=0) en un da determinado, disea un modelo de simulacin que muestre su comportamiento. a partir de la distribucin de Bernoulli con media = 0.2x xx P

=1) 8 . 0 ( ) 2 . 0 ( ) ( Calculando la probabilidad puntual y acumulada para x=0 y x=1x 0 1p(x) 0.8 0.2P(x) 0.8 1Mtodo de la transformada inversa Distribucin de Bernoulli: La regla para genera esta variable aleatoria est dada por:= = =1 ]; 1 8 . 0 [0 ); 8 . 0 0 [x r six r sixiii Con una lista de nmeros ri~ U(0,1)y la regla anterior es posible simular el comportamiento de las fallas de la mquina a lo largo del tiempo, considerarSi el nmero pseudo aleatorio es menor a 0.8 la mquina no fallar.Si el nmero pseudo aleatorio es mayor o iguala 0.8 la mquina fallar.Da ri xi evento1 0.453 0 no falla2 0.823 1 falla3 0.034 0 no falla4 0.503 0 no falla5 0.891 1 fallaMtodo de la transformada inversa El nmero de piezas que entran a un sistema de produccin sigue una distribucin de Poisson con media de 2 piezas/hora. Simular el comportamiento de llegada de las piezas al sistema. A partir de la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson con media 2!2) (... 2 , 1 , 0 ;!) (2xex pxxex pxx

== =PPSe calculan las probabilidades puntuales y acumuladas para x=0,1,2 y se obtienex p(x) P(x)0 0.1353 0.13531 0.2706 0.40592 0.2706 0.67653 0.1804 0.85694 0.0902 0.94715 0.036 0.98316 0.012 0.99517 0.0034 0.99858 0.0008 0.99939 0.0001 0.999410 0.00003 0.99943Mtodo de la transformada inversa La regla para generar la variable aleatoria esta dada por:=) 99943 . 0 9994 . 0 ( , 10) 9994 . 0 9993 . 0 ( , 9...) 6765 . 0 4059 . 0 ( , 2) 4059 . 0 1353 . 0 ( , 1) 1353 . 0 0 ( , 0iiiiiir sir sir sir sir six Con una lista de nmeros ri~ U(0,1)y la regla anterior es posible simular el comportamiento de la llegada de piezas al sistema de produccin.Hora ri Piezas/hora1 0.6754 22 0.0234 03 0.7892 34 0.5134 25 0.3331 1Mtodo de la convolucin En algunas distribuciones de probabilidad la variable aleatoria a simular Y puede ser generada mediante la suma de otras variables aleatorias X El mtodo de la convolucin se expresa como:kX X X Y + + + = ...2 1 Las variables aleatorias de 4 distribuciones ms conocidas (Erlang, normal, binomial y de Poisson) pueden ser generados con este mtodo.Mtodo de la convolucin Distribucin de Erlang:= == + ++ = =+ + + =|=kii ikkkkrkER Yr r rkYdespejandor r rkYfactorandorkrkrkYX X X Y12 12 12 12 1) 1 ( ln1))] 1 )...( 1 )( 1 [ln((1)] 1 ln( ... ) 1 ln( ) 1 [ln(1:) 1 ln(1... ) 1 ln(1) 1 ln(1...PPPP P PLa variable aleatoria k-Erlang con media 1/puede producirse a travs de la generacin de k variables exponenciales con media 1/k Mtodo de la convolucin Distribucin de Erlang: El tiempo de proceso de cierta informacin sigue una distribucin de 3-Erlang con media 1/ = 8 minutos/documento. Una lista de nmeros Pseudo aleatorios ri~ U(0,1)y la ecuacinpara generar nmeros Erlang permite modelar el comportamiento.. J ) 1 )...( 1 )( 1 ( ln38) 1 ( ln) 1 ( 382 11kkii ir r r Yr ER Y== =|=Mtodo de la convolucin Distribucin de Erlang:Se obtiene la siguiente tabla:pieza 1-r1 1-r2 1-r3tiempo de proceso1 0.28 0.52 0.64 6.32852 0.96 0.37 0.83 3.25713 0.04 0.12 0.03 23.58854 0.35 0.44 0.5 6.83725 0.77 0.09 0.21 11.2799Mtodo de la convolucin Distribucin Normal La variable aleatoria normal con media y desviacin estndar , puede generarse con el teorema de lmite central.) , ( ~ ...22 1 x x kk k N X X X Y W Q + + + =Mtodo de la convolucin Distribucin Normal ) )Q WWQ+ = =

== + + + = =+ + + == + + + ===12112112 2 112 2 12 16 ) () 1 , 0 ( ~ 6 ) () 1 , 0 ( ~ 6 ...1 , 6 ~1212,212~ ...: 12121,21~ ...ii iiikr N xdespejandoNxr ZN r r r Z YN N r r r Yk sik k N r r r YAl sustituir Xipor nmeros pseudo aleatorios tenemos:Mtodo de la convolucin Distribucin Normal El volumen de lquido de un refresco sigue una distribucin Normal con media de 12 onzas y desviacin estndar de 0.4 onzas, genera 5 variables aleatorias con esta distribucin para efectuar el proceso de simulacin12 ) 4 . 0 ( 6 ) (6 ) (121121+ =+ ===ii iii ir Nr N Q W1 6.21 0.21 12.0842 5.34 -0.66 11.7363 6.03 0.03 12.0124 6.97 0.97 12.3885 4.81 -1.19 11.524botella=121) (iir 6 ) (121

= iirVolumen (onzas)Mtodo de la convolucin Distribucin binomial: La variable aleatoria binomial con parmetros N y p puede ser generada mediante la suma de N variables aleatorias con distribucin de Bernoulli con parmetro p) , ( ~ ...2 1p N BI BE BE BE B YN i+ + + = =Mtodo de la convolucin Distribucin binomial: Al inspeccionar lotes de tamao N=5, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es de 0.03, simular el proceso de inspeccin para determinar el nmero de piezas defectuosas por lote. Este proceso sigue una distribucin binomial con N = 5 y p = 0.03, y ser simulado mediante la generacin de variables aleatorias de Bernoulli con p = 0.03, de acuerdo con el procedimiento sealado donde BEi= 0 representa una pieza buena y BEi= 1 una pieza defectuosaMtodo de la convolucin Distribucin binomial: Entonces:5 2 1...) 1 97 . 0 ( 1) 97 . 0 0 ( 0597 . 0 03 . 0 1BE BE BE BrrBENiiii+ + + ==== Mtodo de la convolucin Distribucin binomial: Calculo de valores de piezas defectuosaslote r1 BE1 r2 BE2 r3 BE3 r4 BE4 r5 BE5# de piezas defectuosas1 0.49 0 0.32 0 0.15 0 0.01 0 0.45 0 02 0.11 0 0.85 0 0.93 0 0.99 1 0.61 0 13 0.57 0 0.92 0 0.84 0 0.74 0 0.82 0 04 0.62 0 0.01 0 0.68 0 0.98 1 0.99 1 25 0.34 0 0.98 1 0.99 1 0.02 0 0.98 1 3Mtodo de composicin Tambin es conocido como mtodo mixto. Genera variables aleatorias X cuando estas provienen de una funcin de densidad fx que se expresa como la combinacin convexa de m distribuciones de probabilidad fi(x). ===A xA xIdondex I x f x fAAmii10:) ( ) ( ) (1Mtodo de composicin Algunas de las distribuciones ms conocidas que pueden expresarse como una combinacin convexa son: triangular, de Laplace y trapezoidal, el procedimiento es:1. Calcular la probabilidad de cada una de las distribuciones fi(x)2. Asegurar que cada fi(x) sea funcin de densidad3. Obtener mediante el mtodo de transformada inversa, las expresiones para generar variables aleatorias de cada distribucin fi(x)4. Generar un nmero Pseudo aleatorio rique defina el valor de IA(x)5. Seleccionar la funcin generadora correspondiente a la funcin fi(x)6. Generar un segundo nmero Pseudo aleatorio riy sustituirlo en la funcin generadora anterior para obtener YMtodo de composicin Distribucin triangular A partir de la funcin de densidad triangular

=b x cc b a bx bc x aa c a ba xx f;) )( () ( 2;) )( () ( 2) ( Calcular la probabilidad de cada uno de los segmentos de la funcin

=bccadxc b a bx bdxa c a ba xx p) )( () ( 2) )( () ( 2) (

=b x ca bc bc x aa ba cx p ) (Mtodo de composicin Distribucin triangular Como los segmentos por separado no son funciones de densidad, se ajustan dividiendo por su correspondiente p(x)

=

=

=b x cc bx ba bc bc b a bx bc x aa ca xa ba ca c a ba xx f22) () ( 2) )( () ( 2) () ( 2) )( () ( 2) ( Expresando la funcin como combinacin convexa:) () () ( 2) () () ( 2) () ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2121x Ic bx bx Ia ca xx fx I x f x I x f x fb x c c x ami iA i A i = =

+

== = =A xA xIA10Donde:Mtodo de composicin Distribucin triangular Integramos para aplicar el mtodo de la transformada inversa a cada segmento de la funcin

=

=

=xcxab x cc bx bdxc bx bc x aa ca xdxa ca xx F222222) () (1) () ( 2) () () () ( 2) (Mtodo de composicin Distribucin triangular Despejando x y sustituyendo rien F(x):. J

+=iir c b br a c ax1 ) () ( Expresando la ecuacin e incluyendo IA(x):. J

>

+=a ba cr r c b ba ba cr r a c axj ij i1 ) () (Mtodo de composicin Distribucin triangular Generar una muestra de 5 variables aleatorias con distribucin triangular a partir de los parmetros : valor mnimo = 5, moda = 10, y valor mximo = 20 En la ecuacin generada sustituimos a = 5, c = 10 y b = 20 . J> +=1551 ) 10 ( 20155) 5 ( 5j ij ir rr rxVariable rj ri rj 0.331 0.231 0.456 8.3764 -2 0.421 0.967 - 18.183 0.853 0.982 - 18.664 0.048 0.134 6.8303 -5 0.675 0.536 - 13.19Mtodo de transformacin directa Empleado para generar variables aleatorias normales Se basa en el teorema de Pitgoras.Z2~N(0,1)Z1~N(0,1)h22212Z Z h + = Geomtricamente: UUsen Z Z Zsen h Z2221 22) (+ ==Mtodo de transformacin directa La suma de v variables aleatorias estndar sigue una distribucin Chi-cuadrada con v grados de libertadU sen X Zv22 2 == La funcin de densidad de una variable aleatoria Chi-cuadrada con 2 grados de libertad es la misma de una distribucin exponencial con media igual a 2. Usando la ecuacin obtenida por el mtodo de la transformada inversa para generar variables aleatorias exponenciales y sustituyendo en la ecuacin anterior se obtiene:U sen r Zi) 1 ln( 22=Mtodo de transformacin directa Generando valores aleatorios uniformes del ngulo y 2mediante el mtodo de transformada inversa:jjrr a b b a) 2 () (T UU= + = Sustituyendo:) 2 ( ) 1 ln( 22 j ir sen r Z T = Para cualquier variable aleatoria Normal N:WQ =NZMtodo de transformacin directa Al despejar N y sustituir el valor de z previamente desarrollado, se llega a la expresin final para la generacin de variables aleatorias normales: ) . J Q W T + = ) 2 ( 1 ln( 2j i ir sen r N Este procedimiento puede iniciarse a travs de la generacin de la variable aleatoria Z1, lo que da lugar a: ) . J Q W T + = ) 2 cos( 1 ln( 2j i ir r NMtodo de transformacin directa Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, se puede emplear para resolver el ejemplo del volumen de los refrescos: ) . J 12 4 . 0 ) 2 ( 1 ln( 2 + =j i ir sen r N T De manera que si se produce los nmeros pseudo aleatorios uniformes 0.43 y 0.75 el volumen del lquido generado para alguna de las botellas sera: ) . J 575 . 11 12 4 . 0 )) 75 . 0 ( 2 ( 43 . 0 1 ln( 2 = + = T sen NionzasExpresiones comunes de generadores de variable aleatoria Uniforme Uii ir a b a U ) (+ = a= lmite inferior de la distribucin uniforme b= lmite superior de la distribucin uniforme nmero Pseudo aleatorio ri(0,1).Expresiones comunes de generadores de variable aleatoria Triangular Ti

>

+=a ba cr r c b a b ba ba cr r a c a b aTi ii ii) 1 )( )( () )( ( a= lmite inferior de la distribucin triangular b= lmite superior de la distribucin triangular c= moda de la distribucin triangular nmero Pseudo aleatorio ri(0,1).Expresiones comunes de generadores de variable aleatoria Triangular Ti. J

>

+=a ba cr r c b ba ba cr r a c aTj ij ii1 ) () ( a= lmite inferior de la distribucin triangular b= lmite superior de la distribucin triangular c= moda de la distribucin triangular nmero Pseudo aleatorio ri(0,1).Expresiones comunes de generadores de variable aleatoria X2==njj iZ X12 2 Z= Nmeros aleatorios con distribucin normal estndar n= grados de libertad Erlang|==kii irkER1) 1 ( ln1P 1/= valor esperado K= parmetro de formaExpresiones comunes de generadores de variable aleatoria Normal Ni:. J. J Q W TQ W T+ =+ =) 2 sin( ) ) 1 ln( 2 () 2 cos( ) ) 1 ln( 2 (j i ij i ir r Nr r N = media de distribucin Normal = desviacin estndar de distribucin Normal nmero Pseudo aleatorio ri, rj(0,1).Expresiones comunes de generadores de variable aleatoria Normal Ni:Q W+ ==1216 ) (ii ir N = media de distribucin Normal = desviacin estndar de distribucin Normal nmero Pseudo aleatorio ri(0,1).Expresiones comunes de generadores de variable aleatoria Exponencial Ei:) 1 ln(1i ir E =P 1/ = media de distribucin exponencial nmero Pseudo aleatorio ri(0,1). WeibullWi:EF K ) 1 ln(i ir W + = = parmetro de escala = parmetro de forma = parmetro de localizacin nmero Pseudo aleatorio ri(0,1).Expresiones comunes de generadores de variable aleatoria Gamma Gi: 1/= valor esperado k= parmetro de forma nmero Pseudo aleatorio ri(0,1).|==kii irkG1) 1 ( ln1PExpresiones comunes de generadores de variable aleatoria Lognormal LNi: = valor esperado = varianza nmero Pseudo aleatorio ri(0,1).+++ ===2 222122 121ln 1 ln * 6 ) (:W QQQWii iNir NDondee LNiExpresiones comunes de generadores de variable aleatoria Bernoulli BEi: p = probabilidad de ocurrencia del evento x=1 1-p = probabilidad de ocurrencia del evento nmero Pseudo aleatorio ri(0,1).=) 1 , 1 ( 1) 1 , 0 ( 0p rp rBEiiiExpresiones comunes de generadores de variable aleatoria Binomial Bi: BEi= Nmeros aleatorios con distribucin de Bernoulli N = Nmero del evento mximo de la distribucin binomial p = probabilidad de existo de la distribucin binomial que se involucra al generar los Bernoulli==Njj iBE B1Expresiones comunes de generadores de variable aleatoria Poisson Pi: = media de la distribucin de PoissonN = contadorT = contador inicio Hacer N=0 , T=1 y generar aleatorio ri 1: CalcularT = T(ri) 2: Si la T e-, entonces hacer N= N+1, T= T, calcular otro riy regresar al paso 1 Si T < e-, entonces la variable generada esta dada por pi= N Para generar lka siguiente variable de Poisson regresar al inicioReferencias1. Banks J., Carson J.S., Nelson B.L. y Nicol D.M. Discrete-Event System Simulation. 4ta edicin Prentice Hall, 2005.2. Law A.M. y Kelton W.D. Simulation Modeling and Analisys 3ra edicin McGraw Hill, 2000.3. Garca E., Garca H., Crdenas L. Simulacin y Anlisis de Sistemas Prentice Hall 20064. Azarang M., Garca E., Simulacin y anlisis de modelos estadsticos 1era edicin McGraw Hill, 1996