Mientras la función de probabilidad se representa en unos ejes de coordenadas cartesianas por medio de una serie de barras, de cualquier anchura, discontinuas, la función de distribución se dibuja a partir de una gráfica escalonada.

F. X

0 K < 0 0 < K < 1 1 < K < 2 2 < K

0 . 3

0 . 6 - -

1 X O 2

2. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Una variable aleatoria X es continua cuando toma valores en un intervalo (a, b) donde a y b pueden tender a -oc y +oc respectivamente.

Una variable aleatoria X es absolutamente continua si existe una función g x , FUNCIÓN DE DENSIDAD, tal que:

donde: Fx (k) = g x (t)dt Vk e <R

F x sigue siendo la convención para la función de distribución de X.

Ejemplo 7

Suponga la variable aleatoria X, duración de un bombillo.

Q = J i = P (Q) partes de Q

Sí S = {co / X (c¡>) >10} B c R m. = [0, a ]

{X e S ) = {X > 10} e

La función de densidad g x cumple las propiedades:

1. g x es continua

X : Q

W > k

<R

50

2. g x ( x ) > 0

3. £ g x (k )dk = l

4. g x ( x ) . F ^ ( x ) = ^ 0

5. P(Xe/3)=\p gx('k)dk Jl r/R

6. g x (k) no indica una probabilidad

7. P(X = k) - 0 por continuidad de X

8. P (a < X < b) = P (a < X <b) = P(a < X < b) = P(a < X < b)

Así mismo, para la Función de Distribución es posible verificar los siguientes teoremas:

TEOREMAS (PROPIEDADES)

1. Si a < b => P (a < X < b) = F x (b) - F x (a)

2. Si K¡ < K2 => F x ( K t ) < F x (K2)

3. LimFx (x) = 0 x — > - a

4. LimFx (x) = 1 x—> a

5. LimFx fx) = Fx(a) Fx es continúa por la derecha x - > a +

6. Fx es única para cada variable aleatoria.

Ejemplo 8

Sea un experimento en el cual se selecciona aleatoriamente un punto del intervalo [a, b] de la recta real. Obtener su función de densidad y distribución.

Solución: Aquí g x (x) = H a < x < b

Se puede encontrar el valor de H teniendo en cuenta la propiedad 3:

51

H fb H dh=l=>H=-—=>gx(x)" Ja b-a ri-a

a<b

Fx(*) = f ' g,(*)dx

0 k < a

k - a a < k < b b - a 1 k > b

Ejemplo 9

Un ingeniero observa la variable aleatoria (Y) resistencia a la flexion de un material normal de acero sometido a la tension. Los datos experimentales permitieron construir la figura que aparece adelante, con base en ella encontrar:

a. gY(y)

b. FY(y)

c. P(Y < 37)

d. P(Y > 45)

e. P(37 < Y < 52)

Solución

a. A partir de los puntos:

0.1

(41, 0.1)

(55, 0)

55-41 •41

0-0.1 -0.0 -0.1 - x + 55

• Y = (x-41) + 0.1 = 14 140

(35, 0) [41-35 = x-35 _ y _ ( x 3 5 ) í ^ l l U

(41,0.1) 1.0-0.1 y-0" ~ 6 60

52

k - 3 5 60

3 5 < k < 4 1

gy(k) = ' - k + 55 140

4 1 < k < 5 5

en otro caso

b- Fy(y)= Í g y ( k ) d k =

0 k < 35

j 35 < k < 41 35 60

4f yf 4 1 < k < 5 5 J 60 J

35 4 1 140

5 5 < k

c. P ( Y < 3 7 ) = {33; ^ p d y = 0033

El 3.3% de las unidades de acero ensayadas tienen resistencia a la tensión no mayor a 37 kg./pulg2

d. P ( Y > 45) = £ 55 - y + 55 45 140

dy = 0.357

La probabilidad de que una unidad de acero presente resistencia a la tensión al menos de 45 kg. /pulg2

es de 0.357

e. P(37 < Y < 52) = Fy (52) - FY (37) = FY (52) = 0.9678 - 0.033 = 0.9348

El 93.48% de las unidades de acero alcanzan resistencias a la tensión que oscilan entre 37 y 52 kg./pulg2.

53

3. VARIABLES ALEATORIAS MIXTAS

La variable aleatoria puede ser a la vez discreta y continua, es decir asume valores puntuales con una probabilidad diferente de cero, al igual que valores por intervalos. Este es el caso de ensayo de equipos, donde X es el tiempo de funcionamiento del equipo, existe una probabilidad de que el artículo no funcione del todo, falla en el tiempo X = 0; ó también cuando Y es la variable aleatoria que representa la demora de un motorista al hacer un pare obligatorio, existe una probabilidad de que no haya tráfico y el motorista no tenga demora X = 0, sí tiene que esperar, lo debe hacer por un tiempo continuo.

La probabilidad de que una cierta variable aleatoria X tenga un comportamiento probabilistico entre a y b, a < b, se escribe como sigue:

P ( a < X < b ) = £ gx(x)dx+ £ P(X = x)

V x e [ a , b ]

Sea Y una variable aleatoria mixta, su función de distribución es:

Fy (y) = Pi F, (Y) + p 2 F 2 ( Y ) :

F, = Función de distribución escalonada (parte discreta)

F2 = Función de distribución continua

P! = Probabilidad acumulada de los puntos discretos

p2 = Probabilidad acumulada de los puntos continuos

Ejemplo 10

Suponga la variable aleatoria, Y, Duración de un componente electrónico, en cientos de horas.

Pi. P(Y = 0) = 1/4 : falla inmediata p2 = 3/4

g2 (Y) = e Y si no falla inmediatamente

54

Fi(y)= 10 Y < o 11 Y > O

F 2 ( y ) = J e " y d y y > 0 O

F Y ( y ) = l / 4 F ^ y ) + 3 / 4 F2 (y)

4. FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad, H una función real tal que:

H: R x > Y

X > H(X)=Y X(w) > H(X(w))

Y sí para todo subconjunto C e ÍHY {H(X) e C}= {w | H [X(w)] e C} e (sigma álgebra), entonces H(X) es una variable aleatoria.

La descripción de la función de una variable aleatoria puede hacerse por intermedio de las funciones de probabilidad, densidad y distribución. Estas pueden ser obtenidas conociendo las funciones equivalentes de la variable aleatoria original, como sigue:

4.1 Sí X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f x (x), y H(X) = Y una variable aleatoria definida sobre el recorrido de X. Entonces la función de probabilidad de H(X) es:

fH(X) (H(x)) = fY(y) = P(Y = y) = P(H(X) = y) = P(X = H^y) ) sí existe H 1

fY(y)= I P(X = xi) \/{Xi/H(Xi)=y}

Ejemplo 7 7

Sea una variable aleatoria X que toma valores enteros en [-5, 6] con igual probabilidad. Obtener f Y (y ) s íH(X) = |X|

55

H -5

-4

-3

- 2

-1 0 1 2

3

4

5

6

«v 5

4

3

2

1 0 1 2

3

4

5

6

R [o, i] 2/12

2/12

2/12

2/12

2/12

1/12

1/12

fx(x) = 12

x = -5 , -4 , -3 , -2 , - l

0,1, 2, 3, 4, 5,6

fY(y)=

0 en otro caso

7 y = 1,2,3,4,5 6

12 y=o,6

0 en otro caso

Ejemplo 12

Una persona gana determinada cantidad de dinero (Y) según el número de puntos obtenidos al lanzar un dado (X). H (X) = Y = 3 x - 10

1 2 3 4 5 6

K H(l) = -7

-4 -1 2 5

fx(x)

fY(y) :

- x = l , 2, 3, 4, 5, 6 6 0 en otro caso

} y = 7, -4, -1, 2, 5, x 6 0 en otro caso

P(Y = y) = P(3X - 1 0 = y) = — V y 6

= P ( X = Y ± ^ ) = P(X = H-1(y))

4.2 Dada la variable aleatoria X absolutamente continua con función de densidad gx(x), la función Y -= H(X) puede ser una variable aleatoria:

a. Continua. Se obtiene primero la función de distribución y por derivación se logra la función de densidad.

56

T E O R E M A 1

lea X una variable aleatoria continua con función de densidad g x (x), Y = H(x) una función estrictamente creciente o decreciente y derivable para todo x en los reales. Entonces

gY(y) = g x(H- 1(y)) 3(H -1(y)) y s K

Ejemplo 13

Sea I la corriente variable distribuida igualmente en el intervalo (9, 11). Sí esta corriente fluye a través de una resistencia de 2 ohmios. Encontrar la función de densidad de la potencia, siendo ésta P = 212

Solución: Sea I: la corriente variable

Los rangos son k, = (9, 11) K = (162, 242)

gi(i) = 1 1

1 1 - 9 2 F t ( i ) -

i - 9 i - 9 11 -9 :

F p (P)= P (P<p) = P(21 <p) = P

= P

v í vzr\

, I?)* i ' ' p í 5

V 2 < V 2 = V2 ' i l V /

/ IF) 1 ( \

= F, ) k

II

\ l l - 9

V \ /

( P ) = A, 8p

/ f l—A \ / i — \ I |P 1 f ÍP| F,

> 2 81 K'2 1

V v / y V J dp 9<J— <11

\ 2

-1/2

1 * í 9 i r 1 1 - 9 , 2 ,2) 2,

,i.n 8 V P

162 < p < 242

57

b. Discreta. La función de probabilidad f v (y), se puede calcular así:

fY(y) = P(Y = y)= [ g x ( x ) d x A c 7 ? x y sR A

Ejemplo 14

El porcentaje de material de cierto componente se puede considerar como una variable aleatoria con la función de densidad

g x (x ) = 2 0 x 3 ( l -x ) 0 < x < 1

El precio de venta del compuesto depende del contenido de material y se vende a US$3 el galón sí está entre 1/3 y 2/3, de otro modo se vende a US$ 2. El costo de producción es de US$ 1.6. Encuentre la función de probabilidad de la utilidad (U).

Solución:

U = 3 -1 .6 = 1.4

2 -1 .6 = 0.4 3 3 en otro caso

f U (u ) = P ( U = u ) :

J2^3 20x 3 ( l -x )dx = 0.4156 u = 1.4

£ / 3 g x d x + £ / 3 g x ( x ) d x = 0.584 u = 0.4

en otro caso

TEOREMA 2

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad no monótona gx(x) y H(X)=Y una función aleatoria de X. Entonces la función de densidad de la función Y se puede obtener como:

gY(y) = [gx (H-'íyfl + gxC-H-'íy))]

Ejemplo 15

(-H-(y)) y e R

Sea X una variable aleatoria con función de densidad gx(x) = 0.5 -1 < x < 1. Y sea la función aleatoria H(X) = x2. Entonces:

58

FY(y) = P(Y<y) = P(X 2 <y) = p(-Vy < x < V y ) = F x ( V y ) - F x ( - V y )

5. OTRAS CARACTERÍSTICAS DE LAS VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria se caracteriza además de las funciones de probabilidad, ó de densidad y distribución por una serie de medidas que ayudan a describir la tendencia, dispersión, asimetría y apuntamiento de sus valores, tales pueden ser el valor esperado, la desviación estándar, los cuantiles, coeficientes de variación, asimetría y apuntamiento.

5.1 Valor Esperado de Variables y Funciones Aleatorias

• Sea X una variable aleatoria. Se define valor esperado de X:

- Cuando X es discreta con función de probabilidad fx(x) a

E(X) = x f x (x) = (i, existe sí |x| f x (x) < a vx vx

- Sí X es una variable continua con función de densidad gx (x)

E(X)=i x g x (x)dx = |a, existe sí |x |gx (x)dx <00 existe

• Sea H(X) una función de la variable aleatoria X. Se define valor esperado de H(X):

- Si X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad fx(x) a:

E(H(X))=£ H(x) f x (x) = n, existe sí £ |H(x)| f x ( x ) < a existe vx vx

- Si X es una variable continua con función de densidad g x (x)

I (H( X)) 1 H(x) gx(x)dx = x = |a., existe sí J ^ |H(x) | g x (x)dx < 00 existe

El valor esperado también conocido como esperanza matemática es considerado como un promedio antmético a la larga.

• PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE X ( Y DE H (X) )

59

1. E(K) = K K es una constante

2. E(K*X) = K*E(X)

H(X)=K

H(X)=K*X

3. E(K,* X + K2) = K,*E(X) + K2 H(X)= K,* X + K; - 2

5.2 Varianza y Desviación Estándar de una Variable Aleatoria

Sea una variable aleatoria X, se define:

- Varianza de X a: V(X) = E(X - E(X))2 = <x .2

- Desviación Estándar de X a: ^/V(X) = a

La raíz de la varianza, la desviación estándar, indica la variación de la variable aleatoria con respecto a su valor esperado, denotando el nivel de homogeneidad de los valores.

Ejemplo 16

En el problema de la partícula, ejemplo 2, el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la variable se pueden calcular así:

- E(X) = 1/8*0 + 3/8*1 + 3/8*2 + 1/8*3 = 1.5 Se espera que el número de movimientos a la izquierda de tres movimientos efectuados por una partícula tienda a ser 1.5 = 2

- V(X) = (0 - 1.5)2 * 1/8 + (1 - 1.5)2 * 3/8 + (2 - 1.5)2 * 3/8 + (3 •- 1.5)2 *l/8 = 0.75 - cr =0.866

El número de movimientos a la izquierda de tres movimientos efectuados por una partícula varía con respecto al número esperado de movimientos en 0.866 s 1

Ejemplo 17

La variable aleatoria X¡ el punto seleccionado de un intervalo, ejemplo 8, tiene valor esperado y varianza como sigue:

PROPIEDADES DE LA VARIANZA DE X (Y DE H(X))

1. V(K) = 0 siendo K una constante

2. V(K*X) = K2 V(X)

3. V(X + K) = V(X)

4. V(K,* X + K2) = K,2 V(X)

5. V(X) = E(X2) - (E(X))2

H(X)=K

H(X)=K*X

H(X)=X + K

H(X)= K,* X + K2

60

E ( X ) = { B - 2 L - D X = I ± * Ja b - a 2

2 V ( X ) = A 2 = J A

B ( X - E ( X ) ) 2 G X (X)DX = ^

Ejemplo 18

En el ejemplo 13, obtener el valor esperado y la desviación estándar de P.

. E(P) = E(2I2) = 2E(I2) = Jg1 2 i 2 * i d i = j9H i2 d i = 200.67 = p g p(p)d p

La potencia media generada es de 200.67 vatios.

- V(P) = E(P2)-[E(P)]2

= 40800.8-(200.67)2

= 532.35 =>o = 23.07

E( P2 ) = E[(2I2)2]=E[4I4]= jj1 ^ g ^ O d i

= 40800.8 = J * 2 p2 gp(p) dp

La variación de la potencia con respecto a la potencia mcum c» uc ¿J.u / vauus.

Ejemplo 19

Calcular la utilidad esperada por galón y su variación, según el ejemplo 14.

- E(U) = 1.4* 0.4156+ 0.4* 0.5844 = 0.8156 US$ - V(U)=1.42 * 0.4156 + 0.42 * 0.584 - (0.8156)2 = 3.27 = o2

=> a =1.8 US$. La utilidad es muy heterogénea.

5.3 Otras medidas de Variables Aleatorias

Es de importancia conocer que las variables aleatorias se describen con otras medidas de gran uso por algunos profesionales, denominadas de posición, las que a continuación se presentan.

• CUANTILES

Se define cuantil, al valor bajo el cual se encuentra una determinada proporción de los valores de la variable.

Los cuantiles pueden ser:

• Pereentiles, cuando la serie de valores se divide en cien partes, cada una equivalente a un uno por ciento.

• Cuartiles, sí la serie de valores se clasifica en cuatro partes, cada una relacionada con un veinticinco por ciento.

• Deciles, cuando el conjunto de valores se reparte en diez partes, cada una relativa a un diez por ciento.

El cuantil de orden R de una variable aleatoria X, es denotado por xR y definida como el valor de X que es máximo para R% de los valores de la variable y a la vez el mínimo para los restantes (1-R)% de valores, se calcula de la siguiente manera:

• Sí X es discreta. Es aplicable uno de los siguientes métodos:

- P(X < xR ) < R y P(X < xR ) > R. En este caso la solución para el cuantil no es siempre satisfactoria, por lo tanto se ofrece aquí una alternativa de respuesta algo más general aunque pueden existir situaciones en los que tampoco sea adecuada.

- Sea MIR = I n f U / F x (x) > R y MSR = Inf< x / F x (x) > R ¡>. El intervalo [MIR, MSR] se llama intervalo cuantilico de orden R y cualquier punto dentro de él se denomina Cuantil de orden R. En este caso, es común asignarle el valor MSR a xR.

Sí MIR = MS r => xR es el cuantil de orden R y es único.

- Otra alternativa de obtención es S ÍF x (x M )<R<F x (x , )=> Xr= x, Cuando Fx(xi_1)=R => xR= (Xj_|+ x¡)/2

• Sí X es continua. Se resuelve la ecuación F x (XR) = R. Cuando R = 0.5 entonces Xq 5 — Me : es llamada MEDIANA

• MODA

Representa el valor de la variable aleatoria que más se repite ó el más probable, es decir, el que maximiza la función de probabilidad o de densidad. Se denota por Md. Si existe se denomina Moda absoluta.

Una variable aleatoria puede tener dos valores con igual probabilidad de ocurrir, siendo ésta la máxima, razón por la cual se llama Bimodal, si tiene tres valores con igual probabilidad de ocurrir, siendo ésta la más alta, se describe como Trimodal, y así sucesivamente.

62

Ejemplo 14

Sea la variable aleatoria discreta X tal que:

X: 0 15 25 40

P(X = x): 0.2 0.3 0.3 0.2

P(X <x): 0.2 0.5 0.8 1.0

El cuartil 1 se obtiene:

MI25 = Inf \ x / Fx (x) > 0.25 >-=15 MS25= Inf^ x / Fx (x) > 0.25 ^=15

De ahí que el cuartil de orden 1 de X sea 15.

La Mediana se podría conocer mediante la alternativa:

MI50= Inf <¡ x / F x (x) > 0.5 ¡>=15 MS50= Inf \ x / F x (x) > 0.5 ¡>=25.

Entonces se tiene el intervalo [15, 25] llamado intervalo mediano.

La Moda absoluta no existe, puesto que no hay un valor de la variable que sea más probable que cualquier otro. Como se presentan los valores 15 y 25 con igual probabilidad se denominan modas relativas de primer orden, así mismo los valores 0 y 40, también con igual probabilidad pero inferior a la de los valores anteriores, son llamados modas relativas de segundo orden. Además, se puede decir que la variable aleatoria X es Bimodal puesto que no tiene una moda absoluta, en cambio si posee dos valores que se constituyen en modas de primer orden.

Ejemplo 21

Sea la variable aleatoria X que representa el tiempo de duración, en horas de un cierto componente eléctrico con función de densidad gx(x) = 1000 -1 e"(x"100>'1000 x > 100

Determinar: a. E(X) b. Me c. Cuartil 3 d. Decil 4 e. Md

a a. E(X) = J x g x (x ) dx = 1100 La duración media del componente es de 1100 horas.

100

b- F x (x0 5) = P(X < x0 5) = 0.5

7 g x (x )dx = e"100/1000-e^x°5~100 ' , /1000 = 0.5 => despejando x0 5 =602.24 100

63

Lo cual se interpreta diciendo: el 50% de los componentes alcanzan duraciones no mayores a 602.24 horas. También indica que la mitad de los componentes al menos duran 602.24 horas.

c. F x (x0 75) = P(X < x0 75) = 0.75. Por un procedimiento similar al anterior x0 75= 1135.16. Esto es, el 75% de los componentes tienen, cada uno, duraciones no mayores a 1135.16horas.

d- F x (x0.4) = P(X < x0 4) = 0.4 ^ x0 4 = 449.315

e. Md = Máximo de la función de densidad gx .

Se puede verificar que el máximo de g x es 100. Lo anterior indica que la duración más probable ie un componente es 100 horas.

5.4 Desigualdad de Tchebyshev

Permite generar un intervalo de valores de la variable aleatoria dada la probabilidad de que esto acurra, o también es posible realizar el hallazgo de la probabilidad de que ocurran los valores que :oma la característica aleatoria incluidos en un intervalo dado. En cualquier caso es necesario disponer ie la varianza poblacional a 2

TEOREMA 4. Desigualdad de Markov

Sea X una Variable Aleatoria, y H(X) una función no negativa con dominio en los reales, entonces

P ( H ( X ) > e ) < E ( H ( X ) ) V e > 0 e

Demostración:

Sean A t ={x / H(X) > e } A2 ={ x / H(X) < s }

E(H(X)) = j H(x) g x ( x ) dx = { H ( x ) g x ( x ) d x + { H(x )g x (x )dx - a Al A2

> { H ( x ) g x ( x ) d x Al

> { s g x ( x ) d x > 8 P ( H ( X ) > £ ) Al

E ( H ( X ) ) > P ( H ( X ) > £ )

8

64

COROLARIO. Desigualdad de Tchebyshev

Sí X es una variable aleatoria con varianza finita a 2 y H(x) = (X - \xxf e = K2 a 2

=> P ( (X - (ax)2 > k2 a2) = P(|X- n x | > k a x ) < , equivalente a la expresión k

P( |X - |ax | < k a x ) > 1 - Nótese que se puede escribir como:

3((ax - k CTx < X < iix + k CTx) >1 j es útil para cuando k > 1. k

Ejemplo 22

Las ventas diarias por cliente en un supermercado son de US$ 5.25 y la variación de las mismas asciende a US$3.04. Sí K = 3/2 ¿Qué rango de ventas se espera para al menos que porcentaje de clientes?

Solución

X: Ventas diarias por cliente del supermercado. = 5.25 a x = 3.04 1 — y = — k 9

Entonces (5.25 ± (3 / 2)*3.04): (0.69 < X < 9.81)

Cada uno de los 55.6% de clientes del supermercado realizan compras entre US$0.69 y US$9.81

Ejemplo 23 El número de gusanos por pie3 en cierto suelo tiene un promedio y varianza iguales a 100. Encuentre

un intervalo que incluya 16/25 de los valores muéstrales del número de gusanos, obtenidos de un gran número de muestras de un pie3.

Solución:

16 , 1 1 9 5 — = 1 r- = > ^ - = — => K = — 25 k2 k2 25 3

16 P(|a - Ka < X < u + Ka) > — =>

P ^ 1 0 0 - | * 1 0 < X < 1 0 0 + | * 1 0 j =P(83.3<X<116.6) >0.64

En al menos el 64% de muestras de un pie3 se encuentran entre 83 y 117 gusanos por pie3.

65

5.5 Momentos de una Variable Aleatoria

Sea X es una variable aleatoria. El r-ésimo momento de X consiste en obtener los valores esperados de X hasta de orden r:

Se conocen varias clases de momentos, a saber:

1. Respecto al origen, denotado por (ir, es definido por: (j.r = E(X r), existe sí la esperanza existe.

Así se tiene: Ui = E(X) a 1 = - |i2i = V(x)

2. Respecto al momento central. H'r = E((X - E(X))r

H' ,=0

\¿2 = E(X - E(X))2 = V(x) = a 2

= E(X - E(X))3 llamado medida de asimetría.

(j,'4 = E(X - E(X))4 reconocida como medida de curtosis.

• La simetría de una distribución de probabilidades, véase la próxima figura, es otro rasgo interesante de una variable aleatoria, utilizando el momento central de tercer orden se puede decir que sí:

f f

/ \

f A X

( 1 ) Asimetría negativ» (2) Simétrica X X

(3) Asimetría positiva

• |i'3 = 0 : La variable es simétrica respecto a su valor esperado

• jLt'3 < 0 : Existe asimetría a la izquierda (asimetría negativa)

• (i'3 > 0 : Existe asimetría a la derecha (asimetría positiva)

NOTA 1. Adicionalmente se conoce un coeficiente estandarizado de asimetría, definido por: a 3 = (i'3 / CT3

66

• La curtosis es el grado de apuntamiento que tiene una distribución de probabilidad de una determinada variable aleatoria. Se cuantifica por el momento de orden cuatro con respecto a la media, (i'4.

NOTA 2. Al igual que con la asimetría, también se define un coeficiente estandarizado de curtosis, dado por: a 4 = (j,'4 / 4 . Se puede determinar el tipo de apuntamiento de la distribución, si

• a4 = 3 : No hay exceso da curtosis, apuntamiento normal

• a4 < 3 : El apuntamiento es inferior al normal, aplanada

• a4 > 3 : El apuntamiento es superior al normal, apuntada

1 (1) Platikúrtica (2) Mesokúitica (3) l̂ ptokiirtica

Un momento particular da poca información sobre la distribución de una variable aleatoria, pero el conjunto de momentos ordinariamente determina la distribución exacta.

3. Momento Factorial de Orden R Hay otra manera de obtener artificialmente los diferentes momentos de orden r, ésta es llamada momento factorial definida como:

Mr = E (X (X - 1) (X - 2) ... (X - r+1))

Para r = 1, Iví, = E(X)=

r = 2, M2 = E(X(X-1)) = E(X2 - X) = E(X2) - E(X) = M2 - Mi= - ^

entonces a" = ¡x2 - M-j2 y así sucesivamente.

Ejemplo 24

Con base en el ejemplo 20, indicar cual es la forma de la distribución, y usando el teorema de Tchebyshev que resultado se espera de X si k= 1.5.

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- ji-3 - E(X - E(X))3= Y f x - 2 ° f f x ( x ) = ° Vx

a 3 = / a 3 = 0. (a2 = 175)

- n'4 = E ( X - E(X)) 4 = 2Jx-20ffx(x)=64315 v*

- a 4 = u'i / a 4 = 2.1 < 3

De acuerdo a los cálculos realizados, se puede señalar que la distribución de la variable discreta, tiene una forma asimétrica negativa y es aplanada.

Aplicando la desigualdad de Tchebyshev con k=l .5

P(|X - 20| < 1.5*VÍ75)> 1 - = 0.56 ^ P ( 0 . 1 6 < X < 39.84) >0.56

La probabilidad de que la variable aleatoria X este entre 0.16 y 39.84 es de al menos 0.56.

Ejemplo 25

Continuando con el ejemplo 21, obtener la asimetría y apuntamiento de la distribución. Aplique el Teorema de Tchebyshev para un K=2.

- M'3 = E ( X - E ( X ) ) 3 = J;00 ( X - 1 1 0 0 ) 3 g x (x )dx = 2 * 1 0 9 > 0

\¿2 = E(X - E(X))2 =1*106= o2 => CT=1000 => a 3 = 2 > 0 La asimetría es positiva

- H'4 = E(X-E(X))4= (x-1100)4 g x (x )dx = 9*1012 ^ a 4 = 9 > 3

El apuntamiento es tipo leptocurtico.

Aplicando la desigualdad de Tchebyshev con k=2

P(|X - 1100| < 2*1000) > 1—^- = 0.75 => P(-900<X< 3100) >0.75 2

Al menos el 75% de los componentes eléctricos tienen duraciones entre 100 y 3100 horas.

5.6 Función Generadora de Momentos

Dada una variable aleatoria X, con función de densidad (ó de probabilidad). Se define con el nombre de función generadora de momentos a:

E (etx) = M x (t) V t, - b < t < b b > 0

68

= M(t) =

e " g x (x) dx x : continua

^ etx f x ( x ) x: discreta Vx

existe cuando exista el valor esperado.

Sí existe M x (t), va a ser única y determina completamente la distribución de una variable aleatoria. La existencia de M(t), permite que M(t) sea continuamente diferenciable, garantizando la

existencia de tales derivadas de orden r en t = 0, las que resultan ser los momentos con respecto al •rigen de una distribución, de ahí su nombre.

d rM(t) dtr

: (M(t)) r=E d V x ) dtr

n[xretxJ=-Í* r t x

x e g x (x )dx x: continua

^ x r e0 ' f x (x) x : discreta

Vx

haciendo t = 0 (M(0))r = n r = E(X r) M'(t) = E(Xe t x)=í>M ,(t = 0) = E(X) = ji

Ejemplo 26

Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad es:

íe~x x > 0 g x ( x ) :

0 en otro caso

Determine: a. M(t). b. E(X). c. V(X)

Solución: U Li i

a. E(e tx) = M x (t) = J e tx e~x dx = J e( t_1)x dx = t < 1 A f\ 1 - t

b. E(X) = M x ( t = 0)

c. E(X2) = M"(t = 0)

V(X) = 1

1 M x ( t ) = ( l - t ) 2

M'i(t): (1- ty

M^(t = 0) = l

M^(t = 0) = 2

69

Ejemplo 7 7

Un jugador de baloncesto lanza la bola hasta que encesta, momento en el cual finaliza lanzamientos, la probabilidad de encestar es 0.4

Si X es la variable aleatoria que denota el número de ensayos que realiza el jugador.

Halle: a. f x (x) b. M(t) c. E(X) d. V(X)

Solución: Como los lanzamientos se pueden asumir como independientes, entonces

a. f x (x) = (1 - P)x_1 P = (0.6)x_1 (0.4) x=l,2...

b. M(t) = X etx(0.6)x_1(0.4) = ^ X (0.6e')x = ~ 0.6e '(1 + qe 1 +(qe ' ) 2 +. . . + ...) V x 3 v x 3

, 1 i i AYUDA.ParadeterminarM(t). V - x n = l + x + x + . . . + ...= |x|< 1

=> M(t) = — 0.6 e l * — 1 0.4 e 3 l - 0 . 6 e l l - 0 . 6 e

c. E(X) = M(t = 0) = 2.5

( M e ' O - O . ó e ^ - O ^ e ' (-0.6 e l) _ 0.4 e l

M'(t) = -(1-0.6e1)2 ( l -0 .6e 1 ) 2

d M „ ( ú = 0-4 e{ (1 - 0.6 e1)2 - 0.4 e1 2(1 - 0.6 e{) (-0.6 e{) ( l - 0 . 6 e ' ) 4

= 0-4^(1 + 0 . 6 ^ ) = > ffl = 0.4Q + 0.6) = 1 Q

(l-O.óe1)3 7 (1-0.6)

=> V(X) = 10-(2.5)2 =3.75 <j = 1.94

TEOREMA 5

Sea X una variable aleatoria con función generadora de momentos M x (t).

Sí Y = a X+ b entonces MY (t) = etb M x (a t)

Demostración:

M v (etY) = E(et(aX + b)) = E(etaX etb) = etb E(etaX) = etb M x (at)

70

5.7. Función Generadora de Momentos Factoriales

Sea X una variable aleatoria y vFx(t) una función real tal que: 4yx(t) = E ((1+ t)x)

Sí d ¥x (0 existe para todo t, entonces d t r

g r ( ( i + t ) x ) a t r

VX 0) = E [ X ( X - 1 ) ( X - 2 ) ( X - ( k - l ) ) ( l + t)x"k I y (t) se denomina d t r

Función Generadora de Momentos Factoriales de X de orden r.

El argumento contenido en el valor esperado se puede expresar en términos factoriales

X ' f l + tY'"k —— - — de ahí su nombre.

(X-k) !

Es de mayor facilidad de aplicación con variables aleatorias discretas, pudiendo obtenerse los momentos factoriales de la variable y luego encontrar los momentos con respecto al origen. Así, si (1 + t ) x = e x l n ( 1 , t ) => (t) = M x (ln(l + 1 ) ) ¥ x (e v) = Mx(t).

5.8. Función característica de una Variable Aleatoria

Sea X una variable aleatoria y 0 X una función real tal que:

0 x ( t ) = E(eltx) = E (Cos (tx)) + i E ( Sen (tx)) V t e R, entonces se dice que 0 X es la Función Característica de X.

6. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una caja contiene cuatro artículos aceptables, uno defectuoso. Se inspecciona artículo por artículo hasta cuando se localiza el defectuoso. Sea la variable aleatoria X que denota el número de la inspección en que se localiza el artículo defectuoso.

a. Determine la función de probabilidad de X. b. Encuentre la función de distribución de X. c. Calcule el.valor esperado y la varianza. d. Deduzca la función generadora de momentos de X.

'/1

2. Sea X una variable aleatoria que representa el peso (en onzas) de un artículo, con función de densidad

gx <X> =

x - 8 1 0 - x 0

8 <x <9 9 < x < 10 en otro caso

El fabricante vende el artículo a $200. Garantiza el reintegro del precio de venta si el peso del artículo es inferior a 8.25 onzas. El costo de producción es función del peso, C.= 5 * X, otros costos menores suman $30.

a. Determine la función del costo y de la utilidad.

b. Encuentre la utilidad esperada por el fabricante.

c. ¿Cuál es la variación del costo y de la utilidad?

3. Un artículo tiene los defectos A, B, AB, Ninguno. La probabilidad de A es 0.4, la de B es 0.5 y la de los dos defectos 0.2.

Sí X es la variable aleatoria que indica número de defectos de un articulo. ¿Cuál es la función de probabilidad?, ¿De distribución?. Encuentre todas las medidas que caractericen a X.

4. Un proyecto consta de 3 actividades: A,B y C. La actividad B debe ser ejecutada antes que C pueda comenzar. A se realiza independientemente pero simultáneamente a B y C. Se han estimado los siguientes tiempos y probabilidades:

ACTIVIDAD TIEMPO PARA TERMINAR PROBABILIDAD

A 4 6

0,50 0,50

B 1 3

0,25 0,75

C 2 4

0,80 0,20

a. Obtenga la función de probabilidad del tiempo total para terminar la tarea.

b. ¿Cómo realizaría usted el proyecto? Justifique la respuesta.

c. Calcule e interprete el valor esperado y la varianza del tiempo total.

5. La función de densidad de la variable aleatoria X, diámetro final de un cable eléctrico blindado, esta dado por