Variables AleatoriasVariables Aleatorias

Introducción

El concepto de variable aleatoria permite pasar de los resultados experimentales a una función numérica de los resultados.

En general. cada resultado de un experimento se puede asociar con un número que especifica una regla de asociación (p. ej.. la cantidad entre la muestra de diez componentes que no duran 1000 horas. o el peso total de equipaje de una muestra de 25 pasajeros de una aerolínea).

Esta regla de asociación se llama variable aleatoria, una variable porque solo son diferentes valores numéricos, y aleatoria porque el valor observado depende de cuál de los resultados experimentales posibles resulte.

Hay dos tipos de variables aleatorias, variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

DefiniciónUna v.a. es una función que asigna a cada punto del espacio muestralun número real

X : Ω REjemplo:

ε: Estado de las unidades producidas en un proceso de fabricación

Ω ={ falla , no falla }

X({no falla}) = 0X({falla}) = 1

fallano falla

ΩEspacio Muestral

X({falla}) = 1X({no falla}) = 0

0 1∞− ∞+

ConjuntoNúmerosReales

IR

X : Ω Rx ∈ IR

A cada s ∈ Ωle correspondeexactamente un valor X(s)

ε: Estado de las unidades producidas en un proceso de fabricación

a b

• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).

• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral

• El espacio muestral original “induce” un espacio muestra Rx asociado a

la Variable Aleatoria X

• Luego un evento A en induce un evento Ax en el espacio muestral RX

RX

Ω X(s) = b; s ∈ Ω

X(s) = a

si

Ask

Ω

Observaciones

Ω

Ejemplo:

X: Número de caras al lanzar 3 monedas.

Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC

Nº reales(# de caras) 0 1 2 3 caras

Ley de correspondencia

)(:

wXwEX

→ℜ→Establecer una variable aleatoria para un

experimento aleatorio no es más que una manera de asignar de "manera natural" números a los eventos.

( a < x < b )( a < x ≤ b ][ a ≤ x < b )[ a ≤ x ≤ b ]

Nótese que para cada par de números reales a y bexisten los siguientes conjuntos:

a b

RX

X(s) = b; s ∈ Ω

X(s) = a

si

sk

A

( x > a ∞( x ≥ a ∞

x < b ) - ∞x ≤ b ]- ∞

Eventos de interés

En el caso de un solo número:

X = a o X = b

• El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral Ω se puede aplicar a eventos en RX.

RX

X: Ω RX

Ω

X(s) = x

1

0

f : R [0, 1]

f(x)0 ≤ P(X(s) = x ) = f(x) ≤ 1

s

Función de Probabilidad

• Sea X una variable aleatoria.

• Si el número de posibles valores de X (esto es su RX).- Es finito (contable) o.- Es contablemente infinito (numerable).

• Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.

• Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados.x1, x2, x3, ...., xn, .....

- En el caso contable la lista es finita.- En el caso numerable la lista es infinita contable

Variable Aleatoria Discreta

x

x1 x 2 x3 x4 x5 x6 xn

f(xi)

Los f(xi) deben satisfacer

• 0 ≤ f(xi) ≤ 1; i = 1, 2, 3, ... , n

• Σ f(xi) = 1

El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función o Distribución de Probabilidad o Cuantia.

A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi)

llamado la probabilidad de xi

∀i

Función de Probabilidad v.a. Discreta

Valores Probabilidad

0 1/4 = 0.25

1 2/4 = 0.50

2 1/4 = 0.25

Z

Z

Z Z

)(:

wXwEX

→ℜ→ )()(

]1,0[:xXPxpx

p==→

→ℜ

Ejemplo:

ε: Lanzar dos monedas legales

X: Número de caras que aparecen

Observa que aun si el espacio muestral es infinito numerable, también podemos definir una variable aleatoria discreta y una función de probabilidad.

Ejemplo

Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara.

Entonces:

P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 . 1/2 = 1/4 P(X = 3) = P(++C) = 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8

...y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1,2,….

Demuestra que está normalizada.

Ejemplo

Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral Ω como:

Ω = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}

Definamos la variable aleatoria discreta X como:

con S = {2,3,...,12} la suma de puntos. Una posible función de probabilidad es:

ℜ∈→Ω SX :

...363)2,2()13()31(4)4(

362)12()21(3)3(361)11(2)2(

]1,0[:

/),,P()P(Xf/),,P()P(Xf

/),P()P(Xff

=∪∪====∪===

====→ℜ

P

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Función de probabilidad de la variable aleatoria X en el ejemplo anterior

Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y estánormalizada.

Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución a la función F definida como:

)()(]1,0[:

xXPxFxF

≤=→→ℜ

En nuestro ejemplo de los dos dados:

F(5) = P(X ≤ 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)

F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

Función de Distribución v.a. Discreta

x

1

0

F(x)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn

P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa”Función de Frecuencia

F(x) = 0 x < x1

= Σ f( xi ) x1 ≤ x < x2

1

i = 1

= Σ f( xi ) x2 ≤ x < x3

2

i = 1

= Σ f( xi ) x3 ≤ x < x4

3

i = 1

= Σ f( xi ) x4 ≤ x < x5

4

i = 1

Gráfico de la FDA v.a. Discreta

0)()(lim)(lim)( =∅=≤==−∞−∞→−∞→

PxXPxFFxx

1)()(lim)(lim)( =Ω=≤==+∞+∞→+∞→

PxXPxFFxx

)()()( 1221 xFxFxXxP −=≤<

F es monótona creciente.

F es continua por la derecha: la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome un valor concreto es igual al salto de la función de distribución en ese punto.

Propiedades FDA v.a. Discreta

x

1,0

0,5

0,028

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

F

Ejemplo

Función de distribución de la variable aleatoria X : suma de puntos

Observación

Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X ≤ b) de que X asuma algún valor en un intervalo (a, b]. En este caso tenemos que:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

Para demostrarlo observa que, como los sucesos X ≤ a y a< X ≤ b son mutuamente excluyentes, entonces:

F(b) = P(X ≤ b) = P(X ≤ a) + P(a < X ≤ b) = F(a) + P(a < X ≤ b)

Resolviendo: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

Ejemplo

En el caso de los dos dados, la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8:

P(3 < X ≤ 8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

Ejemplo

Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como: X = Número en la cara de un dado.

X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6

0

61

1 x

f(x)

1

0.5

10

F(x)

x6 6

Función de distribución F(x)Función de probabilidad f(x)

EjemploEn ocasiones algunas líneas aéreas venden más pasajes que los disponibles en un vuelo. Una compañía ha vendido 250 boletos que corresponden a un avión de 200 plazas. Sea X la variable aleatoria que expresa el número de viajeros que se presentan en el aeropuerto para tomar el vuelo. La distribución de X es:

a) Calcula la probabilidad de que todos los pasajeros que llegan a tomar el vuelo tengan plaza.

b) Calcula la probabilidad de que se quede sin plaza alguno de los viajerosc) Calcula la probabilidad de que lleguen al aeropuerto entre 195 y 200

pasajeros

Solución

Ejemplo

Se lanza una serie de cohetes hasta que el primer lanzamiento sea exitoso. Si esto no ocurre en 5 ensayos el experimento se detiene. Suponga que hay una probabilidad constante de 0.9 de tener un lanzamiento exitoso y los ensayos son independientes. El costo del primer lanzamiento es K u.m. mientras que los lanzamientos siguientes cuestan K/3 u.m. Si T es el costo del experimento, encuentre la distribución de probabilidades de T.

Soluciòn

( ) )()( ii

iii

i xpxxXPxXE ∑∑ ====μ

X

-10123

P(X)

.1

.2

.4

.2

.1

-.1.0.4.4.31.0

Siempre que no genere ambigüedad pasaremos de arrastrar la variable aleatoria: en vez de poner X = xi ponemos directamente xi.

Esperanza Matemática de una v.a. Discreta

XP(X)

Ejemplo

Calcular el puntaje promedio esperado al lanzar dos dados

712361...7

366...3

3622

361

)()(11

1

=⋅++⋅++⋅+⋅

=== ∑=i

ii xpxXEμ

Ejercicio

Sean a, b y c constantes. Demuestra que:

ccE =)())(())(())()(( 2121 xpExpExpxpE +=+

(3)

(1)

bXaEbaXE +=+ )()(

(2) ( ) ( )

( ) ( ))()()()(

)()()()(

2121

2121

xpExpExXpxxXpx

xXpxXpxxpxpE

iiii

ii

iii

i

+==+=

==+==+

∑∑

∑

( ) cccE =⋅== 1μ(1)

(2)

Solución

Observación

Si la esperanza matemática es 0 se dice que el juego es justo.

Si es mayor que 0 se dice que el juego es favorable al jugador.

Si es menor que 0 se dice que perjudica al jugador y no es favorable.

Ejemplo

Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 euros si la bola extraída es roja y pagamos 150 euros en el caso de que sea negra. ¿Qué podemos esperar si jugamos muchas veces?

Espacio muestral Ω = {R, N}. Consideramos las ganancias como positivas y las pérdidas negativas:

v.a. X v.a G Función de probabilidad

R

N

50 0,7

-150 0,3

103,0)150(7,050 −=⋅−+⋅=μ

Ganancia media

Solución

Ejemplo

Una compañía de seguros domésticos tiene que determinar el gasto medio por póliza suscrita, sabiendo que cada año 1 de cada 10000 pólizas termina en una reclamación de 20 millones, 1 de cada 1000 en 5 millones 1 de cada 50 en 200.000 y el resto en 0.

110001000097890

501102

10001105

100001102

5

67

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=μ

Gasto medio

Solución

Una compañía de refrescos anuncia premios en las chapas asegurando que cada mil chapas hay 500 con “inténtelo otra vez” , 300 con premio de 50 u.m. , 150 con premios de 100 u.m. , 40 con premios de 500 u.m. , y 10 con premios de 1000 u.m. Un individuo compra una botella cuyo costo es de 10 u.m. Caracterizar su ganancia mediante una variable aleatoria. ¿Es razonable su decisión? Calcular su probabilidad de perder dinero.

Ejemplo

Solución

( ) )()()( ii

i xpxTXTE ∑==μ

Momento de orden k de una variable aleatoria discreta

De forma más general podemos definir la esperanza matemática o media no solo para una variable aleatoria X, sino para cualquier función T(X) como:

Tomando como casos particulares a las funciones:

...,3,2,1;)( == kXXT k

obtenemos los momentos de orden k centrados en el origen:

∑==i

iki

kk xpxXEm )()(

Y tomando como casos particulares a las funciones:

...,3,2,1;)()( =−= kXXT kμ

obtenemos los momentos de orden k centrados en la media de X:

∑ −=−=i

ikk

k xpxXEM )()())(( μμ

Observa que:

0)()()(

1

1

=−=−===

μμμ

XEXEMXEm

Varianza y desviación estándar o típica de una variable aleatoria discreta

∑ =−

=−===

iii xXPx

XEMXVar

)()(

))(()(2

22

2

μ

μσ

)( XVar=σ

Varianza

Desviación estándar o típica

Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.

X

-10123

P(X)

.1

.2

.4

.2

.1

-2-1012

41014

.4

.2

.0

.2

.41.2

)( 2μ−X )()( 2 XPX ⋅−μ

∑ =−=i

ii xPx 2,1)()( 22 μσ

10.1)( == XVarσ

μ−X

Ejemplo

Ejemplo

Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

83,5)712(361...)73(

362)72(

361

)7()()(Var

222

º11

1

2

=−⋅++−⋅+−⋅

=−⋅=∑=i

ii xxpX

41,283,5)( === XVarσ

Ejemplo

Calculamos la media y varianza de la variable de la variable número de viajeros

es decir, se esperan 201 viajeros para tomar el vuelo.

Para la varianza calculamos previamente E(X2),

por lo tanto

Algunas propiedades de la varianza

22222

22

22

22

))(()(2)(

)(2)(

)()2(

)()()(

XEXEXE

xpxxpx

xpxx

xpxXVar

i iiiii

iiii

iii

−=−+

=−+

=−+

=−==

∑ ∑

∑

∑

μμ

μμ

μμ

μσ

222 ))(()( XEXE −=σ

1.

)()( 2 XVabaXV =+

2. Si a y b son constantes , entonces,

indepson e si sólo )()()( 22 YXYVbXVabYaXV +=±

3. Si X e Y son variables aleatorias y a, b son constantes reales, entonces,

.

Ejercicio

• Cuando el experimento ε se realiza sobre un espacio muestralΩ que está relacionado con escalas intervalares (tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.)

• Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial

f(x) = función de densidad de probabilidad

Variables Aleatorias Continuas

f(x)

xf(x) > 0; ∀ x ∈ Rx ∈ −∞, +∞

∫ f(x) dx = 1

Rx

Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (fdf) es una función que satisface:

Propiedades:

a b

∫=

b

a

dxxP(A) = P(a < x < b) )(f

A: un evento

A: { x| a < x ≤ b)

Función de Probabilidad v.a. Continua

∫∞−

=≤=x

dttxXPxF )(f)()(

ObservacionesObservaciones1.

2.

3. F (-∞) = 0 ; F (∞) = 1

4. Fx es no decreciente

5.

6.

∫=≤≤b

a

dxxbxaP )(f)(

[ ] ∫=R|

)(f dxxxXE

[ ] [ ]∫ −=R

dxxfXExXV )()( 2

a b

∫=b

a

dxxfA )(f(x)

x

Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores:

F(x) = P(X ≤ x)

Si X es una v.a. Continua

F(x) = f(t) dt

Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t ≤ x

∫x

- ∞

Si X es una v.a. Continua

Función de Distribución Acumulada

lim F(x) = 0 ∧ lim F(x) = 1x → - ∞ x → + ∞

Luego P(] -∞ , x ]) = F(x) define una Probabilidad

Además: P( ]a,b] ) = F(b) - F(a)P( [a,b] ) = F(b) - F(a-)P( ]a,b[ ) = F(b-) - F(a)P( [a,b[ ) = F(b-) - F(a-)

Propiedades

)()( xfdx

xdF=

1.

2.

3.

abxf

−= 1)( a ≤ x ≤ b

min máx

0,0

0,1

0,2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a b

f(x)

∫=

7

4

dxP(A) = P(4 < x < 7)x

Sea a = 3; b = 12

A: el evento { 4 < x < 7 }

Entonces:

91

P(A) = 1

3

EjemploSea X una variable aleatoria continua que puede tomar cualquier valor entre a ≤ x ≤ b; cuya pdf es:

Ejemplo

Supongamos que X tiene como función densidad a f(x) = 0.75(1-x2), si -1≤ x ≤1 y cero en otro caso. Encuentraa) La función de distribuciónb) Las probabilidades P(-1/2 ≤ X ≤ 1/2) y P(1/4 ≤ X ≤ 2).c) x tal que P(X ≤ x) = 0.95

Solución

a) Función de distribución

F(x) = 0 , si x ≤ -1

F(x) = 1 , si x >1.

11- si , 25.075.050.0)1(75.0)( 3

1

2 ≤<−+=−= ∫−

xxxdvvxFx

6875.0)1(75.0)()()(21

21

221

21

21

21 =−=−−=≤≤− ∫

−

dvvFFXP

1

3164.0)1(75.0)()2()2( 241

41

41

=−=−=≤≤ ∫ dvvFFXP

73.095.025.075.05.0)()( 3 ≈⇒=−+==≤ xxxxFxXP

b) Probabilidades

c) Probabilidad inversa

Momentos de orden k centrados en el origen y en la media.

Observa que para k = 2: σ2 = E((X - μ)2)

Momentos de orden k

Mediana:

Moda : es el valor para el cuál la distribución toma su máximo absoluto.

⎩⎨⎧

+≡

+

+

par es N si )(2/1impar es N si

2/)1(2/

2/)1(med

NN

N

xxx

x

5.0)()()( med =≤=≥= xXPxXPxF

Discreto.

Continuo.

Otras valores típicos o medidas del valor central

x0

Mo = x0

Los momentos de orden superior son menos robustos y, por lo tanto, menos utilizados

3er momento: describe la asimetría de la distribución.

Asimetría (skewness)

∫

∑

∞

∞−

=

−≡

−≡

dxxfxxm

xxN

mN

i i

)()(

)(1

33

31

3

3 σ

4o momento: describe el aplanamiento de la distribución.

Kurtosis∫∑ ∞

∞−

= −≡−

≡ dxxfxxmxx

Nm

N

i i )()( )(1 4

441

4

4 σ

Se suele medir en una escala que toma 3 como su cero, ya que éste es el valor de la kurtosis de una distribución normal estándar

Ejemplo

Ejemplo

Solución

Probabilidad inversa

EjemploEl número de artículos vendidos en una fábrica cada mes (en millones) es una variable aleatoria con función de densidad:

a. Calcula el valor de k para que f (x) sea una función de densidad.b. Obtén la función de distribución de X..c. Calcula la probabilidad de que en un mes se supere una venta de 0.8

(millones).d. Calcula la probabilidad de que en un mes el número de ventas esté

comprendido entre 0.6 y 0.8 (millones).e. Si se quiere tener una garantía del 95% de que no se agote el producto en

un mes determinado, ¿qué cantidad c del mismo debe pedirse a fábrica?.

Solución

EjemploCalculamos la media y varianza de la variable número de artículos vendidos

EjercicioEl control de la calidad de ciertos productos se realiza contando el número de defectos por unidad y comprobando si dicho número está comprendido entre ciertos límites llamados límites de control. Si el número de defectos por unidad en cierto proceso de fabricación es una variable aleatoria X con función masa de probabilidad dada por:

a) Determina el número medio de defectos por unidadb) Si los límites de control vienen dados por Límite inferior de control:

λ − 3√λ y Límite superior de control: λ+3√λ. siendo λ = E[X], y seconsidera que el proceso está bajo control estadístico cuando el número de defectos que se van observando en una muestra de unidades está comprendido entre dichos límites.

- Calcula la probabilidad de que una unidad de producción no caiga entre los límites de control.

- Calcula la probabilidad de que en una muestra de 5 unidades, almenos 1 no caiga entre los límites de control.

.

EjercicioEl tiempo necesario en milisegundos para completar una reacción química está aproximado por una función de distribución dada por:

a) Obtén la función de densidad.b) Calcula el tiempo esperado para completar la reacción.c) Calcula el porcentaje de reacciones completas antes de 200 milisegundos.

EjercicioEl espesor de un recubrimiento conductor (en micrómetros) tiene una función de densidad dada por

a) Obtén la función de distribución.b) Calcula la probabilidad de que el espesor sea inferior a 110 μmc) Calcula la probabilidad de que el espesor esté comprendido entre 115 y

118 μm.d) Si el costo promedio del recubrimiento es de 0.5 euros por micrómetro de

espesor en cada pieza, ¿cuál es el costo promedio del recubrimiento por pieza?.