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7/25/2019 integrales .docx

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INTEGRALES TRIGONOMTRICAS

Diez frmulas ms habrn de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante.Son seis correspondientes a las seis funciones trigonomtricas seno, coseno, tangente, cotangen-te, secante y cosecante, y cuatro ms correspondientes a las inversas de las derivadas de las seisfunciones trigonomtricas. Esto ltimo se refiere a !ue si la derivada de la tangente es la secantecuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

sen u du = cosu + c

cosu du =sen u + c

tanu du = lnsecu = ln cosu + c

cot u du = ln sen u + c

secu du = ln(tan u +secu) + c


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(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

cscu du = ln(cscu cot u) + c

sec"u du = tanu + c

csc"

u du = cot u + c

tanusecu du =secu + c

cot u cscu du = cscu + c

#omo en todos los casos de frmulas nuevas, para emplearlas debidamente debe hacerse

un cambio de variable, en donde u es el argumento de la funcin trigonomtrica.

E$emplo %& 'ntegrar sen (x dx

Solucin& En este caso el argumento es (x, o sea !ue

u ) (x , de donde

du ) (dx

*ara tener la diferencial du hay !ue multiplicar por (+ pero para !ue no se altere la integraloriginal tambin debe dividirse entre (, de modo !ue&

sen d )

%

sen x ( dx

( ((

[-

]

sen u du


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=%

sen u du =%

[ cosu]+ c( (

sen (x dx = %

cos (x + c(

E$emplo "& 'ntegrar (x ")tan(.x" /x +%%)dx

Solucin& En este caso el argumento es .x " - /x 0 %% , o sea !ue

u ) .x " - /x 0 %% , de dondedu ) 12x - /3dx

*ara tener la diferencial du hay !ue multiplicar por "+ pero para !ue no se altere la integraloriginal tambin debe dividirse entre ", de modo !ue&

(x ") tan(.x"

/x +

%%)=

%tan(.x" /x +

%%)"

"(x ")dx

=%

"

tan x" /x +%% (2x /)dx

tan u du

=%

ln sec u + c"

(.x ")tan (.x"

/x + %%)dx =%

ln sec (.x"

/x +

(


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EJERCICIO 25

6ealizar las siguientes integrales&

%3

3

3

%;3

cos /x dx

cot (%=x + 2) dx

csc (% x %"x" +%"x %.)dx

< =

"

"

%"3

sen "xdx

%3 cos dx

%% (

" <

/

%/3x

tan

x" dx

%


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?@#'#8S A 6E#B6S4S DE '?EC68#'9

*ara integrar cual!uier otra funcin trigonomtrica !ue no pueda resolverse con un sim-

ple cambio de variable, tales como las estudiadas en las pginas precedentes de este cap:tulo,

deben emplearse diferentes tcnicas y recursos algebraicos para reducir la funcin original a una

forma e!uivalente ya integrable.

'ndependientemente de la tcnica o recurso !ue se emplee, es necesario tener a la manolas siguientes frmulas o identidades trigonomtricas&

(1)

(2)

(3)

sen"A + cos

"A =

% tan" A + % =

sec"A cot

"A +%

= csc"A

%(4) sen A = cscA

(5)cos A = %

secA

(6)

(7)

(8)

tan A =

cot A =

sec A =

%

cot A

%

tanA

%

cos A


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(9)csc A = %

senA

(10)tan A = senA

cos A

(11)cot A = cos A

senA

(12)

(13)

(14)

(15)

sen"A =

%(% cos "A)

"

cos"A =

%(%+ cos "A)

"

sen "A = "sen A cosA

cos "A = cos" A sen" A = % "sen" A = "cos" A %

'gualmente, deben tenerse presentes algunas normas generales para evitar transformar laintegral original en otra funcin ms complicada&

a3 Si la funcin a integrar est compuesta por dos o ms factores trigonomtricos, stosdeben tener el mismo argumento+ de lo contrario, mientras no se igualen los argu-mentos no se podr integrar.

Por ejemplo, la integral sen "x tan /x dx no se podr integrar mientras no se igua-len los argumentos del seno con el de la tangente.

b3 Debe evitarse pasar de una integral del seno a otra del coseno de la misma forma,por!ue se considera !ue una y otra son lo mismo en cuanto a su tcnica de integra-

cin.


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Por ejemplo, si se tiene la integral sen"x

dx

y se emplea la frmula trigonomtrica (1)

para establecer que sen"x dx =

(% cos"x)dx

=

dx cos"x dx , como se

pas de la integral sen"xdx

a la integral cos"x dx se considera que no se

avanz absolutamente nada porque son de la misma forma.

c3 #uando deba emplearse ms de una vez la tcnica de los cuadrados, debe seguirsesiempre el mismo criterio por!ue de lo contrario se regresa a la integral original.Emplear el mismo criterio significa utilizar siempre la misma funcin trigonomtricaal cuadrado para sustituirla por su e!uivalente de dos trminos, no una vez una y otravez otra. 8lgunos e$emplos posteriores lo aclarn.

d3 *ara integrar senm v cosn v dv &

i3 Si m = n , debe emplearse la frmula trigonomtrica (14) en la !ue, despe-$ando, se llega a !ue

por lo !ue

sen A cos A =%

"

sen "A ,

"

sen"A cos

"A =

%sen "A

"

senA cos

A =

%sen "

A

, etc.

"

ii3 Si m ) % o bien n ) % , con el cambio de variable u igual a la funcintrigonomtrica con eponente diferente de %, se resuelve.

iii3 En cual!uier otro caso, utilizar la tcnica de los cuadrados para partir endos la integral.

.


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as principales tcnicas son&

a3 ?cnica de los cuadrados.b3 ?cnica de pasar a senos yo cosenos.c3 ?cnica de los binomios con$ugados.

a3 Tcnica de los cuadrados: #onsiste en factorizar una potencia trigonomtrica en unfactor al cuadrado multiplicado por lo !ue !uede+ ese factor al cuadrado se reemplaza por sue!uivalente de dos trminos para partir en dos la integral original.

#omo en casi todas las integrales de las diferentes potencias de las seis funciones trigo-

nomtricas se emplea la tcnica de los cuadrados, en el siguiente blo!ue de e$emplos se mostrarla tcnica para integrar el seno al cuadrado, el seno al cubo, el seno a la cuarta potencia, etc+ lomismo con la tangente y con la secante.

E$emplo & 'ntegrar sen"x dx

Solucin& Si se emplea la tcnica de los cuadrados se tienen dos opciones& sen"x =% cos"

x

1des-

pe$ando de la frmula (1), pgina =23 o bien hacersen

"x =

%(%cos "x), segn la

fr- "

mula (12). *ero como ya se vio en el e$emplo del inciso 1b3 de la pgina =>, la primera rela-cin no debe emplearse por!ue se pasa de una forma a otra igual. Entonces

sen"x dx =

%(% cos "x)dx

"

= %

dx %

cos "x dx

" "

=%

dx

%

cos "x dx

" "


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a primera integral ya es de frmula. *ara la segunda integral, sea u ) "x, de donde

du = "dx . 8s: !ue multiplicando y dividiendo por " al mismo tiempo para !ue no se alterela integral original&

=% dx % %

cos "

(" d

)

" " "

=%

dx %

cos u du

" /

=%

x %

sen u + c" /

sen"x dx =

x

%sen "x +

E$emplo /& 'ntegrar senx dx

Solucin& Empleando la tcnica de los cuadrados, se factoriza el seno cbico en seno cuadrado por se-no. El seno cuadrado se sustituye por su e!uivalente de dos trminos 1% - cos "x3, tomando

en cuenta la norma del inciso 1a3, pgina ==, se multiplica y luego se parte en dos integrales&

senx dx =

=

sen"x sen x dx

(% cos"x)sen x dx

= sen x dx cos"x sen x dx

u = cos x

du = - sen x dx


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a primera integral ya es de frmula. a segunda integral es de la forma seFalada en el inci-so 1d3 de la pgina => y cumple con el re!uisito del subinciso 1ii3. De manera !ue se hace elcambio de variable indicado para obtener

= sen x dx +

u.

u"du

= cos x + +c

.

senx dx = cos x +

%cos

x +

E$emplo


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= sen"x dx

% sen " d "

= sen"xdx %

/sen" "x dx

8mbas integrales son el seno al cuadrado, solamente !ue con diferente argumento. Se inte-gran como se mostr en el e$emplo de la pgina =(&

= %

(% cos "x)dx %

%(% cos /x)dx

" / "

= % dx % cos "x dx % dx + % cos /x dx" " > >

=x

%

sen "x x

+%

sen /x + c" / > "

sen/x dx =

x

%sen "x +

%sen /x +

E$emplo 2& 'ntegrar sen


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= senx dx cos"xsen

.x dx

a primera integral se resolvi en el e$emplo / pgina >;, por lo !ue ya solamente se copiarsu resultado. a segunda integral pertenece a la condicin del inciso 1d3, subinciso 1iii3, p-gina =(>;, por lo !ue se debe volver a utilizar la tcnica de los cuadrados con el mismo cri-terio, es decir !ue si anteriormente se factoriz para obtener un seno al cuadrado para susti-tuirlo por su e!uivalente de dos trminos, ahora nuevamente debe factorizarse un seno alcuadrado y reemplazarlo por su e!uivalente de dos trminos. Gacindolo se obtiene&

= senx dx

=

sen

x dx

cos"x sen x sen

"x dx

cos

"

x sen x (%

cos

"x

)dx

= senx dx cos"x senxdx +

cos/x senxdx

a segunda y tercera integrales corresponden a la condicin del inciso 1d3, subinciso 1ii3,pginas =>=(, por lo !ue con un cambio de variable se puede integrar. Gaciendo

u = cos x

du = - sen x dx

= senx dx + u" du

u/du

=(, por lo!ue con un cambio de variable se puede integrar. En efecto, haciendo

u = cos x , de dondedu = - sen x dx

= (cosx)" (sen x dx)

= u"du =

u+ c

s en"x cot x %

dx = cos x +c

E$emplo %


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sen x cos x cos x sen"x cos

"x sen

x

=dxcos x senx

= senx cosx dx

Esta integral corresponde a lo seFalado en el inciso 1d3, subinciso 1 i 3, pgina =>, debe em-plearse la frmula trigonomtrica (14) en la !ue, despe$ando, se llega a !ue

por lo !ue

sen x cos x=

%sen "x ,

"

.

senx cos

x =

%sen "

x

"

por lo tanto,

sen.x cos

x dx =

%sen "x

dx

"

%

=>

sen "x dx

*ara ver los detalles de cmo se resuelve esta integral, ver el e$emplo / de la pgina >;&

=%

>

=%

>

sen"x sen" "x dx

sen"x (% cos" "x)dx

=%

sen"x dx %

sen"x cos" "x dx

> >


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*ara la primera integral debe hacerse el cambio de variable u = "x, de donde du = " dx. *a-ra la segunda integral hacer v = cos "x, de donde dv = - "sen "x dx &

) % % sen "(

" d

)H % H

%cos

""

(H " sen "d

)

> " > "

sen u du v"

dv

= % senu du + % v"dv%2 %2

% % v = cos "x + + c%2 %2

tanxcoxcotxsen"x % %

dx = cos "x + cos

"x+ c sec

"x csc x %2 />

c3 Tcnica de los #ino$ios con%u&ados: #uando en el denominador aparece uno delos binomios con$ugados !ue se mencionan en la siguiente tabla, se multiplica el numerador y eldenominador por su con$ugado para obtener en el denominador su e!uivalente de un trmino alcuadrado.

Esta tcnica se basa en el hecho de !ue de las tres frmulas trigonomtricas llamadas*itagricas o de los cuadrados 1ver frmulas (1), (2) y (3) de la pgina =23, al despe$ar cual!uiera

de los dos trminos !ue aparecen en el lado iz!uierdo del signo igual (=), se obtiene una diferen-cia de cuadrados, la cual se puede factorizar en dos binomios con$ugados.


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a siguiente tabla muestra lo afirmado en el prrafo anterior&

Frmula Pitagrica:2 despees p!si"les:

#i$!mi!s c!$ugad!s(di%ere$cia de cuadrad!s)

sen"A + cos

"A ) %

sen"A ) % - cos "A ) 1% - cos A31% 0 cos A3

cos"A ) % -sen "A ) 1% -sen A31% 0sen A3

tan"A 0 % )sec "A

tan"A )sec "A - % ) 1sec A - %31sec A + %3

% )sec "A - tan "A ) 1sec A - tan A31sec A + tan A3

cot"A 0 % ) csc "A

a idea de esta tcnica radica en !ue los numeradores s: se Ipueden partirJ en cada unode sus trminos entre todo el denominador+ sin embargo, los denominadores no se Ipueden par-

tirJ. Entonces se trata de hacer !ue en el denominador aparezca un solo trmino y en el numera-dor dos o ms para partir la fraccin en su suma correspondiente.

Bna vez multiplicado el numerador y el denominador por el con$ugado del binomio deldenominador, el producto del denominador dar la diferencia de cuadrados correspondiente a latabla anterior, le:da de derecha a iz!uierda, la cual e!uivale a una funcin trigonomtrica al cua-drado. Se vuelve a aplicar la tcnica 1%3 de los cuadrados o la tcnica 1"3 de convertir todo a se-nos yo cosenos.

E$emplo %2& 'ntegrartan

"x dx % cos "x

("1)

("2)

("3)

("4)

cot"A = csc

"A - %

% ) csc "A - cot "A

)

)

1csc A - %31csc A + %3

1csc A - cot A31csc A + cot A3

("5)

("6)


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Solucin& El denominador tiene dos trminos, pero as: no se puede partir en la suma de dos la fraccio-

nes. Sin embargo, este denominador es uno de los binomios con$ugados ("1) de la tabla an-terior. Esto sugiere !ue debe multiplicarse numerador y denominador por su binomio con$u-gado, es decir, por 1% 0 cos "x3. Gacindolo resulta&

tan"x dx % cos "x

=

tan"x (% + cos "x)

dx

(% cos "x)(%+ cos"x)

(tan"x + tan"x cos "x)dx

=% cos" "

x

(tan "x + tan"x cos "x)dx

=sen

""x

En este momento el numerador ya tiene dos trminos, por lo !ue ya se puede partir en la su-ma de dos fracciones&

= tan"x dx + tan "x cos "x dxsen" "x sen" "x

Bna vez partida la integral en la suma de dos, se aplica el criterio de pasar todo a senos yocosenos vista en la pgina >(&

= sen "x dx

+ sen "x cos "x dx

cos "x sen" "x cos "x sen" "x

= dx

+ dx

sen "xcos

"x sen "x

*ara la primera integral se cumple la condicin del inciso 1d3, subinciso 1i3, de la pgina =>.


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a segunda integral es igual a la cosecante, ya !ue%

senA

= csc A , de manera !ue

= dx

+ %sen /x

"

csc"x dx

= " csc/x dx +

csc"x dx

) " % csc / (

/ d

)0 %

csc"x ("dx) / "

=%

cscu du +%

csc v dv

" "

=%

ln(cscu cot u) +%

ln(cscv cot v) + c" "

tan "x dx

=%

ln (csc /x cot /x ) +%

ln (csc "x cot "x )


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EJERCICIO 2'

6ealizar las siguientes integrales&

%3

3

3

%;3

cos (x dx

tan (=x + >) dx

sec/ %x dx

csc/

(x dx

tan (x csc" (x dx

%%3 tan>x sen >x cot >xdx

%"3 tan x cot x sec x csc x dx

dx

% senx

%>3 dx

csc" 2x csc2x

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