integrales polares

8/19/2019 Integrales polares

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INTEGRALES DOBLES POLARES

Algunas integrales dobles son muchos más fáciles de calcular en

forma polar que en forma rectangular. Esto es especialmente cierto

para regiones circulares en forma de cardiode o de pétalos de curvas

rosa.

En esta sección se introduce la relación entre las coordenadas polares

(r, θ) las coordenadas rectangulares (!, ) de un punto, a saber las

ecuaciones"

x=rcos

θ y=rsin

θ

r2= x2+ y2 tanθ=

x

y

DEFINICIÓN" #upongamos que $ es una región acotada por las

grá%cas r=g1 (θ ) r=g2(θ) , por las rectas θ=α θ= β , que

f es una función de r θ que es continua sobre $. &on el %n de de%nir

la integral doble de f sobre $, empleamos raos c'rculos

concéntricos para dividir la región en una ret'cula de rectángulos

polares o subregiones $*, como aparece en la %gura a) b). El área

∆ A k de una subregión t'pica $*, que se muestra en la %gura c), es la

diferencia de áreas de dos sectores circulares"

∆ A k =1

2 r k +1

2∆ θk −

1

2 r k

2∆ θk =

1

2 (rk +1

2 −rk 2 )∆ θk =

1

2(rk +1+rk ) (rk +1−rk ) ∆ θk =rk

¿∆ rk ∆ θk

+onde ∆ rk =rk + 1−rk rk ¿

denota el radio promedio 12 (rk +1+r k )


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Eligiendo un punto muestrar

(¿¿k ¿

,θk ¿)

¿ en cada Rk , la integral

doble de f sobre R es

r

∑k =1

n

f (¿¿ k ¿ ,θ k ¿)rk

¿∆ rk ∆ θk =∬ f (r ,θ )dA .lim

|| P||→ 0¿

a integral doble se eval-a entonces por medio de la integral iterada"

∬ R

r

f ( r ,θ ) dA=∫α

β

∫g1 (θ )

g2 (θ )

f ( r ,θ )r d r d θ . (1 )

or otro lado, si la región R es como se indica en la %gura, la integral

doble de f sobre R es entonces

∬ R

r

f ( r ,θ ) dA=∫a

b

∫h1 ( r )

h2 ( r )

f ( r ,θ )r d θ d r . (2 )


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• Cambio de variables : de coordenadas rectangulares a polares.

En algunos casos una integral doble ∬ R

z

f ( x , y ) dA que es dif'cil o

incluso imposible de evaluar utili/ando coordenadas rectangulares

puede evaluarse fácilmente cuando se recurre a un cambio de

variables. #i suponemos que f es continua sobre la región $, si $

puede describirse en coordenadas polares como 0≤ g1 (θ ) ≤r ≤ g2 (θ ) ,

α ≤ θ ≤ β , 0


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∫ R

s

∫ ( x2+ y ) dA=∫0

2

∫1

√ 5

[ (r cosθ )2+r sinθ ] rdrdθ=∫0

2

∫1

√ 5

( r2cos2θ+rsinθ ) rdrdθ=∫0

2

∫1

√ 5

(r3 cos3 θ+

INTEGRALES TRIPLES CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS

+ependiendo de la geometr'a de una región en el espacio

tridimensional, la evaluación de una integral triple en esa región

puede ser más fácil utili/ando un nuevo sistema de coordenadas.

I. INTEGALE! TIPLE! EN COODENADA! CIL"NDICA!

El sistema de coordenadas cil'ndricas combina la descripción polar de

un punto en el plano con la descripción rectangular de la componente

/ de un punto en el espacio. &omo se advierte en la %gura a), lascoordenadas cil'ndricas de un punto se denotan mediante la triada

ordenada (r, θ, /) a palabra cil'ndricas surge del hecho de que un

punto en el espacio está determinado por la intersección de los

planos / 2 constante, θ 2 constante, con un cilindro r 2 constante,

como se ve en la %gura b).


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• Co#versi$# de %oorde#adas %ildri%as a %oorde#adas

re%'a#()lares.

+e la %gura a), también vemos que las coordenadas rectangulares (!, ,

/) de un punto se obtienen de las coordenadas cil'ndricas (r, θ, /)

mediante las ecuaciones.

x=r cosθ y=r sinθ z= z

• Co#versi$# de %oorde#adas re%'a#()lares a %oorde#adas

%ildri%as.

ara e!presar coordenadas rectangulares (!, , /) como coordenadas

cil'ndricas, se emplean.

r2= x2+ y2 tanθ=

y

x z= z

• I#'e(rales 'ri*les e# %oorde#adas %ildri%as

$ecuerde de la sección de 3ntegrales dobles polares que el área de un

rectángulo polar es ∆ A=r¿∆ r ∆ θ , en donde r* es el radio medio.

+e la %gura a) vemos que el volumen de una cu4a cil'ndrica es

simplemente.

∆ V = (área dela base )∗( altura )=r¿ ∆ r ∆ θ ∆ z.


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DEFINICIÓN" Entonces, si f (r , θ , z) es una función continua sobre la

región +, como se ilustra en la %gura b), la integral triple de 5 sobre +

está dada por"

f (r , θ , z ) dV =¿∬ R

0

[ ∫h1(r , θ)

h2 (r , θ)

f (r , θ , z ) dz] dA=∫α

β

∫g1(θ)

g2(θ)

∫h1( r ,θ )

h2 ( r ,θ )

f ( r , θ , z ) r d z d r d θ . (4 )

∭

0

¿

II. INTEGALE! TIPLE! EN COODENADA! E!F+ICA!

&omo se ve en la %gura a), las coordenadas esféricas de un punto

están dadas por la triada ordenada ( ! ,ϕ , θ ¿ donde ! es la

distancia del origen a , ∅ es el ángulo entre el e6e / positivo el

vector "P , θ es el ángulo medido desde el e6e ! positivo hasta

la proección del vector "# de "P . El ángulo θ es el mismo

ángulo que en coordenadas polares cil'ndricas. a %gura b) muestra

que un punto en el espacio está determinado por la intersección de

un cono ϕ=¿ constante, un plano θ=¿ constante una esfera !

2 constante7 de ah' surge el nombre de coordenadas esféricas.


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• Co#versi$# de %oorde#adas es,-ri%as a %oorde#adas

re%'a#()lares.

ara transformar coordenadas esféricas ( ! ,ϕ ,θ) a coordenadas

rectangulares (!, , /), observamos de la %gura a) que

x=|⃗"#|cosθ , y=|⃗"#|senθ,z=|"P|cosϕ

uesto que |⃗"#|= ! senϕ |"P|= ! , las ecuaciones anteriores se

convierten en x= ! sen ϕcosθ , y= ! senϕ senθ , z= ! cosϕ

• Co#versi$# de %oorde#adas re%'a#()lares a %oorde#adases,-ri%as.

ara convertir las coordenadas rectangulares (!, , /) en

coordenadas esféricas ( ! ,ϕ ,θ) , usamos

!2= x2+ y2+ z2 , tan θ=

y

x , cosθ=

z

√ x2+ y2+ z2

• I#'e(rales 'ri*les e# %oorde#adas es,-ri%as

&omo se observa en la %gura, el volumen de una cu4a esférica

está dado por la apro!imación"

∆ V $ !2

senθ ∆ !∆ ϕ∆ θ .


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DEFINICIÓN" En una integral triple de una función continua en

coordenadas esféricas f ( ! ,ϕ , θ) la diferencial del volumen dV es

dV = !2 senϕ d !d ϕ d θ

or consiguiente una integral triple com-n en coordenadas esféricas

tiene la forma

∭

0

f ( ! ,ϕ , θ)dV =∫α

β

∫g

1(θ)

g2(θ)

∫h1 (ϕ ,θ )

h2 (ϕ ,θ )

f ( !, ϕ , θ) !2 sen ϕd ! d ϕ d θ . (5 )


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EJEMPLO APLICATIVO : 8allar el volumen de la región sólida

9 que corta en la esfera x2+ y2+ z2=4 (Esfera) el cilindro

r=2sin θ

Solución: &omo x2+ y2+ z2=r2+ z2=4 las

cotas para / es −√ 4−r2

≤ z ≤√ 4−r2

. #ea $

la proección del sólido sobre el plano rθ,

las cotas de $ son 0≤ r ≤2sinθ y 0≤ θ ≤ π .

or lo tanto el volumen de 9 es"

r d z d r d θ % s{ant%el &%lu'en de# es: ()le*%' deuna : mo coordenadas cilindricas


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EJEMPLO APLICATIVO /: 8allar el volumen de la región sólida 9

acotada por la ho6a superior del cono /: 2 !: ; : por arriba de la

esfera !: ; : ; /: 2 <

Solución: En coordenadas esféricas la

ecuación de la esfera es

!2= x2+ y2+ z2=*−→ !=3

Además la esfera el cono se corta

cuando

(!

:

;

:

) ; /

:

2 /

:

; /

:

2 <

z=

3

√ 2

1 como / 2 = cos >, se sigue que

( 3√ 2 )(1

3 )=cosϕ−→ϕ=π 4

!2

senϕd ! d ϕd θ % s{ant%el &%lu'en de# es : ()le *%' deuna:mocoordenadascilindricas}=intfrom{0}to{2π}{intfrom{0}to{{π}over{4}}{*sin{ ϕ


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BIBLIOGRAFÍA

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