SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Hasta ahora hemos localizado un punto en el plano por medio de sus coordenadas cartesianas rectangulares. Ahora vamos a introducir y emplear el sistema de coordenadas polares.

La posición de un punto P en un plano se puede indicar usando las coordenadas adecuadas, del modo:

Sea “O” un punto fijo llamado polo u origen y una semirrecta fija q parte de O, llamado eje polar (o recta inicial) (ver figura. a)

Sea P un punto cualquiera del plano y tracemos un segmento

y designemos su longitud por r sea θla medida en radianes del ángulo AOP, positiva cuando se mide en sentido antihorario y

negativa cuando se mide en sentido horario, teniendo en cuenta como su lado inicial y

lado terminal ( ver fig. b).

A cada punto P del plano se asigna el par (r,θ) y se dice que el par (r,θ) son las coordenadas polares de P y se denota P(r,θ); donde r se llama radio vector y θ se llama ángulo polar o argumento.

A la semirrecta que forma con el eje polar un ángulo de medida θ , se denomina eje θ.

Cuando entonces se llama eje a

Para determinar el punto P(r,θ) constrúyase primero el ángulo θ con el polo de vértice, el eje polar como lado inicial y luego P en el lado final del ángulo θ, el cual se incrementa a r unidades de .

Obs.- si r es positivo, P está situado en el eje θ Si r es negativo, P está situado en la prolongación opuesta del eje θ. (

(ver fig.)

Las coordenadas del polo O son (o,θ) θ∈ℝ, es decir O(o,θ).

Esta asociación de pares de números se denomina un sistema de coordenadas polares en el plano.

En el sistema de coordenadas polares, cada punto P del plano tiene un número ilimitado de pares de coord. polares.

Si las coord. Polares de P son , también son

coord. polares de , n ∈ ℤ.

Por ejemplo, al punto se puede asignar las coordenadas ;

; ; … ect.

Luego no existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre las coord. polares y la posición de los puntos en el plano.

Valores principales

Para que exista una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y las coordenadas

polares se considera los valores principales y

Ejm._ Localizar los puntos dados en coord. polares ; ; ;

;

Sol._

1

2

Ejm._ un cuadrado cuyo lado mide 4 unidades tiene su centro en el polo y dos de sus lados paralelos al eje polar. Hallar las coordenadas polares principales de sus vértices.

Sol. Sea el cuadrado de la lado L=4 con centro en el polo (ver fig. )

En OPA; y y

Relación entre las coord. Polares y las coord. Rectangulares.

Supongamos que el sistema coord. rectangular XOY y el sistema coord. polar se superponen en un plano, de tal manera que el origen del sistema cartesiano coincida con el polo del sistema en coord. polares; el eje polar coincide con la parte positiva del eje X y el

eje coincida con el lado positivo del eje Y (ver fig. )

Sea P un punto del plano en coordenadas rectangulares y en coord. polares , entonces de la figura se tiene .

En el triángulo rectángulo OBP se cumple

, o bien ,

Luego el cambio de coord. polares a coord.

cartesianas y recíprocamente, el cambio de

coord. cartesianas a coord. polares de un punto P, se puede efectuar usando las siguientes fórmulas de transformación:

1

2

1

3

Ejm.-convertir de coord. polares a rectangulares

Sol.- se tiene , entonces usando 1

, coord. rectangulares de

Ejm.-convertir de coord. rectangulares a polares

Sol.- se tiene y usando 2 y 3

Luego: y son las coord. polares de

Ejm.- dada la ecuación cartesiana de la circunferencia , hallar la ecuación polar.

Sol.- como

Ejm.- dada la ecuación polar , hallar la ecuación cartesiana.

Sol.- como y , se tiene

Por lo tanto la ecuación cartesiana es:

Discusión y gráfica de una ecuación polar

Para trazar la gráfica de una ecuación en coordenadas polares es conveniente realizar los siguientes pasos:

I. Intersecciones de la curva

a) Con el eje polar: se hace

b) Con el eje : se hace c) Con el polo. Se hace

II. Simetría de la curva a) Con respecto al eje polar

Regla 1.- si en la ecuación dada se sustituye a por y la ecuación polar no se altera, entonces la curva es simétrica con respecto al eje polar; 0

Regla 2.- si en la ecuación dada se sustituye a por y la ecuación polar no se altera, entonces la curva es simétrica con respecto al eje polar.

b) Con respecto al eje

Regla 1.- si en la ecuación dada se sustituye a por y la ecuación

polar no se altera, entonces la curva es simétrica con respecto al eje

Regla 2.- si en la ecuación dada se sustituye a por y la ecuación

polar no se altera, entonces la curva es simétrica con respecto al eje .c) Simetría con respecto al polo

Regla 1.- si en la ecuación dada se sustituye a por y la ecuación polar no se altera, entonces la curva es simétrica con respecto al polo, o

Regla 2.- si en la ecuación dada se sustituye a por y la ecuación polar no se altera, entonces la curva es simétrica con respecto al polo, (ver fig.)

III.

Extensión ._ se determina la variación de r y ( se despeja r en función de de modo que

IV. Tabulación ._ se constituye una tabla de valores de r, asignando valores a .V. Trazado de la gráfica:

Ejm.- discutir completamente y graficar la ecuación

Sol.-

I) Intersecciones de la curva

a) Con el eje polar: se hace

b) Con el eje se hace

c) Con el polo: se hace

II) Simetría de la curva

a) Con respecto al eje polar:

Si se sustituye a por

, la ecuación no se altera, entonces la curva es simétrica con respecto al eje polar.

b) Con respecto al eje

Si se sustituye a por

, la ecuación se altera. Ahora veamos:

Si se sustituye a por

, la ecuación se

altera, luego la curva no es simétrica con respecto al eje c) Con respecto al polo:

Si se sustituye a por la ecuación se altera; entonces veamos

Si se sustituye a por , la ecuación se altera, luego la curva no es simétrica con respecto al polo.

III) Extensión: como

Variación de :

Para variación de r se despeja en términos de r, es decir

luego variación de r:

IV) Tabulación. Se construye la siguiente talla en por ser la curva simétrica con respecto al eje polar:

0 0.28 0.6 1 2 3 3.4 3.7 4

V) Grafica:

Obs.- La gráfica de las ecuaciones y se llaman cardioides

Ejm._discutir completamente y graficar la ecuación

Sol._

I) Intersecciones de la curva

a) con el eje polar: se hace

b) con el eje : se hace

c)con el polo se hace

Luego los puntos de intersección son:

II) Simetría de la curva:

a) con respecto al eje polar:

si se sustituye a por , la ecuación no se altera, entonces la curva es simétrica con respecto al eje polar.

b) Con respecto al eje :

Si se sustituye a por

, la ecuación no se

altera, entonces la es simétrica con respecto al eje .c) Con respecto al polo:

si se sustituye a por , se ve que la

ecuación se altera, entonces veamos cuando se sustituye a por

, la ecuación no se altera, luego la curva es simétrica con respecto al polo.

III) Extensión: como

Variación de es

Para ver la variación de se despeja en términos de

Pero

Luego la variación de es

IV) Tabulación: se construye la tabla en pues la curva es simétrica en todo.

6 3 0 -3 -6

V) Gráfica:

Obs. La gráfica de cualquiera de las ecuaciones y se llaman rosas de pétalos.

El número de pétalos es igual a si es impar y a si par.

Intersección de curvas en coordenadas polares

Los puntos de intersección de dos curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares son:

y

Se hallan resolviendo el sistema

o 1

Cuando el polo es un punto de intersección, puede ocurrir que no aparezca entre las soluciones de 1

El polo es un punto de interacción siempre que haya valores de , y para los cuales y Obs.- para tener una idea de la cantidad de puntos de intersección de dos curvas, se sugiere trazar sus graficas previamente.Ejm.- hallar los puntos de intersección de las curvas y Sol.- sea y , entonces

Para

Luego el punto de intersección es

Ejm.- hallar los puntos de intersección de las curvas y

Sol.- sean y , entonces

Para

Para

Luego los puntos de intersección son

Ahora veamos si el polo es un punto de intersección

Si

Si

Vemos que el polo se encuentra en ambas curvas. Por tanto los puntos de intersección son

Ejm.- hallar los puntos de intersección de las curvas y

Sol.- sea y , entonces

y

Como

Luego los puntos de intersección son:

ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES

Sea una función continua en tal que donde

.

Sea R la región limitada por la gráfica de y las rectas y ,

esto es (ver fig.)

Formemos una partición de definida por . Por lo

tanto tenemos subintervalos de la forma

Sea y sea la medida en radianes del ángulo central, entonces el

área del sector circular de radio y ángulo central está dado por

La misma de las medidas de las áreas de estos sectores circulares es:

Esta es una suma de Riemann que da una aproximación al área de la región R.

Entonces si A unidades cuadrados es el área de la región R, definimos:

De lo expuesto se tiene el siguiente teorema:

Teorema.- sea una función continua en tal que . Si R

es una región limitada por la curva y las rectas , , entonces el área de la región R está dada por:

ÁREA ENTRE DOS CURVAS

Teorema.- Sí y son funciones continuas en tal que

, entonces el área de la región R, limitada por las gráficas de

, y las rectas y está dada por:

Ejm.- calcular el área de la región R limitada por la gráfica de

Sol.- de la figura se tiene que es continua en

Luego: entonces

Por tanto:

Ejm.- Calcular el área de la región R, interior al círculo y exterior a la cardioide

Sol.- La grafica de se hizo en el ejemplo anterior de gráficas.

Ahora lo transformo a coord. cartesianas para graficar

es circunferencia de centro y radio (ver gráfica)

Los puntos de intersección de y son (esto se calculó en el ejemplo de intersecciones)

Sean y funciones continuas en tal que

entonces

(Ver figura)

Luego:

Por tanto:

Ejm.- Hallar el área de la región R limitada por la curva

Sol.- Como es una rosa de 4 pétalos (ver figura anterior en sección de graficas) y cada una de ellas son iguales, se puede calcular el área de una hoja y multiplicar por 4(ver fig.)

Calculamos el área de

Entonces:

Luego:

Por tanto el área total de R es:

Ejm:

Calcular el área de la

región R interior y exterior a la circunferencia

Sol.- Ver figura interior de

Ahora lo transformamos a coord. Polares

Los puntos de intersección de y en la hoja de la derecha son y

(se calculó en ejemplo de intersecciones)

De la figura se tiene

y funciones continuas en tal que

Calculamos el área de R y lo multiplicamos por 4 donde

(ver figura)

Entonces

Luego

Por tanto área total de R es

LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES

Si es la función de una curva en coordenadas polares, entonces la longitud de arco

de donde hasta esta dada por

Ejm.- Obtener la longitud de la cardioide para

Sol.

Se tiene entonces

Ejm.-

6) Discutir completamente y graficar la curva

Sol.

I) Intercepciones de

a) Con el eje polar se tiene

b) Con el eje se tiene

c) Con el polo se tiene

II) Simetrías de la curva

a) Con respecto al eje polar

La ecuación se altera, veamos, sustituyendo

por

La ecuación se altera simetría

b) Con respecto al eje por

La ecuación no se altera simetría

C) Con respecto al polo

La ecuación se altera, ahora veamos

por la ecuación se altera simetría

3) extensión:

Variación de

IV) Tabulación.-

6 4.8 4 2 0 -0.8 -1.5 -2

V) Gráfica:

Ejm. b) Hallar el área de la región interior a la curva

y exterior a

Sol. De la gráfica se tiene

, entonces: