Trabajo de investigaciónCURSO: ANALISIS MATEMATICO II
Mg. Miguel Chumpitaz C
Criterios de Convergencia de Integrales Impropias
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Hasta ahora, en nuestro estudio del área bajo la curva mediante la integral definida hemos sobreentendido que:
Los límites de integración son finitos.
La función f(x) es continua en [a,b] o bien es acotada en ese intervalo, si f(x) es discontinua.
Cuando se elimina alguna de estas dos condiciones, se dice que la integral resultante es una integral impropia.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
INTEGRALES IMPROPIAS
“Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman Integrales Impropias.”
Vamos a extender el concepto de integral definida para los siguientes casos:
Cuando los limites de integración son infinitos o el intervalo de integración es infinito.
Cuando la función no está acotada en [a,b], es decir la función f presenta una discontinuidad infinita en [a,b].
Excelencia Académica para un mundo globalizado
INTEGRALES IMPROPIAS
Existen dos tipos de integrales impropias:
Integrales con límites de integración infinitos.
Integrales que se vuelven infinitas en algún número del intervalo de integración.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Tipo 1: INTERVALOS INFINITOS.
El área de la región que esta bajo la curva es:
A(t) <1, sin importar que tan grande sea t
Área = 1
Definición 1.1:
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Definición 1.2:
Si existe para todo número , entonces
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Si son convergentes, entonces
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Tipo 2: INTERVALOS DISCONTINUOS
2
5
Si f es continua en y discontinua en b
Definición 2.1:
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Definición 2.2:
Siempre y cuando exista este límite.
Si existe el límite decimos que la integral impropia es convergente.
Si no existe el límite decimos que la integral impropia es divergente.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Si f tiene una discontinuidad en c y a < c < b, y si son convergentes tanto
Como por definición:
Excelencia Académica para un mundo globalizado
Teorema de comparación
a) Si
Ejemplo:
Excelencia Académica para un mundo globalizado
PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
Excelencia Académica para un mundo globalizado
PROBLEMAS
Determine si las integrales indicadas son convergentes o divergentes, en caso de ser convergente, determine su valor.
ò