integrales de linea o curvilíneas e integrales de superficie

Capıtulo 2

Integrales de lınea

En este capıtulo se generaliza el concepto de integral de la Riemann� b

af(x) dx de una funcion f definida y acotada sobre el intervalo [a , b] de

numeros reales, al caso de integrales de funciones (escalares o vectoriales)

definidas sobre curvas (en el plano o en el espacio). Tales integrales son cono-

cidas con los nombres de integrales de lınea, integrales curvilıneas o integrales

de trayectorias.

2.1. Integral de lınea de tipo I

Consideremos una curva L en el planoxy, de longitud l, que une los puntos A

y B, y una funcion continua f(x, y), de

valor real, definida en todos los puntos

de la curva L. Dividamos la curva en nsubarcos Mi−1Mi mediante los puntos

M0 = A,M1,M2, . . . ,Mn = B.

Para i = 1, . . . , n, sea Δli la longitud

del arco Mi−1Mi. (ver fig. 2.1).

�

��

�

�

� �

�

�

M0 A

M1

M2

Mi−1

Mi

Mn B

x∗i

y∗i

x

y

Figura 2.1. Division del arco AB

En cada subarco Mi−1Mi escogemos un punto arbitrario (x∗i , y

∗i ) y formamos

45

46 Capıtulo 2. Integrales de lınea

la suma de Riemann para la funcion f(x, y) en la curva L:

Sn =

n�

i=1

f(x∗i , y∗i )Δli. (2.1)

Sea λn = max1≤i≤n

Δli (es decir, la mayor de las longitudes) y asumamos que la

division del arco AB se hace de tal forma que λn → 0 cuando n→ ∞.

Definicion 2.1.1 (Integral de lınea de tipo I). Si el lımite de la suma de

Riemann (3.1) existe , es finito y toma el mismo valor, independientemente

de la forma como se divida la curva y de la forma como se escojan los puntos

Mi de evaluacion de la funcion, entonces al valor de dicho lımite se le da

el nombre de integral de lınea de tipo I en el arco AB y se denota con los

sımbolos

�

AB

f(x, y) dl o

�

L

f(x, y) dL.

Es decir, por definicion,

�

AB

f(x, y) dl = lımn→∞(λn→0)

Sn = lımn→∞(λn→0)

n�

i=1

f(x∗i , y∗i )Δli. (2.2)

A continuacion se dan condiciones bajo las cuales se garantiza la existencia

de la integral de lınea.

Teorema 2.1.2 (Existencia de la integral de lınea). Si la curva L es

suave (en cada punto (x, y) ∈ L existe vector tangente a la curva) y la fun-

cion f(x, y) es continua en cada punto de L entonces la integral de lınea

(curvilınea) de tipo I existe y su valor no depende ni de la forma como se

realice la division de la curva en n subarcos ni de la forma como se escojan

los puntos en ella para evaluar la funcion.

De manera analoga se define la integral de lınea de la funcion f(x, y, z) so-

bre una curva L en el espacio . A continuacion enunciamos las principales

propiedades de la integral de lınea de tipo I.

Abel E. Posso A., Alejandro Martınez A., Jose R.Gonzalez G.

Seccion 2.1. Integral de lınea de tipo I 47

1.

�

AB

f(x, y) dl =

�

BA

f(x, y) dl. Esto indica que la integral de lınea de tipo

I no depende de la direccion de integracion.

2.

�

L

c f(x, y) dl = c

�

L

f(x, y) dl, siendo c una constante.

3.

�

L

(f1(x, y)± f2(x, y)) dl =

�

L

f1(x, y) dl ±�

L

f2(x, y) dl.

4.

�

L

f(x, y) dl =

�

L1

f(x, y) dl +

�

L2

f(x, y) dl, si la curva de integracion L

se divide en dos partes L1 y L2 de tal manera que L = L1 ∪ L2 y L1,

L2 poseen un unico punto en comun.

5. Si para los puntos de la curva L se cumple que f1(x, y) ≤ f2(x, y),

entonces

�

L

f1(x, y) dl ≤�

L

f2(x, y) dl.

6.

�

AB

dl = lımn→∞(λ→0)

n�

i=1

Δli = l, donde l es la longitud de la curva AB.

7. Si la funcion f(x, y) es continua en la curva AB, entonces en esta curva

existe al menos un punto (xc, yc) para el cual

�

AB

f(x, y) dl = f(xc, yc) l.

2.1.1. Evaluacion de la integral de lınea de tipo I

La evaluacion de una integral de lınea de tipo I nos lleva a la evaluacion

de una integral definida (integral de Riemann). A continuacion analizamos

lo casos en que la representacion de L esta dada en una de las siguientes

formas: parametrica, explıcita o polar.



Representacion parametrica de la curva de integracion

Si la curva AB esta dada en forma parametrica x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],donde x(t) y y(t) son funciones diferenciables del parametro t, el punto A

corresponde a t = α y B a t = β, entonces

�

AB

f(x, y) dl =

β�

α

f(x(t), y(t))�

[x�(t)]2 + [y�(t)]2 dt. (2.3)

Similarmente, la integral de lınea de la funcion f(x, y, z) sobre la curva AB

parametrizada por x = x(t), y = y(t), z = z(t), α ≤ t ≤ β esta dada por

�

AB

f(x, y, z) dl =

β�

α

f(x(t), y(t), z(t))�

[x�(t)]2 + [y�(t)]2 + [z�(t)]2 dt. (2.4)

Representacion explıcita de la curva de integracion

Si la curva AB es dada por la ecuacion y = ϕ(x), x ∈ [α, β], donde ϕ(x) escontinuamente diferenciable, entonces

�

AB

f(x, y) dl =

β�

α

f(x, ϕ(x)) ·�

1 + [y�(x)]2 dx. (2.5)

Aquı se utiliza el hecho que dl =�

1 + [y�(x)]2 (la diferencial del parametro

longitud de arco).

Ejemplo 2.1.1. Evaluar

�

L

xy2 dl, donde L es un segmento de recta que une

los puntos A(0, 0) y B(4, 3).

Solucion. La ecuacion del segmento de recta AB esta dada por y = 34x,

0 ≤ x ≤ 4. Ası,

�

L

xy2 dl =

4�

0

x

�3x

4

�2 �

1 + 916dx = 65

64

4�

0

x3 dx = 45.


Seccion 2.1. Integral de lınea de tipo I 49

Representacion polar de la curva de integracion

Si la curva plana L esta dada en coordenadas polares por medio de la ecuacionr = r(θ), α ≤ θ ≤ β, entonces dl =

�

[r(θ)]2 + [r�(θ]2dθ y

�

L

f(x, y) dl =

β�

α

f(r cos θ, r sen θ)�

[r(θ)]2 + [r�(θ)]2 dθ. (2.6)

Ejemplo 2.1.2. Evaluar

�

L

(x+ y) dl, donde L es la hoja de la lemniscata

r2 = sen 2θ que esta en el primer cuadrante.

Solucion. La curva de integracion

esta dada en la figura 2.2. Utilizando la

formula (2.6) se tiene

dl =

�

sen 2θ +cos2 2θ

sen 2θdθ

=dθ√sen 2θ

=dθ

r.

x

y

Figura 2.2. Una hoja de la

lemniscata r =√sen 2θ

Teniendo en cuenta que 0 ≤ θ ≤ π

2entonces

�

L

(x+ y) dl =

π2�

0

(r cos θ + r sen θ)

rdθ =

π2�

0

(cos θ + sen θ) dθ = 2.

2.1.2. Algunas aplicaciones de las integrales de lınea

de tipo I

La integral de lınea de tipo I tiene aplicaciones en las matematicas y en la

fısica. Algunas de ellas son:



Longitud de arco

La longitud l de una curva AB (en el plano o en el espacio) se obtiene

utilizando la formula l =

�

AB

dl.

Area de una superficie cilındrica

Si la directriz de una superficie

cilındrica es una curva AB que

se encuentra en el plano xy y las

generatrices son paralelas al eje z

(ver fig. 2.3) entonces el area A

de la superficie (valla) cuya base

es AB y la altura sobre el punto

(x, y) es z = f(x, y) se determina

por medio de la formula

A =

�

AB

f(x, y) dl.

�

�

C(x, y)

f(x, y)

A

B

x

y

z

Figura 2.3. Area de una superficie cilındrica

Masa de un alambre

La masam de una curva AB hecha de algun material se determina utilizando

la formula m =�

AB

δ(x, y) dl, donde δ(x, y) es la densidad de la curva en el

punto (x, y).

Momentos estaticos y centros de gravedad

Los momentos estaticos Sx, Sy con respecto a los ejes x y y respectivamente,

y las coordenadas (xc , yc) del centro de gravedad del alambre se determinan


Seccion 2.2. Integral de lınea de tipo II 51

por medio de las formulas:

Sx =

�

AB

y δ(x, y) dl, Sy =

�

AB

x δ(x, y) dl, xc =Sym, yc =

Sxm.

Momentos de inercia

Para la curva material AB los momentos de inercia Ix, Iy, I0 con respecto a

los ejes x, y y al origen estan dados por las formulas

Ix =

�

AB

y2 δ(x, y) dl, Iy =

�

AB

x2 δ(x, y) dl, I0 =

�

AB

(x2 + y2) δ(x, y) dl.

Ejemplo 2.1.3. Determinar el centro

de gravedad de una semicircunferencia

hecha con un alambre homogeneo.

Solucion. Consideremos que la curva

es la parte superior de la circunferencia

x2+y2 = R2 y que la densidad en cada

punto es igual a 1 .

�

R

OA B

x2 + y2 = R2

x

y

Figura 2.4. Centro de gravedad

(0 , 2Rπ )

Por la simetrıa de la curva se tiene que el centro de gravedad se encuentra

en el eje y. Por esto, xc = 0.

La ordenada esta dada por

yc =

�

AB

y dl

�

AB

dl=

π�

0

R sen t√R2 sen2 t+R2 cos2 t dt

π�

0

√R2 sen2 t+R2 cos2 t dt

=2R2

πR=2R

π.

2.2. Integral de lınea de tipo II

La solucion del problema de evaluar el trabajo realizado por una fuerza para

desplazar un punto a lo largo de una curva nos lleva al concepto de integral



de lınea de tipo II, la cual se define de manera similar a la integral de lınea

de tipo I.Sea L una curva continua en el plano

xy, de longitud l, que une los pun-

tos A y B. Sea P (x, y) una funcion

continua definida en cada punto de la

curva L. Mediante los puntos M0 =

A,M1,M2, . . . ,Mn = B, tomados en

la direccion desde el punto A hasta el

punto B, la curva AB se divide en n

subarcosMi−1Mi de longitudes Δli pa-

ra i = 1, . . . , n.

�

�

��

AM0

Mi−1

Mi

BMn

O

yi−1

yi

xi−1 xi

Δxi

y

x

Figura 2.5. Integral de lınea de tipo II

En cada subarco Mi−1Mi se escoge un punto arbitrario (x∗i , y

∗i ) y se forma la

suma de Riemann para P (x, y) en L:

Sn =

n�

i=1

P (x∗i , y∗i ) ·Δxi, (2.7)

donde Δxi = xi − xi−1 es la proyeccion del arco Mi−1Mi en el eje x, (Fig.

2.5). Sea λn = max1≤i≤n

Δli. Es decir, λn es la mayor de las longitudes de los n

subarcos.

Definicion 2.2.1 (Integral de lınea de tipo II). Si para λn → 0 (cuando

n→ ∞) existe el lımite de la suma integral (2.7) y es finito, entonces este sedenomina integral de lınea de tipo II de P (x, y) en el arco AB y se denota

con el sımbolo�

AB

P (x, y) dx o

�

L

P (x, y) dx.

De esta manera, por definicion,

�

AB

P (x, y) dx = lımn→∞(λn→0)


n�

i=1

P (x∗i , y∗i )Δxi. (2.8)



Por otra parte, la integral de lınea de tipo II de la funcion Q(x, y) en la

coordenada y esta dada por

�

AB

Q(x, y) dy = lımn→∞(λn→0)


n�

i=1

Q(x∗i , y∗i )Δyi, (2.9)

donde Δyi = xi − xi−1 es la proyeccion del arco Mi−1Mi en el eje y.

Sumando las integrales en (2.8) y (2.9) obtenemos la integral de lınea de tipo

II mas general:

�

AB

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

�

AB

P (x, y) dx+

�

AB

Q(x, y) dy.

La integral de lınea del tipo II sobre la curva L en el espacio se determina

de forma analoga y se denota�

AB

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz.

Teorema 2.2.2 (Existencia de la integral de lınea de tipo II). Si las

funciones P (x, y) y Q(x, y) son continuas en cada punto de una curva suave

AB entonces la integral de lınea de tipo II existe y su valor no depende ni

de la forma como se divida la curva en n subarcos ni de la forma como se

escojan los puntos de la curva para evaluacion de la funcion.

Se enuncian a continuacion las principales propiedades de la integral de lınea

de tipo II (en coordenadas).

1.

�

AB

= −�

BA

, es decir la integral de lınea de tipo II cambia de signo al

cambiar la direccion de integracion. (La proyeccion del arco Mi−1Mi)

en los ejes x y y cambian de signo al cambiar la direccion).

2. Si la curva AB en el punto C se puede dividir en dos partes AC y

BC, entonces la integral sobre toda la curva es igual a la suma de las



integrales sobre AC y CB,�

AB

=

�

AC

+

�

CB

.

3. Si la curva AB se encuentra en un plano perpendicular al eje x entonces�

L

P (x, y) dx = 0, ( todos los Δxi = 0 ).

De igual manera, si la curva se encuentra en un plano perpendicular al

eje y:�

L

Q(x, y) dy = 0, ( todos los Δyi = 0 ).

4. La integral de lınea en una curva cerrada no depende del punto que

se tome como inicial. Solo depende de la direccion en que se recorra la

curva. Esto es, si A y C son dos puntos de la curva entonces (ver fig.

2.6) �

AmCnA

=

�

AmC

+

�

CnA

.

Por otra parte,

�

CnAmC

=

�

CnA

+

�

AmC

.

Ası,

�

AmCnA

=

�

CnAmc

.

� �A C

n

m

Figura 2.6. Integral en un

contorno cerrado

2.2.1. Evaluacion de la integral de lınea de tipo II

La integral de lınea de tipo II, al igual que la de tipo I, puede ser expresada en

terminos de integrales definidas (integrales de Riemann). Consideramos los



casos en que la representacion de la curva L esta dada en forma parametricao en forma explıcita.

Representacion parametrica de la curva de integracion

Supongamos que la curva AB esta parametrizada por las ecuaciones x = x(t),

y = y(t), siendo x(t) y y(t) y sus derivadas x�(t) e y�(t) funciones continuas

en el intervalo [α, β], de tal manera que el punto inicial corresponde a t = α

y el punto final a t = β. Supongamos, ademas, que P (x, y) es una funcion

continua en los puntos de la curva AB. Entonces, de acuerdo con la definicion,�

AB

P (x, y) dx = lımn→∞(λn→0)

n�

i=1

P (x∗i , y∗i )Δxi.

Puesto que

Δxi = xi − xi−1 = x(ti)− x(ti−1),

por la formula de Lagrange se tiene que

Δxi = x�(ci)Δti, donde ci ∈ [ti−1, ti] y Δti = ti − ti−1.

Elegimos el punto (x∗i , y∗i ) de tal forma que x

∗i = x(ci), y

∗i = y(ci). Entonces

la suma de Riemannn�

i=1

P (x(ci), y(ci)) x�(ci)Δti

es la suma de Riemann correspondiente a la funcion de una variable

P (x(t), y(t)) x�(t) en el intervalo [α, β]. Por esto,

�

AB

P (x, y) dx =

β�

α

P (x(t), y(t))x�(t) dt. (2.10)

De manera similar se obtiene:

�

AB

Q(x, y) dy =

β�

α

Q(x(t), y(t))y�(t) dt. (2.11)



De las formulas (2.10) y (2.11) finalmente se obtiene:�

AB

P (x, y)dx+Q(x, y)dy (2.12)

=

β�

α

(P (x(t), y(t))x�(t) +Q(x(t), y(t))y�(t)) dt. (2.13)

Representacion explıcita de la curva de integracion

Si la curva AB es dada por medio de la ecuacion y = ϕ(x), x ∈ [a, b],

donde la funcion ϕ(x) y su derivada ϕ�(x) son continuas en [a, b], entonces

de la formula (2.12), tomando a x como el parametro se obtiene la ecuacion

parametrica de la curva AB: x = x, y = ϕ(x), x ∈ [a, b]. De aquı,

�

AB

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

b�

a

[P (x, ϕ(x)) +Q(x, ϕ(x))ϕ�(x)] dx. (2.14)

Si la curva AB es una curva suave en el espacio, parametrizada mediante las

funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t), con t en el intervalo [a, b], entonces la

integral de lınea�

AB

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz

se evalua por medio de la formula

�

AB

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =

b�

a

�P (x(t), y(t), z(t))x�(t)+

Q(x(t), y(t), z(t))y�(t) +R(x(t), y(t), z(t))z�(t)�dt (2.15)

Ejemplo 2.2.1. Evaluar I =

�

L

(x− y)2dx+ (x+ y)2dy, donde L es la lınea

quebrada OAB, que une los puntos O(0, 0), A(2, 9), B(4, 2).



Solucion. Ya que L = OAB = OA+AB, entonces I =

�

OA

+

�

AB

. La ecuacion

del segmento OA esta dado por y = 0, 0 ≤ x ≤ 2; la ecuacion del segmento

AB por: y = x− 2, 2 ≤ x ≤ 4. De acuerdo con (2.14) se tiene:

I =

2�

0

((x− 0)2 + 0) dx+4�

2

(22 + (2x− 2)2 · 1) dx

=x3

3

��

2

0

+1

6(2x− 2)3

��

4

2

= 83+ (16− 8) + 1

6(216− 8) = 136

3.

Ejemplo 2.2.2. Evaluar I =

�

L

y2dx+ (x2 + z)dy + (x+ y + z2)dz, donde

L es el segmento de recta en el espacio que une los puntos A(1, 0, 2) y

B(3, 1, 4).

Solucion. Una parametrizacion del segmento de recta esta dada por

x = 2t+ 1, y = t, z = 2t+ 2, con 0 ≤ t ≤ 1.

Utilizando la formula (2.15), finalmente se obtiene:

I =

1�

0

�2t2 + ((2t + 1)2 + 2t+ 2) · 1 + (2t+ 1 + t+ (2t+ 2)2) · 2

�dt

=

1�

0

(14t2 + 28t+ 13) dt = 953.

2.2.2. Teorema de Green

En esta seccion estudiamos un importante teorema que establece una relacion

entre la integral de lınea de tipo II alrededor de una curva cerrada L de R2

con una integral doble sobre la region plana D encerrada por L. Este teoremaconstituye el teorema de Green, tambien llamado de Ostrogradski-Green, y



se aplica a una clase amplia de regiones planas. En la formulacion del teorema

nos restringiremos a regiones planas con frontera conformada por una curva

simple cerrada. Consideraremos como direccion positiva del recorrido sobre

la curva frontera aquella que situa la region a la izquierda del movimiento,

como se muestra en la figura 2.8

Teorema 2.2.3. Sea D una region cerrada y acotada del plano xy cuya

frontera L consiste de un numero finito de curvas simples cerradas, para-

metrizadas de tal forma que al recorrer las curvas la region D queda a la

izquierda. Sean P (x, y), Q(x, y) y sus derivadas parciales ∂P/∂y y ∂Q/∂x

funciones continuas en la region D. Entonces

��

D

�∂Q

∂x− ∂P

∂y

�

dx dy =

�

L

Pdx+Qdy. (2.16)

El sımbolo�

indica que la integral de lınea se toma sobre una o mas curvas

cerradas. La expresion (2.16) es llamada formula de Ostrogradski-Green.

A continuacion realizamos la demostracion para el caso en que la region D

puede representarse de las dos formas siguientes (ver figura 2.8):

D : a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)

D : c ≤ y ≤ d, ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ

2(y)

��

AB

m

ny = ϕ

1(x)

y = ϕ2(x)

a b x

y

O

D

�

�c

d

nm

D

C

x = φ1(y)

x = φ2(y)

a b x

y

O

D

Figura 2.7. Region D regular



La integral

��

D

∂P

∂ydx dy esta dada por

��

D

∂P

∂ydx dy =

b�

a

ϕ2 (x)�

ϕ1(x)

∂P

∂ydy dx =

b�

a

P (x, y)

��

ϕ2(x)

ϕ1(x)

dx

=

b�

a

P (x, ϕ2(x)) dx−b�

a

P (x, ϕ1(x)) dx.

Esto es,

��

D

∂P

∂ydx dy =

�

AmB

P (x, y) dx−�

AnB

P (x, y) dx

= −�

BmA

P (x, y) dx−�

AnB

P (x, y) dx

= −�

L

P (x, y)dx.

(2.17)

De igual manera podemos demostrar que

��

D

∂Q

∂xdx dy =

�

L

Q(x, y)dy. (2.18)

Ası,

��

D

�∂Q

∂x− ∂P

∂y

�

dx dy =

�

L

Pdx+Qdy .

Nota. Aunque solo hemos demostrado el teorema de Green para un tipo

especial de region, la formula (2.16) es valida para aquellas regiones que

pueden ser divididas en un numero finito de regiones similares a las descritas

en la demostracion del teorema.



x

y

O

D

L

x

y

O

D

Figura 2.8. Dos regiones donde es valido el teorema de Green

Ejemplo 2.2.3. Utilizando la formula de Ostrogradski-Green evaluar

I =

�

L

�

x2 + y2dx+ y�

xy + ln�

x+�

x2 + y2��

dy,

donde L es el contorno del rectangulo con A(3, 2), B(6, 2), C(6, 4), D(3, 4).

Solucion. En la figura 2.9 se represen-

ta el contorno rectangular.

Puesto que

∂Q

∂x= y

�

y�

x2 + y2 + 1�

x2 + y2

�

,

∂P

∂y=

y�

x2 + y2,

de la formula (2.16) se tiene que

A B

CD

L

3 6

2

4

O

D

x

y

Figura 2.9. Contorno rectangular

��

D

y

�

y�

x2 + y2 + 1�

x2 + y2− y

�

x2 + y2

�

dx dy =

��

D

y2 dx dy

=

6�

3

4�

2

y2 dy dx = 56.



2.2.3. Independencia de la trayectoria en una integral

de lınea de tipo II

Definicion 2.2.4. Una region D del plano se dice que es simplemente co-

nexa cuando el interior de cualquier curva simple cerrada dentro de D esta

contenido en D (region sin agujeros).

Sean A(x1 , y1) y B(x2 , y2) dos puntos arbitrarios en un dominio simplemente

conexo D del plano xy. Los punto A y B se pueden unir por medio de las

curvas L1 , L2 y L3. Por lo general, los valores de la integral

I =

�

AB

P (x, y)dx+Q(x, y)dy,

sobre estas curvas no son iguales (ver fig. 2.10).

Cuando la integral tiene el mis-

mo valor para cualquier curva que

una los puntos A y B se dice que

la integral es independiente de la

trayectoria. En tal caso, para eva-

luar I es suficiente conocer el pun-

to inicial A(x1 , y1) y el punto final

B(x2 , y2).

Se acostumbra escribir

L1

L2

L3

O

D

A

B

x

y

Figura 2.10. Independencia de la tra-

yectoria

I =

(x2 ,y2 )�

(x1 ,y1)

P (x, y)dx+Q(x, y)dy (2.19)

para denotar la integral de lınea de A a B que es independiente de la trayec-

toria.

A continuacion se dan condiciones bajo las cuales una integral de lınea de

tipo II no depende de la trayectoria.



Teorema 2.2.5. Para que la integral de lınea

I =

�

L

Pdx+Qdy

no dependa de la trayectoria en la region simplemente conexa D en la cual

las funciones P (x, y), Q(x, y) son continuas es necesario y suficiente que en

cada punto de esta region se cumpla la condicion

∂P

∂y=∂Q

∂x. (2.20)

Veamos la prueba de la condicion de suficiencia:

Considerese el contorno arbitrario AmBnA (L) en la region D (ver fig. 2.11).

Para esta region es valida la formula de Ostrogradski-Green. De acuerdo a

la condicion (2.20) se tiene que�

L

Pdx+Qdy =

�

AmBnA

Pdx+Qdy = 0.

Teniendo en cuenta las propiedades de las integrales de lınea se obtiene

�

L

Pdx+Qdy

=

�

AmB

Pdx+Qdy +

�

BnA

Pdx+Qdy

=

�

AmB

Pdx+Qdy −�

AnB

Pdx+Qdy = 0,

�

�m

n

L

D

A

B

Figura 2.11. Independencia

de la trayectoria

es decir, �

AmB

Pdx+Qdy =

�

AnB

Pdx+Qdy.

La igualdad obtenida significa que la integral de lınea no depende de la

trayectoria de integracion.

De este teorema se desprende que:



1. Si se cumple la condicion (2.20) entonces Pdx + Qdy es la diferencial

total de una funcion u = u(x, y), es decir

P (x, y)dx+Q(x, y)dy = du(x, y). (2.21)

Entonces,

I =

(x2 ,y2)�

(x1 ,y1 )

Pdx+Qdy =

(x2 ,y2)�

(x1 ,y1 )

du(x, y) = u(x, y)

��

(x2 ,y2)

(x1 ,y1)

= u(x2, y

2)− u(x

1, y

1).

(2.22)

2. Si Pdx+Qdy es una diferencial total y el camino de integracion es una

curva cerrada entonces�

L

Pdx+Qdy = 0.

La funcion u = u(x, y) que cumple con la condicion (2.20) se puede hallar

utilizando la formula

u(x, y) =

x�

x0

P (ψ, y0) dψ +

x�

x0

Q(x0, ξ) dξ + C. (2.23)

con C constante. En calidad del punto (x0, y

0) regularmente se toma el origen

(0, 0). De forma analoga se obtienen los resultados para la integral de lınea�

L

Pdx+Qdy +Rdz.

sobre una curva L en el espacio.

La condicion (2.20), la igualdad (2.21), y las formulas (2.22) y (2.23) asumen

la siguiente forma:

∂P

∂y=∂Q

∂x,

∂Q

∂z=∂R

∂y,

∂R

∂x=∂P

∂z;



du(x, y, z) = Pdx+Qdy +Rdz;

(x2 ,y2 ,z2)�

(x1 ,y1 ,z1)

Pdx+Qdy +Rdz = u(x2, y2, z2)− u(x1, y10, z1);

u(x, y, z) =

x�

x0

P (ξ, y0, z0) dξ +

y�

y0

P (x0, ψ, z0) dψ +

z�

z0

R(x0 , y0, ρ) dρ+ C,

donde C es una constante.

Ejemplo 2.2.4. Encontrar

(1,1)�

(0,0)

ydx+ xdy.

Solucion. Puesto que P = y, Q = x,∂P

∂y=∂Q

∂x= 1 y la integral no depende

de la trayectoria. Como camino de integracion se puede tomar el segmento de

recta y = x, y = x2, o utilizar la formula (2.22). Ya que d(x y) = ydx+ xdy,

entonces(1,1)�

(0,0)

d(x y) = xy

��

(1,1)

(0,0)

= 1− 0 = 1.

Ejemplo 2.2.5. Comprobar que la expresion e−ydx − (2y + xe−y)dy es la

diferencial total de una funcion u(x, y) y encontrar u.

Solucion. Puesto que

∂

∂y(e−y) = e−y y

∂

∂x−(2y + xe−y)

se tiene que la expresion dada es una diferencial total. Luego existe una

funcion u(x, y) tal que

du(x, y) = e−ydx− (2y + xe−y)dy .

Como la diferencial total tiene la forma

du(x, y) =∂

∂xu(x, y)dx+

∂

∂yu(x, y)dy,



entonces la funcion u(x, y) debe satisfacer las ecuaciones

∂

∂xu(x, y) = e−y y

∂

∂yu(x, y) = −(2y + xe−y).

Integrando con respecto a x la primera de las ecuaciones y considerando a y

como constante (en lugar de la constante de integracion aparece la funcion

que depende de y ϕ(y)) obtenemos

u(x, y) =

�

e−y dx = xe−y + ϕ(y).

Reemplazando este resultado en la segunda ecuacion, se tiene que

∂

∂y

�

xe−y + ϕ(y)�

= −xe−y + ϕ�(y) = −(2y + xe−y) .

Entonces,

ϕ�(y) = −2y, ϕ(y) = −y2 + C.De esta forma,

u(x, y) = xe−y − y2 + C,donde C una constante arbitraria.

La funcion u(x, y) tambien es posible hallarla usando la formula (2.23):

u(x, y) =

x�

0

e−0 dξ +

y�

0

(−2ψ + xe−ψ) dψ + C = xe−y − y2 + C.

2.2.4. Algunas aplicaciones de la integral de lınea de

tipo II

Area de una figura plana

Si en la formula de Ostrogradski-Green reemplazamos P (x, y) = 0 y

Q(x, y) = x obtenemos

S =

��

D

(1− 0) dx dy =�

L

0 · dx+ xdy =�

L

xdy. (2.24)



De igual modo, asumiendo que P (x, y) = −y, Q(x, y) = 0 obtenemos

S = −�

L

ydx. (2.25)

Sumando los dos resultados obtenidos para S resulta que

S =1

2

�

L

xdy − ydx.

Resumimos lo anterior en el teorema siguiente:

Teorema 2.2.6. El area S de del plano xy acotada por el contorno simple

cerrado L se puede determinar usando una de las siguientes formulas

S =

�

L

xdy o S = −�

L

ydx o S =1

2

�

L

xdy − ydx. (2.26)

Ejemplo 2.2.6. Determinar el area

de la region limitada por la astroide

x = a cos3 t, y = a sen3 t.

Solucion. La figura 2.12 muestra la

astroide x = a cos3 t, y = a sen3 t. Al

moverse en el sentido positivo en la

astroide, el parametro t cambia des-

de 0 hasta 2π.

x

y

a

a

Figura 2.12. AstroideAsı se tiene:

S =1

2

2π�

0

�a cos3 t(3a sen2 t cos t) + a sen3 t(3a cos2 t sen t)

�dt

= 183a2

2π�

0

sen2 2t dt =3a2π

8.



Trabajo realizado por una fuerza F

Supongamos que el punto material

P (x, y) bajo la influencia de la fuer-

za#–

F se desplaza en el plano xy a

lo largo en cierta curva AB (desde el

punto A hasta B). Dividamos la curva

AB en n subarcos elementalesMi−1Mi

de longitud Δli mediante los puntos

M0 = A,M1,M2, . . . ,Mn = B.

�

�

��

AM0

Mi−1

Mi

BMn

O

yi−1

yi

xi−1 xi

y∗i

x∗i

Ci

#–

F i

y

x

Figura 2.13. Trabajo realizado por �F

En cada uno de estos subarcos elijamos un punto arbitrario Ci(x∗i , y

∗i ), (ver

fig. 2.13). Consideramos que la fuerza#–

F es constante en el desplazamiento

vectorial# –

Mi−1Mi e igual a la fuerza en el punto Ci del arcoMi−1Mi. Como la

fuerza en el punto Ci es igual a#–

F i = (P (x∗i , y

∗i ), Q(x

∗i , y

∗i )) entonces el trabajo

realizado por la fuerza para mover la partıcula P desde el punto Mi−1 hasta

el punto Mi es aproximadamente igual al producto escalar#–

F i ·# –

Mi−1Mi. Esto

es,

Wi ≈#–

F i ·# –

Mi−1Mi = P (x∗i , y

∗i ) ·Δxi +Q(x∗i , y∗i ) ·Δyi.

El valor aproximado del trabajo W de la fuerza#–

F viene dado por

Sn =

n�

i=1

Wi ≈n�

i=1

P (x∗i , y∗i ) ·Δxi +Q(x∗i , y∗i ) ·Δyi.

Si consideramos que λn = max1≤i≤n

Δli → 0 (Δxi → 0, Δyi → 0) entonces

W = lımλn→0 ,n→∞

Sn =

�

AB

P (x, y)dx+Q(x, y)dy.

Si AB sea una curva en el espacio y

F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))



es una fuerza definida sobre cada punto de la curva entonces el trabajo que

realiza la fuerza para llevar una partıcula desde A hasta B viene dado por

W =

�

AB

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz. (2.27)

Resumimos lo anterior en el siguiente teorema:

Teorema 2.2.7. La fuerza#–

F = P (x, y)ı+Q(x, y) = (P,Q) en el segmento

curvilıneo AB genera un trabajo, el cual se determina por medio de la formula

W =

�

AB

Pdx+Qdy. (2.28)

Ejemplo 2.2.7. Encontrar el trabajo realizado por la fuerza �F = (4x6, xy)

a lo largo de la curva y = x3 desde (0, 0) hasta (1, 1)

Solucion. Utilizando la formula (2.28), se tiene:

W =

�

L

4x6dx+ xydy =

1�

0

(4x6 + xx3(3x2)) dx =

1�

0

7x6 dx = 1.

2.3. Ejercicios Capitulo 2

1. Evaluar la integral de linea I =

�

L

(xy − 1) dx+ x2y dy, desde el punto

A(1, 0) hasta el punto B(0, 2), donde L es:

a) la linea recta 2x+ y = 2;

b) el arco de parabola 4x+ y2 = 4;

c) el arco de elipse x = cos t, y = 2 sen t.


Seccion 2.3. Ejercicios del capitulo 69

2. Evaluar la integral de linea I =

�

L

(4√x− 3√y) dl, desde el punto

A(−1, 0) hasta el punto B(0, 1), donde L es:

a) el segmento de recta AB;

b) el arco de astroide x = cos3 t, y = sen3 t.

3. Evaluar la integral de linea

�

C

x2y dx+ yz2 dy − zx2 dz:

a) a lo largo del segmento de recta AB que une los puntos A(3,−6, 0)y B(−2, 4, 5).

b) a lo largo de la circunferencia dada por la interseccion de la esfera

x2 + y2 + z2 = 45 con el plano 3x+ y = 0.

4. Evaluar las siguientes integrales

a)

�

−l

2xdx− (x+ 2y)dy; b)

�

l

y cos xdx+ sen xdy

a lo largo del perımetro del triangulo con vertices A(−1, 0), B(0, 2) yC(2, 0).

5. Evaluar las siguientes integrales de linea:

a)

�

AB

y(x− y)dx+ xdy en las rectas

1) y = 2x; 2) y = 2x2; 3) y2 = 4x,

para A(0, 0), B(1, 2).

b)

�

C

(x2 − y) dx a lo largo del perımetro de rectangulo que se forma

de las lıneas x = 0, y = 0, x = 1, y = 2.



c)

�

AB

1�

x2 + y2dl a lo largo de la recta x− 2y = 4; desde A(0,−2)

hasta B(4, 0).

d)

�

OC

y dx+ zdy + xdz:

1) a lo largo de la recta que une los puntos OC;

2) a lo largo de la recta quebrada OABC; O(0, 0, 0), A(1, 0, 0),

B(1, 1, 0), C(1, 1, 1).

e)

�

−C

(x2 − y2)dx+ (x2 + y2)dy en la elipsex2

a2+y2

b2= 1.

f )

�

MN

2y sen 2x dx− cos 2xdy en cualquier linea que une los puntos

M(π4, 2), N(π

6, 1).

g)

�

AB

yxex dx+ (x− 1)exdy en cualquier linea que une los puntos

A(0, 2) y B(1, 2).

h)

�

G

2x(y − 1) dx+ x2dy en el contorno de la figura encerrada por

la parabola y = x2 y la recta e y = 9.

6. Encontrar la longitud de la cardioide

x = 2a cos t− a cos 2t, y = 2a sen t− a sen 2t.

7. Encontrar el area de las figuras dadas a continuacion:

a) la elipse x = a cos t, y = b sen t; b) el lazo x3 + y3 − 3axy = 0.

8. Encontrar la masa del arco AB de la curva y = lnx, si en cada punto la

densidad es proporcional al cuadrado de la abscisa en el punto; xA = 1,

xB = 3.


Seccion 2.3. Ejercicios del capitulo 71

9. Encontrar las coordenadas del centro de gravedad del arco AB de la

curva x = a cos t, y = a sen t, z = bt, si en cada punto la densidad es

proporcional a las coordenadas en este punto; tA = 0, tB = π.

10. Encontrar el trabajo, realizado por la fuerza de gravedad cuando el

punto material de masa m se desplaza en el arco AB de cierta curva.

11. Encontrar el trabajo de un campo de fuerzas, si en cada punto (x, y)

la tension (fuerza que actua en la masa unitaria) #–p = (x + y)ı − x,

cuando la masa m describe la circunferencia x = a cos t, y = a sen t en

el sentido horario.

12. Encontrar la longitud de la curva x = 2 − t4

4, y =

t6

6entre los punto

de corte con los ejes coordenados.

13. Encontrar la longitud del arco AB correspondiente a la curva de ecua-

cion e2y(e2x − 1) = e2x + 1; xA= 1, x

B= 2.

14. Un punto de masa m se mueve en un campo de fuerzas, a lo largo del

arco AB de la curva f(x, y) = 0. Encontrar el trabajo de la fuerza, si

en cada punto (x, y) la fuerza que actua posee direccion hacia el origen

de coordenadas y es igual a la distancia desde el punto (x, y) hasta el

origen.

15. Comprobar que la expresion dada es una diferencial total de la funcion

u(x, y), y encontrar u:

a) (2x− 3y2 + 1)dx+ (2− 6xy)dy;b) (exy + 5)(xdy + ydx);

c) (1− sen 2x)dy − (3 + 2y cos 2x)dx;

d)xdy − ydx

x2 + y2;

e) (y2exy − 3)dx+ exy(1 + xy)dy.


Capıtulo 3

Integrales de superficie

En el capıtulo 2 estudiamos las integrales de funciones (campos) escalares o

vectoriales definidas sobre los puntos de una curva del plano o del espacio.

Estas integrales, llamadas integrales de lınea o integrales curvilıneas constitu-

yen una generalizacion de la integral definida de una funcion de una variable

real y valor real sobre un intervalo (integral de Riemann).

En este capıtulo estudiaremos las integrales de funciones escalares o de fun-

ciones vectoriales definidas sobre los puntos de una superficie en el espacio.

Tales integrales reciben el nombre de integrales de superficie y, como veremos,

pueden calcularse mediante integrales dobles.

3.1. Integrales de superficie de tipo I

Antes de considerar las integrales de superficies debemos indicar el significado

de lo que es una superficie suave (o regular).

3.1.1. Superficie suave o regular.

Se dice que una superficie S es suave (o regular) si esta descrita implıcita-

mente por una ecuacion de la forma F (x, y, z) = 0, con derivadas parciales

Fx, Fy, Fz continuas en cada punto de S, y si no existen puntos en S donde

73

74 Capıtulo 3. Integrales de superficie

sean nulas todas estas derivadas parciales.

En particular, si la superficie S esta descrita analıticamente por la funcion

z = f(x, y) con x, y ∈ D entonces S es suave (o regular) si la funcion f y sus

derivadas parciales son continuas en D.

Geometricamente, esto significa que la superficie no tiene picos ni vertices

y que en cada punto de la superficie existe un unico plano tangente y dos

vectores normales unitarios con sentidos contrarios.

Consideremos superficies mas generales llamadas suaves por tramos, las cua-

les se obtienen “pegando”por sus bordes dos o mas superficies suaves. Por

ejemplo, las caras laterales de un cubo o las de un prisma triangular forman

una superficie suave por tramos. La superficie de una esfera es suave, pero la

superficie de una lata de conserva (cilindro circular recto con tapas) es suave

por tramos ya que esta formada por tres superficies suaves.

Supongamos que en los puntos de una superficie suave S, con area A(S), del

espacio xyz esta definida una funcion escalar f(x, y, z). Dividamos la super-

ficie S en n partes Si, de area ΔSi (ver fig. 3.1) y diametro di, i = 1, . . . , n.

En cada parte Si tomamos un punto arbitrario Mi(xi, yi, zi) y formamos la

suma

Sn =

n�

i=1

f(xi, yi, zi)ΔSi. (3.1)

Si existe el lımite de la suma Sn para n→ ∞ de modo que λn = max1≤i≤n

di → 0,

se dice que ese lımite es la integral de superficie de tipo I de la funcion

f(x, y, z) sobre S y se denota por

��

S

f(x, y, z) dS. (3.2)

Esto es, por definicion,

��

S

f(x, y, z) dS = lımn→∞(λn→0)

n�

i=1

f(xi, yi, zi)ΔSi. (3.3)


Seccion 3.1. Integrales de superficie de tipo I 75

En el siguiente teorema se enuncia una condicion suficiente para la existencia

del lımite en (3.3):

Teorema 3.1.1 (Existencia de la integral de superficie de tipo I).

Si la funcion f(x, y, z) es continua en cada punto de la superficie suave S,

entonces la integral de superficie de tipo I existe.

La integral de superficie de tipo I posee las siguientes propiedades:

1.

��

S

c f(x, y, z) dS = c

��

S

f(x, y, z) dS, donde c es una constante.

2.

��

S

(f1(x, y, z)± f2(x, y, z)) dS =��

S

f1(x, y, z) dS ±��

S

f2(x, y, z) dS.

3. Si la superficie S es suave por tramos y esta formada por la superficies

suaves S1 y S2 (de tal forma que S = S1 ∪ S2 y la interseccion de S1 y

S2 esta compuesta solo por la frontera comun) entonces��

S

f(x, y, z) dS =

��

S1

f(x, y, z) dS +

��

S2

f(x, y, z) dS.

4. Si en la superficie suave S se cumple que f1(x, y, z) ≤ f2(x, y, z), en-

tonces��

S

f1(x, y, z) dS ≤��

S

f2(x, y, z) dS.

5.

��

S

dS = A(S), donde A(S) es el area de la superficie S.

6.

��

��

S

f(x, y, z) dS

��≤

��

S

|f(x, y, z)| dS.

7. Si la funcion f(x, y, z) es continua en la superficie suave S entonces en

esta superficie existe al menos un punto (xc, yc, zc) para el cual se tiene

que



��

S

f(x, y, z) dS = f(xc, yc, zc)S.

3.1.2. Calculo de la integral de superficie de tipo I

La evaluacion de una integral de su-

perficie tipo I se puede realizar me-

diante la evaluacion de una integral

doble.

Consideremos una superficie suave S

tal que cada recta paralela al eje z

que la interseca lo hace en no mas

de un punto.

Sea D la proyeccion de la superficie

sobre el plano xy y asumamos que D

esta limitada por una curva cerrada

simple.

σi

Pi

Mi

γi

Si

Ti

ni

k

Figura 3.1. Integral de superficie

Mediante rectas paralelas a los ejes x y y dividamos D en n partes σide

area Δσiy sobre cada σ

ilevantemos una columna hasta determinar en la

superficie S una parte Si con area ΔSi.

Tomemos en σiun punto arbitrario P (xi, yi, 0) y tracemos una recta per-

pendicular al plano xy. Denotemos con Mi(xi.yi, zi) al punto interseccion de

dicha recta con la superficie Si. En el punto Mi tracemos el plano tangente

y consideremos la parte Ti de dicho plano que se proyecta sobre la region σi

del plano xy (ver fig. 3.1). Sea ΔTi el area de Ti.

Entonces, para valores pequenos de ΔSi se tiene que

ΔSi ≈ ΔTi. (3.4)

Sea ni el vector normal unitario a la superficie S en el punto Mi que apunta

hacia arriba y denotemos con γi el angulo entre los vectores ni y k = (0, 0, 1).



Dado que σi es la proyeccion de Ti en el plano xy, entonces

(cos γi)ΔTi = Δσi. (3.5)

Luego��

S

f(x, y, z) dS ≈n�

i=1

f(xi, yi, zi)1

cos γiΔσi. (3.6)

En particular, consideremos que la superficie S esta dada analıticamente por

la ecuacion cartesiana z = z(x, y). Entonces un vector normal a la superficie

en el punto Mi esta dado por#–ni = (−zx,−zy, 1)i, donde el subındice i colo-

cado a la cantidad entre parentesis indica que dicha cantidad esta evaluada

en el punto Mi(xi.yi, zi). Como γi es el angulo entre el vector k = (0, 0, 1) y#–ni = (−zx,−zy, 1)i, entonces

cos γi =k · #–ni

�k� � #–ni�=

�

1�1 + z2x + z

2y

�

i

,

Reemplazando en 3.6, y teniendo en cuenta que zi = z(xi, yi), obtenemos

��

S

f(x, y, z) dS ≈n�

i=1

f(xi, yi, z(xi, yi))��

1 + z2x + z2y

�

iΔσi.

Finalmente, tomado lımite cuando n→ ∞ de tal manera que los diametros

de Si → 0, y por consiguiente Δσi → 0, obtenemos

��

S

f(x, y, z) dS = lımn→∞

n�

i=1

f(xi, yi, z(xi, yi))��

1 + z2x + z2y

�

iΔσi.

Esto es,��

S

f(x, y, z) dS =

��

D

f(x, y, z(x, y))�

1 + z2x + z2y dx dy, (3.7)

formula que expresa la integral de superficie de f en la superficie S en termi-

nos de una integral doble sobre la proyeccion D de S sobre el plano xy.



Por otra parte, si la superficie S esta dada analıticamente por la ecuacion

cartesiana y = y(x, z) entonces, con un argumento similar obtenemos la

formula��

S

f(x, y, z) dS =

��

D

f(x, y(x, z), z)�

1 + y2x + y2z dx dz, (3.8)

donde D es la proyeccion de la superficie S sobre el plano xz.

Ahora, si la superficie S esta dada analıticamente por la ecuacion cartesiana

x = x(y, z) entonces proyectamos sobre el plano yz y obtenemos la formula��

S

f(x, y, z) dS =

��

D

f(x(y, z), y, z)�

1 + x2y + x2z dy dz, (3.9)

donde D es la proyeccion de S sobre el planos yz.

Ejemplo 3.1.1. Evaluar la integral

I =

��

S

(x− 3y + 2z) dS, donde S

es la parte del plano 4x+3y+2z = 4

en el primer octante (ver fig. 3.1).

Solucion. En este caso podemos

proyectar la superficie S sobre cua-

lesquiera de los planos coordenados.

La proyeccion sobre el plano xy es la

region

4x+ 3y + 2z = 4

4x+ 3y = 41

2

4

3

x

y

z

Figura 3.2. Ejemplo 3.1.1

D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 4

3(1− x)}.

Despejamos z de la ecuacion del plano para obtener

z = 2− 2x− 3

2y.

Como zx = −2 y zy = −32, de (3.7) se obtiene

I =

��

D

�x− 3y + 2(2− 2x− 3

2)��

1 + (−2)2 + (−32)2 dx dy



=

��

D

(x− 3y + 4− 4x− 3y)�

1 + 4 + 94dx dy

=√292

��

D

(4− 3x− 6y) dx dy =√292

1�

0

43(1−x)�

0

(4− 3x− 6y) dy

dx

=√292

1�

0

(4y − 3xy − 3y2)��

4(1−x)3

0

dx

=√292

�

−16(1− x)2

6− 2x2 + 4x3

3+ 16

(1− x)3

3

��

1

0

=√299.

Nota. Si proyectamos sobre el plano xz tenemos:

La proyeccion de la superficie S es la region

D = {(x, z) | 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2− 2x}.

De la ecuacion del plano despejamos y para obtener

y = 13(4− 4x− 2z).

Entonces

dS =�

1 + yx + yz dxdz =

�

1 + (−43)2 + (−2

3)2 dxdz =

√29

3dxdz.

Reemplazando en la ecuacion (3.8) obtenemos

I =

��

S

(x− 3y + 2z) dS

=

��

D

�

x− 3�4− 4x− 2z

3

�

+ 2z�√29

3dx dz

=

√29

3

��

D

(5x+ 4z − 4) dx dy

=

√29

3

1�

0

2−2x�

0

(5x+ 4z − 4) dz dx =√29

9.



Ejemplo 3.1.2. Evaluar la integral��

S

x(y + z) dS, donde S es la superficie

cilındrica x =�

1− y2 entre los planos z = 0 y z = 2. (ver fig. 3.2.4).

Solucion. Proyectamos la superficie

S sobre el plano yz para obtener la

region D (el rectangulo AA1B1B).

Despejando x obtenemos

x =�

1− y2.

Entonces

xy = − y�

1− y2y xz = 0.

Luego,

x y

z

x2 + y2 = 1

z = 2

B

B1

A

A1

1

2

1


��

S

x(y + z) dS =

��

D

�

1− y2(y + z)

�

1 +y2

1− y2 dy dz

=

��

D

(y + z) dy dz

=

1�

−1

2�

0

(y + z)dz dy =

1�

−1

(2y + 2) dy = 4.

Ejemplo 3.1.3. Hallar��

S

y2 dS, donde S es la porcion de la superficie de

la esfera x2 + y2 + z2 = a2 que esta en el primer octante.

Solucion. Proyectamos la superficie sobre el plano xy. Entonces la superficie

esta descrita por la ecuacion z =�

a2 − x2 − y2 y la proyeccion es el conjuntoD = {(x, y) : x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0}.Entonces,

��

S

y2 dS =

��

D

y2�

1 + z2x + z2y dxdy.



Como

zx =−x

�

a2 − x2 − y2y zx =

−y�

a2 − x2 − y2,

entonces

�

1 + z2x + z2y =

�

1 +x2

a2 − x2 − y2+

y2

a2 − x2 − y2

=a

�

a2 − x2 − y2.

Luego

��

S

y2 dS =

��

D

y2�

a�

a2 − x2 − y2

�

dxdy

=

a�

0

√a2−y2�

0

ay2�

a2 − x2 − y2dxdy.

Usando coordenadas polares

x = r cos θ, y = r sen θ,

obtenemos��

S

y2 dS =

��

D∗

ar2 sen2 θ√a2 − r2

rdrdθ

xy

z

x2 + y2 + z2 = 4

S

dS


donde D∗ = {(r, θ) | 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π/2}.Entonces,

��

S

y2 dS =

a�

0

π/2�

0

ar2 sen2 θ√a2 − r2

r drdθ =

π/2�

0

sen2 θ dθ

a�

0

ar2√a2 − r2

r dr

Usamos la identidad trigonometrica 2 sen2 θ = 1 − cos 2θ y la sustitucion



u =√a2 − r2 para obtener

��

S

y2 dS =

π/2�

0

1− cos 2θ2

dθ

0�

a

a(a2 − u2) du

=

�θ

2− sen 2θ

4

��

θ=π/2

θ=0

�

a3 − au3

3

��

u=a

u=0

=π

4

�

a4 − a4

3

�

=πa4

6.

3.1.3. Algunas aplicaciones de la integral de superficie

de tipo I

Area de una superficie

Si la superficie S es dada mediante la ecuacion z = z(x, y) y su proyeccion en

el plano xy es la region D, en la cual z(x, y), zx(x, y) y zy(x, y) son funciones

continuas, entonces el area S se determina por medio de la formula

S =

��

S

dS =

��

S

�

1 + z2x + z2y dx dy. (3.10)

Masa de una superficie

Las integrales de superficie de tipo I tambien se utilizan para hallar masas,

coordenadas de centro de gravedad, momentos de inercia de superficies ma-

teriales, conociendo la funcion densidad (distribucion de la masa ) de dicha

superficie .

Todas estas cantidades se determinan de una misma manera: la superficie

dada se divide en un numero finito de partes, se encuentra el valor aproximado

de la cantidad a hallar, pasando al lımite cuando el numero division se hace

infinito se halla el valor exacto de dicha cantidad.

A continuacion se ilustra este metodo hallando una formula para la masa m

de una superficie S con densidad δ = δ(x, y, z) en el punto (x, y, z):



1. Se divide la superficie S en n partes Si, i = 1, . . . , n, cuyas areas se las

designa por ΔSi.

2. Se elige el punto arbitrario Mi(xi, yi, zi) en cada region Si y se supone

que en cada punto de la region Si la densidad δ es constante e igual al

valor en el punto Mi.

3. Si la funcion de densidad es continua la masa mi de la region Si poco

se diferencia de la masa δ(xi, yi, zi)ΔSi.

4. m ≈ Sn =

n�

i=1

δ(xi, yi, zi)ΔSi.

5. m = lımn→∞

Sn =

��

S

δ(x, y, z) dS.

Momentos y centros de gravedad de una superficie

Los momentos estaticos, las coordenadas del centro de gravedad y los mo-

mentos de inercia de la superficie material S se determinan con las siguientes

formulas:

Sxy =

��

S

z δ(x, y, z) dS, Syz =

��

S

x δ(x, y, z) dS, Sxz =

��

S

y δ(x, y, z) dS ,

xc =Syz

m, yc =

Sxz

m, zc =

Sxy

m,

Mx =

��

S

(y2 + z2) δ(x, y, z) dS, My =

��

S

(x2 + z2) δ(x, y, z) dS ,

Mz =

��

S

(x2 + y2) δ(x, y, z) dS, M0 =

��

S

(x2 + y2 + z2) δ(x, y, z) dS .

Ejemplo 3.1.4. Encontrar la masa de la superficie de la semiesfera superior

de radio R y centro en el origen si en cada punto M(x, y, z) de la superficie

la densidad esta dada por la funcion

δ(x, y, z) =�

x2 + y2.



Solucion. Por definicion,

m =

��

S

δ(x, y, z) dS

=

��

S

�

x2 + y2 dS,

donde S es la superficie cuya ecuacion

es

z =√R2 − x2 − z2.

La proyeccion de la superficie sobre el

plano xy es el conjunto

D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ R}

x y

z

�

M(x, y, z)x2 + y2 + z2 = R2

D

Figura 3.5. Masa de una semiesfera

El elemento diferencial de area es dS =�

1 + z2x + z2y dx dy .

Entonces,

m =

��

D

�

x2 + y2�

1 + z2x + z2y dx dy

=

��

D

�

x2 + y2

�

1 +x2

R2 − x2 − y2 +y2

R2 − x2 − y2dx dy

= R

��

D

�

x2 + y2�

R2 − (x2 + y2)dx dy.

Usando coordenadas polares obtenemos

m = R

��

D

r√R2 − r2

r dr dθ

= R

2π�

0

R�

0

r2√R2 − r2

dr

dθ =πR2

4.


Seccion 3.2. Integral de superficie de tipo II 85

3.2. Integral de superficie de tipo II

Las integrales de superficie de tipo II se definen sobre las llamadas superficies

orientables o de dos caras.

Superficies orientables.

Podemos pensar que toda superficie suave tiene dos caras o lados, que se

pueden pintar con diferente color, de tal manera que sin cruzar algun borde

de la superficie es imposible mover un vector normal unitario continuamente

a lo largo de una curva simple cerrada, comenzando en un punto de la curva

y regresando al mismo punto con el vector normal en sentido contrario. Pero

tal apreciacion es incorrecta, como lo demostro el matematico aleman August

Ferdinand Mobius (1790-1868) al crear una superficie con una cara (superficie

unilateral) conocida con el nombre de cinta o banda de Mobius.

A

B C

D

−n

nn

−n n−n

CA

DB

Figura 3.6. Banda de Mobius

Tomando una tira larga de papel, rectangulo ABCD, dandole media vuelta

y uniendo los lados AB y CD de tal manera que el punto A coincida con el

la punto C y el punto B con el D obtenemos una cinta de Mobius (ver fig.

3.6). En esta superficie se puede observar que el vector normal unitario puede

recorrer la curva punteada empezando en un punto y regresando de nuevo al

mismo punto pero con sentido contrario al que tenia inicialmente, aunque en



el recorrido no se haya cruzado el borde de la superficie. Tambien podemos

observar que el borde de la cinta de Mobius es una unica curva cerrada.

Las superficies con dos caras reciben el nombre de superficies orientables y en

ellas es posible definir un vector normal unitario en cada punto de la superficie

de tal manera que la coleccion de todos los vectores normales suficientemente

cercanos al vector normal deben estar en la misma cara de la superficie. Por

otra parte, las superficies de una cara reciben el nombre de superficies no

orientables.

Intuitivamente, las superficies orientables son los planos, elipsoides, etc. Esto

es, cualquier superficie descrita analıticamente por una ecuacion de la forma

z = g(x, y), siendo g, gx y gy funciones continuas en una region D del plano

xy, o descrita analıticamente por una ecuacion de la forma F (x, y, z) = 0,

siendo F , Fx, Fy y Fz son continuas en alguna region del espacio.

Una funcion n : S → R3 que a cada punto p de la superficie S le asocia un

vector unitario n(p) normal a la superficie en p recibe el nombre de campo

de vectores normales a S. Decir que una superficie S es orientable significa

que existe un campo de vectores normales a S que es continuo en cada punto

de la superficie.

En cada punto de una superficie orientable (de dos caras) hay dos vectores

normales unitarios (con sentidos contrarios) y la seleccion de uno de ellos da

a la superficie una orientacion. Uno de los vectores normales unitarios puede

ser escogido como de sentido positivo y el lado (o cara) de la superficie desde

el cual se extiende dicho vector normal sera llamado lado positivo (o cara

positiva) de la superficie .

Para el caso de superficies descritas por funciones de la forma z = g(x, y)

escogeremos como vector normal unitario positivo aquel que forma un angu-

lo agudo con el vector k = (0, 0, 1) (esto es, el vector normal que apunta

hacia arriba) y la cara correspondiente sera la cara positiva de la superficie

(orientacion positiva). En tal caso, el campo de vectores normales que dan



la orientacion positiva esta dado por

n(x, y) =(−gx(x, y),−gy(x, y), 1)�

g2x(x, y) + g2y(x, y) + 1

.

Para superficies cerradas se ha convenido en que la orientacion positiva es la

dada por los vectores normales que apuntan hacia fuera y la negativa por los

vectores normales que apuntan hacia adentro. Ası, en las superficies cerradas

se toma la cara externa como positiva y la interna como negativa.

Consideremos una superficie orientable S (superficie con dos caras o lados).

Supongamos que sobre la superficie S esta definida una funcion f(x, y, z)

que es continua en alguna region del espacio que contiene a S.

La superficie orientada S se divide en n partes Si, i = 1, . . . , n que se

proyectan en uno de los planos coordenados.

γi

σi

Mi

Si

ni

x

y

z

γi

σi

Mi

Si ni

x

y

z

Figura 3.7. (Si)xy = Δσi si cos(γi) > 0 o (Si)xy = −Δσi si cos(γi) < 0 .

Asumamos que la proyeccion se hace sobre el plano coordenado xy y que Δσi

es el area de la proyeccion de Si.

Escojamos una cara de la superficie S y tomemos un punto Mi en Si. Sean

ni el correspondiente vector normal unitario en el punto Mi y γi el angulo

que forma ni con la direccion positiva del eje z (ver fig. 3.7).



Consideremos que

(Si)xy =

Δσi si cos(γi) > 0 ,

−Δσi si cos(γi) < 0 .

Sea

Sn =n�

i=1

f(xi, yi, zi)(Si)xy. (3.11)

Definicion 3.2.1. Si existe el lımite de la suma en (3.11) para n → ∞ de

modo que cada (Si)xy → 0, y su valor no depende de la forma de dividir a

S en partes Si ni de la manera de escoger los puntos Mi ∈ Si, se dice que

ese lımite es la integral de superficie de tipo II (en coordenadas x , y) de la

funcion f(x, y, z) sobre el lado escogido de la superficie S y se denota con el

sımbolo��

S

f(x, y, z) dx dy.

Ası, por definicion,

��

S

f(x, y, z) dx dy = lımn→∞

n�

i=1

f(xi, yi, zi)(Si)xy. (3.12)

De igual forma se definen las integrales de superficie de tipo II en las variables

x , z y y , z:

��

S

f(x, y, z) dz dx = lımn→∞

n�

i=1

f(xi, yi, zi)(Si)xz,

��

S

f(x, y, z) dy dz = lımn→∞

n�

i=1

f(xi, yi, zi)(Si)yz,

(3.13)

donde (Si)xz y (Si)yz son, respectivamente, las proyecciones de Si sobre los

planos xz y yz .

La forma general de una integral de superficie de tipo II es��

S

P (x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx+R(x, y, z)dxdy,



donde P , Q, R son funciones continuas definidas en los puntos de S.

La integral sobre una superficie S con orientacion positiva se denota con

el sımbolo��

S+

y con orientacion negativa con el sımbolo��

S−

. Si S es una

superficie cerrada, entonces la integral de superficie en la parte externa de S

se designa por

��

S+

e interna por

��

S−

.

De la definicion de la integral de superficie de tipo II se desprenden las

siguientes propiedades:

1. La integral de superficie cambia de signo al cambiar la orientacion (el

lado) de la superficie.

2. La integral de superficie de una constantes por una funcion es igual a

la constante por la integral de la funcion.

3. La integral de superficie de una suma de dos funciones es igual a la

suma de las integrales de superficie de dichas funciones.

4. La integral de superficie sobre una superficie S suave a trozos confor-

mada por las superficies suaves y orientables S1 y S2 es igual a la suma

de las integral sobre S1 y S2.

5. Si S1, S2, S3 son superficies cilındricas con directrices paralelas a los

ejes z, x, y, respectivamente, entonces

��

S1

f(x, y, z) dx dy =

��

S2

f(x, y, z) dy dz =

��

S3

f(x, y, z) dx dz = 0.

3.2.1. Evaluacion de integrales de superficie de tipo II

La evaluacion de una integral de superficie de tipo II conlleva a evaluar una

integral doble. Sea f(x, y, z) continua en todos los puntos de la superficie S,



cuya ecuacion es de la forma z = z(x, y), donde z(x, y) es continua en la

region cerrada Dxy que es la proyeccion de S en el plano xy.

Si escogemos el lado de la superficie S para el cual cada vector normal unitario

forma un angulo agudo con la parte positiva del eje z entonces (Si)xy = Δσi

para i = 1, . . . , n. Puesto que zi = z(xi, yi) entonces

��

S

f(x, y, z) dx dy = lımλ→0

(n→∞)

n�

i=1

f(xi, yi, z(xi, yi))Δσi

=

��

Dxy

f(x, y, z) dx dy.

(3.14)

Si se escoge el otro lado en la superficie S entonces la integral doble obtenida

se toma con el signo negativo. Es por esto que, en general,��

S

f(x, y, z(x, y)) dx dy = ±��

D

f(x, y, z(x, y)) dx dy, (3.15)

con signo + cuando #–n es un vector normal hacia arriba y signo − cuando #–n

es un vector normal hacia abajo.

De igual forma, si y = y(x, z) es una ecuacion de la superficie S entonces��

S

f(x, y(x, z), z) dx dz = ±��

Dxz

f(x, y(x, z), z) dx dz, (3.16)

donde Dxz es la proyeccion de la superficie S sobre el plano xz. Se escoge el

signo + si los vectores normales a S forman un angulo agudo con la direccion

positiva del eje y y signo − en caso contrario.

Similarmente, si x = (x, z) es una ecuacion de la superficie S entonces��

S

f(x(y, z), y, z) dy dz = ±��

Dyz

f(x(y, z), y, z) dy dz, (3.17)

donde Dyz es la proyeccion de la superficie S sobre el plano yz. Se escoge el

signo + si los vectores normales a S forman un angulo agudo con la direccion

positiva del eje x y signo − en caso contrario.



Para evaluar la integral de superficie de tipo II generalizada se utilizan las

formulas (3.15)–(3.17). Proyectando S en los planos coordenados se tiene:��

S

P (x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx+R(x, y, z)dxdy

= ±��

Dyz

P (x(y, z), y, z) dy dz ±��

Dxz

Q(x, y(x, z), z) dz dx

±��

Dxy

R(x, y, z(x, y)) dx dy,

donde los signos + o − se escogen de acuerdo a la orientacion dada a la

superficie.

Ejemplo 3.2.1. Hallar I =

��

S

4�

x2 + y2dx dy, donde S es la parte inferior

del cırculo x2 + y2 ≤ a2.

Solucion. La superficie S coincide con la proyeccion Dxy en el plano xy.

Como la integral De superficie es en la parte inferior del cırculo (orientacion

negativa) entonces

I = −��

Dxy

4�

x2 + y2dx dy = −��

x2+y2≤a2

4�

x2 + y2dx dy.

Pasando a coordenadas polares (r, θ) se obtiene

I = −��

r≤a

√rrdθ dr = −

2π�

0

a�

0

r32 dr dθ = −4

5π√a5.

Ejemplo 3.2.2. Hallar

��

S−

ydx dz, donde S es el tetraedro acotado por los

planos x+ y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Solucion. La superficie cerrada S esta compuesta de cuatro superficies sua-

ves: los triangulos ABC, BCO, ACO, ABO, que se encuentran en diferentes



planos (ver figura 3.8).

Entonces,

��

S−

y dx dz =

��

ABC

y dx dz +

��

BCO

y dx dz +

��

ACO

y dx dz +

��

ABO

y dx dz.

Evaluamos cada integral:

��

ABC

ydx dz = −��

ACO

(1− x− z)dx dz

=

1�

0

1−x�

0

(x+ z − 1) dz dx

=

1�

0

(x+ z − 1)22

��

z=1−x

z=0

dx

=1

2

0�

1

(x− 1)2 dx = −16.

��

ABO

ydx dz =

��

ABO

0dx dz = 0.

Dxy

x

y

z

A

B

C

0

Figura 3.8. Dxy: Proyeccion del plano

x+ y + z = 1 sobre el plano xy.

Como los planos BCO y ABO son perpendiculares al plano xz entonces

��

BCO

ydx dz =

��

ABO

ydx dz = 0.

Luego,��

S−

y dx dz = −16.


S−zdx dy, donde S es la superficie cerrada suave

por tramos conformada por la parte superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y

el cırculo x2 + y2 ≤ 1, z = 0.



Solucion. La integral la partimos en dos integrales: sobre la region D, que

es la proyeccion de S en el plano xy, y sobre la superficie S1 que corresponde

a la parte inferior de la semiesfera (ver figura 3.9) .

Es decir,

��

S

zdx dy =

��

D

zdx dy +

��

S1

zdx dy = 0−��

S1

�

1− x2 − y2dx dy.

La primera integral (en D) es cero ya que

en el cırculo z = 0. La segunda integral

(en S1) posee el signo “-” debido a la di-

reccion del vector normal en S1 (normal

hacia abajo). Pasando a coordenadas po-

lares obtenemos��

S

zdx dy =

��

D

zdx dy

= −2π�

0

1�

0

√1− r2r dr dθ

= −2π3.

x y

z

x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0

D

Figura 3.9. D: Proyeccion de la

esfera x2 + y2 + z2 = 1 sobre el

plano xy.


S−xdy dz, donde S es la superficie cerrada suave

por tramos conformada por las superficies S1 y D, siendo S1 la parte superior

de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y D el cırculo x2 + y2 ≤ 1, z = 0.

Solucion. Del ejemplo 3.2.3, tenemos que

��

S−

xdy dz =

��

D

xdy dz

� ��

vale cero

+

��

S1

xdy dz.

Sea Δ la proyeccion de S en el plano yz, S2 la parte de S1 que esta frente

al plano yz y S3 la parte de S1 que esta detras del plano yz. Si ademas se



tienen en cuenta las direcciones de las normales en S2 y S3 y debido a que

x =�

1− y2 − z2 en S2 y x = −�

1− y2 − z2 en S3, se tiene que��

S

xdy dz =

��

S1

xdy dz =

��

S2

xdy dz +

��

S3

xdy dz

=

��

Δ

�

1− y2 − z2dy dz −��

Δ

�

−�

1− y2 − z2�

dy dz

= 2

��

Δ

�

1− y2 − z2dy dz

Usando coordenadas polares obtenemos

��

S

xdy dz = 2

π�

0

1�

0

√1− r2r dr dθ =

2π

3.

Ejemplo 3.2.5. Hallar

��

S

z dx dy, donde S es el elipsoide (x/a)2+(y/b)2+

(z/c)2 = 1 con orientacion positiva.

Solucion. Sean

S1 =�

(x, y, z)��x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1, z ≥ 0 ,

�

,

S2 =�

(x, y, z)��x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1, z ≤ 0 ,

�

.

Entonces, ��

S

z dx dy =

��

S1

z dx dy +

��

S2

z dx dy.

Sea D la proyeccion de S sobre el plano xy. Esto es,

D =�

(x, y)��x2

a2+y2

b2= 1

�

.

Entonces,��

S1

z dx dy =

��

D

�

1− x2

a2− y2

b2dx dy,



��

S2

z dx dy = −��

D

−�

1− x2

a2− y2

b2dx dy.

Luego,��

S

z dx dy = 2

��

D

�

1− x2

a2− y2

b2dx dy.

Usamos coordenadas polares generalizadas

x = ar cos θ, y = br sen θ, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1, J(r, θ) = abr,

obtenemos

��

S

z dx dy = 2abc

1�

0

2π�

0

√1− r2 r dθ dr = 2πabc

1�

0

√1− r2 r dr =

2πabc

3.

Ejemplo 3.2.6. Hallar J =

��

S

2dx dy + ydz dx− x2zdy dz, donde S es la

cara superior del elipsoide 4x2 + y2 + 4z2 = 4 en el primer octante.

Solucion. Partiendo la integral de superficie J , en tres partes, tenemos

J = J1 + J2 + J3,

donde J1 = 2

��

S

dx dy, J2 =

��

S

ydx dz y J3 = −��

S

x2zdy dz.

Evaluemos cada una de estas integrales:

J1 =

��

Dxy

dx dy,

donde Dxy es la proyeccion de S en el plano xy.

J2 = 2

��

Dxz

√1− x2 − z2dx dz,



donde Dxz es la proyeccion de S en el plano xz.

J3 = −��

Dyz

z

�

1− y2

4− z2

�

dy dz,

donde Dyz es la proyeccion de S en el plano yz.

La integral J1 es igual al area de la region Dxy, el area de la cuarta parte de

la elipse con semiejes a = 1, b = 2, es decir J1 =πab

4=π

2.

La integral J2 la evaluamos pasando a coordenadas polares, es decir,

J2 = 2

��

OAC

√1− r2 rdr dθ = −

π2�

0

1�

0

(1− r2)12 d(1− r2) dθ

= −

π2�

0

�

2(1− r2)32

3

� ��

1

0

dθ =π

3.

La integral J3 la evaluamos de la siguiente manera,

J3 = −1�

0

z

yQ�

yP

�

1− y2

4− z2

�

dy dz = −1�

0

z

�

y − y3

12− z2y

��

y=2√1−z2

y=0

dz

= −43

1�

0

z(1 − z2) 32 dz = 2

3· 2(1− z

2)52

5

��

0

1

= − 4

15.

Ası,

J =1

2π +

1

3π − 4

15=5

6π − 4

15.

3.2.2. Integral de superficie de un campo vectorial

Considerando que

dxdy = cos γ dS, dzdx = cos β dS, dydz = cosα dS, (3.18)



donde dS es el elemento de la superficie S y cosα, cos β, cos γ son los cose-

nos directores del vector normal unitario n, del lado escogido de la superficie,

podemos observar que las integrales de superficie del tipo I y tipo II se rela-

cionan por medio de la siguiente formula:

��

S

Pdydz +Qdzdx+Rdxdy =

��

S

(P cosα+Q cosβ +R cos γ) dS (3.19)

Usando la notacion vectorial para el producto punto o escalar de dos vectores,

la ecuacion anterior se puede escribir en la siguiente forma

��

S


��

S

(P,Q,R) · (cosα, cos β, cos γ) dS (3.20)

La ecuacion (3.20) nos permite definir integrales de superficie para funciones

vectoriales. Consideremos una superficie S de dos caras (orientable) y un

campo vectorial#–

F (x, y, z) =�P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z),

�continuo en

alguna region del espacio que contiene a S. Escojamos una cara de S mediante

el campo de vectores normales unitarios n(x, y, z). La integral de superficie

de F sobre la cara escogida de la superficie S (determinada por n) se define

por la integral de superficie��

S

#–

F (x, y, z) · n(x, y, z) dS y se denota��

S

#–

F d#–

S .

Ası, por definicion,

��

S

#–

F d#–

S =

��

S

#–

F (x, y, z) · n(x, y, z) dS (3.21)

Consideramos a continuacion una aplicacion fısica importante de la integral

de superficie de un campo vectorial. Imaginemos un fluido que fluye por

una region del espacio con una velocidad dada, en cada punto (x, y, z) de la

region, por la funcion vectorial

#–

F (x, y, z) =�P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

�.



Supongase que necesitamos hallar el

volumen de fluido que pasa por uni-

dad de tiempo a traves de una superfi-

cie especificada de la region. Como se

muestra en la figura 3.10, el volumen

de fluido que pasa a traves de un ele-

mento de area dS por unidad de tiem-

po es aproximadamente igual a

(altura) (area de la base)

= (compn

#–

F )dS

= (#–

F · n)dS,

donde n es un vector normal unitario

a la superficie.

x

y

z

ncompn#»

F

#»

F

ΔS

ncompn#»

F

#»

F

S ΔS

D

ΔA

Figura 3.10. Flujo a traves de una

superficie

El volumen total de fluido que atraviesa la superficie S en la direccion deter-

minada por n por unidad de tiempo se llama flujo de#–

F a traves de S y esta

dado por ��

S

#–

F dS =

��

S

(#–

F · n) dS.

Dependiendo de la naturaleza del campo vectorial, la integral en (3.21) puede

representar flujo electrico, o flujo magnetico, o flujo de calor, etc.

Ejemplo 3.2.7. Evaluar la integral

I1 =

��

S

−x dy dz + zdzdx+ 5dxdy,

sobre la parte superior del plano 2x− 3y + z = 6, que se encuentra en el IVoctante.

Solucion. En la figura 3.11 esta dibujada la parte del plano indicado. La

normal n, correspondiente con el lado de la superficie forma con el eje y un



angulo obtuso y con los ejes x y z un angulo agudo. Esto se puede comprobar

encontrando los cosenos directores de la normal al plano #–n = (2,−3, 1).Ası,

� #–n� =√14,

cosα =2√14> 0,

cos β = − 3√14< 0,

cos γ =1√14> 0.

Es por esto que antes de la integral

doble en las formulas (3.15) y (3.16)

es necesario tomar el signo positivo, y

en la formula (3.17) el signo negativo.

2x− 3y + z = 6

3

−2

6

n

Dxy

Dxz

Dyz

x

y

z

O


Entonces

I1 = +

��

Dyx

�

−3 − 3

2y +

z

2

�

dy dx−��

Dxz

z dz dx+

��

Dxy

5 dx dy

=

0�

−2

3y+6�

0

�

−3− 3

2y +

z

2

�

dz dy −3�

0

6−2x�

0

z dz dx+ 5 · 12· 2 · 3

= −6− 18 + 15 = −9.

Nota. Considerando que la integral I1 es el flujo del campo vectorial#–

F (x, y, z) = (−x, z, 5) a traves de la superficie z = 6 − 2x + 3y que se

encuentra en el IV cuadrante, en la direccion del vector normal superior

(−zx,−zy, 1) = (2,−3, 1), entonces podemos hallar I1 de la siguiente mane-ra:

I1 =

��

S

#–

F dS =

��

S

(#–

F · n) dS =��

S

(−x, z, 5) · 1√14(2,−3, 1) dS



=1√14

��

Dxy

(−x, z, 5) · (2,−3, 1)�

1 + z2x + z2y dxdy

=1√14

��

Dxy

(−x, z, 5) · (2,−3, 1)�

1 + (−2)2 + 32 dxdy

=

��

Dxy

(−2x− 3z + 5) dxdy =��

Dxy

(−2x− 3(6− 2x+ 3y) + 5) dxdy

=

��

Dxy

(4x− 9y − 13) dxdy =3�

0

0�

23x−2

(4x− 9y − 13)dydx = −9.

Ejemplo 3.2.8. Hallar el flujo del campo vectorial#–

F (x, y, z) = (x, y, z) a

traves de la superficie S con ecuacion z = 1− x2 − y2, con x2+ y2 ≤ 1, en la

direccion de la normal superior.

Solucion. la proyeccion de la superficie S sobre el plano xy es el conjunto

Dxy = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1} y el campo de vectores normales con direccionpositiva es

n(x, y, z) =(−2x,−2y, 1)

�

1 + 4x2 + 4y2.

Entonces,��

S

#–

F dS =

��

S

(#–

F · n) dS

=

��

S

(x, y, z) · (2x, 2y, 1)�

1 + 4x2 + 4y2dS

=

��

Dxy

(x, y, 1− x2 − y2) · (2x, 2y, 1)�

1 + 4x2 + 4y2

�

1 + 4x2 + 4y2 dxdy

=

��

Dxy

(x, y, 1− x2 − y2) · (2x, 2y, 1) dxdy

=

��

Dxy

(x2 + y2 + 1) dxdy.


Seccion 3.3. Teorema de Ostrogradski-Gauss 101

Usamos coordenadas polares para obtener

��

S

#–

F dS =

2π�

0

1�

0

(1 + r2)r dr dθ =3π

2.

3.3. Teorema de Ostrogradski-Gauss

El siguiente teorema, llamado de Ostrogradski-Gauss establece una relacion

entre una integral de superficie de tipo II sobre una superficie cerrada y una

integral triple sobre la region del espacio acotada por dicha superficie.

Teorema 3.3.1. Consideremos el solido T que tiene como frontera una su-

perficie S cerrada y suave a tramos. Si las funciones P (x, y, z), Q(x, y, z),

R(x, y, z) y sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas

en una region del espacio que contenga a T entonces��

S


��

T

�∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

�

dx dy dz, (3.22)

donde la integral de superficie se realiza en la cara externa de S.

Nota. La formula (3.22) es llamada

formula de Ostrogradski-Gauss.

A continuacion justificamos el teorema

para el caso de una region T del espa-

cio limitada por arriba por la super-

ficie S1 con ecuacion z = z1(x, y), por

abajo por la superficie S2 con ecuacion

z = z2(x, y), siendo z1 y z2 dos funcio-

nes continuas en la proyeccion D de T

sobre el plano xy, ademas, z1 ≤ z2 , y

lateralmente por la superficie cilındri-

ca S3 cuyas directrices son paralelas al

eje z (ver fig 3.12).

x y

z

x y

z

S2

S1

S3

z = z2(x, y)

z = z1(x, y)

D

n

n

n

Figura 3.12. Solido T acotado por

S1 , S2 y S3



Por el teorema fundamental del calculo se tiene que

��

T

∂R

∂zdx dy dz =

��

D

dx dy

z2(x,y)�

z1 (x,y)

∂R

∂zdz

=

��

D

R(x, y, z2(x, y)) dx dy −

��

D

R(x, y, z1(x, y)) dx dy.

Las integrales dobles en la parte derecha se cambian por integrales de su-

perficie de tipo II tomadas por el lado externo de las superficies S1 y S2

respectivamente. De este modo se obtiene��

T

∂R

∂zdx dy dz =

��

S2

R dx dy +

��

S1

R dx dy +

��

S3

R dx dy.

Esto es, ��

T

∂R

∂zdx dy dz =

��

S

R(x, y, z)dxdz.

donde S es la superficie que acota la region T . De igual forma se demuestran

las siguientes formulas��

V

∂Q

∂zdx dy dz =

��

S

Q(x, y, z)dxdz,

��

V

∂P

∂zdx dy dz =

��

S

P (x, y, z)dxdz,

Sumado las tres ultimas ecuaciones resulta la formula de Ostrogradski-Gauss.

Resaltamos que

1. La integral de superficie de tipo II (en coordenadas x, y) tomada en

una parte de una superficie cilındrica con su generatriz paralela al eje z

es igual a cero. De igual manera es cero la integral de superficie de tipo

II (en coordenadas x, z) sobre una superficie cilındrica con generatriz

paralela al y, o la integral de superficie de tipo II (en coordenadas y, z)

sobre cualquier superficie cilındrica con generatriz paralela al eje x.


Seccion 3.3. Teorema de Ostrogradski-Gauss 103

2. La formula (3.22) es valida para cualquier region T que se pueda dividir

en un numero finito de regiones como las mencionadas en el teorema.

Expresion vectorial de la formula de Ostrogradski-Gauss

Si#–

F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) es un campo vectorial dife-

renciable entonces la cantidad escalar

�∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

�

recibe el nombre

de divergencia de#–

F y se denota div(#–

F ). Ası, en notacion vectorial la formula

de Ostrogradski-Gauss se puede escribir de la siguiente manera:��

S

#–

F · n dS =

��

V

div(#–

F ) dx dy dz, (3.23)

En palabras: la integral de superficie de la componente normal de una funcion

vectorial#–

F sobre una superficie cerrada es igual a la integral triple de la

divergencia de#–

F sobre el volumen encerrado por dicha superficie. Por esto,

el teorema anterior tambien recibe el nombre de teorema de la divergencia.

Como veremos en los siguientes ejemplos, por lo general la formula de

Ostrogradski-Gauss simplifica la evaluacion de integrales de superficie de

tipo II mediante la evaluacion de integrales triples.

Ejemplo 3.3.1. Verificar la formula de Ostrogradski-Gauss para la integral

I =

��

S+

−xdydz + zdzdx + 5dxdy,

donde S es la parte exterior de la piramide acotada por los planos 2x−3y+z =6, x = 0, y = 0, z = 0.

Solucion. De la formula (3.22) se tiene:

I =

��

V

(−1 + 0 + 0) dx dy dz

= −��

V

dv = −13· 3 · 6 = −6.



Por otra parte, evaluando la integral de superficie tenemos que

I =

��

S1

+

��

S2

+

��

S3

+

��

S4

,

donde las superficies S1, S2, S3 y S4

son los triangulos ABC, OAC, AOB

y COB respectivamente (ver fig. 3.13).

Por el ejemplo 3.2.7 tenemos que

��

S1

−xdydz + zdzdx+ 5dxdy = −9.

2x− 3y + z = 6

3

−2

6

n

n

S1

S2

S3

S4

x

y

z

O

A

B

C


Entonces,

I = −9 −��

(OAC)

5 dx dy +

��

(AOB)

z dz dx−��

(COB)

−0 dy dz

= −9 − 5 · 12· 2 · 3 +

3�

0

6−2x�

0

z dz dx

= −9 − 15 + 18 = −6.

Ejemplo 3.3.2. Usar la formula de Ostrogradski-Gauss para expresar el

volumen de un solido como una integral se superficie.

Solucion. Consideremos que el solido esta limitado por arriba por la superfi-

cie suave S2 : z = z2(x, y), por abajo con la superficie suave S1 : z = z1(x, y)

y lateralmente por la superficie cilındrica S3 , cuya directriz es paralela al eje z.

Sea S la superficie conformada por las superficies S1 , S2 y S3 (ver figura3.12).

Usando la formula de Ostrogradski-Gauss con P = x, Q = 0 y R = 0

obtenemos ��

S

xdydz =

��

V

dx dy dz,


Seccion 3.4. Teorema de Stokes 105

esto es,

V =

��

S

xdydz.

De igual manera, para P = 0, Q = y y R = 0 obtenemos

V =

��

S

ydzdx.

Finalmente, para P = 0, Q = 0, R = z obtenemos

V =

��

S

zdxdy.

Sumando estas tres expresiones obtenemos

V =1

3

��

S

xdydz + ydzdx+ zdxdy.

Ası, la formula anterior indica que podemos calcular volumenes usando inte-

grales de superficie, de la misma manera como el teorema de Green permite

calcular areas de regiones planas por medio de integrales de linea adecuadas.

3.4. Teorema de Stokes

La relacion entre las integrales de superficie y las integrales de lınea de tipo

II esta dada en el teorema siguiente:

Teorema 3.4.1. Consideremos una superficie S suave a trozos y orientable,

tal que cada paralela al eje z que corta a la superficie lo hace en solo un punto,

orientada positivamente, encerrada por una curva simple L y contenida en

una region del espacio donde P (x, y, z), Q(x, y, z) y R(x, y, z) y sus primeras



derivadas parciales son funciones continuas. Entonces

��

S

�∂R

∂y− ∂Q

∂z

�

dydz +

�∂P

∂z− ∂R

∂x

�

dzdx+

�∂Q

∂x− ∂P

∂y

�

dxdy

=

�

L

Pdx+Qdy +Rdz,

(3.24)

donde la integracion a lo largo de L se efectua en la direccion positiva. (ver

figura 3.15)

Nota. Si se cambia la orientacion de la superficie

entonces el sentido de integracion a lo largo de L de-be cambiarse de tal manera que sea consistente con

la orientacion elegida para S, en el sentido siguien-

te: si el pulgar de nuestra mano derecha apunta en

la direccion del campo de vectores normales elegi-

dos entonces el resto de los dedos deben senalar la

orientacion de la curva L.Figura 3.14. Orientacion

mano derecha

Dicho de otra manera, si caminamos sobre la curva con nuestra cabeza apun-

tando en la direccion de los vectores normales entonces la superficie debe

quedar siempre situada a nuestra izquierda.

A continuacion realizamos un bosquejo de la demostracion de la formula

de Stokes. Suponga que z = f(x, y) es la ecuacion de una superficie S, las

funciones f(x, y), fx(x, y), fy(x, y) son continuas en la region cerrada D, L1

es la frontera de D.

Se analizara primero la integral

�

L

P (x, y, z)dx. El valor de la funcion

P (x, y, z) en L es igual al valor de P (x, y, z(x, y)) en L1.

Las sumas integrales para las integrales de lınea de tipo II a lo largo de L y

L1 son iguales. Por esto,



�

L

P (x, y, z)dx =

�

L1

P (x, y, z(x, y))dx.

Aplicando la formula de Ostrogradski-

Green a la ultima integral se tiene:

�

L1

P (x, y, z(x, y)) dx

=

��

D

�

0− ∂P

∂y

�

dx dy

= −��

D

�∂P

∂y+∂P

∂z· ∂z∂y

�

dx dy.

x y

z

S

z = f(x, y)

L

L1

D

n

Figura 3.15. Formula de Stokes

Ahora se transformara la integral obtenida, en una integral de superficie de

tipo II; para lo cual, la ultima igualdad se escribe en la forma:

�

L1

P (x, y, z(x, y)) dx = −��

S

�∂P

∂y+∂P

∂z· ∂z∂y

�

cos γ dS

Eligiendo la orientacion positiva para la superficie S, es decir cos γ > 0,

el vector normal #–n esta dado por

�

−∂z∂x,−∂z∂y, 1

�

. Por esto, los cosenos

directores satisfacen la siguiente condicion:

cosα

−∂z∂x

=cos β

−∂z∂y

=cos γ

1.

Luego

−∂z∂y

=cos β

cos γ.

Ası,

−��

S

�∂P

∂y+∂P

∂z· ∂z∂y

�

cos γ dS = −��

S

�∂P

∂y− ∂P

∂z· cos βcos γ

�

cos γ dS



= −��

S

∂P

∂ycos γ ds− ∂P

∂zcos βdS

=

��

S

∂P

∂zdxdz − ∂P

∂ydxdy.

Por lo tanto,

�

L

P (x, y, z)dx =

��

S

∂P

∂zdxdz − ∂P

∂ydxdy.

De manera similar, con condiciones adecuadas, se obtienen las dos siguientes

ecuaciones:�

L

Q(x, y, z)dy =

��

S

∂Q

∂xdxdy − ∂Q

∂zdydz,

�

L

R(x, y, z)dz =

��

S

∂R

∂ydydz − ∂R

∂xdxdz.

Al sumar las tres ultimas ecuaciones se obtiene la formula (3.24).

La formula (3.24) recibe el nombre de formula de Stokes y es valida pa-

ra superficies mas complejas que se puedan dividir en superficies como las

consideradas en el teorema.

La formula (3.24) se puede utilizar para evaluar integrales de lınea en con-

tornos cerrados con ayuda de integrales de superficie adecuadas.

Expresion vectorial del teorema de Stokes

Sea#–

F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un campo vectorial dife-

renciable. Se llama rotacional de#–

F , y se denota rot#–

F , al campo vectorial

definido por

rot#–

F =

�∂R

∂y− ∂Q

∂z,∂P

∂z− ∂R

∂x,∂R

∂x,∂Q

∂x− ∂P

∂y

�

.



Usando formalmente el operador hamiltoniano ∇ =

�∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

�

se tiene

que

rot#–

F = ∇× #–

F =

��

#–

i#–

j#–

k

∂

∂x

∂

∂x

∂

∂xP Q R

��

.

Ası, en notacion vectorial la formula de Stokes se puede escribir de la siguiente

manera:��

S

rot#–

F · #–n dS =

�

L

#–

F · d #–r , (3.25)

donde d #–r = (dx, dy, dz). La integral�

L

#–

F · d #–r recibe el nombre de circulacion

de#–

F alrededor de la curva cerrada L.En palabras, el teorema de Stokes establece que el flujo del rotacional de un

campo#–

F a traves de una superficie S es igual a la circulacion total del campo#–

F alrededor de la frontera L de S. Por esto, el teorema de Stokes tambien

recibe el nombre de teorema del rotacional.

De la formula de Stokes se desprende que si se cumplen las condiciones

∂Q

∂x=∂P

∂y,

∂R

∂y=∂Q

∂zy

∂P

∂z=∂R

∂x,

esto es, si rot#–

F = 0, en alguna region del espacio entonces la integral de lınea

a lo largo de cualquier curva cerrada L contenida en dicha region es igual a

cero:�

L

Pdx+Qdy +Rdz = 0.

Ası, la integral de lınea no depende de la trayectoria de integracion. Por consi-

guiente, si consideramos que el integrando es la diferencial total de una cierta

funcion escalar f(x, y, z), entonces, para cualquier par de puntos (x0, y0, z0)



y (x1, y1, z1) se tiene que

(x1,y1,z1)�

(x0,y0,z0)

Pdx+Qdy +Rdz =

(x1,y1,z1)�

(x0,y0,z0)

df(x, y, z) = f(x1, y1, z1)− f(x0, y0, z0) .

Por otra parte, cuando la superficie S hace parte de un plano paralelo al

plano xy se tiene que dz = 0 y el teorema de Stokes se reduce al teorema

de Green. Es por esto que el teorema de Stokes tambien recibe el nombre de

teorema Green en el espacio.

Ejemplo 3.4.1. Verificar el teorema de Stokes para el campo

#–

F (x, y, z) = (2z − y, x+ z, 3x− 2y)

definido sobre la superficie z = 9 − x2 − y2, 0 ≤ z ≤ 9, con orientacion

positiva (vector normal hacia arriba).

Solucion. La proyeccion de la superficie S sobre el plano xy es el conjunto

D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 9}. El campo de vectores normales unitarios haciaarriba es

n(x, y) =(2x, 2y, 1)

�

4x2 + 4y2 + 1.

El rotacional de#–

F esta dado por

rot#–

F (x, y, z) =

��

#–

i#–

j#–

k

∂

∂x

∂

∂x

∂

∂x2z − y x+ z 3x− 2y

��

= (−3,−1, 2).

Entonces,��

S

rot#–

F · n dS =��

D

(−3,−1, 2) · (2x, 2y, 1) dx dy

=

��

D

(−6x− 2y + 2) dx dy



= −6��

D

x dx dy − 2��

D

y dx dy + 2

��

D

dx dy

= −6(0)− 2(0) + 2π(32) = 18π.

Por otra parte, una parametrizamos de la curva frontera de S, la circunfe-

rencia x2+y2 = 1, z = 0, con orientacion consistente con la orientacion dada

a S, esta dada por

#–r (t) = (3 cos t, 3 sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π.

Entonces,

�

L

#–

F · d #–r =

2π�

0

#–

F ( #–r (t)) · #–r �(t) dt

=

2π�

0

(−3 sen t , 3 cos t , 9 cos t− 6 sen t) · (3 cos t, 3 sen t, 0) dt

=

2π�

0

9 dt = 18π.

Ası pues,��

S

rot#–

F · #–n dS =

�

L

#–

F · d #–r .

Nota. El poder del teorema de Stokes radica en que si S1 y S2 son dos su-

perficies suaves a trozos, orientables y con la misma curva frontera entonces,

orientando apropiadamente dichas superficies se tiene que

��

S

rot#–

F · #–n dS =

��

S2

rot#–

F · #–ndS.

Ejemplo 3.4.2. Consideremos un campo#–

F cuyo rotacional esta dado por

rot#–

F = (f(x, y, z) , g(x, y, z) , k), donde k es una constante. Sea S1 una



superficie suave a trozos, orientada positivamente, cuya frontera es la cir-

cunferencia x2 + y2 = a2, z = 0. Entonces, considerando la superficie

S2 = {(x, y, 0) | x2 + y2 ≤ a2}, orientada positivamente, se tiene que��

S1

rot#–

F · #–n dS =

��

S2

rot#–

F · #–n dS

=

��

S2

�f(x, y, z) , g(x, y, z) , k

�· (0 , 0 , 1) dS

=

��

S2

k dS = k(area de S2) = kπa2.

3.5. Ejercicios capitulo 3

1. Evaluar la integral de superficie de primer orden (en el area de la su-

perficie):

a) I =

��

S

(6x+ 4y + 3z) ds, donde S es la parte, en el primer oc-

tante, del plano x+ 2y + 3z = 6 .

b) I =

��

K

(y + z +√a2 − x2) ds, donde K es la superficie cilındrica

x2 + y2 = a2, que se encuentra entre los planos z = 0 y z = h.

2. Evaluar la integral de superficie de orden dos (en coordenadas):

a) I =

��

S

4�

x2 + y2 dx dy, donde S es la parte inferior del cırculo

x2 + y2 ≤ a2.

b) J =

��

T

2 dx dy + y dx dz − x2z dy dz, donde T es la parte inferior

del elipsoide 4x2 + y2 + 4z2 = 4 en el primer octante.


Seccion 3.5. Ejercicios del Capitulo 113

c) K =

��

−W

ydxdy, donde W es un la superficie de un tetraedro aco-

tado por los planos x+ y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

3. Utilizando la formula de Ostrogradski-Gauss evaluar la integral de su-

perficie I =

��

S

4x3dydz + 4y3dxdz − 6z4dxdy, donde S es la superficie

dada en el ejercicio 1b.

4. Utilizando la formula de Stokes evaluar la integral curvilınea

K =

�

L

exdx+ z(x2 + y2)32dy + yz3dz, donde L es una curva cerrada

que se forma al intersecar las superficies z =�

x2 + y2, x = 0, x = 2,

y = 0, y = 1.

5. Evaluar las siguientes integrales de superficie de orden uno:

a)

��

S

ds, donde S es la parte del plano x+ y + z = a en el primer

octante.

b)

��

T

x ds, donde T es la semiesfera z =�

1− x2 − y2.

c)

��

W

(x2 + y2) ds, donde W es la superficie que se obtiene de la

interseccion del paraboloide x2 + y2 = 2z y el plano z = 1.

d)

��

S

(x2y2 + x2z2 + y2z2) ds, donde S se encuentra fuera del cono

z =�

x2 + y2 y dentro del cilindro x2 + y2 = 2x.

6. Evaluar las siguientes integrales de superficie de orden dos:

a)

��

S

(y2 + z2) dy dz, donde S es la parte externa del paraboloide

x = a2 − y2 − z2 cortada por el plano yz.



b)

��

−S

z2 dx dy, donde S es el elipsoide x2 + y2 + 2z2 = 2.

c)

��

−S

z dx dy + ydxdz + xdydz, donde S es la superficie del cubo,

acotado por los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

d)

��

W

(z + 1) dx dy, donde W es la esfera x2 + y2 + z2 = R2.

7. Utilice la formula de Ostrogradski-Gauss para resolver los ejercicios

6b-6d .

8. Utilizando la formula de Stokes evaluar las siguientes integrales de lınea.

a)

�

−L

(2x+ y)dx− 2y dy, donde L es el perımetro del triangulo con

vertices A(0,−1), B(0, 2), C(2, 0). Como la superficie S tomar eltriangulo dado;

b)

�

L

8y�

(1− x2 − z2)3dx+ xy3 dy + sen zdz, donde L es el con-

torno ACBA, con A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 1) de la parte parte

exterior del elipsoide 4x2 + y2 + 4z2 = 4 en el primer octante.

9. Encontrar el area de la parte de superficie que se describe a continua-

cion:

a) El cono z2 = 2xy en el primer octante entre los planos x = 2,

y = 4;

b) la esfera x2 + y2 + z2 = R2 que se encuentra dentro del cilindro

x2 + y2 = Rx;

c) el cilindro x2 + y2 = Rx que se encuentra dentro de la esfera

x2 + y2 + z2 = R2.


Seccion 3.5. Ejercicios del Capitulo 115

10. Encontrar la masa de una semiesfera, si en cada punto su densidad es

igual a la distancia desde este punto al radio perpendicular a la base

de la esfera.

11. Encontrar el centro de gravedad de la semiesfera del ejercicio anterior.

12. Determine el centro de gravedad de una superficie homogenea de ecua-

cion y2 + z2 = 10x cortada por el plano x = 10.


Respuestas

Capıtulo 1: Integrales multiples

1a. 26. 1b. −11.2. 1c. e−12. 1d . 506

15.

2a. π2− 2 arctan 1

2.

2b. ln 2.

3a.

4�

0

√y�

−√y

f(x, y) dx dy.

3b.

2�

0

3�

1

f(x, y) dy dx+

6�

2

3�

x2

f(x, y) dy dx.

3c.

−√3�

−2

√4−y2�

−√

4−y2

f(x, y) dx dy

−1�

−√

4−y2

1�

−√

4−y2

f(x, y) dx dy

+

0�

−1

1�

−√2

f(x, y) dx dy.

3d .

4�

2

x�

2

f(x, y) dy dx. 3e.

1�

0

y−1�

−√

1−y2

f(x, y) dx dy.

117

118 Respuestas

3f .

1�

0

y�

0

f(x, y) dx dy +

2�

1

√2−y�

0

f(x, y) dx dy.

3g .

1�

12

2�

1x

f(x, y) dy dx.

3h.

1�

0

√x�

−√x

f(x, y) dy dx+

4�

1

1�

−√x

f(x, y) dy dx.

3i .

1�

0

1−√

1−y2�

0

dx+

2�

1+√

1−y2

dx

dy.

4a. a2

2. 4b. 2

3a2. 4c. 0. 5a. 2π.

5b. 0. 5c. π(1− e−a2). 6a. 143πa3. 6b. 4

3π4a3.

6c. 0.

7a. 38 25.

7b. 12− 9ln 4.

7c. π(b2−a2)4

.

7d . a2.

7e. 34πa2.

7f . 3π.

8a. 6815.

8b. 323. 8c. 3π. 8d . 2

3πR3. 8e. 2πa3.

8f . 4(a2+b2)3a2b2

. 8g . 329. 8h. 4π(2

√2−1)a3

3.

9a. 2kπ lnr2r1. 9b. 4

3a2bλ. 9c. (0, a

2). 9d . ka5

10.

9e. Ix =14π(a

1b31− a

2b32), Iy =

14π(b

1a3

1− b

2a3

2) .

9f . (1736, 1736, 5536). 10. 3, 13

3. 11a. 40

3.

Respuestas 119

11b. abc(a2+b2+c2)3

. 11c. a3h3 . 11d . 1

12 .

11e. 30. 11f . 2 sen 4. 12a. 12. 12b. 10 ln 4

5.

13a. 4 ln 2−18

. 13b. 4πa5√3. 13c. πh4

4. 13d . 4

9.

13e. 2(ln(1+√2)+

√2)−π. 14a. 55

6. 14b. π.

14c. 814π. 14d . πa

3(6√3−5)

3. 14e. 16. 14f . 32

3π.

14g . 2R3(eπ−4)9

π. 14h. πabc(5√2−4)

24. 14i . 16π

3.

15. 32a4. 16. kπhr4

2. 17. kπR4

12. 18a. (0, 0, c).

18b. (3a8, 3b

8, 3c

8). 18c. (0, 0, 2R

5).

Capıtulo 2: Integrales de lınea

1a. 1.

1b. −15.

1c. 43.

2a. −5√2.

2b. −467.

3a. 91.

3b. −173 34.

4a. 3.

4b. 0.5

5a1. 13.

5a2. 3130.

5a3. − 815.

5b. 2. 5c. ln 7+3√5

2. 5d1. 1.5. 5d2. 1.

5e. 0. 5f . −0.5. 5g . 2. 5h. 0.

6. 0. 7a. πab. 7b. 3a2

2.

8. k(10√10−2

√2)

3. 9. 2

3πb. 11. 2πma2.

120 Respuestas

12. 133. 13. 1

2ln (e2 + e−2).

15a. x2 + x+ 2y − 3xy2 + C.

15b. exy + 5xy + C1, donde C1 = C − ex0y0 − 5x0y0.

15c. y − 3x− y sen 2x+ C. 15d . arctan yx+ C.

15e. yexy − 3x+ C.

Capıtulo 3: Integrales de Superficie

1a. 54√14. 1b. ah(4a+ πh). 2a. −4

5π√a5.

2b. 43π − 4

15. 2c. −1

6. 3. 6πa2h(a2 − h3).

4. −14. 5a. a2√3

2. 5b. 0. 5c. 55+9

√3

65.

5d . 29√2

8. 6a. πa4

2. 6b. 0. 6c. −3.

6d .43πR3. 8a. 3. 8b. 32

5. 9a. 16.

9b. 2R2(π − 2). 9c. 4R2.

10. π2R3

2. 12.

�

0, 0, 25√5+1

25√5−1

�

.

Bibliografıa

[1] Apostol Tom. Calculus Vol. 2. Editorial Reverte.

[2] Colley Susan J. Vector Calculus. Prentice Hall. 1998

[3] Curtis Philip C. Calculo de varias variables con algebra lineal. Editorial

Limusa. 1976

[4] Edwards C. H. Calculo con Geometrıa analıtica. Prentice Hall. Cuarta

Edicion. 1994.

[5] Grossman Stanley. Algebra lineal con aplicaciones. Cuarta edicion (ter-

cera edicion en Espanol), McGraw Hill, 1994.

[6] Kaplan Wilfred.Matematicas avanzadas para estudiantes de ingenierıas.

Fondo Educativo Intermericano. 1985

[7] Leithold Louis. El Calculo. Septima edicion, Oxford Editores Mexico

[8] Marsden Jerrod E., Tromba Anthony J. Calculo vectorial Fondo Educa-

tivo Interamericano. 1981

[9] Pita Ruiz Claudio. Calculo vectorial . Primera edicion. Prentice Hall

Hispanoamericana S. A. 1995

[10] Purcell Edwing, Varberg Dale, Rigdon Steven. Calculo. Novena edicion.

Pearson Educacion. 2007

121

122 Bibliografıa

[11] Smith Robert, Minton Roland. Calculo. Primera edicion. McGraw-Hill

Interamericana S.A. 2000

[12] Stein Sherman K., Barcellos Anthony. Calculo y geometrıa analıtica.

Volumen 2. McGraw-Hill. Quinta edicion. 1995

[13] Stewart James. Calculo. Grupo Editorial Iberoamerica S.A. 1994.

[14] Swokowsky Earl Calculo con Geometrıa analıtica. Segunda Edicion.

Grupo Editorial Iberoamerica. 1989

[15] Thomas George, Ross Finney. Calculus and Analytic Geometry. 9th Edi-

tion. Addison Wesley

Indice alfabetico

area

de una superficie cilındrica, 50

area de una figura plana, 19

aplicaciones de la integral de lınea

de tipo II, 65

area de una figura plana, 65

trabajo realizado por una fuerza,

67

astroide, 66

centro de gravedad, 36, 50, 83

centros de masa de figuras planas, 20

cinta de Mobius, 86

coordenadas

cilındricas, 29

esfericas, 29

curva de integracion

representacion polar, 49

determinante

jacobiano, 15

evaluacion

integral de lınea

tipo II, 54

existencia de integral de lınea

tipo II, 53

formula

de Green, 57

de Ostrogradski-Green, 57, 58

de Stokes, 105

formula de Gauss

expresion vectorial, 103

flujo

a traves de una superficie, 98

integral

de Riemann, 45

de lınea

de tipo I, 46

integral de lınea, 45

de tipo I

aplicaciones, 49

evaluacion, 47

existencia, 46

integral de lınea de tipo II, 51

independencia de la trayectoria, 61

integral de linea

tipo II

123

124 Indice Alfabetico

propiedades, 53

integral de superficie

de tipo I, 73

de tipo II, 85

de tipo I

aplicaciones, 82

calculo, 76

existencia, 75

propiedades, 75

de tipo II, 88

de un campo vectorial, 96

integral doble, 1

coordenadas polares, 14

integrales

de superficie, 73

integrales de superficie

de tipo II

calculo, 89

integrales multiples, 1

integrales triples, 22

cambio de variable, 28

propiedades, 23

longitud de arco, 50

masa de un cuerpo, 35

masa de una curva, 50

masa de una figura plana, 19

masa de una lamina rectangular, 4

masa de una superficie, 82

momento estatico, 35

momento y centro de gravedad, 83

momentos de inercia, 36, 51

momentos de inercia de figuras planas,

20

momentos estaticos, 50

momentos estaticos de figuras planas,

20

propiedades de la integral doble, 5

region

simplemente conexa, 61

superficie

orientable, 85

regular, 73

suave, 73

superfie

no orientable, 86

teorema

de la divergencia, 103

del rotacional, 109

de Ostrogradski-Gauss, 101

de Stokes, 105

Green, 57

teorema de Stokes

expresion vectorial, 108

volumen de un cuerpo, 3

volumen de un solido, 19, 34

integrales de linea o curvilíneas e integrales de superficie

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