generación numérica de mallas en coordenadas curvilíneas

Generación numérica de mallas en coordenadas curvilíneas para cálculo de flujos a superficie libre

Miguel Ángel Mejía

Instituto Mexicano de Tecnología del Agua

Moisés Berezowsky

Universidad Nacional Autónoma de México

Se presenta el uso de sistemas coordenados curvilíneos para la solución numérica de las ecuaciones de la hidrodinámica del flujo a superficie libre. Se utilizan sistemas coordenados que se ajustan a las fronteras para simular con precisión, tanto las batimetrías y fronteras de lagos y ríos (por complejas e irregulares que sean), como las variaciones de la superficie libre del agua. Con este procedimiento, la solución numérica de las ecuaciones diferenciales parciales de la hidrodi- námica se logra mediante una malla rectangular fija, sin importar la forma de las fronteras físicas ni el espaciamiento de las líneas coordenadas curvilíneas en el espacio físico. Después de una descripción general de los sistemas curvilíneos, se presentan las reglas para la transformación de un sistema cartesiano a uno curvilíneo. En seguida, se describe la generación numérica de mallas y se presentan algunos ejemplos.

Palabras clave: coordenadas curvilíneas, generación numérica de mallas, hidráulica computacional, diferencias finitas

Introducción llas en sistemas cartesianos tienen dos inconvenien- tes: no representan con exactitud a las fronteras y, no

Coordenadas curvilíneas siempre es posible un refinamiento local. Con el méto- do del elemento finito es posible resolver problemas

La formulación de la mayoría de los problemas en in- con geometrías complejas; sin embargo, las matrices geniería involucran tasas de cambio con respecto a de rigideces que resultan tienen un ancho de banda dos o más variables independientes, de lo cual se ob- muy grande, lo que implica que ésta técnica es menos tiene el sistema de ecuaciones diferenciales parciales, eficiente, desde el punto de vista computacional. EDP, de las ecuaciones fundamentales. Existen varios Thacker (1980) encontró, en cálculos de flujos en métodos numéricos para la solución de estas EDP. aguas someras en una malla irregular, que el método Entre los más populares están: de diferencias finitas es aproximadamente un orden de

magnitud más rápido que el del elemento finito, para la Volumen finito misma precisión, a pesar que el número de puntos en Diferencias finitas la malla era menor con el elemento finito.

* Elemento finito Por tanto, podría decirse que un método óptimo se- ría aquel que tuviera la eficiencia computacional de los

En los dos primeros la solución numérica de las EDP métodos en diferencias finitas o volumen finito, así se logra en virtud de una colección de puntos, que for- como la flexibilidad geométrica del elemento finito. Los man lo que se denomina una malla, en la que se apro- sistemas coordenados ajustados a las fronteras (aquí ximan dichas EDP con ecuaciones algebraicas y se llamados coordenadas curvilíneas) poseen estas ca- resuelve numéricamente el sistema resultante. Las ma- racterísticas. En estos sistemas, las líneas coorde-

nadas coinciden con las fronteras. Sin embargo, los cálculos se realizan en una malla rectangular en el plano transformado.

La idea de los sistemas ajustados a las fronteras se originó principalmente en los Estados Unidos de Amé- rica, EUA, en la industria aeroespacial, a principios de los años setenta, como respuesta a los requerimientos de la Administración de la Aeronáutica Nacional y del Espacio (NASA, por sus siglas en inglés) de los EUA, para predecir flujos a alta velocidad alrededor de vehículos espaciales. Desde entonces se han utilizado para la solución de una amplia gama de problemas de dinámica de fluidos en ingeniería aeronáutica y me- cánica.

Aún cuando en estas áreas, así como en muchas otras, hoy en día estos métodos son ampliamente co- nocidos y utilizados, sorprende su relativa poca apli- cación en cálculo de flujos a superficie libre. De los primeros estudios en esta línea, están los de Johnson y VAHM (1980) y Johnson (1982). Otros modelos en coordenadas curvilíneas incluyen los trabajos de Hau- ser et al Raghunath et a/ Wijbenga

985) y Willense et al 986).

Aplicación de coordenadas curvilíneas en problemas de hidrodinámica

Los sistemas coordenados que se ajustan a las fronteras, son especialmente adecuados para problemas de flujos que involucran la solución de las EDP en dominios con fronteras de forma arbitraria. Algunos ejemplos son: flujos alrededor de islas u obstáculos, ondas a superficie libre, fondos móviles, zonas que se inun- dan, y líneas costeras erosionables. A continuación se discuten algunos problemas específicos.

Modelación de estuarios. Con los modelos en diferencias finitas, cuando la geometría de la frontera no coincide con las direcciones de los ejes coordenados, los elementos de la frontera de la malla quedan escalonados. Para lograr representar las fronteras con precisión, se necesitaría una malla muy fina, lo que puede resultar muy costoso desde el punto de vista computacional. Uno de los problemas si el espaciamiento de la malla es muy grande, es que el efecto de pequeñas estructuras (como rompeolas) solamente se puede estudiar en forma aproximada. El enfoque más común es incrementar el coeficien- te de rugosidad lo suficiente para detener el flujo a través de la celda en que está la estructura. Los sistemas curvilíneos son ideales para este tipo de problemas pues se hace coincidir una línea coordenada con la estructura. La ilustración muestra la malla en coordenadas curvilíneas generada para el puerto de Charleston, EUA (Thompson et a/, 1985); véase el grado de detalle que puede lograrse. Modelación de ríos. La mayoría de los modelos para flujo no permanente en ríos son unidimensionales, i.e., se calculan a partir de ecuaciones promediadas sobre la sección transversal del río. Estos modelos son adecuados, por ejemplo, para predecir las eta- pas de una avenida. Sin embargo, en estudios deta- llados como los cálculo de velocidades erosivas en las orillas de los ríos, o alrededor de espigones, los modelos unidimensionales son insuficientes. De nuevo, los sistemas curvilíneos ajustados a las fronteras son ideales para este tipo de problemas. Con ellos se pueden manejar problemas tales como ríos con islas o estructuras como las pilas de un puente. La ilustración muestra mallas generadas para dife- rentes secciones transversales a lo largo de un río (Demuren, 1993). Modelación de la superficie libre en agua subterrá- nea. La superficie libre ubicada en problemas de agua subterránea donde se presentan recargas lo-

Extendiendo esta idea, en el caso de dominios de forma arbitraria, se establecen sistemas coordenados curvilíneos de manera que las líneas coordenadas coincidan con las fronteras del área de solución.

Además de la transformación del dominio físico, es necesario también transformar las EDP que describen el flujo y sus respectivas condiciones de frontera (esto se discutirá en detalle en un artículo subsecuente). Las EDP transformadas se resuelven en el plano computacional. En los casos más simples el área de solución resulta un rectángulo; por ejemplo en el caso del anillo de la ilustración en el plano Dado que todos los cálculos se realizan en una malla regular, se pueden usar con gran ventaja diferencias finitas o volumen fini- to. Además, en los sistemas transformados, la posición de los puntos se puede cambiar fácilmente de acuer- do a las necesidades de la solución física. La distribu- ción de los puntos en la malla se puede usar para mini- mizar errores numéricos o, por ejemplo, para seguir la propagación de una onda de choque u otro fenómeno. Aún más, con estos sistemas es posible considerar problemas con geometrías dependientes del tiempo.

Coordenadas ajustadas a las fronteras

En esta sección se presentan las relaciones de trans- formación de coordenadas cartesianas a coordenadas curvilíneas generalizadas. El desarrollo en detalle se observa en Thompson et al 985).

Coordenadas curvilíneas generales

Sean (x, y, z) las coordenadas cartesianas de un punto Estas se pueden expresar en función de las coor-

denadas en cualquier sistema coordenado, en la forma

calizadas (e.g., por irrigación, por una inundación, o por filtraciones de un lago) en la zona saturada en un acuífero no confinado puede tener variaciones lo- cales muy importantes. Este es un problema de una frontera moviéndose libremente en el que la condi- ción de frontera es no lineal. La solución numérica requiere un tratamiento especial (generalmente un método iterativo) para obtener la posición de la superficie libre. En este caso se pueden utilizar coordenadas curvilíneas para simular el desarrollo de la superficie libre. La principal ventaja de estos sistemas coordenados es que los puntos de la malla si- guen a la superficie libre. La ilustración (Tsay et al 1994) ilustra el comportamiento de la superficie cuando se tiene una tasa de recarga alta.

Idea básica

Dado que el uso de coordenadas curvilíneas en hi- dráulica computacional es relativamente nuevo, se presenta una breve introducción antes de abordar el tema formalmente.

Los sistemas coordenados que se ajustan a las fronteras se generan por una transformación de coordenadas. Si, por ejemplo, se desea resolver la ecuación de Laplace en un zona anular, la opción lógica sería usar coordenadas polares. En este caso no se consideraría Óptimo el aproximar el área de solución con rectángu- los o triángulos. Otro ejemplo sería el cálculo en una esfera donde sería natural emplear coordenadas esfé- ricas. Estos sistemas coordenados tienen en común que las líneas coordenadas se conforman a las fronteras del dominio de solución. Por ejemplo, la zona for- mada por un anillo, delimitada por < y el ángu- lo azimutal O ( se transforma en un rectángulo en coordenadas polares con ejes r y ilustración Excepto en r = O, la transformación (mapeo) de un dominio a otro es uno a uno.

Por cada punto del espacio pasan tres superficies (x, y, z) = cte = 3) llamadas superficies coordenadas. Las Iíneas coordenadas corresponden a las in- tersecciones de dichas superficies, en las que por su- puesto varía solamente una de las coordenadas ilustración

Vectores base

Considérese una línea coordenada a lo largo de la cual varía solo la coordenada ilustración El vector tan- gente a la línea coordenada está dada por

La ilustración ilustra los dos tipos de vectores base. Los vectores base contravariantes pueden expresarse en términos de los vectores base covariantes como

Cuando las coordenadas aparecen como subíndice indican derivación parcial. A los vectores tangentes a las tres líneas coordenadas se les llama vectores base covariantes del sistema curvilíneo

donde los índices i, j y k son cíclicos (es decir se puede tener las siguientes combinaciones: j , k ) , i, j ) y k, i ) ; J es el jacobiano de la transformación y que es igual a

donde las tres coordenadas curvilíneas se representan por y el subíndice i indica el vector base correspondiente a la coordenada

El vector normal a una superficie coordenada, en la cual la coordenada es constante, está dado por A ilustración Estos vectores normales a las tres superficies coordenadas son los tres vectores base contravariantes del sistema coordenado curvilíneo

Cualquier función vectorial puede expresarse en tér- minos de cualquiera de los vectores base como

o también

donde las cantidades = y A , = a , son, res- pectivamente, los componentes contravariantes y covariantes, del vector

Elementos diferenciales

Un incremento de longitud de arco, sobre una línea coordenada en la cual varía está dado por

Un incremento de área en una superficie coordenada en que es constante está dada por

donde i, j , k son cíclicos

Un incremento de volumen está dado por

Operadores de derivadas

Las expresiones para los operadores de derivadas tales como el gradiente, la divergencia, el rotacional, el laplaciano, etc., se obtienen aplicando el teorema de la divergencia a un incremento de volumen diferencial limitado por superficies coordenadas, (Thompson et al., 1985). Solamente se presentan las relaciones de transformación bidimensionales.

En lo que sigue se emplea la siguiente notación para las coordenadas:

Los vectores base son:

En el caso bidimensional, el jacobiano de la trans- formación está dado por

Sea una variable f cualquiera con segundas derivadas en x y y continuas. La transformación bidimensional de la primera derivada está dada por

El laplaciano está dado por:

Coordenadas curvilíneas ortogonales

Los sistemas de coordenadas ortogonales producen menos términos adicionales en las ecuaciones diferenciales parciales del problema físico y, por tanto, redu- cen la cantidad de cálculo requerido.

Sean e, y e2 vectores unitarios tangentes en las direcciones de las líneas coordenadas t , respectiva- mente. Las relaciones de transformación de un sistema cartesiano a un sistema curvilíneo ortogonal son:

Gradiente de una variable escalar f

son los componentes del vector.

A los coeficientes que aparecen en las ecuaciones a se les denomina coeficientes métricos y depen-

den de las coordenadas de la malla. Para que no se in- troduzcan errores al emplear los operadores (de gradiente, laplaciano, etc.) los coeficientes métricos deben calcularse con precisión. El tema se discute en el apéndice A.

Generación numérica de la malla

La generación de valores dentro de una región a partir de los valores en las fronteras puede hacerse de varias maneras, como por ejemplo, por interpolación. Sin embargo, también es posible plantear este problema como uno de valores de fronteras de EDP. Si se especifican los puntos a lo largo de toda una frontera cerra- da, el sistema de EDP será de tipo elíptico, mientras que si sólo se especifican en una parte de la frontera, el sistema de EDP será parabólico o hiperbólico.

Sistemas elípticos

Sistemas de Laplace

Estos sistemas son los más simples; se basan en resolver:

Algunos sistemas elípticos exhiben el principio de extremo (máximo o mínimo), que el extremo de la solución no puede ocurrir dentro del dominio. Este principio permite garantizar una transformación uno a uno entre la región física y la transformada, y generar mallas para cualquier configuración sin que líneas de la misma familia coordenada se crucen (lo que no

siempre es posible, si por ejemplo, la malla se obtiene por interpolación). Desafortunadamente, con los sistema elípticos no se puede ejercer control sobre el espaciamiento de las líneas coordenadas. En ausencia de curvatura de la frontera, las líneas coordenadas tienden a estar igualmente espaciadas, pero se unen más sobre fronteras convexas y se espacian más sobre fronteras cóncavas, como se muestra en la ilustración

Sistemas de Poisson

Este sistema elíptico también exhibe el principio del máximo; está dado por la ecuación:

donde Pi P y P = Q) es una función positiva con- tinuamente diferenciable de (x, y) y es una constante entre el valor de frontera máximo y mínimo de t'. Se puede generar un sistema de coordenadas curvilíneas resolviendo los dos problemas de valor de frontera con ecuaciones:

con los valores de las coordenadas especificados en las fronteras. Las funciones P y Q son funciones continuas positivas diferenciables en el dominio R y sus fronteras; las constantes y son los valores míni- mos en las fronteras de (x, y) y (x, y), respectiva- mente.

La diferencia que se tiene en las soluciones si se emplean los sistemas (7) u (8) es el siguiente: supón- gase funciones armónicas con el mismo valor de frontera. Dado que O y O, las soluciones y del problema de valores de frontera son subarmónicas en R. Debido a la propiedad básica de las funciones subarmónicas se tienen las desigualda- des y en la región R. De modo que rem-

plazar = por = P (E, E,,) causa que las Ií- neas coordenadas E, = constante en el plano físico se muevan en la dirección de las manecillas del reloj. Remplazando = O por = Q causa que las líneas coordenadas = constante se acerquen a la frontera.

En ciertos problemas podría ser deseable usar = P (E , E , , ) o = Q donde E, , y son los valores máximos de y en la frontera. Estas ecuaciones producen el efecto opuesto al descrito anterior- mente, como puede verse en la ilustración

Es posible hacer que P y Q sean dependientes de alguna variable, como la vorticidad, o el gradiente, de modo que las líneas coordenadas se concentren auto- máticamente en regiones de altos gradientes en el campo de flujo.

Desde el punto de vista cornputacional es más có- modo y eficiente generar el sistema de coordenadas trabajando en el sistema coordenado E,, (en vez de en la región física); la frontera de la región transformada consiste de segmentos verticales y horizontales. En la región transformada, las coordenadas curvilíneas,

son las variables independientes, y las coordenadas cartesianas, x, , las variables dependientes.

La ecuación se transforma al sistema coordenado E, mediante la ecuación de donde se obtiene el siguiente sistema de generación bidimensional con dos funciones de control

se puede interpretar físicamente como la distancia entre dos líneas coordenadas consecutivas de E, = constantes y la distancia entre dos líneas de

= constante. En las fronteras del plano transformado, los valores

de x y y se conocen de puntos que se especificaron a Io largo de la frontera de la malla en el plano físico. Una vez que se obtienen x y y e n el interior del plano transformado, se tiene la correspondiente localización de los valores de E, y en el plano físico.

La solución iterativa es como sigue:

Se suponen valores de las funciones de control en la frontera.

(2) Se resuelve la ecuación para generar los puntos de ta malla en el interior de la región y la los puntos en las orillas.

(3 ) Se calculan y usando los valores del paso

(4) Se evalúan las funciones de control en las fronteras usando las ecuaciones y Las funciones de control en el interior de la región se obtienen por interpolación a partir de los valores en las fronteras. Los pasos (2) a (4) se repiten hasta lograr con- vergencia.

Sistemas ortogonales

La ecuación para la generación de coordenadas pla- nas ortogonales es (Thompson et al, 1985):

Determinación iterativa

La ecuación representa un sistema de generación elíptico que permite, ya sea, la localización de los puntos en la frontera, o la especificación de la pendiente de la línea coordenada en la frontera, pero no ambas. Sin embargo, es posible iterativamente ajustar las funciones de control hasta lograr no solamente una pendiente deseada, sino también la localización de los puntos en las fronteras.

La ventaja de especificar la pendiente de las líneas coordenadas en la frontera permite generar mallas con ortogonalidad en dicha frontera. Esta característica es importante además en mallas segmentadas pues se pueden ensamblar con continuidad de pendiente.

Debido a la ortogonalidad en las fronteras, la ecua- ción se puede expresar como

Multiplicando la ecuación por y y usando la condición de ortogonalidad = O), se obtienen las dos ecuaciones siguientes para las funciones de control en la frontera

donde

Sistemas hiperbólicos

Con base en las propiedades de las ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico, se genera una malla avanzando en la dirección de una coordenada curvilínea entre dos curvas de frontera y a partir de una línea que se ajusta a una frontera inferior en la región física; se considera que la localización de la frontera exterior puede no ser de gran importancia. En general, con los sistemas hiperbólicos se obtienen mallas con mucho menos tiempo de cómputo que con los elípti- cos. Además, tienen la propiedad de que la malla es ortogonal.

El sistema de ecuaciones se forma con la condición de ortogonalidad entre líneas coordenadas

y una ecuación en función del área de la celda

donde S es el área de la celda. Las ecuaciones resultan en:

Este sistema es hiperbólico y se resuelve, sin iterar, avanzando en una dirección coordenada, a partir de una frontera específica. La idea es la misma que se emplea por ejemplo en la solución de las ecuaciones de Saint-Venant para tránsito de avenidas en cauces.

AI escribir las ecuaciones para toda la malla, se forma un sistema de ecuaciones diferenciales parcia-

les no lineales, con datos iniciales (%', y " ) especificados en = O. AI linealizar localmente estas ecuaciones alrededor de un punto O, el sistema de generación se puede escribir en forma de vectorial como (Berezows- ky, 1992)

donde

Este sistema se puede escribir como

La matriz A, es simétrica y por tanto tiene valores característicos reales, es decir el sistema es hiper- bólico, donde equivaldría a una especie de dirección avanzando en el tiempo. AI escribir esta ecuación para cada punto, con condiciones de frontera en ambos extremos de la línea se forma un sistema de ecuaciones diferenciales tridiagonal, el cual se puede resolver muy eficientemente usando el algoritmo de doble barrido (Abbott, 1979).

Una vez que se ha fijado la distribución de los puntos en la línea de la frontera de la malla, = O, la densidad de la malla se controla especificando los ta- maños de las celdas. Berezowsky (1992) genera una malla analíticamente considerando como frontera una línea recta; a partir de esta malla, se escala la distribu- ción de tamaños para el problema con frontera más complejo. Debe tenerse en cuenta que para cierta dis- tribución del tamaño de las celdas, sobre todo si la frontera es cóncava, es posible que la malla resulte muy sesgada; en cambio, en fronteras convexas la malla puede resultar con una densidad muy pobre. De hecho para ciertas configuraciones, el sistema coor-

la ecuación Debido a que la malla elíptica ya descrita no tenía ortogonalidad, principalmente en algunos puntos donde la orilla tiene gran curvatura, se modificó la distribución de estos puntos, hasta llegar a la que se presenta en la ilustración en la que hay bastante ortogonalidad.

Sistemas hiperbólicos

La generación de una malla hiperbólica es un procedimiento línea por línea, por Io que puede realizarse por bloques. En una línea dada, se genera la malla hasta una frontera; luego se reinicia con una nueva condi- ción de frontera, y así sucesivamente. Esto hace de los sistemas hiperbólicos un procedimiento muy flexible.

La aplicación que se presenta se refiere a la gene- ración de una malla alrededor de dos rompeolas para- lelos que se han propuesto para proteger la entrada de una planta termoeléctrica en una región costera (Bere- zowsky, 1992). Se define una zona de km a ambos lados de las escolleras en los que existe información acerca de las mareas. El espaciamiento entre los rompeolas es de m, ambos tienen m de longitud y su pendiente con respecto a las coordenadas X, yes

Para el diseño de la malla se consideró que las características más importantes del flujo eran alrededor de los rompeolas. Se empleó un procedimiento de malla de semi-bloque, ilustración Las primeras cin- co líneas de la malla se obtienen en tres partes:

Se impone en el lado izquierdo una condición de frontera flotante y en la derecha una línea que coincide con el rompeolas izquierdo En la región central las líneas de los rompeolas for- man las fronteras En el lado izquierdo una línea coincide con el rompeolas derecho y en el extremo derecho se impone una condición de frontera flotante

Para las líneas ya fuera de la zona de los rompeolas en dirección se usa la última línea obtenida como

denado se puede traslapar (¡.e. aparecen el equiva- lente a ondas de choque), (Steger, 1989). Este problema se resuelve con artificios numéricos a manera de suavizar la solución y evitar que líneas coordenadas de la misma familia se crucen (Steger et al., y Berezowsky, 1992).

Aplicaciones

A continuación se discuten algunas aplicaciones en mallas curvilíneas

Sistemas elípticos

Se generan mallas para un tramo de km del río Colorado, México, aguas arriba del puente carretero Mexicali-San Luis Río Colorado, (Mejía, 1991). Las orillas de la malla se formaron a partir de información to- pohidráuIica.

Malla elíptica sin funciones de control, ilustración Las líneas a lo largo del río se dividieron en nu- dos y las transversales en nueve. Como puede verse en la ilustración, las líneas coordenadas tienden a estar igualmente espaciadas, sin importar la distri- bución de puntos en la frontera. Esto se debe a la tendencia de suavidad que presentan los operadores de Laplace en ausencia de funciones de control. Se nota que en esta malla no se logra la ortogonalidad. Para generar la malla, aquí se empleó la ecua- ción pero haciendo P y Q iguales a cero. Malla elíptica con funciones de control, ilustración

En las orillas transversales al río se utilizó una distribución exponencial de puntos (es decir, los puntos están más pegados en las orillas que en el centro). Con esta distribución se logra que las líneas coordenadas se acerquen a las márgenes. como puede verse en la ilustración La malla se gene- ró con las ecuaciones a Malla ortogonal, ilustración Se parte de la distri- bución de puntos en las fronteras de la malla elípti- ca sin funciones de control. La malla se genera con

En la solución de las ecuaciones fundamentales hay ciertos errores inherentes al esquema numérico que se emplea para resolverlas, independientemente del sistema cordenado en que se resuelvan. Sin embargo, los coeficientes métricos que aparecen en las ecuaciones transformadas pueden introducir términos espurios. Los coeficientes métricos, que dependen estrictamente de la geometría de la malla, aparecen en los operadores diferenciales (ver ecuaciones (1) a (6)).

Por ejemplo, en dos dimensiones la divergencia del vector A = (A,, A,) sería:

condición inicial; en los extremos de la malla se impone la condición de frontera flotante. Puede verse que la malla es muy ortogonal.

Conclusiones

En el artículo se describen las ideas y propiedades que es una identidad métrica básica como puede básicas de los sistemas coordenados ajustados a las comprobarse derivando término a término. fronteras. Se presentan métodos para la generación Esta expresión se debe satisfacer cuando se reali- numérica de sistemas coordenados curvilíneos, así zan cálculos numéricos en la malla de manera de ase- como las reglas para transformar las EDP de los siste- gurar que la divergencia sea nula en el área en que mas cartesianos a los curvilíneos. Son estos sistemas sea uniforme, y así evitar términos espurios. la solución numérica de un sistema diferencial parcial Para centrar la discusión del cálculo de los coefi- se puede hacer en una malla rectangular sin importar cientes métricos, considérese la expresión conservati- la forma física de las fronteras y el espaciamiento de va para la derivada de una función: las líneas coordenadas en el campo físico. Se ilustra la metodología presentada con algunos ejemplos.

Como parte del desarrollo de un sistema para la mo- delación de flujo a superficie libre, los autores desarro- llaron un código para la generación numérica de ma- Ilas denominado ORTD. Se puede solicitar información a cerca de éste código con cualquiera de los autores.

Apendice A

Identidades y coeficientes métricos

Una vez obtenida la malla que se adapte a las orillas de un dominio físico, las ecuaciones fundamentales se resuelven en el plano transformado, que en general general

resulta ser un rectángulo uniforme con elementos de tamaño = = Sin embargo, las ecuaciones fundamentales deben trasformarse al nuevo sistema coordenado; dicho de una manera sencilla, es necesario rotar y trasladar los operadores (derivadas, gradientes, etc.) de las ecuaciones fundamentales del sistema coordenado (x, y) al

Si el vector es uniforme, se debe cumplir que

Si la función es uniforme

que debe ser nula, independientemente de la geome- tría de la malla. Para una malla como la de la ilustra- ción A l , si se calcula al centro del elemento, se debe satisfacer que ambos miembros de la ecuación

sean iguales, es decir

Si se emplean las siguientes diferencias finitas cen- tradas:

De manera semejante se obtiene que

donde, por ejemplo

las derivadas de la ecuación serían:

Por tanto

por Io que no se satisface la ecuación Conviene resaltar que las dos formulaciones pre-

sentadas son consistentes y con el mismo orden de precisión.

De esta discusión surge la siguiente recomendación (Thompson et al., 1985): los coeficientes métricos nun- ca deben promediarse. Si es necesario, es preferible promediar las coordenadas y entonces calcular los coeficientes métricos con estos valores. Un camino alternativo, que es la opción de los autores de este ar- tículo, es la de generar la malla con el doble de puntos elegidos (los puntos en las orillas dados como datos, y unos obtenidos a la mitad de la distancia). La malla final para el cálculo de la hidrodinámica será la de los puntos enteros pero los coeficientes métricos se obtienen utilizando los puntos intermedios que resulten al generar la malla.

Recibido: junio, Aprobado: enero, que son idénticas y, por tanto satisfacen la identidad

Sin embargo, en lugar de la ecuación pudo haberse empleado la siguiente expresión: Referencias

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Berezowsky, M. Hyperbolic grid generation for surface and subsurface modeling, Numerical Methods in Water Resources

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Mejía G., MA. Generación numérica de mallas y su aplicación en hidráulica, Tesis de Maestría, División de

es decir, el promedio de los coeficientes métricos, y que se obtienen de valores nodales conocídos, como por ejemplo:

Estudios de Posgraduados de la Facultad de Ingeniería, Tsay, T.S.; J. Hoopes; S. Rashad y Y. Majali. Modeling Universidad Nacional Autónoma de México, México. Ground Water Mounding. Proceedings of the

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Abstract

Mejia, M. A. and M. Berezowsky "Numerical Generation of Grids with Curvilinear Coordinates for Free Surface Flow Calculations". Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish). Vol XI. Num. pages September- December;

The use of curvilinear coordinate systems to solve free-surface flow problems is presented. A body-fitted coordinate system is used to accommodate the complex and irregular boundary and bathymetry of natural water courses, and continuously track the movement of the free water surface. With this procedure, the numerical solution of the partial differential hydrodynamics equations is obtained on a fixed rectangular field with a square grid, regardless of the shape of the physical boundaries and of the spacing of the curvilinear coordinate lines in the physical field. After a general description of curvilinear systems, the transformation rules from one system of coordinates to the other are given. A discussion of the numerical grid generation equations is also included and complemented with examples.

Key words: Curvilinear coordinates, numerical grid generation, three-dimensional flow, computational hydraulics, finite difference

generación numérica de mallas en coordenadas curvilíneas

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