CLCULO EN VARIA VARIABLES

FORMACIN POR COMPETENCIAS

Longitud de arco

Integrales de lnea

Objetivos

Calcular la longitud de arco de una curva.

Definir y calcular la integral de lnea de campos

escalares.

Definir y calcular la integral de lnea de campos

vectoriales.

Aplicar las integrales de lnea a diferentes

problemas de contexto real.

Integral de lnea de

campos escalares

Definicin

Sea una funcin continua definida en una regin que contiene a una curva . Si est dada por = (1(); 2()), donde entonces la integral de lnea de f, a lo largo de , es:

;

= () ()

Si est dada por = (1 ; 2 ; 3 ) , donde entonces:

; ;

= () ()

Observacin

= ()

= = Longitud de arco de

Ejemplo 1

Evale + 2 , donde es la curva representada por

= ;4

33/2;

2

2, 0 2

Solucin

= (1; 21

2; ), entonces = 1 + 4 + 2

;

= ( + 2) 1 + 4 + 22

0

( + 2)

=1

313 13 1 15,29

Aplicaciones

La masa de un cable de longitud y densidad ; ; , es

= ; ;

Ejemplo. Calcule la masa de un alambre con densidad lineal

; ; =

2+ , definido por las ecuaciones:

=

=2

2

desde el punto (0;0;0) hasta el punto (1;1; 2

2).

donde es el cable de longitud .

Aplicaciones

Sea : 2 , una funcin continua sobre el conjunto abierto D que contiene a la curva , tal que (; ) 0. El rea de la superficie lateral de la regin comprendida entre la

superficie = (; ) y la curva ,es dada por:

= ;

= () ()

Ejemplo

Solucin

Miguel pintar una cerca de un parque por ambos lados. La

cerca tiene como base la curva : 2/3 + 2/3 = (40)2/3, con 0, 0 y la altura, para cada punto (; ) , est dada

por la funcin ; = 4 +

2. Se le proporcionan la pintura y

se le pagar S/.100 por cada 202. Determine el total de dinero que recibir.

Observaciones

1. Suponga que es una curva compuesta por curvas suaves 1, 2, 3,, y es una funcin continua sobre entonces:

Ejemplo

; ;

= (; ; )1

+ (; ; )2

+ + (; ; )

Calcular donde es la curva

suave por partes dada por la figura

adjunta

Solucin

2. ; ;

= (; ; )

Ejercicio

Solucin

Evale las integral de lnea de campos escalares donde es la curva dada:

)

donde : = 2 ; = 2, 0 1.

) 4 , donde es la mitad de la circunferencia 2 + 2 = 16,

para 0.

) + ( ) , donde est formada por los

segmentos que van de 0,0 a 2; 0 y de 2; 0 a (3; 2)

Integral de lnea de

campos vectoriales

Campo vectorial

Un campo vectorial en 3 es una funcin que asigna a cada punto (; ; ) en D 3 un vector tridimensional ; ; , es decir

:D 3 3

Ejemplos:

Un campo vectorial en 2 es una funcin que asigna a cada punto (; ) en 2 un vector bidimensional ; , es decir

: D 2 2

; = 3 ; + 2

; ; = 2; 2; 2

Integral de lnea de campos vectoriales

Sea un campo vectorial continuo definido en una curva suave dada por una funcin vectorial = (1(); 2()), donde . La integral de F a lo largo de , est dada por:

.

= () . ()

Si es dada por = (1 ; 2 ; 3 ), donde . Entonces:

= () . ()

Ejemplo

Calcule la integral de lnea del campo vectorial dado por

; ; = ( 2; 2; 2) a lo largo de la curva = (; 2; 3) desde (0;0;0) hasta (1;1,1).

= (0; 3 4; 6)

= (1; 2; 32)

() . ()1

0

=29

60

Solucin:

() . = 24 25 + 33 38

Aplicaciones de la integral

de lnea de campos

vectoriales

Trabajo realizado por una fuerza

El trabajo realizado por el campo de fuerza (; ; ) sobre una partcula que se mueve a lo largo de una curva , es

= .

= () . ()

Ejemplo Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza

; ; = 1

2;

1

2;

1

4 sobre una partcula que se mueve

a lo largo de una curva : = (cos ; ; ), desde el punto (1;0;0) hasta el punto (-1;0;3)

Solucin

Ejercicios

Solucin

1) Evale la integral de lnea del campo vectorial dado:

a) ; = (; 32) donde = 114; 3 , 0 1.

b) ; = (2 2; 2 2) a lo largo de la parbola = 2 desde el punto (2; 4) hasta el punto (1; 1).

c) ; =

1+2+2;

1+2+2 sobre el cuarto de elipse

2

2+

2

2= 1 situado en el primer cuadrante.

Ejercicios

Solucin

2) Se aplica una fuerza ; = ( + ; ) sobre una partcula para trasladarla desde el punto (0;3) hasta el punto (2; 0) en sentido

antihorario a lo largo de la elipse 2

4+

2

9= 1

a) Determine una curva paramtrica que represente el recorrido de la

partcula, indicando dominio del parmetro.

b) Grafique la curva obtenida en la parte (a) indicando el sentido del

movimiento.

c) Modele el trabajo realizado por la fuerza F para trasladar la partcula

segn se ha enunciado en el problema, usando la parametrizacin del tem (a)

d) Calcule el trabajo realizado por la fuerza F usando el modelo dado en (c)

Integral de lnea en forma diferencial

Si = + es un campo vectorial continuo definido en una curva suave dada por una funcin vectorial = 1() + 2() , la integral de F a lo largo de , tambin se expresa como:

.

= +

Si = + + es un campo vectorial continuo definido en una curva

suave dada por una funcin vectorial = 1() + 2() + 3 , la integral de F a lo largo de , tambin se expresa como:

.

= + +

Bibliografa

[1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010) Clculo Esencial

1 ed. Mxico: Cengage Learning

[2] Stewart, J. (2010) Clculo de varias variables conceptos y

contextos. 4 ed. Mxico. Cengage Learning

[3] Anton, H. (2009) Clculo Multivariable. 2 ed. Mxico: Limusa

Wiley.

[4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Clculo con trascendentes

tempranas. 7 ed. Mxico: Pearson Educacin.

[5] Thomas, G. (2006) Clculo varias variables. 11 ed. Mxico:

Pearson