d�r (t) = dx (t) i+ dy (t) j + dz (t) k

�r (t) = x (t) i+ y (t) j + z (t) k

Las integrales que incluyen vectores de desplazamiento diferencial d se llaman integrales de línea. Consideremos las siguientes integrales de línea a lo largo de una curva C que puede ser cerrada o abierta.

�r

Z

C

�d⇥r ;

Z

C

⇥f · d⇥r ;

Z

C

⇥f � d⇥r

Integrales de LíneaSabemos que una curva cerrada C paramétrica para a ≤ t ≤b (en donde t es el parámetro), se representa por:

�rDonde es el vector de posición. El vector de desplazamiento diferencial d a lo largo de C es:

�r

La primera integral indica movimiento a lo largo de una curva C. La integral del producto punto entre la función vectorial y el desplazamiento diferencial vectorial d representa la circulación de alrededor de C, y la tercera integral representa la torca total ejercida por .

�f �r�f �f

1

Z

C

�d⇥r =

Z

C

�x3y + 2y

� ⇣dxi+ dyj + dzk

⌘

haciendo x = t ) dx = dt ; y = x

2 ) dy = 2xdx ; dy = 2tdt

Z

C

�d⇥r =

Z

C

�t5 + 2t2

� ⇣dti+ 2tdtj

⌘=

Z

C

�t5 + 2t2

� ⇣i+ 2tj

⌘dt

Z

C

�d⇥r =

2Z

1

�t5 + 2t2

�idt+

2Z

1

�2t6 + 4t3

�jdt

Z

C

�d⇥r =

✓t6

6+

2t3

3

◆i+

✓2t7

7+ t4

◆j

����2

1

=91

6i+

359

7j

Z

C

�d⇥r � = x3y + 2yProblema 4.81 pag. 129 Hwei P. Hsu.- Calcular para

De (1,1,0) a (2,4,0) a lo largo de: a) la parábola y = x2 ; z = 0 b) La recta que une (1,1,0) y(2,4,0).

Solución: a) la integral nos queda como:

Así para el desplazamiento sobre la parábola, que no está en forma paramétrica, elegimos a una de las variables para reducir la integral de dos variables a una sola.

2

m =4� 1

2� 1= 3 ) y � 1 = 3 (x� 1) ) y = 3x� 2

Z

C

�d⇥r =

Z

C

⇥t3 (3t� 2) + 2 (3t� 2)

⇤ ⇣dti+ 3dtj

⌘

Z

C

�d⇥r =

2Z

1

�3t4 � 2t3 + 6t� 4

�dti+ 3

2Z

1

�3t4 � 2t3 + 6t� 4

�jdt

A =

2Z

1

�3t4 � 2t3 + 6t� 4

�dt =

3t5

5� t4

2+ 3t2 � 4t

����2

1

=161

10

Z

C

�d⇥r =161

10i+ 3

✓161

10

◆j =

161

10i+

483

10j

b) Para hallar la integral a lo largo de la recta que va de (1,1,0) a (2,4,0) lo primero que hay que hacer es construir la ecuación con los puntos dados, así:

Si utilizamos un parámetro x = t dx = dt ; además dy = 3dt 1 ≤ t ≤ 2

3

�!f = 3

�2t2

�i+

⇥2�2t2

� �4t2 � t

�� t

⇤j +

�4t2 � t

�k

�!f = 6t2i+

�16t4 � 4t3 � t

�j +

�4t2 � t

�k

d�r = dxi+ dyj + dzk

�⇥f · d�r =

�24t3 + 16t4 � 4t3 � t+ 32t3 � 12t2 + t

�dt

�⇥f · d�r =

�16t4 + 52t3 � 12t2

�dt

�⇥f ·d�r =

h6t2i+

�16t4 � 4t3 � t

�j +

�4t2 � t

�ki·h(4tdt) i+ dtj + (8t� 1) dtk

i

d�r = (4tdt) i+ dtj + (8t� 1) dtk

Z

C

�⇥f · d�r

�!f = 3xi+ (2xz � y) j + zk

Problema 4.84 pag. 129 Hwei P. Hsu.- Calcular para la función vectorial

desde (0,0,0) hasta (2,1,3) a lo largo de: a) la curva de

x = 2t2 ; y = t ; z = 4t2-t ; donde 0≤ t ≤ 1 b) La recta que une (0,0,0) y (2,1,3).

Solución.- a) Sustituyendo las expresiones de x, y, z como función del parámetro t, queda la función vectorial como:

El diferencial total del vector de posición es:

En términos de t es:

Realizando el producto se tiene: �⇥f · d�r

4

Z

C

�⇥f · d�r =

1Z

0

�16t4 + 52t3 � 12t2

�dt

⇤Z

C

�⇥f · d�r =

61

5

�r =���!Po

P2 = (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j + (z2 � z1) k = 2i+ j + 3kx� x1

x2 � x1=

y � y1

y2 � y1=

z � z1

z2 � z1) x = 2y ; z = 3y

dy = dt ; dx = 2dt ; dz = 3dt

�!f = 6ti+

�12t2 � t

�j + 3tk

�⇥f · d�r =

h6ti+

�12t2 � t

�j + 3tk

i·h⇣

2i+ j + 3k⌘dti

Z

C

�⇥f · d�r =

1Z

0

�20t+ 12t2

�dt = 10t2 + 4t3

��10= 14

d�r =⇣2i+ j + 3k

⌘dt

Integrando en los límites del parámetro

b) Para poder hacer la integral a través de la recta que une los puntos (0,0,0) y (2,1,3) es necesario primero hallar la ecuación de esta recta que une los puntos. Para esto tracemos el vector entre estos puntos:

Así, la ecuación de la recta es:

Fijemos el parámetro en y = t, ya que va de 0 a 1

El diferencial del vector de posición es:

y la función vectorial es:

El producto punto es:

Y la integral es:5

Z

C

�!f · d~r =

16t5

5+ 13t4 � 4t3

����1

0

x = t ) dx = dt

; y =1

3t3 ) dy = t2dt ) d�r =

⇣i+ t2j

⌘dt

�!f = 1

3 t3i+ tj

)�!f ⇥ d�r =

⇣13 t

5k � tk⌘dt

Z

C

�!f ⇥ d�r =

3Z

0

⇣13 t

5k � tk⌘dt =

�118 t

6 � 12 t

2���3

0k

Z

C

�!f ⇥ d�r =

✓81

2� 9

2

◆k = 36k

�!f ⇥ d�r =

h13 t

3i+ tji⇥h⇣

i+ t2j⌘dti

Z

C

�!f ⇥ d�r

�!f = yi+ xj

y = 13x

3 ; z = 0.

Problema 4.85 pag. 129 Hwei P. Hsu.- Calcular para la función vectorial

desde (0,0,0) hasta (3,9,0) a lo largo de la curva:

Solución.- tomando a x para establecer al parámetro

y la función vectorial es:

el producto cruz entre el diferencial del vector de posición y la función vectorial es:

Así, la integral de este producto cruz es:

Evaluando en los límites se tiene:

6

7

Solución.- Sabemos que el vector de aceleración se puede ver como la derivada del vector de velocidad respecto del tiempo, por lo que:

)tZ

t=0

he�ti� 6 (t+ 1) j + 3 sin tk

idt =

~vZ

~vo

d~v

~v|~v0 =

�e�t

ˆi� 6

✓t2

2

+ t

◆ˆj � 3 cos tˆk

�t

0

~v =

h�1� e�t

�ˆi�

�3t2 + 6t

�ˆj + 3 (1� cos t) ˆk

i

~a =d~v

dt)

Z~adt =

Zd~v

~v =d~r

dt)

Zd~r =

Z~vdt ) ~r|~r0 =

tZ

0

h�1� e�t

�ˆi�

�3t2 + 6t

�ˆj + 3 (1� cos t) ˆk

idt

~r =h�t+ e�t

�i�

�t3 + 3t2

�j + 3 (t� sin t) k

it0

~r =h�t+ e�t � 1

�i�

�t3 + 3t2

�j + 3 (t� sin t) k

i

Problema 32 pag. 102 Murray R. Spiegel.- La aceleración de una partícula en función del tiempo (t ≥ 0) viene dada por Sabiendo que la velocidad y el desplazamiento son nulos en el instante inicial t = 0 , hallar en función del tiempo (funciones de velocidad y posición).

�a = e�ti� 6 (t+ 1) j + 3 sin tk.�v �r �v y �r

) ~v =

�e�t

ˆi� 6

✓t2

2

+ t

◆ˆj � 3 cos tˆk

��⇣�ˆi� 3

ˆk⌘

~v =

�1� e�t

�ˆi� 6

✓t2

2

+ t

◆ˆj + (3� 3 cos t) ˆk

�

I

C

�F · d�r =

Z

L1

�F1 · d�r1 +Z

L2

�F2 · d�r2 +Z

L3

�F3 · d�r3

Para el tramo de la primera linea , cualquier punto definido sobre dicha línea está dado por el vector , ya que no existe variación en y. Por lo tanto el parámetro es x = t,

L1

�r = xi d�r = dti

�F1 =�2x+ y2

�i+ (3y � 4x) j = (2t+ 0) i+ (0� 4t) j

�F1 · d�r1 =⇣2ti� 4tj

⌘·⇣dti

⌘= 2tdt

Z

L1

�F1 · d�r1 =

2Z

0

2tdt = t2��20= 4

�F2 =�2x+ y2

�i+ (3y � 4x) j =

�4 + t2

�i+ (3t� 8) j

Problema 43 pag. 103 Murray R. Spiegel.- Siendo , hallar la circulación de alrededor del triángulo C mostrado en la figura de abajo, haciendo el recorrido (a) en el sentido indicado, (b) en el sentido contrario al indicado.

�F =�2x+ y2

�i+ (3y � 4x) j

�F

(0,0) (2,0)

(2,1)

1

23

Solución.- Sabemos que la circulación de una función se define para la figura mostrada como:

La función parametrizada es:

El producto punto es:

La primera integral es:

L2

�r = 2i+ yj d�r = dtjPara el tramo de la segunda linea , cualquier punto definido sobre dicha línea está dado por el vector , ya que no existe variación en x. Por lo tanto el parámetro es y = t,

La función parametrizada es: 8

�F2 · d�r2 =h�4 + t2

�i+ (3t� 8) j

i·⇣dtj

⌘= (3t� 8) dt

L3Para el tramo de la tercera linea , cualquier punto definido sobre dicha línea está dado por el vector .�r = xi+ yj

y � y1

y2 � y1=

x� x1

x2 � x1) y � 0

1� 0=

x� 0

2� 0) x = 2y

d�r = 2dti+ dtj

�F3 =�4t+ t2

�i+ (3t� 8t) j

�F3·d�r3 =h�4t+ t2

�i+ (�5t) j

i·⇣2i+ j

⌘dt =

�8t+ 2t2 � 5t

�dt =

�3t+ 2t2

�dt

Z

L3

�F3 · d�r3 =

0Z

1

�3t+ 2t2

�dt =

✓3

2t2 +

2

3t3◆����

0

1

= 0�✓3

2+

2

3

◆= �13

6

Z

L2

�F2 · d�r2 =

1Z

0

(3t� 8) dt =

✓3

2t2 � 8t

◆����1

0

= �13

2

El producto punto es:

La segunda integral es:

La función de la recta que va de (0,0) a (2,1) es:

tomando a y como parámetro se tiene:

La función parametrizada es:

El producto punto es:

La tercera integral es:

I

C

�F · d�r = 4� 13

2� 13

6= �14

3

Z

�L1

�F1 · d�r1 =

0Z

2

2tdt = t2��02= �4

Z

�L2

�F2 · d�r2 =

0Z

1

(3t� 8) dt =

✓3

2t2 � 8t

◆����0

1

=13

2

Z

�L3

�F3 · d�r3 =

1Z

0

�3t+ 2t2

�dt =

✓3

2t2 +

2

3t3◆����

1

0

=

✓3

2+

2

3

◆� 0 =

13

6

I

�C

�F · d�r = �4 +13

2+

13

6=

14

3

I

�C

�F · d�r =

Z

�L1

�F1 · d�r1 +Z

�L2

�F2 · d�r2 +Z

�L3

�F3 · d�r3

finalmente la circulación es:

(b) Para hallar la circulación en el sentido contrario al indicado, haremos las mismas integrales, pero los límites de estas cambiarán al sentido contrario, lo cual lo representaremos de la como sigue:

Las integrales son:

finalmente la circulación en el sentido contrario es:

10

I

C

�A · d�r =

Z

y

2=x

�A1 · d�r1 +Z

y=x

2

�A2 · d�r2

Z

y

2=x

�A1 · d�r1

�A1 =�t2 � t

�i+

�t2 + t

�j ⇥ �A1·d�r1 =

h�t2 � t

�i+

�t2 + t

�ji·⇣2ti+ j

⌘dt

�A1 · d�r1 =⇥�2t3 � 2t2

�+

�t2 + t

�⇤dt ⇥ �A1 · d�r1 =

�2t3 � t2 + t

�dt

Z

y

2=x

�A1 · d�r1 =

0Z

1

�2t3 � t2 + t

�dt ⇥

Z

y

2=x

�A1 · d�r1 =

✓t4

2� t3

3+

t2

2

◆����0

1

Z

y

2=x

�A1 · d�r1 = 0�✓1

2� 1

3+

1

2

◆= �2

3

x = t2 ) dx = 2tdt ) d�r1 = 2tdti+ dtj

I

C

�A · d�rProblema 44 pag. 103 Murray R. Spiegel.- Hallar a lo largo de la curva

cerrada C mostrada en la figura de abajo, sabiendo que �A = (x� y) i+ (x+ y) j

y = x

2

x = y

2

(0,0)

(1,1)

La primera integral es:

tomaremos como parámetro a y = t ; dy = dt

11

Z

y=x

2

�A2 · d�r2

y = t2 ) dy = 2tdt ) d�r2 = dti+ 2tdtj

�A2 =�t� t2

�i+

�t+ t2

�j ⇥ �A2·d�r2 =

h�t� t2

�i+

�t+ t2

�ji·⇣i+ 2tj

⌘dt

Z

y=x

2

�A2 · d�r2 =

1Z

0

�2t3 + t2 + t

�dt �

Z

y

2=x

�A2 · d�r2 =

✓t4

2+

t3

3+

t2

2

◆����1

0

�A2 · d�r2 =⇥�t� t2

�+

�2t2 + 2t3

�⇤dt ⇥ �A2 · d�r2 =

�2t3 + t2 + t

�dt

I

C

�A · d�r =4

3� 2

3=

2

3

Z

y=x

2

�A2 · d�r2 =

✓1

2+

1

3+

1

2

◆� 0 =

4

3

La segunda integral es: tomaremos como parámetro a x = t ; dx = dt

el recorrido en ese segmento de parábola es:

finalmente la circulación para los dos segmentos de parábola recorridos en el sentido mostrado en la figura es:

12

13

I

C

~A · d~r

x

2 + y

2 = 4 ) y =p4� x

2x = t ) dx = dt

dy =1

2

�4� t2

�� 12 (�2tdt) = � tdtp

4� t2) d~r = dti� tdtp

4� t2j

~A · d~r =h⇣p

4� t2 � 2t⌘i+

⇣3t+ 2

p4� t2

⌘ji·✓dti� tdtp

4� t2j

◆

~A · d~r =⇣p

4� t2 � 2t⌘dt�

�3t+ 2

p4� t2

�tdt

p4� t2

) cos� =

t

2

) t = 2 cos�

dt = �2 sin�d�

I

C

~A · d~r =

2⇡Z

0

2

4⇣p

4� 4cos

2�� 4 cos�⌘�

⇣6 cos�+ 2

p4� 4cos

2�⌘2 cos�

p4� 4cos

2�

3

5(�2 sin�d�)

Problema 45 pag. 103 Murray R. Spiegel.- Siendo , hallar la circulación de alrededor de la circunferencia C del plano xy con centro en el origen y radio 2, sabiendo que C se recorre en sentido positivo.

�A = (y � 2x) i+ (3x+ 2y) j�A

Solución.- Sabemos que la circulación es: para este problema se tiene que C es:

así, si escogiendo a x como parámetro

el producto punto está dado por:

realizando dicho producto punto obtenemos:

Para integrar esta expresión, proponemos un triángulo auxiliar

p4� t2

ϕ

2

t

14

I

C

~A · d~r =

2⇡Z

0

(2 sin�� 4 cos�)� (6 cos�+ 4 sin�) 2 cos�

2 sin�

�(�2 sin�d�)

I

C

~A · d~r =

2⇡Z

0

⇥��4sin

2�+ 8 sin� cos��+

�12cos

2�+ 8 sin� cos��⇤d�

I

C

~A · d~r =

2⇡Z

0

⇥�4sin

2�+ 16 sin� cos�+ 12

�1� sin

2��⇤d�

~r = r cos�ˆi+ r sin�ˆj~A = (r sin�� 2r cos�)ˆi+ (3r cos�+ 2r sin�) ˆj

d~r =

⇣�r sin�ˆi+ r cos�ˆj

⌘d�

~A ·d~r =

h(2 sin�� 4 cos�)ˆi+ (6 cos�+ 4 sin�) ˆj

i·⇣�2 sin�ˆi+ 2 cos�ˆj

⌘d�

~A · d~r =

⇥��4sin

2�+ 8 sin� cos��+

�12cos

2�+ 8 sin� cos��⇤

d�

I

C

~A · d~r =

2⇡Z

0

�12� 16sin

2�+ 16 sin� cos��d� = 8⇡

Si utilizamos coordenadas polares en lugar del triángulo auxiliar, tenemos:

dado que r = 2 nos queda:

I

C

~A · d~r =

2⇡Z

0

�12� 16sin

2�+ 16 sin� cos��d� = 8⇡