La integral de Riemann y sus aplicaciones Integral de Riemann

Calculo de reas y longitudes de arco

Volmenes por integracinVolmenes por seccionesCuerpos de revolucin

Integrales impropiasDe primera especieDe segunda especie

La integral de RiemannDefinicin 1 sea f(x) una funcin continua y acotada en [a,b], convalores reales. Consideremos los puntos que surgen al dividir en n trozos el intervalo [a, b] y quedenominaremos particin del intervalo. Eljanse n puntos de forma arbitraria. Se dice que la funcin f(x) es integrable Riemannen [a,b], o simplemente integrable, si existe, y es un nmero real, ellmite siguiente

Donde . En el caso de que f(x) sea integrable en[a,b], se llama integral de f(x) entre a y b a dicho lmite, y se denota

Cundo podemos asegurar que existela integral en un intervalo [a, b]?.

Si f(x) es continua en un intervalo [a, b], entonces existe la integralSi f(x) slo tiene discontinuidades, en nmero finito, de salto finito y evitables en un intervalo [a, b], entonces existe la integral.

Proposicin 1 Propiedades de la integral definida

Nota 2: Teniendo en cuenta las propiedades anteriores, dada una f(x)integrable y el intervalo [a,b] se define

Proposicin 2 (Teorema de la media)

Proposicin 5 (Cambio de variable), supongamos que x= g(t) conderivada continua en [c,d] y con g(c)= a y g(d)= b, entonces para unafuncin continua en [a,b] tenemos que

Definicin 2 sea f(x) una funcin integrable en el intervalo ,llamaremos valor promedio de la funcin en dicho intervalo a

2.Calculo de superficies y longitudes de arcoDefinicin 3 Superficies entre una f(x)>0 y el eje OX en [a b] (rea bajo la curva dada por y=f(x) en el intervalo [a,b]):

Superficies entre una f(x)

Ejemplo 8: Obtn el rea encerrada entre la curvay=cos2x y el eje OX en [0 ]

Ejemplo 7: Calcula el reasombreada, teniendo encuenta que las curvastienen como ecuaciones ,

en [0, 2]

Proposicin 6 Clculo de superficies comprendidas entre dos funciones

Ejemplo 9: Averigua el rea encerradaentre las parbolas y= 6x-x2 e y= x2-2x

Ejemplo 10: Halla la superficie comprendida entre el ejeOY y la parbola x= 9-y2

Podemos considerar a la variable y como variableindependiente, entonces nos quedara la siguiente grfica

Longitudes de arcos Sea y= f(x), con una curva en el plano XY. Elobjetivo es hallar la longitud del arco de curva comprendidaentre

Seccin 9.2 Problema 1

Seccin 9.2 problema 7

Problema 8

Problema 6

3.Volumen de solidosVolmenes por seccionesPara calcular el volumen de un solido cuyas seccionestransversales perpendiculares a un eje son identicasbastara con hallar la superficie de una de esassecciones y multiplicarla por la distancia del eje.Ejemplo 12: Determina la capacidad de una piscina de8 x 6 metros que inicialmente tieneuna profundidad de 1m y acaba con 15 metros

En un cuerpo cuyas secciones transversales sonperpendiculares al eje 0X,y tiene reas variables respectoal eje (A(x)), se tiene que:

Ejemplo 13: La planta de un invernadero coincide con la curvax2+2y2 = 1. Si las secciones transversales sontringulos equilteros, cuyo lado coincide con una cuerdade la curva de la planta. Hallar el volumen del invernadero.

3.2 Cuerpos de revolucinUn cuerpo o slido de revolucin es aquel que se obtiene al hacer giraruna regin plana alrededor de un eje. Ejemplos de dichos slidospueden ser unas pesas de mano, un tonel, una bola de billar, etc.Distinguiremos dos casos:Primer caso: discos.Considrese el slido generado al girar alrededor del eje OX el reabajo la curva y=f(x) entre x= a y x =b.

Segundo caso: arandelasCuando el rea de la regin que da una vuelta completa notoca o no cruza el eje de rotacin, el slido obtenido tendrun agujero y las secciones transversales sern arandelasen vez de discos. Considrese la regin plana limitadasuperiormente por y= f(x), inferiormente por y=g(x) entrex=a y x=b de la figura siguiente:

Ejemplo 15: Halla el volumen delslido formado por unaesfera de radio 4, a la que sesuprime en el centro lainterseccin con un cilindro deradio 2.

Proposicin 7 (Superficie de un cuerpo de revolucin): Dado un cuerpo de revolucin generado por la curva y= f(x) al girar alrededor del eje OX en [a b], podemos aproximar su superficie, mediante la superficie lateral de un tronco como (Superficie del tronco cono= (R+r)g ) , dando lugar a la frmula