CALCULO DE AREAS DE FIGURAS

PLANAS

Y EL VOLUMEN REVOLUCION

1.1 LA FUNCIÓN F(X) ES POSITIVA EN [A, B]

b,aen0)x(f

Área del recinto = b

a

dx)x(f

1 Área del recinto donde interviene una función

El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos

recta verticales x =a y x = b.

y=x2

y=x4-2x3+2

Área =

2

4

2

4

2

32 u

3

56

3

8

3

64

3

xdxx

Área =

2

1

2

2

1

4534 u

10

51x2

2

x

5

xdx)2x2x(

EJEMPLOS

1. Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2, el eje OX, la recta x = 2 y la recta x = 4.

2. Hallar el área de la región R limitada por la curva y = x4 – 2x3 + 2 entre

x = -1 y x = 2.

1.2 LA FUNCIÓN F(X) ES NEGATIVA EN [A, B]

Área del recinto = - b

a

dx)x(f

Ejemplo:

Área = 2

2

2

2

2

32 u

3

16

3

8

3

8

3

xdx)x(

y = -x2

Hallar el área del recinto determinado por la parábola de ecuación y = -x2, el eje OX y las rectas

x = -2 y x = 2

El recinto será el limitado por la función f(x), el eje OX y dos

recta verticales x =a y x = b.

1.3 LA FUNCIÓN TOMA VALORES

POSITIVOS Y NEGATIVOS

Área (R) = b

e

e

d

d

c

c

adx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f

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Ejemplo:

1. Hallar el área delimitada por la gráfica de y = cos x y el eje OX en el intervalo [0 , 2]

2

2

3 2

y=cosx

Área (R) = 2u4dxxcosdxxcosdxxcos 2

3

2

2

2

3

2

0

Ejemplo:

2. Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje OX.

Área (R) = 24

2232

023 u8dx)x8x6x(dx)x8x6x(

y = x3 – 6x2 + 8x

Ejemplo:

1. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x2 e y = 2x – 3 entre x = 2 y x = 4

Área (R) = 24

22 u

3

38dx)]3x2(x[

y = x2

y = 2x – 3

2.2 Las dos funciones se cortan en [a, b]

Área (R) = b

c

c

adx)]x(g)x(f[dx)]x(f)x(g[

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VOLÚMENES

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se

obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por

la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este

tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de

producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: cilindro, cono, esfera, etc.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje

de giro paralelo al eje OX o al eje OY .

Se demuestra que el volumen del cuerpo engendrado por una función y = f(x) definida en un intervalo x = [a, b] al girar en torno del eje OX se calcula con la formula:

b 2

Volumen = . ∫ f(x) dx

a

MÉTODO DEL DISCO

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

Diferencial de volumen

∆xi

f(xi)

iii xxfV 2

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y

f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al

girar alrededor del eje X la región limitada por la

curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

TEOREMA

EJEMPLO_1

b

Volumen = . ∫ f 2 (x) dx

a Hallar el volumen que engendra

la función y = 2 al girar alrededor del eje OX entre

x = - 2 y x = 2

2 2

V = π . ∫ 22 dx = π. [ 4x ] =

-2 -2

π. [8 - (- 8 )] = π. 16 = 16. π u3

MÉTODO DEL ANILLO

Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b] y las rectas x = a y x = b.

Diferencial de volumen

f(xi) g(xi)

xi

i22

i x))]x(g[)]x(f[(V

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que

f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del

sólido generado al rotar alrededor del eje X la región

limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:

dxxgxf

xxgxfV

b

a

n

i

iiiP

))]([)]([(

))]([)]([(lim

22

1

22

0)(

TEOREMA