integrales mÚltiples

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Integrales Múltiples Prof: Víctor Henríquez Rojas

INTEGRALES DOBLES Introducción: Anteriormente, se discutió el problema de hallar una función de una variable,cuya derivada era conocida ( concepto de integral ). Podemos ahora considerar el problema de hallar unafunción de varias variables, una de cuyas derivadas parciales es conocida.

Ejemplo 1: Hallar si

Solución: Como es constante al determinar esta derivada parcial, también debemos considerar

como una constante en la integración, luego

obtendriamos el mismo resultado si por lo tanto escribiremos

Integrando nuevamente con respesto a , mientras permanece constante se obtiene

En general, si se dan las condiciones iniciales es posible determinar las funciones

Ejemplo 2: Hallar si con las condiciones:

i)

ii)

Solución:

implica que para todos los valores de cuando la

notación implica que para todos los valores de cuando . Si

conservamos como constante e integramos con respecto a , obtenemos:

y como

luego en consecuencia

Integrando ahora con respecto a obtendremos

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y como

luego y finalmente obtenemos

Observación: Las dos integraciones parciales efectuadas en el ejemplo pueden indicarse por medio dela notación

y generalizando esta notación escribiremos

esta notación se emplea para representar el resultado de integrar primero con respecto a la variable ( dejando como constante ) entre los límites y después con respecto a la variable entre los límites

Ejemplo 3:

Hallar el valor de la integral doble

Solución:

=(

luego, finalmente

Teorema de Fubini: Si es continua en el rectángulo , entonces

Ejemplo 1:

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Evalúe la integral doble donde

Solución: Aplicamos el teorema de Fubini

Si invertimos el orden de integración obtenemos

Ejemplo 2:

Evalúe la integral doble donde

Solución: Aplicamos el teorema de Fubini

Si invertimos el orden de integración obtenemos

Integrando por partes se obtiene

luego

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luego

Integrando la primera de ellas por partes tenemos:

sean

luego

luego

Ejercicios propuestos:

1) Hallar en cada uno de los ejercicios siguientes:

2) Hallar , con las condiciones iniciales dadas en cada uno de los ejercicios siguientes:

3) Hallar el valor de las siguientes integrales dobles:

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3) Use el teorema de Fubinni para calcular las integrales dobles, elija la más adecuada en cada caso:

) ( donde

donde

donde

donde

( donde

donde

donde

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CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN

Dibuje la región cuya área viene dada por la integral iterada, cambie el orden de integración yverifique que se obtiene los mismos resultados de la integración:

Los dominios de definición son:

Esto queda representado en la figura

1

21 y21 y

x

y

Al invertir el orden de integración la figura resulta

-1 1

21 x

Los dominios de definición son:

luego la integral resulta

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Dibuje la región cuya área viene dada por la integral iterada, cambie el orden de integración yverifique que se obtiene los mismos resultados de la integración:

COLOCACIÓN DE LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN Se distinguen dos formas principales:

La región de integración de la figura está limitada a la izquierda y derecha por lasi) rectas mientras que por arriba y por abajo, lo está por las curvas continuas:

cada una de las cuales se corta con la vertical en un solo punto, como se muestra en la figura.

S

1y

2y)(1 xy

)(2 xy

AB

C

D

1x 2x3x X

Y

En la región , varía desde hasta , mientras que la variable cuando permanece

constante, varía desde hasta . Luego, la integral se puede resolver reduciendola a una integral de la forma:

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donde, al calcular , se considera como una constante.

En forma análoga al caso anterior, se tieneii)

donde, al calcular , se considera como una constante.

1y

2y

3y S

)(1 yx

)(2 yx

A

B

C

D

1x

2x

X

Y

Observación:

Si la región de integración no pertenece a ninguna de las formas anteriormenteexaminadas, se procura dividirlo en partes, de manera que cada una de ellas corresponda a alguna deellas.

Ejemplo: Determinar los límites de integración de la integral doble si la región , está limitadapor la hipérbola y por las rectas

21 xy

21 xy

2 3 X

Y

Solución:

La región está limitada por las rectas , y por las ramas de la hipérbola

luego

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Ejemplo:

Calcular los límites de integración del trapecio cuyos vértices son los puntos

Solución:

OA

BC1

1 2 X

Y

La recta que une los puntos es y la que une los puntos C y B es por tanto se tiene

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APLICACIONES

I) Área en coordenadas rectangulares

PQ

R

S

xa b X

Y

y

Dividamos el área comprendida entre dos curvas , en zonas de ancho Sea el punto y el punto El área del rectángulo es . El área del rectángulo es

El área limitada por las abscisas es pues

lim

Si resulta más sencillo dividir el área en zonas paralelas al eje de las el área es

siendo los límites de la primera integración los valores de en los extremos de una

zona variable, y los de la segunda integración son los valores de correspondientes a las zonasextremas.

Ejemplo: Hallar el área de la región limitada por la recta y la parábola

xy

3 x

y

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Hallar, usando integrales dobles, el área de la región que en cada caso se indica:

a) El rectángulo cuyos vértices son los puntos

0 1 2 X

Y

A

B1

C

D

El triángulo cuyos vértices son

0 1 X

Y

A

B ( 1,1 )1

El trapecio cuyos vértices son los puntos 1

0 1 2 X

Y

A

B1 C

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El paralelógramo cuyos vértices son los puntos

0 X

Y

A1

5

7

B

C

D

2

Limitada por las curvas en el intervalo -2,0

1

-1

2

-2 x

y

Limitada por las curvas

Limitada por las curvas

Limitada por la parábola y la recta

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Las curvas se cortan en los puntos luego el área está dada por

CAMBIO DE VARIABLE CASO GENERAL

Un cambio de variables en general está dado por una transformación del plano al plano , donde están relacionadas a por las ecuaciones

Definición:

El jacobiano de la transformación dada por ; es

Ejemplo de cálculo de jacobiano

Hallar si

Ejercicios propuestos

Hallar el jacobiano para el cambio de variable propuesto:

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Ejercicio:

Usar el cambio de variable propuesto para calcular la integral doble

Si es el cuadrado con vértices en los puntos

El objetivo es expresar la integral como

La región en el plano está representada por

x

y

1 xy

1 xy

1 xy

1 xy

Los dominios son

cálculo de los nuevos límites de integración

Luego la región acotada por la función es

u

v

1-1

1

-1

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Los dominios son

Luego la integral con el cambio propuesto resulta

En los siguientes ejercicios usar el cambio de variables propuesto para calcular la integral doble:

en la región de vértices en los puntos

en la región del primer

cuadrante comprendida entre las gráficas de

II) Área en coordenadas polares

Si la región está determinada por dos curvas en coordenadas polares y , en donde son funciones continuas en y sea continua en , entonces el área de la región encerrada está dada por la

fórmula

en donde los límites de integración se ubican dependiendo de la ubicación de las curvas

Observación:Recuerde que

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Ejemplo :

Calcular

, donde es la región del primer cuadrante al interior de la

circunferencia y al exterior de la circunferencia

0

2

2 43

r

Ejemplo 2: Hallar el área encerrada por la gráfica de ( rosa de tres hojas )

36

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Solución:

Límites de integración:


Calcular el área comprendida por:

a) La cardioide

b) La rosa de cuatro hojas

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c) Calcule el área de la región que está dentro de la cardioide y fuera de la circunferencia

d) Calcule el área encerrada por una hoja de la rosa

IV) CAMBIO DE INTEGRALES CARTESIANAS A INTEGRALES POLARES.

Para cambiar una integral en coordenadas cartesianas a coordenadas polares haremoslas sustituciones:

Luego se cambian los límites de integración segun la frontera de la región.

Ejemplo 1: Cambie la integral cartesiana por una polar equivalente y luego evalúe la in tegral polar

La variable varia entre luego

de modo que

Pág 19


La variable varia entre de modo que el problema consiste en hallar el área de una circunferencia de radio

a

a

- a

- a

222 ayx

r

La nueva variable varia entre pero como la figura es simétrica calcularemos el doble de la variación entre y a

Para determinar la variación de la nueva variable analizamos:

y como entonces

Si Si

luego

Evaluación de la integral:

Observación: Dada la simetría de la figura, el cálculo tanbién se puede hacer

0

Ejemplo 2 : Cambie la integral cartesiana por una polar equivalente y luego evalúe la in tegral polar

0

La variable varia entre luego

de modo que

La variable varia entre de modo que el problema consiste en hallar el área de

de circunferencia de radio correspondiente al primer cuadrante

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1

1

- 1

- 1

122 yx

r

La nueva variable varia entre

Para determinar la variación de la nueva variable analizamos:

y como entonces

Si Si

luego 0

Ejemplo 3 : Cambie la integral cartesiana por una polar equivalente y luego evalúe la in tegral polar

1

1

- 1

- 1

r

21 x

0 luego

Pág 21



Cambie la integral cartesiana por una polar equivalente y luego evalúe la in tegral polar.

III) Determinación de volúmenes por integrales dobles.

X

Y

Z

)(xfy

A

B

a b

P

Q

)(xFy

Vamos a hallar el volumen de un cuerpo limitado por una superficie , el plano y el paralelepipedo cuya base es una región determinada del plano El volumen del prisma que tiene por base el elemento de área es

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Por consiguiente, el volumen de la placa es

lim

siendo los valores de en los puntos El volumen total es el límite de la

suma de las placas semejantes

lim

, en que son los

valores de correspondientes a las placas extremas.

Ejemplos:

1) Hallar el volumen limitado por la superficie y el plano

X

Y

Z

S

Ro

En la figura se muestra una cuarta parte del volumen que se busca. En , En , y por lo tanto

Los valores extremos en el eje son , mientras en el eje son y por tanto

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2) Determine el volumen de la región acotada por arriba por el paraboloide , y

abajo por el triángulo encerrado por las rectas

y = x

y = 2 - x

x

y

z

Solución:

El volumen pedido está determinado por

3) Determine el volumen del sólido en el primer octante acotado por los planos coordenados, el plano y el cilíndro parabólico

23

x

y

z

Solución:

El volumen está dado por

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Hallar, usando integrales dobles, el volumen del sólido que en cada caso se indica:

) acotado por la superficie , los planos

y los tres planos coordenados.

X

Y

Z

23

Está sobre el plano , acotado por el paraboloide elíptico y el

cilíndro

X

z

y

Está sobre el plano , acotado por el paraboloide elíptico

X

z

y

4

Pág 25


Está sobre el plano , acotado por el paraboloide de revolución y la

superficie cilíndrica

222 yxz

xyx 422

x

y

z

Pág 26


INTEGRALES TRIPLES1) EN COORDENADAS RECTANGULARES

Si es una función definida en una región cerrada y acotada en el espacio, como la región que ocupa una bola sólida o un puñado de arcilla, entonces la integral de sobre puede definirse de la manera siguiente. Partimos una región en forma de caja rectangular quecontiene a en celdas rectangulares mediante planos paralelos a los ejes coordenados ( ver figura ).Numeramos las celdas que están dentro de de 1 hasta en algun orden, donde la ésima celda tiene dimensiones por por y un volumen en cada celda

D

x

y

z

.),,( kkk zyx

kz

kxky

Formemos la suma

Al límite cuando le llamaremos integral triple de en y la escribiremos

lim

Propiedades de las integrales triples:

donde

Si la región corresponde a un volumen, entonces

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Teorema de Fubini para integrales triples:

Sea una función continua en una región entonces

Ejemplo 1:

Hallar

en que está determinado por

entonces

Ejemplo 2: Considere la siguiente integral:

Donde es la región acotada por los planos y la superficie

a) Represente gráficamente la región. b) Calcule la Integral.

Solución: a) Representación gráfica:

x

y

z

22 yxz

2

2

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b) Cálculo de la integral:

Dominios de definición:

luego la integral resulta

luego

Solución

luego resulta

Solución

luego resulta

Pág 29


finalmente


1) Evalúe las siguientes integrales triples:

CALCULO DE VOLUMEN CON INTEGRALES TRIPLES EN COORD. CARTESIANAS

Observación:

Cuando planteamos una integral triple para un cálculo de volumen es conveniente trazar dos diagramas: uno de la región sólida y uno de su proyección sobre el plano

Definimos la integral triple sobre una región acotada , en donde

y es la proyección de sobre

el plano

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x

y

z

E

),(1 yxu

),(2 yxu

D

a

b )(2 xgy

)(1 xgy

luego la integral triple del volumen es

Ejemplos:1) Hallar el volumen del tetraedro del primer octante acotado por los planos coordenados y el plano que pasa por los puntos

La ecuación del plano por tres puntos

luego el plano está dado por

o bien

la recta en el plano pasa por los puntos

luego su ecuación es

)0,2,0(

)0,0,1(

)3,0,0(

x

y

z

x

y

1

222 xy

Región sólida Proyección sobre el plano

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luego 0 1 0

Hallar el volumen de la región del primer octante acotada por los planos coordenados y la superficie

xy

z

Si ec. de una parábola en el plano

Si en el primer octante

luego 0 0

Hallar el volumen de la región del primer octante acotada por los planos y el cilindro

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x

y

z

422 zy

23

2 yx

62 xy2

6

0


Usando integrales triples determine el volumen de:

La región indicada en la figura

z

)0,1,1(

)0,1,1(

-1

1

2xy

plano 1 zy

xy

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El siguiente dominio de integración

2yz

)0,1,1(

1

)1,1,1(

1,1,0(

x

y

z

La región entre el cilindro y el plano que está acotada por los planos

xy

z

La región del primer octante acotada por los planos

x

y

z

La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y el cilindro

x

y

z

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INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICASRecuerdo:

Las coordenadas rectangulares y las coordenadas cilíndricas de un punto del espacio están ligadas por las relaciones

de donde

xy

z

r

.P= ( x,y,z )

X

Y

Z

Ejemplo 1:

Hallar las coordenadas rectangulares de los puntos dados en coordenadas cilíndricas

º,

luego corresponde aº

º

º,

º

º

luego corresponde a Ejemplo 2:

Hallar las coordenadas cilíndricas de los puntos dados en coordenadas rectangulares:

º

luego corresponde a º

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Ejemplo 3:

Transformar de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas:

luego la representación en coordenadas cilíndricas es

luego la representación en coordenadas cilíndricas es

Ejemplo 4:

Transformar de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares:

luego la representación en coordenadas rectangulares es

Ejemplo :

Demuestre que la ecuación dada en coordenadas cilíndricas corresponde a una superficie cilíndrica.

directriz de la superficie es una circunferencia de radio y centro corresponde a una superficie cilíndrica.

CAMBIO DE VARIABLES GENERAL EN UNA INTEGRAL TRIPLE

El cambio de variable en una integral triple, de coordenadas cartesianas a coordenadascilíndricas y a esféricas es un caso particular de la transformación de coordenadas en el espacio.

Supongamos que las funciones

representan biunívocamente el dominio en las coordenadas cartesianas en un dominio

en las coordenadas curvilineas Supongamos que el dominio elemental o elemento de volumen ( variación de volumen ) de se transforma en el elemento del dominio de y que

lim

Entonces:

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Como en el caso de la integral doble, también aquí se llama de la transformación jacobianoen que

Ejemplo de cálculo de jacobiano

Hallar si


Hallar el jacobiano para el cambio de variable propuesto:

Así, cuando se trata de coordenadas cilíndricas, tenemos:

luego

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CAMBIO DE VARIABLE A COORDENADAS CILÍNDRICAS. ¿ Cómo hacer la conversión ?

Supongamos que es una región cuya proyección sobre el plano , está descrita en coordenadas polares

x

y

z

E

),(1 yxuz

),(2 yxuz

D

a

b )(2 hr

)(1 hr

Así entonces la conversion de la integral resulta

Ejemplos:

1) Exprese y evalue la integral en coordenadas cilíndricas

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La superficie es

x

y

122 yx

-1 1r

Podemos observar que para cubrir todos los puntos de la superficie y

Luego la integral en coordenadas cilíndricas resulta

r r r 0 0 r

2 1 r

2) Evaluar la integral en coordenadas cilíndricas


Evaluar las integrales en coordenadas cilíndricas

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En los siguientes ejercicios use coordenadas cilíndricas para calcular la integral:

, donde es el sólido acotado por el cilindro y los planos

de ecuaciones

donde es el sólido acotado por el paraboloide y

el plano

, donde es el sólido acotado por los cilindros

sobre el plano y bajo el plano

donde es el sólido acotado por los planos y el cilíndro en el semiespacio

, donde es el sólido acotado por el cilindro sobre el plano

y bajo el cono

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CAMBIO DE VARIABLE A COORDENADAS ESFÉRICAS.

Teorema:

Las coordenadas rectangulares y las coordenadas esféricas de un punto en el espacio, están ligadas por las relaciones:

despejando se obtiene

.A

B

C

X

Y

Z

xyz

r

sP= ( x,y,z )

L

Ejemplo:

La ecuación rectangular de una superficie es Expresar su ecuación en

coordenadas esféricas.

Solución:

Las ecuaciones de transformación son , luego reemplazando se obtiene:

expresión que representa la superficie en coordenadas esféricas.

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más simple

luego la superficie es

esto es

Para el cambio de cooredenadas es imprescindible calcular el jacobiano de la transformación.

En el caso de las coordenadas esféricas, en que

Así, cuando se trata de coordenadas esféricas, tenemos:

luego

Ejemplo:

Exprese en coordenadas esféricas la integral:

debemos expresar la integral como

En la integral cartesiana los dominios estan dados por:

0

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En el plano se tiene

x

y

329 y

observamos que el ángulo tiene dominio

observemos ahora la variable

corresponde a un cono eliptico

corresponde a una esfera

luego la superficie resulta

x

y

z

222 yxz

18222 zyx

)3,3,0(

3

La intersección del cono con la esfera se produce cuando

y como

esto nos muestra que el dominio del ángulo es además como la esfera

tiene radio esto nos indica que el dominio de es

finalmente podemos escribir el volumen en coordenadas esféricas

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En los siguientes ejercicios use coordenadas esféricas para calcular la integral

donde es el sólido que está encima del cono = bajo la

esfera

Solución:

La figura es

x

y

z

)cos(2

3

2

Dominio de definición de las variables:

0

Luego

donde es la bola unitaria de ecuación

donde es el sólido sobre el plano bajo la esfera de

ecuación

) donde es el sólido encerrado entre las esferas de ecuaciones

en el primer octante.

Pág 44


donde es el sólido bajo el cono de ecuación y encima

de la esfera de ecuación

donde es el sólido encerrado por las esferas y sobre el cono

donde es el sólido acotado por el cilindro sobre

el plano y bajo el cono

integrales mÚltiples

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