1.la geometría del espacio euclidiano 2.funciones vectoriales 3.diferenciación 4.integrales...
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1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
1. La geometría del espacio euclidiano
1.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales
1.2 Vectores
1.3 Operaciones elementales de los vectores
1.4 El producto escalar
1.5 El producto vectorial
1.6 Las ecuaciones de las líneas y de los planos
1.7 Superficies cilíndricas y superficies cuadráticas
Son los números que usamos
para contar
y para ordenar.
1,2,3,...N=
Son los números naturales,
unidos a los negativos de
los números naturales
y el cero.
..., 3, 2, 1,0,1,2,3,... Z=
Son aquellos que se pueden expresar
como el cociente de dos números
enteros , con el denominador
distinto de 0.
, y 0
ab
b
aa b b
b
Q= Z
Los números reales es el conjunto de todos los números:
los positivos, los negativos y el cero.
- Los números reales incluyen a todos los enteros.
- Los números reales incluyen a todos los números racionales,
es decir, aquellos que se pueden poner como el cociente de
dos números enteros.
- También incluyen a los números irracionales, como , 2,
que no pueden ser escrito
ecomo el cociente de dos números
enteros
22 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
Suponemos que 2 donde
y están reducidos a su mínima
expresión (no tiene factores comunes).
2 2 2
es par es par 2
4 4 2 2
es par es par
es par y es par
¡¡
p
q
p q
p pp q
q q
p p p r
p r r q q r
q q
p q
¡Contradicción!!!
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden:
Terminar
Repetirse indefinidamente
Continuar para siempre
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden terminar.
Ejemplos:
-5
20.4
53
0.754
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden repetirse
indefinidamente
Ejemplos:
10.333333333333...
30.2121212121212121...
Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal.
Los números decimales pueden continuar para siempre.
Ejemplos:
=3.1415926535897932384626433832795028841
971693993751058209749445923078
16406286208
998628034825342117068...
2.7182818284590452353602874713526624977
57247093699959574966967627724076630353547
594571382178525166427...
2=1.414213562373095048801688724209698078
5696718753769480731
e
76679737990732478462107
038850387534327641573...
Ley de tricotomía
Para cualesquiera dos elementos y en una y
solamente una de las siguientes relaciones se verifica:
, ,
Ley transitiva
Si y , entonces
Si , entonces, para todo
a b R
a b a b a b
a b b c a c
a b c
,
Si y 0 , entonces
R a c b c
a b c ac bc
R
El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud” de un número, independientemente de su signo.Si tenemos un número real x su valor absoluto se escribe │x│.
• El valor absoluto de 7 es 7• El valor absoluto de –π es π• El valor absoluto de -3 es 3
El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valor absoluto, 20
Si es un número real distinto de cero, entonces
o o es positivo.
Aquél de los dos que es positivo es llamado
valor absoluto de .
El valor absoluto de un número real ,
denotado por , se define por
a
a a
a
a
a
la regla
si 0
y
si 0
a a a
a a a
En la recta real, el valor absoluto de un número es su distancia al 0 (al origen)
0x
Valor absoluto
Intervalo abierto ,
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
,
Nota: El intervalo abierto no incluye "los extremos",
de ahí su nombre
a b
x
a x b
a b x R a x b
a b
Intervalo cerrado ,
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
,
Nota: El intervalo cerrado incluye "los extremos",
de ahí su nombre
a b
x
a x b
a b x R a x b
a b
Intervalo abierto-cerrado ( , ]
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
( , ]
Nota: El intervalo cerrado no incluye el extremo
izquierdo y sí incluye el derecho
a b
x
a x b
a b x R a x b
a b
Intervalo abierto-cerrado [ , )
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
[ , )
Nota: El intervalo cerrado incluye el extremo
izquierdo y no incluye el derecho
a b
x
a x b
a b x R a x b
a b
,
[ , )
,
( , ]
,
a x R x a
a x R x a
a x R x a
a x R x a
x R
Denotaremos como
ˆˆ ˆ, ,
los vectores unitarios a lo largo de los ejes
, ,
Así un punto estará representado por el
vector
ˆˆ ˆ
i j k
X Y Z
P
r xi yj zk
X
Y
Z
i
j
k
ˆ ˆLos vectores 0
ˆˆbase cartesianos 0
ˆ ˆson ortogonales entre si 0
ˆ ˆLos vectores 1
base
i j
j k
k i
i i
ˆ ˆ cartesianos 1
ˆ ˆson unitarios 1
j j
k k
Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "der
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
h ":
ˆ
ec a
i k
k
k i
j i
j
j
X
Y
Z
i
j
k
Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "derecha"
Trivialmente se cumple también,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0
:
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
i j k
j k i
i i j j k k
k i j
X
Y
Z
i
j
k
x
y
z
, ,P x y z
ˆˆ ˆr xi yj zk
r
1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y a a i a j a k b b i b j b k
1 1 2 2 3 3ˆˆ ˆ1) a b a b i a b j a b k
1 1 2 2 3 32) a b a b a b a b
2 2 21 2 33) a a a a
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y
4)
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
a a i a j a k b b i b j b k
i j k
a b a a a
b b b
a b a b i a b a b j a b a b k
cos , sin
0 , 0 2
x r
y
x r y r
r
2 2 , =arctan
0 , 0 2
r x
y
yr x y
x
r
cos 0
sin 0 2
x
y
z z z
cos sin
0 0 2
x
y
z z
x y z z
z
r
sin cos sin sin cos
0 0 0 2
x r
y
z
x r y r z r
r
En este curso un
ESCALAR
será cualquier número real
En este curso un ESCALAR será cualquier número real
Ejemplos de cantidades escalares:• La temperatura• La corriente eléctrica• La presión• El volumen• La cantidad de carga• La masa• La energía
1 2 3
Es un conjunto ordenado de cantidades:
, ,
Los vectores son los elementos del
espacio euclidiano n
n
a a a
R
1 2 3
En este curso usaremos la definición más limitada
Es un conjunto ordenado de cantidades:
, ,
Son
y tradicional de un "objeto" que posee
magnitu
los elementos d
d, dirección y se
e
do
nti
n
n
a a a
R
A los vectores los representaremos por
flechas en el espacio.
Pensaremos en el vector como la flecha misma
1 2 3
-La posición de un objeto en movimiento
-Una fuerza
-El momento angular
-El campo electromagnético
Un vector es una cantidad que tienemagnitud, dirección y sentido.Es un ente con 3 componentes:
, ,a a a
El valor absoluto o magnitud de un
vector es su longitud, su tamaño.
Si el vector es , su magnitud se
representa como
ó
A
A A
Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1
es unitario si 1
A los vectores unitarios los denotaremos
con un acento circunflejo ó "gorrito":
ˆ
a a
a
Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0
es cero si 0
Lo denotaremos como 0
a a
a
b
a b
a
b
a b
1) Es conmutativa:
2) Es asociativa:
Así que podemos poner
a b b a
a b c a b c
a b c
Se define
donde tiene la misma magnitud que ,
y la misma dirección, pero sentido inverso.
a b a b
b b
a
b
a b
a
b
a b
a b
El producto del escalar por el vector es
Es un vector cuya longitud es ,
tiene la misma dirección que ,
y el sentido es el de si >0
y el inverso que si 0
a
a
a
a
a
a
a a
Si llamamos al ángulo que hacen
los vectores y ,
se define el producto escalar
(interno ó punto) como
cos cos
a b
a b a b ab
a
b
Lo podemos ver como
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
cos cos
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a b a b b a
a
b
a
cos cosp
p aa
p
1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
a a b b
b a
2 2
1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene
a a b b
b a
a b a a a a
2 2
1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene
3) El producto escalar es conmutativo
a a b b
b a
a b a a a a
a b b a
2 2
1) Si 1, entonces cos que es la
proyección de en la dirección de
2) Si entonces =0 cos 1 y se tiene
3) El producto escalar es conmutativo
4) El producto
a a b b
b a
a b a a a a
a b b a
escalar es distributivo respecto a la suma
a b c a b a c
Si el producto escalar, cos ,
de dos vectores es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales),
es decir, 90 / 2 ó
Si dos vecto
3 / 2
r
70
a b a b
es son ortogonales, entonces su
producto escalar es cero
a b
a b
sina b a b
Si llamamos al ángulo que hacen los vectores
y ,
se define el producto vectorial o cruz, de la siguiente manera:
a b
1) sina b a b
2) Su dirección es perpendicular al plano formado
por los vectores y a b
3) El sentido del vector está definido por el avance
de un tornillo que va de a (por la regla de la
mano derecha)
a b
a b
a b
sina b a b
a b
a b
sin es el área
de este paralelogramo
a b a b
1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:
2) El producto vectorial es distributivo respecto
a la suma
3) Para todo vector 0
a b c a b a c
a a
a b b a
Si el producto vectorial de dos vectores
sin
es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son paralelos
es de
Si dos vectores son paralelos, entonce
cir, 0 0 ó 18
s su
0
a b a b
producto vectorial es cero
x 1 , y 1x 2 , y 2
X
Y 2 11 1
2 1
( )y y
y y x xx x
Es el ángulo que la recta hace con la parte positiva del eje X
X
Y
m ta n
Es el ángulo que la recta hace con la parte positiva del eje X
X
Y
m ta n
x1 , y1
X
Y
y y 1 m x x 1m ta n
X
Y
y m x b
m ta n
b
0
donde
, y son números reales.
ax by c
a b c
4 3 2 1 1 2
2
1
1
2
3
2 3 4 0x y
0P ta t
RL
0
Las ecuación
se llama ecuación vectorial
de la recta.
P P ta
0P ta t
RL
0 1, 1,1 2, 1, 2P a
0
1, 1,1 2, 1, 2
P ta t
t t
R
R
L
L
Ecuaciones paramétricas:
1 2
1
1 2
x t
y t
z t
0 1, 1,1 2, 1, 2
1, 1,1 2, 1, 2
P a
t t
RL
1, 1,1 2, 1, 2t t RL
De la segunda despejamos ,
1
y sustituimos en las otras dos
1 2 1 1 2
1 2 1 3 2
t
t y
x y y
z y y
1 2 1 1 2x t y t z t
2 1 0
2 3 0
x y
y z
1 2 1 1 2
1 2 3 2
x t y t z t
x y z y
0
Las ecuación
se llama ecuación vectorial
de la recta.
P P ta
0P P ta
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, , , , ( , , )
; ;
; ;
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z x y z t a a a
x x ta y y ta z z ta
x x y y z zt t t
a a a
x x y y z z
a a a
0 0 00
x y z
x x y y z zP P ta
a a a
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
;
;
0 ; 0
x y x z
y y x x z z x x
y x y x z x z x
x x y y x x z z
a a a a
a x a x a y a y a x a x a z a z
a x a y a x a y a x a z a x a z
0
0 0 0
0 0 0 00 ; 0
x y z
y x y x z x z x
P P ta
x x y y z z
a a a
a x a y a x a y a x a z a x a z
0
El plano está definido por la
ecuación vectorial
ˆ 0n P P ��������������
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
Como
ˆˆ ˆ
y si
ˆˆ ˆˆ
tenemos
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
donde
P P x x i y y j z z k
n Ai Bj Ck
n P P Ai Bj Ck x x i y y j z z k
A x x B y y C z z
Ax By Cz D
D Ax By Cz
��������������
��������������
La ecuación del plano es
Toda ecuación de estas es
un plano
Ax By Cz D
0
La ecuación
se llama ecuación vectorial
del plano.
P P ua vb
0P P ua vb
0 0 0 1 2 3 1 2 3
0 1 1
0 2 2
0 3 3
, , , , , , , ,x y z x y z s a a a t b b b
x x ua vb
y y ua vb
z z ua vb
0
Consideremos el plano
,
Cualquier vector no nulo ortogonal
a ambos, y , es un vector
normal a .
P ua vb u v
a b
RP=
P
0Consideremos el plano ,
Cualquier vector no nulo ortogonal a ambos,
y , es un vector normal a .
P ua vb u v
a b
RP=
P
Por lo tanto, es un vector normal,
o simplemente una normal, al plano .
Además, toda normal a es paralela
a .
a b
a b
P.
P
0
0
0
ˆSi es una normal al plano
,
entonces
ˆ 0
y es el único plano que pasa
ˆpor con normal .
n
P ua vb u v
P n P P
P n
RP=
P=
P
0 0
0
ˆPara todo vector distinto de cero
ˆy todo punto , 0,
es una ecuación vectorial de un plano
ˆque pasa por y que tiene a
como normal.
n
P n P P
P n
Toda ecuación vectorial
ˆ
ˆcon 0
es la ecuación de un plano,
ˆque tiene a como normal.
n P d
n
n
ˆ ˆToda ecuación vectorial con 0 es la
ˆecuación de un plano, que tiene a como normal.
n P d n
n
ˆSea , , 0 y , , , entonces
ˆ
se escribe como
n a b c P x y z
n P d
ax by cz d
El conjunto
, ,
ˆes un plano con normal , , , y
se llama ecuación del plano .
x y z ax by cz d
n a b c
ax by cz d
P
P
Encontrar la ecuación del plano
que es perpendicular a la linea
3 5, 7 2 , 8
y que pasa por el punto
(1, 1,2)
x t y t z t
Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular a la linea
3 5, 7 2 , 8
y que pasa por el punto (1, 1,2)
x t y t z t
50
51 0
1 5
X
50
5
Y
0
2
4
6
8
Z
Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular a la linea
3 5, 7 2 , 8 y que pasa por el punto (1, 1,2)x t y t z t
3 5, 7 2 , 8
5,7,8 3, 2, 1
Así que el vector normal al
plano es
ˆ 3, 2, 1
x t y t z t
x t
n
Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular a la linea
3 5, 7 2 , 8 y que pasa por el punto (1, 1,2)x t y t z t
La ecuación es
3, 2, 1 ( , , ) (1, 1,2)
3, 2, 1 ( 1, 1, 2
3 3
)
2 0
x y z
x y z
x y z
ˆ 3, 2, 1n
3 2 3x y z
