UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA MATEMATICA II

UNIDAD II INTEGRALES IMPROPIAS

Hasta ahora hemos estudiado integrales definidas sobre un intervalo cerrado [a, b] En este tema estudiaremos integrales de funciones continuas sobre intervalos semiabiertos ]a, b], [a, b[, sobre un intervalo abierto ]a, b[, sobre los intervalos [a , +∞[ , ]−∞

, b], ]−∞,+∞[ y sobre un intervalo [a, b] en el que tiene puntos de discontinuidad . Dichas integrales se conocen con el nombre de INTEGRALES IMPROPÌASEjemplos de integrales impropias

1. ∫1

∞dx

x2(x+1)

Es una integral impropia por que el límite superior es tiende al +∞ y la función

integrando f(x) = 1

x2(x+1) es continua en [1, +∞[

2. ∫−∞

∞dx

(x2+1)2

Es una integral impropia por que los limites inferior y superior tienden al −∞ y+∞,

respectivamente y la función integrando f(x) = 1

(x2+1)2 es continua en el intervalo ]

−∞ ,+∞ ¿.

3. ∫a

bxdx

√(x−a)(b−x ) , (a¿b¿

No está definida en x=a y en x=b pero es continua en en el intervalo ]a,b[, a<b.

Definición.- Decimosque la integral ∫a

b

f ( x )dx es IMPROPIA si:

1) “a” o “b” es infinito.2) La función integrando f(x) tiene puntos de discontinudad en “a” o en “b” o en alguna

parte “c” tal que a<c<b.

Si la integral impropia ∫a

b

f (x )dx resulta un numero real, diremos que es

CONVERGENTE

Si la integral impropia ∫a

b

f (x )dx resulta +∞ó−∞, diremos es DIVERGENTE

Solo estudiaremos las integrales impropias de primera clase (tipo I). A continuación se da un resumen de las integrales impropias de las dos clases.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

INTEGRALES IMPROPIAS DE TIPO I

Definición.-

1. Si f(x) es continúa en 0≤x¿+∞, se define: ∫a

∞

f ( x )dx= limb→+∞

∫a

b

f ( x )dx

Ejemplo:

∫0

+∞

e−ax dx = limb→+∞

∫0

b

e−axdx , a > 0

= limb→+∞

¿]b0

= −1a

limb→+∞

¿[e−ab−e0]

= -1a

limb→+∞

¿[1

eab -1]

= −1a [0-1] =

1a

2. Si f(x) es continúa en −∞≤x¿b, se define: ∫−∞

b

f ( x )dx= lima→−∞

∫a

b

f ( x )dx

Ejemplo:

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE

Calcule la convergencia o divergencia de las siguientes integrales del tipo I

1. ∫−∞

1x

(x2+9)2dx Rpta.- 120

2. ∫−∞

+∞dx

x2+2 x+2 Rpta. π

3. ∫1

+∞ √x(1+x)2dx Rpta. π4 + 1

2

4. ∫5

∞dxx ln2 x

Rpta. 0

5. ∫−∞

+∞

e−|x|dx Rpta. 2

6. ∫1

+∞dx

x (x+1) Rpta. ln2

7. ∫1

∞

x e−xdx Rpta. 2e

8. ∫0

∞dxx2+4

Rpta. π4

Tacna, 17 de octubre del 2013 Docente: Ingº Luis Nina Ponce

7. ∫1

∞

x e−xdx