Integrales Dobles

Suma de Riemann

Integrales dobles

Se definirá a la integral de una función f(x,y) de dos variables sobre una región rectangular en el plano x,y.

Se supondrá que f(x,y) está definida en una región rectangular R expresada por:

dycbxaR ,:

Integral doble de f sobre el rectángulo R es

Una forma más general

R

m

i

n

jijij

nmAyxfdAyxf

1 1**

,,lim),(

R

m

i

n

jji

nmAyxfdAyxf

1 1,

,lim),(

Integrales dobles

Por lo que si f es una función continua en R,

R

R

dxdyyxf

dAyxf

,

,,

Si f(x,y) ≥ 0, entonces el volumen V del sólido que está arriba del rectángulo R y debajo de la superficie z = f(x,y) es

R

dAyxfV ),(

Propiedades de la integral doble

),(),(),(),(

0),(0),(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(),(

yxgyxfsidAyxgdAyxf

yxfsidAyxf

dAyxgdAyxfdAyxgyxf

dAyxgdAyxfdAyxgyxf

dAyxfkdAyxkf

RR

R

RRR

RRR

RR

Propiedades de la integral doble

Existe una propiedad aditiva del dominio

21

),(),(),( 21

RRR

dAyxfdAyxfdAyxf

R1 R2

Teorema Fundamental de Cálculo

La evaluación de integrales dobles a partir de los primeros principios es todavía más difícil, las integrales iteradas se pueden volver más sencillas al ser evaluadas al calcular dos integrales individuales.

Integrales dobles iteradas

Suponga que f es una función de dos variables que es integrable en el rectángulo R=[a,b]x[c,d], para evaluarlas primero se utiliza la notación

para decir que x se mantiene fija y f(x,y) se integra con respecto a y, entre los parámetros c y d, este proceso se denomina integración parcial con respecto a y.

dyyxfd

c ,

Integrales dobles iteradas

Ahora es un número que depende del valor de x, de modo que define una función de x.

Si se integra la función A con respecto a x entre los parámetros a y b.

dyyxfd

c ,

dyyxfxAd

c ,

Integrales dobles iteradas

La integral doble del lado derecho se denomina integral iterada.

dxdyyxfxAb

a

d

c

b

a

,

dxdyyxfdydxyxfb

a

d

c

b

a

d

c

,,

Integrales dobles iteradas

Del mismo modo

Significa que primero se integra con respecto a x y se evalúa entre a y b, después se integra con respecto y se evalúa entre c y d.

dydxyxfdxdyyxfd

c

b

a

b

a

d

c

,,

Integrales dobles iteradas

Ejemplo

Evaluar:

dydxyx3

0

2

1

2

dxdyyx2

1

3

0

2

Teorema de Fubini

Este teorema proporciona un método práctico para evaluar una integral doble al expresarla como una integral iterada (en cualquier orden)

Si f es continua en el rectángulo R=[a,b]x[c,d], entonces

d

c

b

a

b

a

d

cR

dxdyyxfdydxyxfdAyxf ),(),(),(

Evalúe la integral doble

donde

R

dAyx )3( 2

21,20, yxyxR

Evalúe la integral doble

donde R = [1,2] x [0,π]

R

dAxyseny )(

Uso de la Integral doble para volúmenes

Encuentre el volumen del sólido S que está acotado por el paraboloide elíptico x2+y2 +z=16, entre los planos x = 2 y y = 2.

Caso especial

Existe un caso especial, donde f (x,y) se puede factorizar sólo como el producto de una función de x y sólo como una función de y, la integral doble de f se puede escribir en una forma particularmente sencilla.

Suponga que f (x,y) = g(x)h(y) y R = [a,b] x [c,d]

Caso especial

Entonces el Teorema de Fubini se expresa,

dydxyhxgdxdyyhxgdAyxfd

c

b

a

b

a

d

cR

)()()()(),(

dydxxgyhdydxyhxgd

c

b

a

d

c

b

a

)()()()(

Caso especial

Entonces el Teorema de Fubini se expresa,

dyyhdxxgdAyxfd

c

b

aR )()(),(

Caso especial

Si se tiene

R = [0,π/2] x [0,π/2]

R

dAyxsen cos