Integrante: Leonardo Ardila

Profesor:

Domingo Mendez

Universidad Fermín Toro Vice Rectorado Académico

Escuela de Ingeniera

Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.

La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (∑), Estos números reciben el nombre de índice inferior e índice superior. El desarrollo de la expresión anterior nos queda:

Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.

Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.

En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.

Integral Definida Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral. La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones:

La integral del producto de un número real por una función es igual al producto de por la integral de dicha función:

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. A grandes rasgos, el Teorema fundamental del Cálculo establece que el Diferencial y la Integral son inversos, el uno del otro. Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y sea la función F definida por :

F(x) = ∫ f(t)dt, para toda x Є[a,b], entonces

F es una antiderivada de f en [a,b], esto es F´(x)= f(x)

x

o

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b], si F es una antiderivada de f en [a,b], entonces:

∫ f(x)dx= F(b) – F(a).

b

a

No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los teoremas de la integración. Existen expresiones (funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su antiderivada.

Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

Se vuelve a la variable inicial: