INTEGRALES

1. INTEGRALES INDEFINIDAS

1.1. Primitiva. Una función F(x) es primitiva de f(x) si F'(x)=f(x). Se denota:

.

Ejemplo:

1.2. Integral indefinida: es el conjunto de todas las primitivas de una función.

Ejemplo: porque (puesto que la derivada

de una constante es cero).

1.3. Propiedades.

1.4. Integrales inmediatas.

PROPIEDAD EJEMPLOS

1.5. Integrales cuasi inmediatas

TIPO EJEMPLOS

, n

2. INTEGRALES DEFINIDAS.

2.1. Regla de Barrow.

Dada una función continua en y F una primitiva de f, se define la integral definida

de entre los valores como:

Es el área limitada por .

2.2. Propiedades.

Ejemplo 1. Hallar la integral definida

.

Ejemplo 2. Calcular el área del recinto limitado por la curva , el eje OX y las rectas

y

Observación

. Ejemplo 3. Calcular la integral definida:

3. CÁLCULO DE ÁREAS

3.1. Área delimitada por f(x) y el eje OX [y dos rectas verticales (x=k)].

- Esbozar la gráfica de .

- Límites de integración:

son los puntos de corte de con el eje

y/o

[los que indique el enunciado (rectas verticales)]

- Separar en trozos el área a calcular.

- Cada trozo deberá calcularse con el valor absoluto de ,

, (así, todas las

integrales serán positivas y se sumarán como áreas).

3.2. Área delimitada por dos funciones f(x) y g(x) [y rectas verticales (x=k)].

- Esbozar en los mismos ejes las gráficas de f(x) y g(x).

- Límites de integración:

son los puntos de corte de f(x) con g(x)

y/o

[los que indique el enunciado (rectas verticales)]

- Separar en trozos el área a calcular.

- Cada trozo deberá calcularse con el valor absoluto de (así, todas las

integrales serán positivas y se sumarán como áreas).

INTEGRAL DEFINIDA ÁREA

Para calcular áreas se utilizan integrales definidas, pero:

- Una integral definida puede ser positiva, negativa o nula. (No hay que hacer gráfica)

- El área de un recinto limitado es siempre estrictamente positiva. (Imprescindible hacer gráfica)

EJERICICIO. Hallar las siguientes integrales indefinidas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

RECOPILACIÓN PAU INTEGRALES

1. Junio 2012

2. Septiembre 2012

3. Septiembre 2012

4. Junio 2013.

5. Junio 2013.

6. Junio 2014

7. Junio 2014

8. JUNIO 2015

9. SEPTIEMBRE 2015

10. SEPTIEMBRE 2015

11. JUNIO 2016

12. JUNIO 2016

13. SEPTIEMBRE 2016