integrales múltiples

Integrales múltiples 1. Considere un paralelogramo R limitado por las dos parejas de rectas ax +by =αcx+ dy=γ ax +by =βcx +dy =δ (Donde ad− bc≠ 0). Suponga que se quiere calcular la integral doble de la función f ( x,y ) sobre la región R. Introduciendo las nuevas variables u, v. u=ax +by v=cx +dy Describa la región R’ sobre la que se integraría en el plano uv. Escriba explícitamente la fórmula de cambio de variables del teorema 6.4.1 en este caso particular. Comoax +by=u→α≤u≤β,cx +dy =v→γ≤v≤δ d espejando x e y delas ecuaciones se tiene : { ax +by =u cx +dy= v →x= du −bv da−cb y= cu −av da −cb Calculando el Jacobiano se tiene : | J ( u,v ) | = ∂ ( x,y) ∂ ( u,v ) = | ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v | = | d da−cb −b da− cb c da−cb −a da− cb | = | −ad +bc ( da−cb ) 2 | = | 1 ad−bc | Por lo tanto se tiene: R( { x,y}∨α≤ax +by≤β,γ≤cx +dy≤δ) →R´ ({ du −bv da −cb , cu−av da− cb } ∨α≤u≤β,γ≤v≤δ )

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Resolución de ejercicios de integrales múltiples.

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Integrales mltiples1. Considere un paralelogramo R limitado por las dos parejas de rectas

(Donde ). Suponga que se quiere calcular la integral doble de la funcin sobre la regin R. Introduciendo las nuevas variables u, v.

Describa la regin R sobre la que se integrara en el plano uv. Escriba explcitamente la frmula de cambio de variables del teorema 6.4.1 en este caso particular.

Por lo tanto se tiene:

2. Considere la regin R limitada por las hiprbolas (La regin en el primer cuadrante). Suponga que se quiere calcular la integral doble de la funcin sobre la regin R. Introduciendo las nuevas variables u, v.

Describa la regin R sobre la que se integrara en el plano uv. Escriba explcitamente la frmula de cambio de variables del teorema 6.4.1 en este caso particular.=Despejando x e y de las ecuaciones de tiene:

Calculando el Jacobiano se tiene::R

En cada uno de los ejercicios de 3-12, se dan regiones R en el plano cartesiano. Describa cada una de estas regiones en el sistema de coordenadas polares.3.

10. R es la regin en el primer cuadrante limitada por los crculos , y las rectas

11. R es la regin en el tercer cuadrante limitada por los crculos , y las rectas

12. R es la regin en el segundo cuadrante limitada por los crculos , y las rectas

En los ejercicios 13-25, calcule la integral doble indicada, efectuando un cambio de variables adecuado.13. , donde R es la regin limitada por el cuadrado

Matriz jacobiana

14. , donde R es la regin limitada por el paralelogramo cuyos vrtices son Se tiene:

Entonces los valores de x, y en funcin de u, v sern:x = , y = , calculamos el jacobiano:

15. , donde R es la regin limitada por el paralelogramo cuyos lados son Se tiene:

Entonces los valores de x, y en funcin de u, v sern:x = , y = , calculamos el jacobiano:

16. , donde

Pasando a coordenadas polares se tiene

, , =

17. , donde

Al pasar a coordenadas polares se tendr

18. , donde

Al pasar a coordenadas polares se tendr

19. , donde R es la regin limitada por el crculo de centro en (2,0), tangente al eje y.La ecuacin de la circunferencia ser:

20. , donde R es la regin en el primer cuadrante, limitada por los crculos y las rectas

En coordenadas polares se tiene:

21. , donde es la regin limitada por el crculo con centro en (0,4) y radio 4. La ecuacin de la circunferencia es: x2+(y-4)2=16x2+y2=8y , que en coordenadas polares ser:r2=8rsen ->

22. , donde R es la regin en el primer cuadrante, limitada por el crculo on centro en (0,1) y radio 1, y la recta La ecuacin de la circunferencia es: x2+ (y-1)2=1x2+y2=2y , que en coordenadas polares ser:r2=2rsen ->

23. , donde Sea x =

24. , donde es la regin limitada por la elipse Sea

25. , donde

Sea

Hallar el volumen del cuerpo en limitado por las superficies indicadas.1.

Proyectando la interseccin se tiene: En coordenadas polares se tiene:

6. Proyectando la interseccin se tiene: En coordenadas polares se tiene:

En los ejercicios 11-15, calcule el volumen del cuerpo, limitado por las superficies dadas. Se recomienda hacer un cambio adecuado de variables en las integrales dobles que aparezcan en el problema.11.

12. Proyectando la interseccin se tiene:

13. Proyectando la interseccin se tiene:

14. Pasando a coordenadas polares se tiene: ,

15.

En los ejercicios 16-30, calcular el rea de la regin limitada por las curvas dadas.16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Haciendo un cambio de variables se tiene: