tema 3. integrales múltiples

8/15/2019 Tema 3. Integrales Múltiples

http://slidepdf.com/reader/full/tema-3-integrales-multiples 1/47

Universidad de Costa Rica

Escuela de Matematica

Prof. Miguel Walker Urena

Dpto. Matematica Aplicada

MA-1003: Calculo 3

Ciclo 2-2015

Tema 3. Integrales Multiples

[ version 0.1, compilado el 16/10/2015]

Contenidos

1 Integrales Simples 2

1.1 Simples Propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Simples Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Integrales Dobles 6

2.1 Integrales Dobles en rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Integrales Dobles en Regiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Aplicaciones de las Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Areas y Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Interpretaciones Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Cambios de variable en Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Coordenadas Elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Integrales Triples 28

3.1 Integrales Triples en “cajas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Integrales Triples en Regiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Aplicaciones de las Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Calculo de Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.2 Interpretaciones Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Cambios de variable en Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Coordenadas Cilındricas y Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.1 Coordenadas Cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5.2 Coordenadas Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Ejercicios Adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Referencias 47

1



Tema 3. Integrales Multiples 3

3. Ademas el valor de I existe y es un numero finito, interpretado geometricamente como el area entrela curva generada por f y el eje-x, siendo area negativa para los valores bajo la lınea horizontaly = 0.

4. Si existe F (x) tal que F (x) = f (x) y f (x) continua en [a, b] entonces

I =

ba

f (x) dx =

ba

F (x) dx = F (x)ba

= F (b) − F (a)

5. Si I 1, I 2, . . . I m son intervalos tales que

[a, b] = I 1 ∪ I 2 ∪ . . . I m =mn=1

I n

entonces ba

f (x) dx =

I 1

f (x) dx +

I 2

f (x) dx + · · · +

I m

f (x) dx =mn=1

I n

f (x) dx

donde I n

f (x) dx =

xn+1xn

f (x) dx si I n = [xn, xn+1]

6. La formula anterior se debe usar para calcular I cuando f (x) es continua a trozos en [a, b] de maneratal que tal que f (x) continua dentro de los intervalos I 1, I 2, . . . I m.

Teorema 1.1 (Cambio de Variable). Si g : IR → IR es una aplicaci´ on continua e invertible en el intervalo[a, b] y si f es integrable en el intervalo [g(a), g(b)], entonces f

g(x)

·g(x) integrable en [a, b] y se cumple

ba

f

g(x) · g(x) dx =

g(b)g(a)

f (u) du

Nota 1.3. Con las condiciones del teorema anterior, si x0, x1, x2, . . . , xn es una particion de [a, b] y sidenotamos ui = g(xi), entonces u0, u1, u2, . . . , un es una particion del intervalo [g(a), g(b)].




Tenemos entonces que g(b)g(a)

f (u) du = limn→+∞

ni=0

f (ui)∆ui

= limn→+∞

n

i=0

f

g(xi)

· ∆g(xi)

= limn→+∞

ni=0

f

g(xi) · ∆g(xi)

∆xi· ∆xi

=

ba

f

g(x) · g(x) dx

Nota 1.4. Tambien se escribe que al hacer x = h(u) =⇒ dx = h(u) du, luego

ba

f (x) dx =

h−1(b)h−1(a)

f

h(u) · h(u) du

1.2 Simples ImpropiasDefinicion 1.2 (Integral Impropia). La integral de una funcion f (x) es llamada Integral Impropia siel intervalo de integracion es infinito o si f (x) tiene asıntotas verticales en el intervalo de integracion o enuno de sus extremos.

Hay dos casos principales

(a) Si f (x) es continua en [a, +∞[→ IR, entonces

I =

+∞a

f (x) dx

es llamada integral impropia de primera especie.

En tal caso

I = limx→+∞

xa

f (u) du

Ademas, si F (x) = f (x)

I = F (x)+∞

a

= F (+∞) − F (a)= lim

x→+∞F (x) − F (a)

(b) Si f (x) es continua en ]a, b ] y

limx→a

f (x) = ∞ ( o sea que x = a es asıntota vertical)




entonces

I =

ba

f (x) dx

es llamada integral impropia de segunda especie.

En tal caso

I = limx→a+

bx

f (u) du

Ademas, si F (x) = f (x)

I = F (x)ba+

= F (b) − F (a+)

= F (b)

− lim

x→a+

F (x)

Definicion 1.3 (Convergencia). Una integral impropia I es convergente si y solo si I existe y es unnumero finito.

En caso contrario se dice que I es divergente, y como consecuencia f no es integrable.En caso de convergencia, I puede ser interpretado como el area de la region infinita encerrada entre

la grafica de y = f (x) y el eje-x, similar al area en integrales propias.




Definicion 2.2 (Integral Doble Iterada). La expresion

I =

ba

dc

f (x, y) dydx

es llamada integral iterada de f (x, y) en el rectangulo [a, b] × [c, d] en el orden dydx, y se calculahaciendo

I = ba

dc

f (x, y) dy

dx

=

ba

g(x) dx donde g (x) =

dc

f (x, y) dy

Igualmente la expresion

J =

dc

ba

f (x, y) dxdy

es llamada integral iterada de f (x, y) en el rectangulo [a, b] × [c, d] en el orden dxdy, y se calculahaciendo

I = d

c

b

a

f (x, y) dx dy

=

ba

h(y) dy donde h(y) =

dc

f (x, y) dx

Nota 2.2. En la definicion anterior, no necesariamente I = J .Es posible que I = J cuando f no es integrable en R.

Teorema 2.1 (Fubini). Sea f : IR2 → IR una funci´ on integrable en R = [a, b] × [c, d].Entonces existen las integrales

g(x) = d

cf (x, y) dy ∧

b

ag(x) dx

luego se cumple que R

f (x, y) dA =

ba

dc

f (x, y) dydx =

dc

ba

f (x, y) dxdy

Nota 2.3. ba

dc

f (x, y) dydx = dc

ba

f (x, y) dxdy =⇒ f no es integrable en R = [a, b] × [c, d]

Teorema 2.2. Si f : IR2 → IR es una funci´ on continua y acotada en R = [a, b] × [c, d], entonces f es

integrable en R.Ejercicio 2.1. Calcule

I =

R

x2y +

x

y

dA

cuando R = [−2, 3] × [2, 5]

Resp. / I = 5 ln(5) − 5 ln(2) + 245

2 ≈ 124.79




Ejercicio 2.2. Calcule la integral

I =

R

x3 cos(x2y) dA

cuando R =

0,√ π2

× [0, 1]

Resp. / I = 1

2 − 1

2√ 2 ≈0.14645

Nota 2.4. Considere los rectangulos

R = [a, b] × [c, d] ∧ Q = [α, β ] × [γ, δ ]

(x0, y0) es llamado punto interior de R si y solo si

(x0, y0) ∈ ]a, b[ × ]c, d[ ⇐⇒ a < x0 < b ∧ c < y0 < d

Ademas, se dice que R y Q NO tienen puntos interiores comunes si y y solo si

]a, b[ ∩ ]α, β [= ∅ ∨ ]c, d[ ∩ ]γ, δ [= ∅Teorema 2.3 (Algunas propiedades). Sean f, g : IR2 → IR integrables en R = [a, b] × [c, d], entonces

1. ∀α ∈ IR la funci´ on αf + g es integrable en R y cumple R

αf (x) + g(x)

dA = α

R

f (x) dA +

R

g(x) dA

2. Si f tambien es integrable en Q = [α, β ] × [γ, δ ] y si Q no tiene puntos interiores comunes con R,entonces f integrable en R ∪ Q y cumple

R∪Qf (x) dA =

R

f (x) dA +

Q

f (x) dA

3. Si R = R1 ∪ R2, siendo R1 y R2 rect´ angulos sin puntos interiores comunes entonces f integrable en R1 y en R2 y se cumple

R1∪R2

f (x) dA =

R1

f (x) dA +

R2

f (x) dA

4. Si ∀(x, y) ∈ R, f (x, y) ≤ g(x, y), entonces R

f (x, y) dA ≤

Rg(x, y) dA

5. Si ∀

(x, y)∈

R, f (x, y)≥

0, entonces R

f (x, y) dA ≥ 0

Teorema 2.4 (Separacion de Variables).

Si ϕ(x) es integrable en [a, b] y si ψ(x) es integrable en [c, d], entonces la funci´ on f (x, y) = ϕ(x) · ψ(y)es integrable en R = [a, b] × [c, d] y se cumple

Rϕ(x) · ψ(y) dA =

ba

ϕ(x) dx · dc

ψ(y) dy





I =

R

y sec2(x)tan

y2

dA

cuando R =

0,

π

6 ×

0,

π

3

Resp. / I = ln(2)

2√

3≈ 0.200094




2.2 Integrales Dobles en Regiones Generales

Definicion 2.3 (Integral doble en Regiones Generales).

Sea R ⊆ IR2 una region que se puede aproximar porla union de rectangulos sin puntos internos comunes

Rij ⊆ IR2

, (i, j) ∈ A ⊆ IN2

es decir que

R ≈

(i,j)∈ARij

ademas si A(Rij) es el area de Rij , se cumple que

R = limA(Rij)→0

(i,j)∈A

Rij

En tal caso el area de la region R corresponde a:

A(R) = limA(Rij)→0

(i,j)∈A

A(Rij) ( Ver Aplicacion 2.1 en pag. 16 )

Una funcion f : D ⊆ IR2 → IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el lımite

I = limA(Rij)→0

(i,j)∈A

f (αi, β j) · A(Rij) , (Integral doble de Riemann)

donde (αi, β j) ∈ Rij .En tal caso se denota

I =

Rf (x, y) dA

donde dA = dxdy es llamada “componente de area”.

Teorema 2.5 (Integracion en regiones simples).

Sea f (x, y) una funci´ on integrable en una regi´ on R ⊆ IR2.La regi´ on R es llamada regi´ on simple si:

(a) R es una regi´ on de la forma

R = (x, y) ∈ IR2/ a ≤ x ≤ b ∧ ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)

En este caso R es llamada regi´ on simple del tipo I , y se cumple que

R

f (x, y) dV =

ba

ψ(x)ϕ(x)

f (x, y) dydx

=

ba

ψ(x)ϕ(x)

f (x, y) dy

dx

que es llamada integral iterada en el orden dydx .




(b) R es una regi´ on de la forma

R = (x, y) ∈ IR2/ c ≤ y ≤ d ∧ α(y) ≤ x ≤ β (y)

En este caso R es llamada regi´ on simple del tipo II , y se cumple que

R

f (x, y) dV =

d

c

β(x)

α(x)f (x, y) dxdy

=

dc

β(x)α(x)

f (x, y) dx

dy

que es llamada integral iterada en el orden dxdy .

Teorema 2.6. Considere una regi´ on R ⊆ IR2 que se puede expresar como uni´ on “casi disjunta” de regiones simples R1, R2, . . . R p del tipo I, es decir

R =

pi=1

Ri , donde ∀i, j ∈ 1, 2, . . . p, Ri ∩ R j es ∅ o es un segmento de curva

Entonces existen regiones Q1, Q2, . . . Qq “casi disjunta” del tipo II tales que

R =

qi=1

Qi

Si f (x, y) es integrable en R, entonces

R f (x, y) dV =

p

i=1

Ri

f (x, y) dA =

q

i=1

Qi

f (x, y) dA

Ejercicio 2.4. [Basado en parcial 2 de Ma1003, II-2008]

Considere la regi´ on R = (x, y) ∈ IR2/1 ≤ x ≤ √ 2 ∧ x2 ≤ y ≤ 4 − x2.

Calcule la integral

I =

R

x

x2 + y dA

en los ´ ordenes dydx y dxdy.

Respuesta:

I = √ 21

1−x

2

x2

yx2 + y

dydx

=

21

√ y1

y

x2 + y dydx +

32

√ 4−y1

y

x2 + y dydx

= 1 − ln(2)

2 ≈ 0.1534




Ejercicio 2.5. [Basado en ejercicio Oficial 8.6 de MA1003]

Eval´ ue la integral doble I =

21

ln(x)0

(x − 1)

1 + e2y dydx.

Respuesta: Notando primero que integrar en el orden dydx es muy difcil evaluar (de hecho imposible),tenemos que cambiar el orden de integracion resultando:

I = ln(2)

0

2

ey(x − 1)

1 + 2e2y dxdy

=

ln(2)0

ey

1 + e2y dy + 1

2 · ln(2)

e2y

1 + e2y dy

= senh−1(2) − senh−1(1)

2 +

√ 5 − √

2

6

= 1

2 · ln

2 +

√ 5

1 +√

2

+

√ 5 − √

2

6

Ejercicio 2.6. [Basado en parcial 2 de MA1003, II-2006]

Sea I =

40

√ 8x−x2x2−4x

f (x, y) dydx.

(a) Dibuje la regi´ on de integraci´ on.

(b) Exprese I seg´ un el orden dxdy.

Respuestas:

(a) (b)

I =

0−4

2+√ y+4

2−√ y+4f (x, y) dxdy

+

40

44−

√ 16−y2

f (x, y) dxdy




Nota 2.5 (Funciones trigonometricas invertibles). Recordemos que

(a) La funcion f (x) = sen(x) es invertible si se define en el intervalo−π

2, π

2

Se denota f −1

(x) = arcsen(x), llamada funci´ on arcoseno.

arcsen : ] − 1, 1[→−π

2, π

2

(b) La funcion y = cos(x) es invertible si se define en el intervalo

]0, π[

Se denota f −1(x) = arccos(x), llamada funci´ on arcocoseno.

arccos : ] − 1, 1[→−π

2, π

2

(c) La funcion y = tan(x) es invertible si se define en el intervalo

−π

2, π

2 Se denota f −1(x) = arctan(x), llamada funci´ on arcotangente .

arctan : ] − ∞, +∞[→−π

2, π

2

Ejercicio 2.7. Cambie el orden de integraci´ on de la integral

I =

π0

sen(x)0

f (x, y) dA

Respuesta:

I =

10

π/2arcsen(y)

f (x, y) dxdy +

10

π−arcsen(y)π/2

f (x, y) dxdy




Ejercicio 2.8. Considere la regi´ on R encerrada entre las curvas

x = 0, x = π, y = cos(2x) − 3, y = x

Plantear la integral

I =

R

f (x, y) dA

en los ´ ordenes dydx y dxdy.Respuesta:

I =

π0

xcos(2x)−3

f (x, y) dydx

=

−2

−4

π/212 arccos(y+3)

f (x, y) dxdy

+ −2

−4 π− 1

2 arccos(y+3)

π/2

f (x, y) dxdy

+

0−2

π0

f (x, y) dxdy +

π0

πy

f (x, y) dxdy

Ejercicio 2.9. [Basado en ejercicio Oficial 8.12 de MA1003]

Sea I =

π0

4+sen(x)

3− 12

π2·(x−π

2 )2

f (x, y) dydx.

Dibuje la regi´ on de integraci´ on y exprese I seg´ un el orden dxdy.

Respuesta:

I =

30

π2−π

2

3−y3

0f (x, y) dxdy +

30

ππ2+π

2

3−y3

f (x, y) dxdy

+

43

π0

f (x, y) dxdy +

54

π−arcsen(y−4)

arcsen(y−4)f (x, y) dxdy




2.3 Aplicaciones de las Integrales Dobles

2.3.1 Areas y Volumenes

Aplicacion 2.1 (Calculo de area). El ´ area de una regi´ on R ⊆ IR2 corresponde a la integral

A(R) = R

dA ( Ver Definicion 2.3 en p´ ag. 11 )

Ejercicio 2.10. Calcule el ´ area encerrada por la elipse

x2

3 +

y2

16 = 1

Resp. / A = 4 · √ 30

4 1−x2

3

0

dydx = 4√

3 · π ≈ 21.766

Ejercicio 2.11. Calcule el ´ area encerrada entre las curvas

x = 0, x = π, y = cos(2x) − 3, y = x ( Ver Ejercicio 2.8 )

Resp. / A =

π

0

x

cos(2x)−3

dydx = 3π + π2

2 ≈ 14.35958

Aplicacion 2.2 (Calculo de volumen). Si z = f (x, y) ≥ 0 cuando (x, y) ∈ R ⊆ IR2 y si f integrable en R, entonces el volumen bajo la superficie

S : z = f (x, y), (x, y) ∈ R

o volumen encerrado entre el plano z = 0 y la superficie S para (x, y) ∈ IR, corresponde a la integral

V =

R

f (x, y) dA

Ejercicio 2.12. Calcule el volumen del tetraedro cuyos vertices son

A = (0, 0, 0), B = (2, 0, 0), C = (0, 2, 0) D = (0, 0, 5)

Respuesta:

V =

20

−x+2

0

10 − 2x − 2y

2 dydx =

22

3 ≈ 7.333




Teorema 2.7. Dadas dos superficies generadas por las ecuaciones z = f (x, y) y z = g(x, y), el volumen entre las superficies cuando (x, y) ∈ R, corresponde a

V =

R

f (x, y) − g(x, y) dA

Ejercicio 2.13. Calcule el volumen de la regi´ on limitada por las superficies

z = x2 + y2 ∧ y = x2 ∧ y = 1 ∧ z = 0

Respuesta: El volumen correspondiente es V =

1−1

1x2

x2 + y2

dydx =

88

105 .

Ejercicio 2.14. Plantear la integral doble que calcula el volumen encerrado entre las superficies engen-dradas por las ecuaciones

z = 36 − x2 − 4y2 ∧ z =

25 − x2 − y2

cuando (x, y) ∈ R : x2 + y2 ≤ 4. [ Ver Ejercicio 2.22 ]

Respuesta:

V = 4 · 20

√ 4−x20

36 − x2 − 4y2 −

25 − x2 − y2

dydx




2.3.2 Interpretaciones Fısicas

Aplicacion 2.3 (Interpretaciones Fısicas). Si R ⊂ IR2 modela un “cuerpo plano” y si z = f (x, y)corresponde a la densidad del cuerpo ( masa por unidad de ´ area en (x, y) ) entonces se tiene que

1. La masa total de R es igual a

m = R

f (x, y) dA

2. La masa promedio de R es igual a

m = 1

A(R)

R

f (x, y) dA

donde

A(R) =

R

f (x, y) dA = ´ area del cuerpo

3. Los momentos est´ aticos de R son

(a) Respecto al eje-x es igual a

mx =

R

|y| · f (x, y) dA

(b) Respecto al eje-y es igual a

my =

R

|x| · f (x, y) dA

(c) Respecto a una recta cualquiera, es igual a

m =

Rd

(x, y), · f (x, y) dA

donde d

(x, y),

es la distancia de (x, y) a la recta

4. El centro de masa o centro de gravedad de R es

C m = (x, y)

donde

x = 1

m R

x · f (x, y) dA ∧ y = 1

m R

y · f (x, y) dA

siendo m =

R f la masa total.

5. Los momentos de inercia de R son


I x =

R

y2 · f (x, y) dA





I y =

R

x2 · f (x, y) dA

(c) Respecto a una recta cualquiera, es igual a

I = R

d2(x, y), ·f (x, y) dA

donde d

(x, y),

es la distancia de (x, y) a la recta

(d) Respecto al origen de coordenadas O = (0, 0) es igual a

I o =

R

(x2 + y2) · f (x, y) dA (InerciaPolar)

Ejercicio 2.15. Calcule masa total, masa promedio, momentos est´ aticos, centro de masa y momentos de inercia de R = [0, 1] × [0, 2], cuando la densidad de R es z = xy2.

Respuestas:

masa total = m = 20

10

xy2 dydx = 43

masa promedio = m = m

A =

4/3

2 =

2

3

momentos estaticos mx =

20

10

xy3 dydx = 2 ∧ my =

20

10

x2y2 dydx = 8

9

centro de masa =

2

3, 3

2

momentos de inercia mx =

20

10

xy4 dydx = 2

3 ∧ my =

20

10

x3y2 dydx = 16

5

Ejercicio 2.16. [Basado en [1] Poltronieri] Determine los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados ( I x e I y ) de una l´ amina delgada modelada por la regi´ on:

R :

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ √ 2x

si la densidad en cada punto es f (x, y) = |x − y|.Respuesta: Los momentos de inercia son

I x = 20

√ 2x0

y2 · |x − y| dydx

=

20

x0

y2 · (x − y) dydx +

20

√ 2xx

y2 · (y − x) dydx = 26

15 − 16

√ 2

21

I y =

20

√ 2x0

x2 · |x − y| dydx

=

20

x0

x2 · (x − y) dydx +

20

√ 2xx

x2 · (y − x) dydx = 42

5 − 32

√ 2

9




2.4 Cambios de variable en Integrales Dobles

Teorema 2.8. Sea f (x, y) una funci´ on integrable en R ⊆ IR2 y sea g : R → R una funci´ on vectorial biyectiva tal que

g(x, y) =

ϕ(x, y)ψ(x, y)

Se define el Jacobiano de g como el determinante de la matriz jacobiana de g, es decir

J (x, y) = |J g(x, y)| =

ϕx(x, y) ϕy(x, y)ψx(x, y) ψy(x, y)

= ϕx(x, y) · ψy(x, y) − ψx(x, y) · ϕy(x, y)

tambien se escribe

J (x, y) = ∂ (ϕ, ψ)

∂ (x, y)

Si la expresi´ on “ f [g(x, y)] · |J (x, y)|” es integrable en R, entonces f es integrable en la regi´ on

R = g−1(R) = (u, v) ∈ IR2 / u = ϕ(x, y) ∧ v = ψ(x, y) para (x, y) ∈ R

es decir, que R es la regi´ on obtenida de R despues de aplicar el cambio de variable u = ϕ(x, y)

v = ψ(x, y)

Luego se cumple la igualdad R

f [g(x, y)] · |J (x, y)| dxdy =

R

f (u, v) dudv

o lo que es lo mismo

R

f [u(x, y), v(x, y)] ·∂ (u, v)

∂ (x, y)

dxdy =

Rf (u, v) dudv

Teorema 2.9. Si f (x, y) integrable en una regi´ on R ⊂ IR2 y si h : R → R es una funci´ on vectorial biyectiva, tenemos entonces que

R = h(R) = (u, v) ∈ IR2 / (u, v) = h−1(x, y), para (x, y) ∈ Rentonces la expresi´ on “ f [h(u, v)] · |J (u, v)|” es integrable en R, donde

J (u, v) = ∂ (x, y)

∂ (u, v) =

xu xvyu yv = xu · yv − yu · xv

luego se cumple la igualdad R

f (x, y) dxdy =

R

f [h(u, v)] · |J (u, v)| dudv

En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma x = ϕ(u, v)

y = ψ(u, v)




Ejercicio 2.17. [Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 3]

Calcule la integral

I =

√ 21

4−x2x2

x

x2 + y dydx ( Ver Ejercicio 2.4 )

usando el cambio de variables

x = √ v − u ∧ y = u + v

Respuesta:

Note que R es la region limitada por las rectas x = 1, y = x2, y = 4 − x2. Al aplicar el cambio devariable, la region R obtenida es limitada por las rectas v = u + 1, u = 0 y v = 2.

Ademas J (u, v) = −1√

v − u, entonces:

I =

10

2u+1

1

2v dvdu =

1 − ln(2)

2 ≈ 0.1534

Ejercicio 2.18. [Basado en Ampliacion de MA1003, II-2008]Use el cambio de variable x = 4u + v ∧ y = 2u para calcular

I =

R

x − 2y +

y2

4

dxdy

donde R es el interior del tri´ angulo con vertices (0, 0), (4, 0) y (4, 2).Dibuje la regi´ on R en el plano xy y la nueva regi´ on R en el plano uv.

Respuesta:

Note que R es la region limitada por las rectas x = 4, y = 0, y = x/2. Al aplicar el cambio de variable,la region R obtenida es limitada por las rectas v = −4u + 4, u = 0 y v = 0.

Ademas J (u, v) =−

2, entonces:

I = 2

10

−4u+4

0

√ v + u2

dvdu =

74

15

Teorema 2.10. Sea R ⊆ IR2 y sea g : R → R una funci´ on vectorial biyectiva.Recordemos que

J g−1 = J −1g =⇒ |J g−1 | =

1

|J g|o sea, que al hacer (u, v) = g(x, y)

xu xvyu yv

=

ux uyvx vy

−1 =⇒ J (u, v) = 1J (x, y)

Si f : R → IR es integrable, entonces la expresi´ on “ f [g−1(u, v)] · |J (u, v)|” es integrable en

R = g(R) = (u, v) ∈ IR2 / (u, v) = g(x, y), para (x, y) ∈ Rluego se cumple la igualdad

Rf (x, y) dxdy =

R

f [g−1(u, v)] · |J (u, v)| dudv





R

f (x, y) dxdy =

R

f (x, y) · 1

|J (x, y)| dudv

En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma

u = ϕ(x, y)

v = ψ(x, y)

Ejercicio 2.19. Sea R la regi´ on del primer cuadrante limitada por las curvas

5y = −x2 + 15, 5y = −x2 + 40, 5x − 3y = 0, 5x − 3y = 15

Use el cambio de variable u = 5x − 3y ∧ v = x2 + 5y

para calcular la integral

R

(6x + 25) x2 + 5y + 1 dA

Respuesta:

I =

150

4015

√ v + 1 dvdu = 410

√ 41 − 640 ≈ 1985.289

Ejercicio 2.20. [Basado en Ampliacion de MA1003, I-2007]

Use el cambio de variable u = x2 − y2, v = 2xy para calcular

I =

R

x4 − y4

dxy

donde R es la regi´ on en el primer cuadrante limitada por las curvas

x2 − y2 = 1 ∧ x2 − y2 = 2 ∧ xy = 1 ∧ xy = 2

Dibuje la regi´ on R en el plano xy y la nueva regi´ on R en el plano uv.

Respuesta:

Al aplicar el cambio de variable, la region obtenida corresponde al rectangulo R = [1, 2] × [2, 4].Ademas J (x, y) = 4 (x2 + y2), entonces:

I =

21

42

x4 − y4

· 1

4 (x2 + y2) dvdu =

1

4 · 21

42

udvdu = 3

4




2.5 Coordenadas Polares

Definicion 2.4 (Coordenadas Polares). Las coordenadas polares son un sistema de representacion de

puntos en el plano, que toma como referencia un punto fijo O llamado polo y un rayo fijo −−→OX llamado

eje polar que apunta hacia la derecha de O.

En el plano polar, todo punto P esta asociado a las variables r ≥ 0,θ ∈ [0, 2π[, que indican que P esta ubicado a una distancia de “r”

unidades del polo O y que “midiendo antihorario”, −−→OP forma un

angulo de θ unidades con el eje polar −−→OX .

Es decir,OP = r ∧ m∠X OP = θ

Teorema 2.11 (Polares vs Cartesianas). Si P c= (x, y) es la forma cartesiana del punto P ∈ IR2 y si

P p= (r, θ) es la forma polar del mismo punto P , tomando como polo el punto

O c= (0, 0) y como eje polar

el eje-x positivo entonces

x = r cos(θ) ∧ y = r sen(θ)

tambien se cumple que

r =

x2 + y2 ∧ θ = arccos

x x2 + y2

donde θ ∈ [0, 2π[ ∧ r ∈ [0, +∞[De hecho se cumple el sistema de ecuaciones

sen(θ) =

y x2 + y2

cos(θ) = x x2 + y2

Teorema 2.12 (Integral doble en Polares). Sea f (x, y) una funci´ on integrable en una regi´ on R ⊂ IR2 y sea R la regi´ on obtenida al aplicar el cambio de variables

x = r cos(θ) ∧ y = r sen(θ) , θ ∈ [0, 2π[ , r ∈ [0, +∞[

es decir, que R = (r, θ) ∈ IR2 / x = r cos(θ), y = r sen(θ), (x, y) ∈ R

entonces

J (r, θ) = ∂ (x, y)

∂ (r, θ) = r

luego se cumple que R

f (x, y) dxdy =

R

f

r cos(θ), r sen(θ) · rdrdθ




Ejercicio 2.21. [Basado en [1] Poltronieri] Use coordenadas polares para calcular

I =

a0

√ a2−x20

ln

1 + x2 + y2

dydx

Respuesta: Usando coordenadas polares x = r cos(θ), y = r sen(θ), obtenemos

I = π/2

0

a

0ln(1 + r2) · rdrdθ = π

4 ·

(1 + a2) · ln(1 + a2) − a2

Ejercicio 2.22. Use coordenadas polares para calcular el volumen encerrado entre las superficies engen-dradas por las ecuaciones

z = 36 − x2 − 4y2 ∧ z =

25 − x2 − y2

cuando (x, y) ∈ R : x2 + y2 ≤ 4. [ Ver Ejercicio 2.14 ]

Respuesta:

V = 2π0

20

36 − r2 − 3r2 sen2(θ) −

25 − r2 · r drdθ = 14√ 21 · π + 122π3 ≈ 329.3103

Ejercicio 2.23. Considere el disco R : x2 + y2 ≤ 6y con densidad constante f (x, y) = 1.

(a) Calcule el centro de masa de R.

(b) Calcule los momentos est´ aticos respecto a los ejes coordenados.

(c) Calcule el momento de inercia respecto al polo.

Respuestas:

(a) La masa es

m =

R

f (x, y) dxdy =

π0

6sen(θ)0

rdrdθ = 9π

Ademas:

c1 =

R

x f (x, y) dxdy =

π0

6 sen(θ)0

cos(θ) · r2 drdθ = 0

c2 =

R

y f (x, y) dxdy =

π0

6 sen(θ)0

sen(θ) · r2 drdθ = 27π

Luego el centro de masa esC =

1

m · [c1, c2] = [0, 3]

(b) Los momentos estaticos respecto a los ejes x e y son respectivamente:

mx =

R

|y| f (x, y) dxdy =

π0

6 sen(θ)0

sen(θ) · r2 drdθ = 27π

my =

R

|x| f (x, y) dxdy =

π0

6 sen(θ)0

| cos(θ)| · r2 drdθ = 36




Respuesta:

La integral en coordenadas polares corresponde a:

I = π/6

−π/4

4

2θ · rdrdθ +

π/2

π/6

2csc θ

2θ · r drdθ

= −5π2

48 +

1

2

4θ (− cot θ) + 4 ln(sen θ) − 2θ2

π/2

π/6

= 2 log(2) − 47 π2

144 +

π√ 3

≈ −0.021235

Ejercicio 2.26. Plantee y eval´ ue una integral doble para calcular el volumen de la regi´ on

R :

x2 + y2 + z2 ≤ 9x2 + y2 + z2 ≤ 6z

Respuesta: El volumen es

V =

R

9 − x2 − y2 −

3 −

9 − x2 + y2

dxdy

=

2π0

3√ 32

0

2

9 − r2 − 3

· r drdθ

= 45π

4 ≈ 35.342 917




2.6 Coordenadas Elıpticas

Nota 2.6 (Coordenadas Elıpticas). Cuando una region en IR2 incluye una elipse

(x − x0)2

a2 +

(y − y0)2

b2 = 1

se puede aplicar el cambio de variable

x − x0

a = r cos(θ)

y − y0b

= r sen(θ)⇐⇒

x = x0 + a · r cos(θ)

y = y0 + b · r sen(θ)

En tal caso se cumple

(x − x0)2

a2 +

(y − y0)2

b2 = 1 ∧ J (r, θ) =

∂ (x, y)

∂ (r, θ) = ab · r

luego si f : R → IR2 integrable y si R se obtiene de R despues del cambio anterior

R

f (x, y) dxdy = ab

R

f

x0 + a · r cos(θ)y0 + b · r sen(θ)

· r drdθ

Ejercicio 2.27. Calcule el ´ area de la elipse

R : (x − 1)2

2 +

y2

9 ≤ 1

Respuesta: Haciendo x = 1 + 2r cos(θ) ∧ y = 3r sen(θ) obtenemos

A = 2π

0 1

06r drdθ = 6π




3 Integrales Triples

3.1 Integrales Triples en “cajas”

Definicion 3.1 (Integral triple). Un conjunto R ⊆ IR3 es llamado “caja” si tiene la forma

R = [a, b] × [c, d] × [α, β ]

= (x,y ,z) ∈ IR3

/ a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ α ≤ z ≤ β

Una aplicacion f : D ⊆ IR3 → IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el lımite

I = lim∆xi → 0

∆yj →

0

∆zk → 0

n

i=1

m

j=1

p

k=1

f (αi, β j, γ k) ∆xi∆y j∆zk

donde

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b ∆xi = xi − xi−1

c = x0 < y1 < y2 < · · · < ym = d ∆yi = y j − y j−1α = z0 < z1 < z2 < · · · < z p = β ∆zk = xk − xk−1

xi ≤ αi ≤ xi−1 ∧ y j ≤ β j ≤ y j−1 ∧ zk ≤ γ k ≤ zk−1

ademas

∆xi → 0 ⇐⇒ n → +∞∆y j → 0 ⇐⇒ m → +∞∆zk → 0 ⇐⇒ p → +∞

En tal caso se denota

I =

R

f (x,y,z) dV

donde dV = dxdydz es llamada “componente de volumen”.




Definicion 3.2 (Integral Triple Iterada). La expresion

I =

ba

dc

βα

f (x,y ,z) dzdydx

es llamada integral iterada de f (x,y ,z) en el rectangulo [a, b] × [c, d] × [α, β ] en el orden dzdydx, yse calcula haciendo

I = ba

dc

βα

f (x,y,z) dzdy

dx = ba

g(x) dx

donde

g(x) =

dc

βα

f (x,y,z) dzdy

=

dc

βα

f (x,y ,z) dz

dy

=

dc

h(y) dy donde h(y) =

βα

f (x,y ,z) dz

De manera analoga se definen las integrales iteradas para los ordenes dzdxdy, dydxdz, dydzdx, dxdydz

y dxdzdy.Por ejemplo, el orden dydxdz βα

ba

dc

f (x,y ,z) dydxdz =

βα

ba

dc

f (x,y ,z) dydx

dz

Teorema 3.1 (Fubini). Sea f (x,y ,z) una funci´ on integrable en R = [a, b] × [c, d] × [α, β ].Entonces existen las integrales

g(x) =

dc

βα

f (x,y,z) dzdy ∧ ba

g(x) dx

luego se cumple que

I =

R

f (x,y,z) dV =

ba

dc

βα

f (x,y ,z) dzdydx

=

dc

ba

βα

f (x,y ,z) dzdxdy

...

=

βα

ba

dc

f (x,y ,z) dxdydz

O sea que las integrales iteradas en los ´ ordenes dzdydx, dzdxdy, dydxdz, dydzdx, dxdydz y dxdzdyson todas iguales a I .

Teorema 3.2. Si f (x,y ,z) es una funci´ on continua y acotada en R = [a, b] × [c, d] × [α, β ], entonces f es integrable en R.


I =

R

xyz dV

(x2 + y2 + z2 + 6)4

donde R = [1, 5] × [−1, 2] × [0, 4].




Respuesta:

I =

51

2−1

40

xyz

(x2 + y2 + z2 + 6)4 dzdydx

= −1

6 · 51

2−1

xy

(x2 + y2 + 22)4 − xy

(x2 + y2 + 6)4

dydx

= . . .

= 158 383

271435240 ≈ 0.0005835




3.2 Integrales Triples en Regiones Generales

Definicion 3.3 (Integral triple en Regiones Generales). Sea R ⊆ IR3 una region que se puede aproximarpor la union de “cajas” sin puntos internos comunes

Rijk ⊆ IR3, (i,j,k) ∈ A ⊆ IN3

es decir que

R ≈ (i,j,k)∈A

Rijk

ademas si V (Rijk) es el volumen de Rijk , se cumple que

R = limV (Rijk)→0

(i,j,k)∈A

Rijk

En tal caso el volumen de la region R correponde a:

V (R) = limV (Rijk)→0

(i,j,k)∈A

V (Rijk) ( Ver Aplicacion 3.1 en pag. 33 )

Una funcion f : D ⊆ IR3

→ IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el lımite

I = limV (Rijk)→0

(i,j,k)∈A

f (αi, β j, γ k) · A(Rijk) , (Integral triple de Riemann)

donde (αi, β j, γ k) ∈ Rijk .En tal caso se denota

I =

R

f (x,y,z) dV

donde dV = dxdydz es llamada “componente de volumen”.

Teorema 3.3 (Regiones Simples en el Espacio).

Un conjunto R ⊆ IR

3

de la forma R = (x,y ,z) ∈ IR3 / a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x) ∧ ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y)

es llamado regi´ on simple.En tal caso, si f (x,y,z) integrable en la regi´ on R entonces

Rf (x,y ,z) dV =

ba

h(x)g(x)

ψ(x,y)ϕ(x,y)

dzdydx

=

ba

h(x)g(x)

ψ(x,y)ϕ(x,y)

dz

dydx

que es llamada integral iterada en el orden dzdydx.De manera an´ aloga se definen regiones simples en el espacio para integrales en los ´ ordenes dzdxdy,dydxdz, dydzdx, dxdydz y dxdzdy.

Por ejemplo βα

b(y)a(y)

d(x,z)c(x,z)

f (x,y,z) dydxdz =

βα

b(y)a(y)

d(x,z)c(x,z)

f (x,y ,z) dy

dxdz

es una integral iterada de f (x,y,z) en el orden dydxdz en la regi´ on simple:

(x,y ,z) ∈ IR3 / α ≤ z ≤ β ∧ a(y) ≤ x ≤ b(y) ∧ c(x, z) ≤ y ≤ d(x, z)





I =

R

x2y dV

donde R es el tetraedro de vertices

(0, 0, 0) ∧ (2, 0, 0) ∧ (0, 1, 0) ∧ (0, 0, 3)

Respuesta:

I =

20

−x2+1

0

16−3x−6y2

0x2y dzdydx =

11

15 ≈ 0.7333

Ejercicio 3.3. Plantear la integral

I =

R

f (x,y,z) dV

donde R es la regi´ on contenida dentro de la esfera

x2 + y2 + z2 = 16

y arriba del paraboloide 6z = x2 + y2

Plantear ordenes dzdydx y dydxdz.

Respuesta:

I =

2√ 3−2√ 3

√ 12−x2−√ 12−x2

√ 16−x2−y2

(x2+y2)/6f (x,y ,z) dzdydx

=

20

√ 6z−√ 6z

√ 6z−x2−√ 6z−x2

f (x,y ,z) dydxdz +

42

√ 16−z2−√ 16−z2

√ 16−x2−z2−√ 16−x2−z2

f (x,y,z) dydxdz




3.3 Aplicaciones de las Integrales Triples

3.3.1 Calculo de Volumenes

Aplicacion 3.1 (Calculo de Volumen). El volumen de una regi´ on R ⊆ IR3 corresponde a la integral

V (R) = R

dV ( Ver Definicion 3.3 en p´ ag. 31 )

Ejercicio 3.4. [Basado en parcial 2 de MA1003, I-2006]

Calcule el volumen del s´ olido ubicado en el primer octante de IR3, limitado por los tres planos coorde-nados y por los tres planos de ecuaciones cartesianas:

x + y = 2 ∧ x + z = 2 ∧ y + z = 2

Respuesta: El volumen corresponde a

I =

10

2−yy

2−x0

dzdxdy +

10

2−xx

2−y0

dzdydx = 2

3.3.2 Interpretaciones Fısicas

Aplicacion 3.2 (Interpretaciones Fısicas). Si R ⊂ IR3 modela un “cuerpo solido” y si z = f (x,y ,z)corresponde a la densidad del cuerpo ( masa por unidad de volumen en (x,y,z) ) entonces se tiene que

1. La masa total de R es igual a

m =

R

f (x,y,z) dV

2. La masa promedio de R es igual a

m = 1

V (R)

R

f (x,y,z) dV

donde

V (R) =

R

f (x,y ,z) dV = volumen del cuerpo

3. Los momentos est´ aticos de R son

(a) Respecto al plano-xy es igual a

mxy =

R|z| · f (x,y ,z) dV

(b) Respecto al plano-xz es igual a

mxz =

R

|y| · f (x,y,z) dV




(c) Respecto al plano-yz es igual a

myz =

R

|x| · f (x,y,z) dV

(d) Respecto al eje-x es igual a

mx =

R

y2 + z2 · f (x,y ,z) dV

(e) Respecto al eje-y es igual a

my =

R

x2 + z2 · f (x,y ,z) dV

(f) Respecto al eje-z es igual a

mz = R x2 + y2 · f (x,y ,z) dV

(g) Respecto a un conjunto Ω cualquiera, es igual a

mΩ =

R

d

(x,y ,z), Ω · f (x,y ,z) dV

donde d

(x,y ,z), Ω

es la distancia de (x,y ,z) al conjunto Ω.

4. El centro de masa o centro de gravedad de R es

C m = (x,y ,z)

donde

x = 1

m

R

x · f (x,y ,z) dV

y = 1

m

R

y · f (x,y ,z) dV

z = 1

m

R

z · f (x,y ,z) dV

siendo m =

R f la masa total.

5. Los momentos de inercia de R son


I x =

R

(y2 + z2) · f (x,y ,z) dV


I y =

R

(x2 + z2) · f (x,y ,z) dV




(c) Respecto al eje-z es igual a

I z =

R

(x2 + y2) · f (x,y ,z) dV

(d) Respecto a un conjunto Ω cualquiera, es igual a

I Ω =

R

d2

(x,y,z), Ω · f (x,y ,z) dV

donde d

(x,y ,z), Ω

es la distancia de (x,y ,z) al conjunto Ω.

(e) Respecto al origen de coordenadas O = (0, 0, 0) es igual a

I o =

R

(x2 + y2 + z2) · f (x,y ,z) dV (InerciaPolar)

Ejercicio 3.5. [Basado en ejercicio oficial 9.4 de MA1003]

Calcule la masa del s´ olido T cuya densidad es f (x,y,z) = x2

y2

z2

, si T es limitado por el cilindroparab´ olico de ecuaci´ on x = y2 y los planos de ecuaciones x = z, z = 0 y x = 1.

Respuesta: La masa de T corresponde a

m =

10

√ x−√ x

x0

x2y2z2 dzdydx = 4

135




3.4 Cambios de variable en Integrales Triples

Teorema 3.4. Sea f (x,y ,z) una funci´ on escalar integrable en una regi´ on R ⊂ IR3 y sea g : R → R una funci´ on vectorial biyectiva tal que

g(x,y,z) =

ϕ(x,y ,z)ψ(x,y,z)ζ (x,y,z)

Se define el Jacobiano de g como el determinante de la matriz jacobiana de g, es decir

J (x,y ,z) = |J g(x,y ,z)| =

ϕx(x,y ,z) ϕy(x,y ,z) ϕz(x,y ,z)ψx(x,y ,z) ψy(x,y ,z) ψz(x,y ,z)ζ x(x,y,z) ζ y(x,y ,z) ζ z(x,y,z)

tambien se escribe

J (x,y ,z) = ∂ (ϕ,ψ,ζ )

∂ (x,y ,z)

Si la expresi´ on “ f [g(x,y ,z)] · |J (x,y ,z)|” es integrable en R, entonces f es integrable en la regi´ on

R = g(R) =u

vw

∈ IR3 u

vw

=

ϕ(x,y ,z)

ψ(x,y,z)ζ (x,y,z)

para (x,y ,z) ∈ R

es decir, que R es la regi´ on obtenida de R despues de aplicar el cambio de variable

u = ϕ(x,y ,z)

v = ψ(x,y,z)

w = ζ (x,y ,z)

Luego se cumple la igualdad

R

f [ g(x,y ,z) ]· |

J (x,y ,z)|

dxdydz = R

f (u,v,w) dudvdw


R

f

u(x,y ,z)

v(x,y ,z)w(x,y ,z)

·

∂ (u,v,w)

∂ (x,y,z)

dxdydz =

R

f (u,v,w) dudvdw

Teorema 3.5. Si f (x,y ,z) es una funci´ on escalar integrable en una regi´ on R ⊂ IR3 y si h : R → R es una funci´ on vectorial biyectiva, tenemos entonces que

R = h(R) =

(u,v,w)

∈IR2 / (u,v,w) = h−1(x,y ,z), para (x,y ,z)

∈R

entonces la expresi´ on “ f [h(u,v,w)] · |J (u,v,w)|” es integrable en R, donde

J (u,v,w) = ∂ (x,y,z)

∂ (u,v,w) =

xu xv xwyu yv ywzu zv zw

luego se cumple la igualdad

Rf (x,y ,z) dxdydz =

R

f [ h(u,v,w) ] · |J (u,v,w)| dudvdw





x = ϕ(u,v,w)

y = ψ(u,v,w)

z = ζ (u,v,w)


I =

10

√ 16−x2√ 1−x2

84

x2 + y2

z dzdydx +

41

√ 16−x20

84

x2 + y2

z dzdydx

usando el cambio de variables

x = v cos(u) ∧ y = v sen(u) ∧ z = 4w

Respuesta:

Note que R es la region limitada por las superficies:

z = 4 ∧ z = 8

x2

+ y2

= 1, y > 0x2 + y2 = 16, y > 0

x = 0 ∧ y = 0

Al aplicar el cambio de variables, obtenemos la nueva region R =

0, π

2

× [1, 4] × [1, 2].

El jacobiano J (u,v,w) = 4v, entonces

I =

π/20

41

21

2 v2√ w

dwdvdu = 210√

2 − 210 π ≈ 273.270959

Teorema 3.6. Sea R⊆

IR3 y sea g : R→

R una funci´ on vectorial biyectiva.

Recordemos que

J g−1 = J −1g =⇒ |J g−1 | =

1

|J g|o sea, que al hacer (u,v,w) = g(x,y,z)

xu xv xwyu yv ywzu zv zw

=

ux uy uz

vx vy vzwx wy wz

−1

=⇒ J (u,v,w) = 1

J (x,y ,z)

Si f : R → IR es integrable, entonces la expresi´ on “ f [g−1(u,v,w)] · |J (u,v,w)|” es integrable en

R = g(R) = (u,v,w) ∈ IR3

/ (u,v,w) = g(x,y ,z), para (x,y ,z) ∈ Rluego se cumple la igualdad

Rf (x,y,z) dxdydz =

R

f [g−1(u,v,w)] · |J (u,v,w)| dudvdw

o lo que es lo mismo R

f (x,y ,z) dxdydz =

R

f (x,y ,z) · 1

|J (x,y ,z)| dudvdw





u = ϕ(x,y ,z)

v = ψ(x,y ,z)

v = ζ (x,y,z)

Ejercicio 3.7. Calcule el volumen del paralelepıpedo:

R :

0 ≤ x − y ≤ 218 ≤ 7x + 5y − 3z ≤ 36

6 ≤ x − y + 3z ≤ 20

Respuesta: Haciendo el cambio de variable

u = x − y ∧ v = 7x + 5y − 3z ∧ w = x − y + 3z

Obtenemos la nueva region R = [0, 2] × [18, 36] × [6, 20] con jacobiano J (x,y ,z) = 36, entonces:

V = 20

3618

206

1

36 dwdvdu = 14




3.5 Coordenadas Cilındricas y Esfericas

3.5.1 Coordenadas Cilındricas

Definicion 3.4 (Coordenadas Cilındricas). Las Coordenadas Cilındricas son un sistema de repre-sentacion de puntos P sobre el espacio cartesiano IR3 que en su forma basica toma como referencia lascoordenadas polares sobre plano-xy y no varıa el papel de z .

En coordenadas cilındricas, todo punto P esta aso-ciado a las variables θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR,que indican que P esta ubicado a una distancia de“r” unidades del eje-z y que “midiendo antihorario”sobre un plano horizontal a partir del eje-x+, formaun angulo de θ unidades, mientras que P esta |z|unidades hacia arriba del plano-xy si z ≥ 0, o haciaabajo si z < 0.

En tal caso, cada vez que θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR, tenemos las relaciones

x = r cos(θ) ∧ y = r sen(θ) ∧ z = z

Ademas se cumple que

x2 + y2 = r2 y tambien J (r,θ,z) = ∂ (x,y ,z)

∂ (r,θ,z)

= r

Teorema 3.7 (Integral triple en Cilındricas).

Si f : R → IR3 integrable, al aplicar el cambio de variable

x = r cos(θ)

y = r sen(θ)

z = z

y si R se obtiene de R despues del cambio anterior, entonces

R f (x,y ,z) dxdydz =

R f [r cos(θ), r sen(θ), z] · r drdθdz

siempre que θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR.

Nota 3.1. Se recomienda el uso de las coordenadas cilındricas, para regiones en las que cilindros,paraboloides, conos o hiperboloides circulares cumplen papeles importantes.

Ejercicio 3.8 (Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 5).

Use coordenadas cilındricas para calcular el volumen del s´ olido R limitado por las superficies

2z = x2 + y2 , x2 + y2 − z2 = 1 , z = 0




En tal caso, cada vez que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈−π

2, π

2

y r ∈ [0, +∞[, tenemos las relaciones

x = r cos(θ) cos(ϕ) ∧ y = r sen(θ)cos(ϕ) ∧ z = r sen(ϕ)

Ademas se cumple que

x2 + y2 + z2 = r2 y tambien J (r,θ,ϕ) = ∂ (x,y ,z)∂ (r,θ,ϕ)

= r2 cos(ϕ)

Teorema 3.8 (Integral triple en Esfericas version 1).


x = r cos(θ) sen(ϕ)

y = r sen(θ)sen(ϕ)

z = r cos(ϕ)


R

f (x,y ,z) dxdydz =

R

f

r cos(θ) sen(ϕ)

r sen(θ)sen(ϕ)r cos(ϕ)

· r2 sen(ϕ) drdθdϕ

siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π] y r ∈ [0, +∞[ .

Teorema 3.9 (Integral triple en Esfericas version 2).


x = r cos(θ)cos(ϕ)

y = r sen(θ) cos(ϕ)

z = r sen(ϕ)


R

f (x,y,z) dxdydz =

R

f

r cos(θ)cos(ϕ)

r sen(θ) cos(ϕ)r sen(ϕ)

· r2 cos(ϕ) drdθdϕ

siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈−π

2, π

2

y r ∈ [0, +∞[ .

Ejercicio 3.10. Use coordenadas esfericas para calcular el volumen de la esfera

R : x2 + y2 + z2 ≤ 9

Respuesta: Haciendo

x = r cos(θ)sen(ϕ) ∧ y = r sen(θ) sen(ϕ) ∧ z = r cos(ϕ)

Obtenemos que el volumen de la esfera es

V =

2π0

π0

30

r2 sen(ϕ) drdϕdθ = 36π




Ejercicio 3.11 (Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 4).

Usar coordenadas esfericas para calcular la integral

I =

R

z2 dV

donde

R :

x2

+ y2

+ z2

≤ 1x2 + y2 + z2 ≤ 2z

Respuesta: Haciendo

x = r cos(θ)sen(ϕ) ∧ y = r sen(θ) sen(ϕ) ∧ z = r cos(ϕ)

Obtenemos que el volumen de la esfera es

V =

2π0

π/30

10

r4 sen(ϕ)cos2(ϕ) drdϕdθ

+ 2π0

π/2π/3

2cos(ϕ)1 r

4

sen(ϕ)cos

2

(ϕ) drdϕdθ

= 17π

160 ≈ 0.333 794

Nota 3.3 (Coordenadas Esfericas Generalizadas version 1).

Cuando una region en IR3 incluye un elipsoide de la forma

(x − x0)2

a2 +

(y − y0)2

b2 +

(z − z0)2

c2 = 1


x − x0

a = r cos(θ)sen(ϕ)

y − y0b

= r sen(θ) sen(ϕ)

z − z0c

= r cos(ϕ)

⇐⇒

x = x0 + a · r cos(θ) sen(ϕ)

y = y0 + b · r sen(θ) sen(ϕ)

z = z0 + c · r cos(ϕ)


(x − x0)2

a2 +

(y − y0)2

b2 +

(z − z0)2

c2 = r2 ∧ J (r,θ,ϕ) =

∂ (x,y,z)

∂ (r,θ,ϕ) = −abc · r2 sen(ϕ)

luego si f : R → IR3 integrable y si R se obtiene de R despues del cambio anterior

R

f (x,y ,z) dxdydz = abc

R

f

x0 + a · r cos(θ)sen(ϕ)

y0 + b · r sen(θ)sen(ϕ)z0 + c · r cos(ϕ)

· r2 sen(ϕ) drdθdϕ

siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π] y r ∈ [0, +∞[ .




Nota 3.4 (Coordenadas Esfericas Generalizadas version 2).

Cuando una region en IR3 incluye un elipsoide de la forma

(x − x0)2

a2 +

(y − y0)2

b2 +

(z − z0)2

c2 = 1


x − x0

a = r cos(θ)cos(ϕ)

y − y0b

= r sen(θ)cos(ϕ)

z − z0c

= r sen(ϕ)

⇐⇒

x = x0 + a · r cos(θ) cos(ϕ)

y = y0 + b · r sen(θ) cos(ϕ)

z = z0 + c · r sen(ϕ)


(x − x0)2

a2 +

(y − y0)2

b2 +

(z − z0)2

c2 = r2 ∧ J (r,θ,ϕ) =

∂ (x,y ,z)

∂ (r,θ,ϕ) = abc · r2 cos(ϕ)

luego si f : R → IR3

integrable y si R se obtiene de R despues del cambio anterior

R

f (x,y ,z) dxdydz = abc

R

f

x0 + a · r cos(θ)cos(ϕ)

y0 + b · r sen(θ) cos(ϕ)z0 + c · r sen(ϕ)

· r2 cos(ϕ) drdθdϕ

siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈−π

2, π

2

y r ∈ [0, +∞[ .




3.6 Ejercicios Adicionales

Ejercicio 3.12. Considere la regi´ on regi´ on

R :

x2 + y2 + z2 ≤ 9

x2 + y2 + z2 ≤ 6z

y sea I =

Rf (x,y ,z) dxdydz.

(a) Plantear la integral triple I en coordenadas cartesianas en los ´ ordenes dzdydx, dydzdx y dxdydz.

(b) Plantear la integral I en coordenadas cilındricas en los ´ ordenes dzdρdθ y dρdzdθ.

(c) Plantear la integral I en coordenadas esfericas en los ´ ordenes dρdϕdθ y dϕdρdθ.

Respuestas:

(a) En el orden dzdydx:

I = 3√ 32− 3

√ 3

2

−

274

−x2

−

274 −x2

√ 9

−x2

−y2

3−√

9−x2−y2f (x,y ,z) dzdydx

En el orden dydzdx:

I =

3√ 32

− 3√ 3

2

3/23−√ 9−x2

√ 6z−z2−x2−√ 6z−z2−x2

f (x,y ,z) dydzdx

+

3√ 32

− 3√ 3

2

√ 9−x23/2

√ 9−x2−z2−√ 9−x2−z2

f (x,y ,z) dydzdx

En el orden dxdydz:

I =

3/20

3+√ 9−z23−√ 9−z2

√ 6z−z2−y2

−√

6z−z2−y2f (x,y,z) dxdydz

+

33/2

√ 9−z2−√ 9−z2

√ 9−y2−z2

−√

9−y2−z2f (x,y,z) dxdydz

(b) En coordenadas cilındricas en el orden dzdρdθ:

I = 2π

0 3√ 3

2

0 √

9−ρ2

3

−

√ 9

−ρ2

f

ρ cos(θ)ρ sen(θ)

z

· ρ dzdρdθ

En coordenadas cil ındricas en el orden dρdzdθ:

I =

2π0

3/20

√ 6z−z20

f

ρ cos(θ)

ρ sen(θ)z

· ρ dρdzdθ

+

2π0

33/2

√ 9−z20

f

ρ cos(θ)

ρ sen(θ)z

· ρ dρdzdθ




(c) En coordenadas esfericas en el orden dρdϕdθ:

I =

2π0

π/30

30

f

ρ cos(θ) sen(ϕ)

ρ sen(θ) sen(ϕ)ρ cos(ϕ)

· ρ2 sen(ϕ) dρdzdθ

+ 2π0

π/2π/3

6 cos(ϕ)0

f ρ cos(θ) sen(ϕ)ρ sen(θ) sen(ϕ)

ρ cos(ϕ) ·

ρ2 sen(ϕ) dρdzdθ

En coordenadas esfericas en el orden dϕdρdθ:

I =

2π0

30

π/30

f

ρ cos(θ)sen(ϕ)


· ρ2 sen(ϕ) dϕdρdθ

+

2π0

30

arccos( ρ6)

π/3f

ρ cos(θ)sen(ϕ)


· ρ2 sen(ϕ) dϕdρdθ

Ejercicio 3.13. [Basado en Ejercicio Oficial 9.17 de MA1003]

Considere la integral I =

T

x2 + y2 + z2

dxdydz, donde T es la regi´ on determinada por las

condiciones 1 ≤ z ≤ 2 ∧ x2 + y2 + z2 ≤ 4

(a) Calcule I usando coordenadas cilındricas.

(b) Calcule I usando coordenadas esfericas.

Respuesta:

(a) En coordenadas cilındricas:

I =

2π0

√ 30

√ 4−ρ2

1

ρ2 + z2

· ρ dzdρdθ = 49π

10

(b) En coordenadas esfericas:

I =

2π0

π/30

2sec(ϕ)

ρ2 · ρ2 sen(ϕ) dρdϕdθ = 49π

10




Referencias

[1] Poltronieri J., C´ alculo Integral: Integraci´ on m´ ultiple , Serie Cabecar, 2003

[2] Acuna O., Poltronieri J., Ejercicios de C´ alculo III , Serie Cabecar, 2008

[3] Piskunov N., C´ alculo Diferencial e Integral. Tomo II , Editorial Mir, Moscu, URSS, 1977

[4] Demidovich B., Problemas y Ejercicios de An´ alisis Matem´ atico, Editorial Mir, Moscu, URSS, 1973

[5] Edwards C. H., Advances Calculus of Several Variables , Academic Press Inc., New York, USA 1973

[6] Apostol, T., Calculus , Vol. I y II. Editorial Reverte, Espana, 1980

[7] Lipschuttz M. Teorıa y Problemas de Geometrıa Diferencial , Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1971

[8] Widder D., Advanced Calculus , Dover Publications, Inc., New York, USA, 1989

[9] Larson R., Hostetler, C´ alculo y Geometrıa Analıtica , Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1989

[10] Pastor J., Santalo L. y Balanzat M., Geometrıa Analıtica , Editorial Kapeluz, Buenos Aires Argentina,

1959

tema 3. integrales múltiples

Documents