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1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
1. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = x2 − 2x y el
eje OX.
Los cortes de la grá�ca de y = x2 − 2x con el eje OX son los valores
de x tales que x2 − 2x = 0, esto es, x = 0 y x = 2. El área A será
A =
∫ 2
02x− x2dx =
[x2 − x3
3
]20
= 4− 8
3=
4
3
2. Hallar el área de la región limitada por la grá�ca de y = senx y el eje
OX en [0, 2π].
El área A será
A =
∫ π
0senxdx−
∫ 2π
πsenxdx = [− cosx]π0 − [− cosx]2ππ = 4
3. Hallar el área limitada por las grá�cas de x2 = y e y = 1x2+3
.
Calculemos los puntos de intersección de las grá�cas. Se tiene
x2 =1
x2 + 3⇔ x4 + 3x2 − 1 = 0⇔ z2 + 3z − 1 = 0 para z = x2
2 1 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
Resulta z = −3±√13
2 . Como z = x2 debe ser positivo, se tiene z =
−3+√13
2 y, entonces, x = ±√−3+
√13
2 = ±a.
El área A será
A =
∫ a
−a
1
x2 + 3− x2dx =
√3
3
[arc tg
x√3
]a−a−[x3
3
]a−a
= 0, 244
4. Hallar el área limitada por las grá�cas de y = senx e y = cosx en
[π/4, 5π/4].
Calculemos los puntos de corte de las grá�cas de las dos funciones en
el intervalo [π/4, 5π/4]. Como senx = cosx para x = π/4 ó x = 5π/4,las grá�cas se cortan en los extremos del intervalo.
Tendremos que el área es
A =
∫ 5π/4
π/4senx− cosxdx = [− cosx− senx]
5π/4π/4 = 4
√2
2= 2√
2
5. Hallar el área limitada por las grá�cas y2 = 1− x y 2y = x+ 2.
Escribiendo las ecuaciones con la x en función de la y, se tiene x = 2y−2, que es una recta, y x = 1−y2, que es una parábola �tumbada� sobre
3
el eje OX. Si integramos con respecto a la y, debemos encontrar los
valores de la y donde se cortan las grá�cas. Estos valores son aquellos
que cumplen
2y − 2 = 1− y2 ⇔ y2 + 2y − 3 = 0⇔ y =−2± 4
2=
{1−3
El área será
A =
∫ 1
−3(1− y2)− (2y − 2)dy =
[−y
3
3− y2 + 3y
]1−3
=32
3
6. Calcular el área encerrada por la elipse de ecuación x2
a2+ y2
b2= 1.
Se tiene x = a cos t, y = b sen t. La elipse está centrada en el origen y
su grá�ca es del siguiente tipo:
a
b
A
con área igual a 4A. Cuando (x, y) = (0, b), entonces cos t = 0, esto es,
t = π/2. De igual manera, cuando (x, y) = (a, 0), entonces cos t = 1,esto es, t = 0. El área buscada es
4A = 4
∫ a
0f(x) dx = 4
∫ 0
π/2b sen t(−a sen t) dt =
= 4
∫ 0
π/2−ab sen2 t dt = −4ab
∫ 0
π/2sen2 t dt =
= −4ab
∫ 0
π/2
1− cos 2t
2dt = −2ab
[t− 1
2sen 2t
]0π/2
= πab
4 1 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
7. Estudiar el carácter de las siguientes integrales impropias:
a)∫ 0−∞
dx(2−3x)2
La función f(x) = 1(2−3x)2 es continua en todo el intervalo D =
(−∞, 0]. Además, f(x) > 0 para todo x ∈ D. La integral es
impropia de primera especie y converge, ya que
∫ 0
−∞
dx
(2− 3x)2= lım
a→−∞
∫ 0
a
dx
(2− 3x)2= lım
a→−∞
[1
3(2− 3x)
]0a
=
= lıma→−∞
1
3
[1
2− 1
2− 3a
]=
1
6
b)∫∞2
dxx(lnx)2
La función f(x) = 1x(lnx)2
es continua en todo el intervalo D =
[2,∞). Además, lımx→∞ f(x) = 0, con lo que hay una asíntota
horizontal de ecuación y = 0.
La integral es de primera especie y converge, ya que∫ ∞2
dx
x(lnx)2= lım
b→∞
∫ b
2
dx
x(lnx)2= lım
b→∞
[− 1
lnx
]b2
=
= lımb→∞
[− 1
ln b+
1
ln 2
]=
1
ln 2
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c)∫∞−∞
x√x2+1
dx
La función f(x) = x√x2+1
es continua en todo el intervalo (−∞,∞),
luego la integral será de primera especie. Además, se tiene que
lımx→±∞ f(x) = ±1, de modo que hay dos asíntotas horizontales
de ecuaciones y = 1 e y = −1, lo cual nos indica que la integral
será divergente.
En efecto,
∫ ∞−∞
x√x2 + 1
dx =
∫ 0
−∞
x√x2 + 1
dx++
∫ ∞0
x√x2 + 1
dx = I1+I2
Estudiemos la convergencia de I1.
I1 =
∫ 0
−∞
x√x2 + 1
dx = lıma→−∞
∫ 0
a
x√x2 + 1
dx =
= lıma→−∞
[(x2 + 1)1/2
]0a
= lıma→−∞
[1− (a2 + 1)1/2
]= −∞
De modo que I1 es divergente y, por tanto, también lo es la integral
del enunciado.
d)∫∞−∞(1− x)e−xdx
Observemos que f(x) = (1 − x)e−x es continua en toda la rec-
ta real (integral de primera especie), con lımx→∞ f(x) = 0 y
lımx→−∞ f(x) =∞, de modo que la integral va a ser divergente.
6 1 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
En efecto, integrando por partes,∫(1− x)e−xdx = −e−x −
∫xe−xdx =
= −xe−x −[−xe−x +
∫e−xdx
]= xe−x
De manera que
∫ ∞−∞
(1−x)e−xdx =
∫ 0
−∞(1−x)e−xdx+
∫ ∞0
(1−x)e−xdx = I1+I2
Estudiemos la convergencia de I1:
I1 =
∫ 0
−∞(1− x)e−xdx = lım
a→−∞
[xe−x
]0a
= lıma→−∞
−ae−a =∞
Como I1 no converge, tampoco lo hace la integral del enunciado.
e)∫ 2−1
x(x2−1)2/3dx
La función f(x) = x(x2−1)2/3 tiene, en el intervalo [−1, 2], un do-
minio D = (−1, 2] \ {1}, ya que en los puntos {±1} hay dos
asíntotas verticales al anularse el denominador (obsérvese la grá-
�ca). La función f(x) será continua en D. Tenemos una integral
impropia de segunda especie.
∫ 2
−1
x
(x2 − 1)2/3dx =
∫ 0
−1
x
(x2 − 1)2/3dx+
∫ 1
0
x
(x2 − 1)2/3dx+
+
∫ 2
1
x
(x2 − 1)2/3dx = I1 + I2 + I3
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Como∫
x(x2−1)2/3 = 3
2(x2 − 1)1/3 + C, entonces
I1 = lıma→−1+
∫ 0
a
x
(x2 − 1)2/3dx = lım
a→−1+3
2
[(x2 − 1)1/3
]0a
=−3
2
I2 = lımb→1−
∫ b
0
x
(x2 − 1)2/3dx = lım
b→1−
3
2
[(x2 − 1)1/3
]b0
=3
2
I3 = lıma→1+
∫ 2
a
x
(x2 − 1)2/3dx = lım
a→1+
3
2
[(x2 − 1)1/3
]2a
=3
23√
3
Así,∫ 2−1
x(x2−1)2/3dx = I1+I2+I3 = 3
23√
3, de modo que la integral
es convergente.
f)∫ 1−2 x
−2/3dx
La función f(x) = x−2/3 tiene una asíntota vertical en x = 0 y es
continua en su dominio, que será D = [−2, 1] \ {0}.
Tenemos una integral de segunda especie con∫ 1
−2x−2/3dx =
∫ 0
−2x−2/3dx+
∫ 1
0x−2/3dx = I1 + I2
Como∫x−2/3dx = 3x1/3 + C, resulta
I1 = lımb→0−
[3x1/3
]b−2
= 33√
2 I2 = lıma→0+
[3x1/3
]1a
= 3
De modo que la integral es convergente y∫ 1−2 x
−2/3dx = 3( 3√
2+1).
g)∫ 2−3
1x4dx
El integrando tiene una asíntota vertical en x = 0. La integral es
de segunda especie.
8 1 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
∫ 2
−3
1
x4dx =
∫ 0
−3
1
x4dx+
∫ 1
0
1
x4dx = I1 + I2
Tenemos∫
1x4dx = − 1
3x3+ C. Veamos la convergencia de I1.
I1 = lımb→0−
[− 1
3x3
]b−3
= lımb→0−
−1
3
(1
b3− 1
27
)=∞
Como I1 diverge, la intregral del enunciado también lo hace.
h)∫ 20
3x2+x−2dx
La función f(x) = 3x2+x−2 = 3
(x+2)(x−1) tiene dos asíntotas verti-
cales, aunque en el intervalo [0, 2] sólo se tiene x = 1. La integral
es de segunda especie.
∫ 2
0
3
x2 + x− 2dx =
∫ 1
0
3
x2 + x− 2dx+
∫ 2
1
3
x2 + x− 2dx = I1+I2
Se tiene ∫3
x2 + x− 2dx = 3
∫1
x2 + x− 2dx =
= 3
∫ (−1/3
x+ 2+
1/3
x− 1
)dx = ln
∣∣∣∣x− 1
x+ 2
∣∣∣∣
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De manera que
I1 = lımb→1−
[ln
∣∣∣∣x− 1
x+ 2
∣∣∣∣]b0
= −∞
Como I1 diverge, también lo hace la integral del enunciado.
i)∫∞−∞
ex
1+e2xdx
La función f(x) = ex
1+e2xes continua en todo el intervalo (−∞,∞).
La integral es de primera especie.
Además,∫
ex
1+e2xdx = arc tg ex + C, de modo que
∫ ∞−∞
ex
1 + e2xdx =
∫ 0
−∞
ex
1 + e2xdx+
∫ ∞0
ex
1 + e2xdx = I1 + I2
Por simetría de f(x) tendremos que I1 = I2. Estudiemos la con-
vergencia de I1.
I1 = lıma→∞
[arc tg ex]0a =π
4
Como I1 = I2, se tiene que la integral del enunciado es conver-
gente, con∫∞−∞
ex
1+e2xdx = π
2 .
j)∫ 3−3
x+3√9−x2dx
La función f(x) = x+3√9−x2 es continua en todo el intervalo [−3, 3],
salvo en el extremo x = −3, donde no está de�nida y limx→−3+f(x) =0, y en el extremo x = 3, donde se tiene una asíntota vertical (ver
dibujo). La integral es de segunda especie.
10 1 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
Resolvamos la integral inde�nida.∫x+ 3√9− x2
dx =
∫x√
9− x2dx+ +3
∫dx√
9− x2=
= −(9− x2)1/2 + 3 arc senx
3+ C
Entonces ∫ 3
−3
x+ 3√9− x2
dx = lımb→3−
∫ b
−3
x+ 3√9− x2
dx =
= lımb→3−
[−(9− x2)1/2 + 3 arc sen
x
3
]b−3
=
= lımb→3−
(−(9− b2)1/2 + 3 arc sen
b
3− 3 arc sen(−1)
)= 3π
y la integral es convergente.
k)∫ 11/2
1x2√1−x2dx
La función f(x) = 1x2√1−x2 está de�nida y es continua en todo
el intervalo [1/2, 1) y tiene una asíntota vertical en x = 1. Laintegral es de segunda especie.
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Se tiene
∫1
x2√
1− x2dx =
∫dt
sen2 t= − cotg t = −
√1− x2x
+ C
La segunda igualdad se obtiene haciendo el cambio x = sen t,dx = cos tdt.
Entonces
∫ 1
1/2
1
x2√
1− x2dx = lım
b→1−
[−√
1− x2x
]b1/2
=√
3
La integral converge.
l)∫ 2−1
1(x−1)2dx
La función f(x) = 1(x−1)2 está de�nida y es continua en todo
el intervalo [−1, 2], salvo en x = 1, donde existe una asíntota
vertical. La integral es de segunda especie.
Como∫
1(x−1)2dx = −(x− 1)−1 + C, se tiene
∫ 2
−1
1
(x− 1)2dx =
∫ 1
−1
1
(x− 1)2dx+
∫ 2
1
1
(x− 1)2dx = I1 + I2
Estudiemos la convergencia de I1.
I1 = lımb→1−
[−(x− 1)−1
]b−1 =∞,
de modo que la integral diverge.
ll)∫ 21
1√x−1dx
La función f(x) = 1√x−1 está de�nida y es continua en el intervalo
(1, 2], teniendo una asíntota vertical en x = 1.
12 1 INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS
Tendremos
∫ 2
1
1√x− 1
dx = lıma→1+
∫ 2
a
1√x− 1
dx = lıma→1+
[2(x− 1)1/2
]2a
= 2
de modo que la integral converge.
lll)∫ 160
14√xdx
La función f(x) = 14√x está de�nida y es continua en todo el
intervalo (0, 16]. En x = 0 se tiene una asíntota vertical.
∫ 16
0
14√xdx = lım
a→0+
∫ 16
a
14√xdx = lım
a→0+
[4
3x3/4
]16a
=32
3
Entonces, la integral converge.
llll)∫∞0 senxdx
La función f(x) = senx es continua en todo el intervalo [0,∞).La integral es de primera especie.
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∫ ∞0
senxdx = lımb→∞
∫ b
0senxdx = lım
b→∞[− cosx]b0 = lım
b→∞(− cos b+1)
Sin embargo, este límite no existe (tomando b valores del tipo
b = 2nπ, el límite sería 0, mientras que tomando b valores del
tipo b = (2n+ 1)π, el límite sería 2).