Práctica 8Integrales de Linea

yTeorema de Cauchy

1

Capítulo 12

Integrales complejas de línea

Objetivos: El alumno debe aprender el concepto de Curva “suave a trozos” en , descrita por una función de

. También debe llegar al contenido teórico siguiente, .Además debe entender las propiedades de la integral de un campo escalar, sobre una trayectoria, así como el

Teorema Fundamental del Cálculo para y con subconjunto simplemente conexo de .

12.1 Curvas en el plano complejo

Recordemos la definición de “curva descrita” por una función de :

Sea . Sea curva en . Si cada , se dice que “ describe a ”.

Definición 1 Curva en , descrita por .

Sea , si cada , se dice que “ describe a ”.

Ahora bien, si es contínua en se dice que es curva contínua en , notación: .

Definición 2 Curva SuaveSi existe , y y además , para todo se dice que es

“suave” sobre y por analogía se dice que también que es “suave” sobre .

Definición 3 Curva Suave a trozosdescrita por es “suave a trozos”, si el intervalo puede subdividirse en un número finito de subintervalos

con y tales que es suave en cada uno de los subintervalos. (se

dice también que es suave a trozos en ). Todas las curvas bajo nuestra consideración serán suaves a trozos (a

menos que se exprese lo contrario).

Definición 4Sea con , entonces existe:

Definición 5Sea , , sea además una función que describe a una curva suave atrozos en . Se define la integral de a lo largo de la curva (se dice también: a lo largo de ):

notación: o por

141

Capítulo 12

Integrales complejas de línea

Objetivos: El alumno debe aprender el concepto de Curva “suave a trozos” en , descrita por una función de

. También debe llegar al contenido teórico siguiente, .Además debe entender las propiedades de la integral de un campo escalar, sobre una trayectoria, así como el

Teorema Fundamental del Cálculo para y con subconjunto simplemente conexo de .

12.1 Curvas en el plano complejo

Recordemos la definición de “curva descrita” por una función de :

Sea . Sea curva en . Si cada , se dice que “ describe a ”.

Definición 1 Curva en , descrita por .

Sea , si cada , se dice que “ describe a ”.

Ahora bien, si es contínua en se dice que es curva contínua en , notación: .

Definición 2 Curva SuaveSi existe , y y además , para todo se dice que es

“suave” sobre y por analogía se dice que también que es “suave” sobre .

Definición 3 Curva Suave a trozosdescrita por es “suave a trozos”, si el intervalo puede subdividirse en un número finito de subintervalos

con y tales que es suave en cada uno de los subintervalos. (se

dice también que es suave a trozos en ). Todas las curvas bajo nuestra consideración serán suaves a trozos (a

menos que se exprese lo contrario).

Definición 4Sea con , entonces existe:

Definición 5Sea , , sea además una función que describe a una curva suave atrozos en . Se define la integral de a lo largo de la curva (se dice también: a lo largo de ):

notación: o por

141

ObserveNota: Si no hay otros puntos excepcionales, es decir si es suave en se tiene

Resultado Importante

Se demuestra que si , poniendo

, , , y se llega a

Ambas integrales de línea analizadas en MA2112. Recuérdese que y .De la última fórmula (la cual sirve para ejercicios teóricos) y de las propiedades de las integrales de línea (estu-

diadas en MA2112), resultan las propiedades siguientes:

Sean y ; , sean , complejos constantes dados.

Entonces se cumple:

1. , para cualquier constante en .

2. (linealidad respecto al integrando)

3. Sean , curvas en representadas respectivamente por y con

(unión disjunta) la curva descrita por consi

si , entonces:

Figura 12.1:

También se puede escribir

4. Si es una reparamtrización de , con curva descrita por y , siendocon , , entonces:

(i) si ,

(ii) si ,Podemos hablar entonces de la integral de a lo largo, por ejemplo de una circunferencia sin especificar la

parametrización. El esquema funcional es el siguiente (Ver página 151):

142

Nota: Si no hay otros puntos excepcionales, es decir si es suave en se tiene

Resultado Importante

Se demuestra que si , poniendo

, , , y se llega a

Ambas integrales de línea analizadas en MA2112. Recuérdese que y .De la última fórmula (la cual sirve para ejercicios teóricos) y de las propiedades de las integrales de línea (estu-

diadas en MA2112), resultan las propiedades siguientes:

Sean y ; , sean , complejos constantes dados.

Entonces se cumple:

1. , para cualquier constante en .

2. (linealidad respecto al integrando)

3. Sean , curvas en representadas respectivamente por y con

(unión disjunta) la curva descrita por consi

si , entonces:

Figura 12.1:

También se puede escribir

4. Si es una reparamtrización de , con curva descrita por y , siendocon , , entonces:

(i) si ,

(ii) si ,Podemos hablar entonces de la integral de a lo largo, por ejemplo de una circunferencia sin especificar la

parametrización. El esquema funcional es el siguiente (Ver página 151):

142

2

Problema 1.

Figura 12.4:

Figura 12.5:

Sin embargo, en algunos textos se define como una función de un abierto , sin exigir que sea sim-

plemente conexo, en estos casos hay que pensar que no debe estar en el interior de los huecos de (si loshay).

12.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular y con

(a) con

(b) con(c) Establecer la relación entre (a) y (b).

Solución(a)

con para abreviar. Ahora de acuerdo a la definición (5),

144

Figura 12.4:

Figura 12.5:

Sin embargo, en algunos textos se define como una función de un abierto , sin exigir que sea sim-

plemente conexo, en estos casos hay que pensar que no debe estar en el interior de los huecos de (si loshay).

12.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular y con

(a) con

(b) con(c) Establecer la relación entre (a) y (b).

Solución(a)

con para abreviar. Ahora de acuerdo a la definición (5),

144

Figura 12.4:

Figura 12.5:

Sin embargo, en algunos textos se define como una función de un abierto , sin exigir que sea sim-

plemente conexo, en estos casos hay que pensar que no debe estar en el interior de los huecos de (si loshay).

12.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular y con

(a) con

(b) con(c) Establecer la relación entre (a) y (b).

Solución(a)

con para abreviar. Ahora de acuerdo a la definición (5),

144

Figura 12.4:

Figura 12.5:

Sin embargo, en algunos textos se define como una función de un abierto , sin exigir que sea sim-

plemente conexo, en estos casos hay que pensar que no debe estar en el interior de los huecos de (si loshay).

12.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular y con

(a) con

(b) con(c) Establecer la relación entre (a) y (b).

Solución(a)

con para abreviar. Ahora de acuerdo a la definición (5),

144

(b)

(c) Obsérvese que

Por tanto

es una parametrización de con si

Problema 2

Calcular con curva descrita por .

( Obsérvese que se puede denotar también ).

Solución

describe una vuelta de la circunferencia unitaria de ecuación en sentido , puesto

que , y . (Por lo tanto, de ahora en adelante, cada vez que se escriba lafunción esto es equivalente a y sabremos que es una circunferencia de ecuación

cartesiana en sentido y se puede poner ).

,

.

Problema 3

Calcular con curva descrita por .

Solución

Análogo al anterior (demuéstrelo)

Problema 4

Calcular , C es el segmento de recta que va desde hasta .

145

3

(b)

(c) Obsérvese que

Por tanto

es una parametrización de con si

Problema 2

Calcular con curva descrita por .

( Obsérvese que se puede denotar también ).

Solución

describe una vuelta de la circunferencia unitaria de ecuación en sentido , puesto

que , y . (Por lo tanto, de ahora en adelante, cada vez que se escriba lafunción esto es equivalente a y sabremos que es una circunferencia de ecuación

cartesiana en sentido y se puede poner ).

,

.

Problema 3

Calcular con curva descrita por .

Solución

Análogo al anterior (demuéstrelo)

Problema 4

Calcular , C es el segmento de recta que va desde hasta .

145

(b)

(c) Obsérvese que

Por tanto

es una parametrización de con si

Problema 2

Calcular con curva descrita por .

( Obsérvese que se puede denotar también ).

Solución

describe una vuelta de la circunferencia unitaria de ecuación en sentido , puesto

que , y . (Por lo tanto, de ahora en adelante, cada vez que se escriba lafunción esto es equivalente a y sabremos que es una circunferencia de ecuación

cartesiana en sentido y se puede poner ).

,

.

Problema 3

Calcular con curva descrita por .

Solución

Análogo al anterior (demuéstrelo)

Problema 4

Calcular , C es el segmento de recta que va desde hasta .

145

4

Problema 2.

(b)

(c) Obsérvese que

Por tanto

es una parametrización de con si

Problema 2

Calcular con curva descrita por .

( Obsérvese que se puede denotar también ).

Solución

describe una vuelta de la circunferencia unitaria de ecuación en sentido , puesto

que , y . (Por lo tanto, de ahora en adelante, cada vez que se escriba lafunción esto es equivalente a y sabremos que es una circunferencia de ecuación

cartesiana en sentido y se puede poner ).

,

.

Problema 3

Calcular con curva descrita por .

Solución

Análogo al anterior (demuéstrelo)

Problema 4

Calcular , C es el segmento de recta que va desde hasta .

145

(b)

(c) Obsérvese que

Por tanto

es una parametrización de con si

Problema 2

Calcular con curva descrita por .

( Obsérvese que se puede denotar también ).

Solución

describe una vuelta de la circunferencia unitaria de ecuación en sentido , puesto

que , y . (Por lo tanto, de ahora en adelante, cada vez que se escriba lafunción esto es equivalente a y sabremos que es una circunferencia de ecuación

cartesiana en sentido y se puede poner ).

,

.

Problema 3

Calcular con curva descrita por .

Solución

Análogo al anterior (demuéstrelo)

Problema 4

Calcular , C es el segmento de recta que va desde hasta .

145

5

Problema 3.

Solución

Figura 12.6:

Problema 5

Calcular ; con , utilizando exclusivamente la teoría de funciones de

variable compleja.

Solución

Tales integrales pueden calcularse por el método de “integración por partes” estudiado en cursos anteriores, sin

embargo, aquí queremos utilizar funciones de variable compleja para su resolución.A tal efecto, sea . Por tanto , .

Y observemos que

por lo tanto

Ahora bien,

146

Solución

Figura 12.6:

Problema 5

Calcular ; con , utilizando exclusivamente la teoría de funciones de

variable compleja.

Solución

Tales integrales pueden calcularse por el método de “integración por partes” estudiado en cursos anteriores, sin

embargo, aquí queremos utilizar funciones de variable compleja para su resolución.A tal efecto, sea . Por tanto , .

Y observemos que

por lo tanto

Ahora bien,

146

Solución

Figura 12.6:

Problema 5

Calcular ; con , utilizando exclusivamente la teoría de funciones de

variable compleja.

Solución

Tales integrales pueden calcularse por el método de “integración por partes” estudiado en cursos anteriores, sin

embargo, aquí queremos utilizar funciones de variable compleja para su resolución.A tal efecto, sea . Por tanto , .

Y observemos que

por lo tanto

Ahora bien,

146

Solución

Figura 12.6:

Problema 5

Calcular ; con , utilizando exclusivamente la teoría de funciones de

variable compleja.

Solución

Tales integrales pueden calcularse por el método de “integración por partes” estudiado en cursos anteriores, sin

embargo, aquí queremos utilizar funciones de variable compleja para su resolución.A tal efecto, sea . Por tanto , .

Y observemos que

por lo tanto

Ahora bien,

146

6

Solución

Figura 12.6:

Problema 5

Calcular ; con , utilizando exclusivamente la teoría de funciones de

variable compleja.

Solución

Tales integrales pueden calcularse por el método de “integración por partes” estudiado en cursos anteriores, sin

embargo, aquí queremos utilizar funciones de variable compleja para su resolución.A tal efecto, sea . Por tanto , .

Y observemos que

por lo tanto

Ahora bien,

146

En conclusión

Problema 6

Utilizar funciones de variable compleja para calcular:

Solución

Observe que entonces

y calcule finalmente e por “integración por partes”de (admitimos que aquí también es válido), para llegar

a:

Problema 7

Hallar partes real e imaginaria de

Solución

. es contínua en por lo tanto por el Teorema fundamental del Cálculo, existe

, , Analítica (Por tanto contínua en ) tal que , (obviamente). Ahora,

; . Por lo tanto, .Luego ,

Problema 8

Demuestre que .

(*)C es el borde del cuadrado unitario del dibujo anexo.

Solución

Aquí es contínua en . La curva es la unión de los cuatro lados del cuadrado

descrito por

descrito pordescrito por

descrito por

147

7

Ejercicio 3.

Ejercicio 4.

(b)

(c) Obsérvese que

Por tanto

es una parametrización de con si

Problema 2

Calcular con curva descrita por .

( Obsérvese que se puede denotar también ).

Solución

describe una vuelta de la circunferencia unitaria de ecuación en sentido , puesto

que , y . (Por lo tanto, de ahora en adelante, cada vez que se escriba lafunción esto es equivalente a y sabremos que es una circunferencia de ecuación

cartesiana en sentido y se puede poner ).

,

.

Problema 3

Calcular con curva descrita por .

Solución

Análogo al anterior (demuéstrelo)

Problema 4

Calcular , C es el segmento de recta que va desde hasta .

145

En conclusión

Problema 6

Utilizar funciones de variable compleja para calcular:

Solución

Observe que entonces

y calcule finalmente e por “integración por partes”de (admitimos que aquí también es válido), para llegar

a:

Problema 7

Hallar partes real e imaginaria de

Solución

. es contínua en por lo tanto por el Teorema fundamental del Cálculo, existe

, , Analítica (Por tanto contínua en ) tal que , (obviamente). Ahora,

; . Por lo tanto, .Luego ,

Problema 8

Demuestre que .

(*)C es el borde del cuadrado unitario del dibujo anexo.

Solución

Aquí es contínua en . La curva es la unión de los cuatro lados del cuadrado

descrito por

descrito pordescrito por

descrito por

147

8

Capítulo 13

Teorema de Cauchy. Aplicaciones

Objetivos: El alumno debe manejar con soltura el Teorema de Cauchy y sus aplicaciones. En particular debeentender perfectamente el Teorema de deformación, toda vez que será de mucha utilidad en los capítulos siguientes.

Teorema 9 (Teorema de Cauchy) Sea una curva de Jordan (una curva simple y cerrada) descrita por. Sea abierto tal que es analítica en los puntos de y en Int( ) (el interior de ).

Suponer además que es continua en y en Int( ). Entonces:

Observación 2 La demostración del teorema es el ejercicio 10 del capítulo 12

Corolario 4 Sea , simplemente conexo, , analítica y continua en . Entonces

para toda curva de Jordan en .

El alumno debe convencerse de que el siguiente corolario es una consecuencia del teorema de Cauchy.

Corolario 5 Sea , simplemente conexo, , analítica y continua en . Sean y doscomplejos cualesquiera en y sea una curva simple que una con descrita por .

Entonces no depende de C. Es decir, basta elegir cualquier curva simple que vaya de a en y

se tendrá

Observación 3 Basta tomar (unión disjunta) descrita por y aplicar el teorema de Cauchy.

Figura 13.1:

Notación:

151

Capítulo 13

Teorema de Cauchy. Aplicaciones

Objetivos: El alumno debe manejar con soltura el Teorema de Cauchy y sus aplicaciones. En particular debeentender perfectamente el Teorema de deformación, toda vez que será de mucha utilidad en los capítulos siguientes.

Teorema 9 (Teorema de Cauchy) Sea una curva de Jordan (una curva simple y cerrada) descrita por. Sea abierto tal que es analítica en los puntos de y en Int( ) (el interior de ).

Suponer además que es continua en y en Int( ). Entonces:

Observación 2 La demostración del teorema es el ejercicio 10 del capítulo 12

Corolario 4 Sea , simplemente conexo, , analítica y continua en . Entonces

para toda curva de Jordan en .

El alumno debe convencerse de que el siguiente corolario es una consecuencia del teorema de Cauchy.

Corolario 5 Sea , simplemente conexo, , analítica y continua en . Sean y doscomplejos cualesquiera en y sea una curva simple que una con descrita por .

Entonces no depende de C. Es decir, basta elegir cualquier curva simple que vaya de a en y

se tendrá

Observación 3 Basta tomar (unión disjunta) descrita por y aplicar el teorema de Cauchy.

Figura 13.1:

Notación:

151

Capítulo 13

Teorema de Cauchy. Aplicaciones

Objetivos: El alumno debe manejar con soltura el Teorema de Cauchy y sus aplicaciones. En particular debeentender perfectamente el Teorema de deformación, toda vez que será de mucha utilidad en los capítulos siguientes.

Teorema 9 (Teorema de Cauchy) Sea una curva de Jordan (una curva simple y cerrada) descrita por. Sea abierto tal que es analítica en los puntos de y en Int( ) (el interior de ).

Suponer además que es continua en y en Int( ). Entonces:

Observación 2 La demostración del teorema es el ejercicio 10 del capítulo 12

Corolario 4 Sea , simplemente conexo, , analítica y continua en . Entonces

para toda curva de Jordan en .

El alumno debe convencerse de que el siguiente corolario es una consecuencia del teorema de Cauchy.

Corolario 5 Sea , simplemente conexo, , analítica y continua en . Sean y doscomplejos cualesquiera en y sea una curva simple que una con descrita por .

Entonces no depende de C. Es decir, basta elegir cualquier curva simple que vaya de a en y

se tendrá

Observación 3 Basta tomar (unión disjunta) descrita por y aplicar el teorema de Cauchy.

Figura 13.1:

Notación:

151

9

Problema 4.

Teorema 10 (Teorema de Deformación) Sean y dos curvas de Jordan tales que tengan la misma orientacióny una de ellas, por ejemplo , contenida completamente en int . Sea abierto analítica sobrelas dos curvas y en la región comprendida entre ellas, con contínua en y en .

Figura 13.2:

Entonces

Observación 4 Si se elige el sentido antihorario, entonces (ambas integrales en sentido

antihorario) y si el sentido elegido es el horario, entonces (ambas en sentido horario).

El Teorema se llama de deformación porque es como si se deformara hasta llegar a

Teorema 11 (Generalización del Teorema de Deformación) Sean , curvas de Jordan con

la misma orientación y pero . Sean, además, la región entre las curvas y

analítica en , en las y en con contínua en , en las y en . Entonces

13.1 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular (sentido antihorario), con .

Soluciónrepresenta a una circunferencia de centro como punto en y radio real .

En efecto,.

Ahora bien, no podemos usar el teorema de las primitivas, toda vez que una posible primitiva para ,

es , pero no está definida en y Dom( ) no es simplemente conexo (es conexo pero tiene

un hueco).

152

Teorema 10 (Teorema de Deformación) Sean y dos curvas de Jordan tales que tengan la misma orientacióny una de ellas, por ejemplo , contenida completamente en int . Sea abierto analítica sobrelas dos curvas y en la región comprendida entre ellas, con contínua en y en .

Figura 13.2:

Entonces

Observación 4 Si se elige el sentido antihorario, entonces (ambas integrales en sentido

antihorario) y si el sentido elegido es el horario, entonces (ambas en sentido horario).

El Teorema se llama de deformación porque es como si se deformara hasta llegar a

Teorema 11 (Generalización del Teorema de Deformación) Sean , curvas de Jordan con

la misma orientación y pero . Sean, además, la región entre las curvas y

analítica en , en las y en con contínua en , en las y en . Entonces

13.1 Ejercicios Resueltos

Problema 1

Calcular (sentido antihorario), con .

Soluciónrepresenta a una circunferencia de centro como punto en y radio real .

En efecto,.

Ahora bien, no podemos usar el teorema de las primitivas, toda vez que una posible primitiva para ,

es , pero no está definida en y Dom( ) no es simplemente conexo (es conexo pero tiene

un hueco).

152

10

Por esta razón, trataremos de calcular la integral dada a partir de la definición:

una parametrización de y continua en .Ahora, una parametrización de (recorrida en sentido antihorario) es

. Así y

.

Entonces, .

De aquí en adelante, cada vez que nos aparezca la integral con C en sentido antihorario, sabremos

que vale y que la curva en cuestión es una circunferencia con centro y radio .

Problema 2

Sea una curva de Jordan cualquiera y int( ) (el interior de ). Calcular , con en sentido

antihorario o positivo.

Solución

Primero, consideremos la circunferencia de centro y radio , con escogido de tal manera que esté con-tenida íntegramente en el interior de . Además, le damos a la misma orientación de (antihoraria).

Figura 13.3:

Sea la región comprendida entre y y . es analítica en puesto que es una función

racional cuyo denominador sólo se anula en . Ahora, por la construcción de , es analítica en , en y en

y es continua en , y (puesto que el punto de discontinuidad de está fuera de estos

conjuntos). Finalmente, por el teorema de deformación, y como viene dada por

entonces el valor de ambas integrales es (Gracias al ejercicio 1).

Problema 3

Calcular , siendo el cuadrado de vértices , recorrido en sentido horario

Solución

Consideramos la circunferencia de centro y radio adecuado para que quede íntegramente en el

153

11

Problema 5.

Por esta razón, trataremos de calcular la integral dada a partir de la definición:

una parametrización de y continua en .Ahora, una parametrización de (recorrida en sentido antihorario) es

. Así y

.

Entonces, .

De aquí en adelante, cada vez que nos aparezca la integral con C en sentido antihorario, sabremos

que vale y que la curva en cuestión es una circunferencia con centro y radio .

Problema 2

Sea una curva de Jordan cualquiera y int( ) (el interior de ). Calcular , con en sentido

antihorario o positivo.

Solución

Primero, consideremos la circunferencia de centro y radio , con escogido de tal manera que esté con-tenida íntegramente en el interior de . Además, le damos a la misma orientación de (antihoraria).

Figura 13.3:

Sea la región comprendida entre y y . es analítica en puesto que es una función

racional cuyo denominador sólo se anula en . Ahora, por la construcción de , es analítica en , en y en

y es continua en , y (puesto que el punto de discontinuidad de está fuera de estos

conjuntos). Finalmente, por el teorema de deformación, y como viene dada por

entonces el valor de ambas integrales es (Gracias al ejercicio 1).

Problema 3

Calcular , siendo el cuadrado de vértices , recorrido en sentido horario

Solución

Consideramos la circunferencia de centro y radio adecuado para que quede íntegramente en el

153

Por esta razón, trataremos de calcular la integral dada a partir de la definición:

una parametrización de y continua en .Ahora, una parametrización de (recorrida en sentido antihorario) es

. Así y

.

Entonces, .

De aquí en adelante, cada vez que nos aparezca la integral con C en sentido antihorario, sabremos

que vale y que la curva en cuestión es una circunferencia con centro y radio .

Problema 2

Sea una curva de Jordan cualquiera y int( ) (el interior de ). Calcular , con en sentido

antihorario o positivo.

Solución

Primero, consideremos la circunferencia de centro y radio , con escogido de tal manera que esté con-tenida íntegramente en el interior de . Además, le damos a la misma orientación de (antihoraria).

Figura 13.3:

Sea la región comprendida entre y y . es analítica en puesto que es una función

racional cuyo denominador sólo se anula en . Ahora, por la construcción de , es analítica en , en y en

y es continua en , y (puesto que el punto de discontinuidad de está fuera de estos

conjuntos). Finalmente, por el teorema de deformación, y como viene dada por

entonces el valor de ambas integrales es (Gracias al ejercicio 1).

Problema 3

Calcular , siendo el cuadrado de vértices , recorrido en sentido horario

Solución

Consideramos la circunferencia de centro y radio adecuado para que quede íntegramente en el

153

12

Por esta razón, trataremos de calcular la integral dada a partir de la definición:

una parametrización de y continua en .Ahora, una parametrización de (recorrida en sentido antihorario) es

. Así y

.

Entonces, .

De aquí en adelante, cada vez que nos aparezca la integral con C en sentido antihorario, sabremos

que vale y que la curva en cuestión es una circunferencia con centro y radio .

Problema 2

Sea una curva de Jordan cualquiera y int( ) (el interior de ). Calcular , con en sentido

antihorario o positivo.

Solución

Primero, consideremos la circunferencia de centro y radio , con escogido de tal manera que esté con-tenida íntegramente en el interior de . Además, le damos a la misma orientación de (antihoraria).

Figura 13.3:

Sea la región comprendida entre y y . es analítica en puesto que es una función

racional cuyo denominador sólo se anula en . Ahora, por la construcción de , es analítica en , en y en

y es continua en , y (puesto que el punto de discontinuidad de está fuera de estos

conjuntos). Finalmente, por el teorema de deformación, y como viene dada por

entonces el valor de ambas integrales es (Gracias al ejercicio 1).

Problema 3

Calcular , siendo el cuadrado de vértices , recorrido en sentido horario

Solución

Consideramos la circunferencia de centro y radio adecuado para que quede íntegramente en el

153

13

Problema 6.Problema 5

Calcular , siendo la curva determinada por , recorrida en sentido antihorario.

Solución

Luego, (función racional) es analítica en . Obsérvese que y están en int (y, por tanto,

no se puede aplicar el teorema de Cauchy).

Consideremos circunferencias , de radio y centro 0, y , centrada en 1 y con radio tales que y esténen int pero , recorridas (ambas) en sentido antihorario.

Figura 13.6:

Ahora, , al ser, de nuevo, función racional, es continua en y en , siendo la

región comprendida entre y . (Obsérvese que también es analítica en y en ). Así, aplicandoel teorema de deformación generalizado tenemos:

Ahora,

Así, , de donde

155

Problema 5

Calcular , siendo la curva determinada por , recorrida en sentido antihorario.

Solución

Luego, (función racional) es analítica en . Obsérvese que y están en int (y, por tanto,

no se puede aplicar el teorema de Cauchy).

Consideremos circunferencias , de radio y centro 0, y , centrada en 1 y con radio tales que y esténen int pero , recorridas (ambas) en sentido antihorario.

Figura 13.6:

Ahora, , al ser, de nuevo, función racional, es continua en y en , siendo la

región comprendida entre y . (Obsérvese que también es analítica en y en ). Así, aplicandoel teorema de deformación generalizado tenemos:

Ahora,

Así, , de donde

155

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Problema 6.Problema 5

Calcular , siendo la curva determinada por , recorrida en sentido antihorario.

Solución

Luego, (función racional) es analítica en . Obsérvese que y están en int (y, por tanto,

no se puede aplicar el teorema de Cauchy).

Consideremos circunferencias , de radio y centro 0, y , centrada en 1 y con radio tales que y esténen int pero , recorridas (ambas) en sentido antihorario.

Figura 13.6:

Ahora, , al ser, de nuevo, función racional, es continua en y en , siendo la

región comprendida entre y . (Obsérvese que también es analítica en y en ). Así, aplicandoel teorema de deformación generalizado tenemos:

Ahora,

Así, , de donde

155

Problema 5

Calcular , siendo la curva determinada por , recorrida en sentido antihorario.

Solución

Luego, (función racional) es analítica en . Obsérvese que y están en int (y, por tanto,

no se puede aplicar el teorema de Cauchy).

Consideremos circunferencias , de radio y centro 0, y , centrada en 1 y con radio tales que y esténen int pero , recorridas (ambas) en sentido antihorario.

Figura 13.6:

Ahora, , al ser, de nuevo, función racional, es continua en y en , siendo la

región comprendida entre y . (Obsérvese que también es analítica en y en ). Así, aplicandoel teorema de deformación generalizado tenemos:

Ahora,

Así, , de donde

155

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Problema 5

Calcular , siendo la curva determinada por , recorrida en sentido antihorario.

Solución

Luego, (función racional) es analítica en . Obsérvese que y están en int (y, por tanto,

no se puede aplicar el teorema de Cauchy).

Consideremos circunferencias , de radio y centro 0, y , centrada en 1 y con radio tales que y esténen int pero , recorridas (ambas) en sentido antihorario.

Figura 13.6:

Ahora, , al ser, de nuevo, función racional, es continua en y en , siendo la

región comprendida entre y . (Obsérvese que también es analítica en y en ). Así, aplicandoel teorema de deformación generalizado tenemos:

Ahora,

Así, , de donde

155

Problema 5

Calcular , siendo la curva determinada por , recorrida en sentido antihorario.

Solución

Luego, (función racional) es analítica en . Obsérvese que y están en int (y, por tanto,

no se puede aplicar el teorema de Cauchy).

Consideremos circunferencias , de radio y centro 0, y , centrada en 1 y con radio tales que y esténen int pero , recorridas (ambas) en sentido antihorario.

Figura 13.6:

Ahora, , al ser, de nuevo, función racional, es continua en y en , siendo la

región comprendida entre y . (Obsérvese que también es analítica en y en ). Así, aplicandoel teorema de deformación generalizado tenemos:

Ahora,

Así, , de donde

155

Problema 5

Calcular , siendo la curva determinada por , recorrida en sentido antihorario.

Solución

Luego, (función racional) es analítica en . Obsérvese que y están en int (y, por tanto,

no se puede aplicar el teorema de Cauchy).

Consideremos circunferencias , de radio y centro 0, y , centrada en 1 y con radio tales que y esténen int pero , recorridas (ambas) en sentido antihorario.

Figura 13.6:

Ahora, , al ser, de nuevo, función racional, es continua en y en , siendo la

región comprendida entre y . (Obsérvese que también es analítica en y en ). Así, aplicandoel teorema de deformación generalizado tenemos:

Ahora,

Así, , de donde

155

Problema 5

Calcular , siendo la curva determinada por , recorrida en sentido antihorario.

Solución

Luego, (función racional) es analítica en . Obsérvese que y están en int (y, por tanto,

no se puede aplicar el teorema de Cauchy).

Consideremos circunferencias , de radio y centro 0, y , centrada en 1 y con radio tales que y esténen int pero , recorridas (ambas) en sentido antihorario.

Figura 13.6:

Ahora, , al ser, de nuevo, función racional, es continua en y en , siendo la

región comprendida entre y . (Obsérvese que también es analítica en y en ). Así, aplicandoel teorema de deformación generalizado tenemos:

Ahora,

Así, , de donde

15516

Problema 7.Problema 6

Calcular , siendo el borde del cuadrado de vértices , recorrido en sentido hora-

rio.

Solución

Sea

Obsérvese que los puntos que anulan al denominador de esta función están fuera de y de int y que es un co-ciente entre un producto de funciones elementales y un polinomio. Por lo tanto, es analítica en .

Figura 13.7:

existe y, su denominador, que es lo que nos importa ahora, es . Luego, es continua en el

dominio de . Aplicando el teorema de Cauchy, obtenemos:

156

Problema 6

Calcular , siendo el borde del cuadrado de vértices , recorrido en sentido hora-

rio.

Solución

Sea

Obsérvese que los puntos que anulan al denominador de esta función están fuera de y de int y que es un co-ciente entre un producto de funciones elementales y un polinomio. Por lo tanto, es analítica en .

Figura 13.7:

existe y, su denominador, que es lo que nos importa ahora, es . Luego, es continua en el

dominio de . Aplicando el teorema de Cauchy, obtenemos:

156

Problema 6

Calcular , siendo el borde del cuadrado de vértices , recorrido en sentido hora-

rio.

Solución

Sea

Obsérvese que los puntos que anulan al denominador de esta función están fuera de y de int y que es un co-ciente entre un producto de funciones elementales y un polinomio. Por lo tanto, es analítica en .

Figura 13.7:

existe y, su denominador, que es lo que nos importa ahora, es . Luego, es continua en el

dominio de . Aplicando el teorema de Cauchy, obtenemos:

156

17

Problema 7.Problema 6

Calcular , siendo el borde del cuadrado de vértices , recorrido en sentido hora-

rio.

Solución

Sea

Obsérvese que los puntos que anulan al denominador de esta función están fuera de y de int y que es un co-ciente entre un producto de funciones elementales y un polinomio. Por lo tanto, es analítica en .

Figura 13.7:

existe y, su denominador, que es lo que nos importa ahora, es . Luego, es continua en el

dominio de . Aplicando el teorema de Cauchy, obtenemos:

156

Problema 6

Calcular , siendo el borde del cuadrado de vértices , recorrido en sentido hora-

rio.

Solución

Sea

Obsérvese que los puntos que anulan al denominador de esta función están fuera de y de int y que es un co-ciente entre un producto de funciones elementales y un polinomio. Por lo tanto, es analítica en .

Figura 13.7:

existe y, su denominador, que es lo que nos importa ahora, es . Luego, es continua en el

dominio de . Aplicando el teorema de Cauchy, obtenemos:

156

Problema 6

Calcular , siendo el borde del cuadrado de vértices , recorrido en sentido hora-

rio.

Solución

Sea

Obsérvese que los puntos que anulan al denominador de esta función están fuera de y de int y que es un co-ciente entre un producto de funciones elementales y un polinomio. Por lo tanto, es analítica en .

Figura 13.7:

existe y, su denominador, que es lo que nos importa ahora, es . Luego, es continua en el

dominio de . Aplicando el teorema de Cauchy, obtenemos:

156

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