u2 integrales de linea y superficie

PROGRAMA DESARROLLADO Unidad 2. Integrales de línea y superficie

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

1

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

Cálculo de varias variables II

6° cuatrimestre

Unidad 2. Integrales de línea y superficie

Clave:

050920622/060920622



2

Índice Unidad 2. Integrales de línea y superficie ..........................................................................................4

Presentación de la unidad ......................................................................................................................4

Propósitos de la unidad ..........................................................................................................................4

Competencia específica ..........................................................................................................................4

2.1 Integral de línea ..................................................................................................................................4

2.1.1. Definición ...................................................................................................................................... 4

2.1.2. Integral de línea de un campo escalar .................................................................................... 5

2.1.3. Longitud de arco de la integral de línea .................................................................................. 6

2.1.4. Integral de línea en el espacio .................................................................................................. 7

2.1.5. Integral de línea de un campo vectorial .................................................................................. 8

2.1.6. Teorema fundamental de las integrales de línea .................................................................. 9

Actividad 1. Integral de línea .............................................................................................................. 10

2.1.7. Independencia de trayectorias ............................................................................................... 10

2.2. Integral de Superficie .................................................................................................................... 11

2.2.1. Integrales de superficie para campos escalares ................................................................. 12

2.2.2. Integral de superficie de un campo vectorial ........................................................................ 13

2.2.3. Superficies parametrizadas (área) ......................................................................................... 14

2.2.4. Superficies orientadas e independencia de parametrización ............................................ 15

Actividad 2.Trayectorias ...................................................................................................................... 17

Actividad 3. Solución de integrales de línea y de superficie ..................................................... 17

Autoevaluación ...................................................................................................................................... 18

Evidencia de aprendizaje. Aplicaciones de la Integral de línea y superficie ......................... 19

Autorreflexiones .................................................................................................................................... 20

Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 20



3

Para saber más....................................................................................................................................... 20

Referencias Bibliográficas .................................................................................................................. 20



4

Unidad 2. Integrales de línea y superficie

Presentación de la unidad

En la Unidad 2, utilizarás los conocimientos de la unidad anterior, y los complementarás con

otros resultados (teorema fundamental de las integrales de línea) para resolver integrales de

línea e integrales de superficie, relacionadas en situaciones de trabajo, flujo, circulación,

trayectorias, áreas parametrizadas, curvas etc.así como el cambio de coordenadas a polares

para integrales dobles, y coordenadas cilíndricas y esféricas para integrales triples lo cual

facilita algunos problemas relacionados con áreas y volúmenes.

Propósitos de la unidad

Resolver integrales de línea y superficie utilizando integrales múltiples.

Competencia específica

Calcular integrales de línea y superficie sobre campos vectoriales, campos escalares,

áreas parametrizadas, curvas (simples, orientadas, no orientadas) y trayectorias.

2.1 Integral de línea

Durante este tema, debes tener presente conceptos que aprendiste en la asignatura de Cálculo

Diferencial, entre ellos continuidad, derivadas parciales e integrales sobre ℝ. Entre las

aplicaciones de la integral de línea, se encuentra la del trabajo que se ejerce sobre un campo

de fuerzas.

2.1.1. Definición

La integral de línea se escribe:

∫

∫

El límite de integración de la integral queda determinado por el parámetro , su valor dependerá

del tipo de curva que se este utilice. Hay diferentes formas de integrarla, en los siguientes

subtemas estudiaremos cada caso.



5

Durante el subtema, se dará por hecho que las curvas son continuas, cuyas derivadas de

primer orden son diferentes de cero (algunos autores las nombran curvas suaves).

Todas las propiedades de la integral de una variable las hereda la integral de línea.

Es importante señalar, que no todas las curvas son continuas, con derivadas de primer orden

diferentes de cero, por ello es posible utilizar resultados similares a los que usaste para

evaluar integrales en la asignatura de Cálculo Integral.

Sea tal que cada una de las es suave, entonces:

∫

∫ ∫ ∫ ∫

2.1.2. Integral de línea de un campo escalar

Sea una curva continua con derivada distinta de cero, su ecuación paramétrica es:

[ ]

Definición:

Sea una función que define a una curva plana continua con derivadas de primer orden

diferentes de cero, entonces la integral de línea de un campo escalar se define como:

∫

∫ √(

)

(

)

Otra notación usual para las integrales de línea sobre curvas planas es:

Sea | | √(

) (

)

∫

∫ ( )| |

Ejemplo:



6

Calcula la integral de línea ∫

, la curva es la mitad del círculo de radio 4 con centro

en el origen.

Solución

Primero necesitamos plantear las ecuaciones paramétricas que usarás, estás dependen del tipo

de curva sobre la cual se calcula la integral. En este caso las ecuaciones son las siguientes:

El parámetro toma valores entre por tratarse de un semicírculo/mitad de circulo.

Ahora sustituye la información que tienes en la definición de integral de línea.

Pasamos los valores

√(

) (

) √ , los límites de integración los proporciona el

parámetro .

∫

2.1.3. Longitud de arco de la integral de línea

El cálculo de la integral de línea con respecto a la longitud de arco, es un caso particular de las

curvas que se forman con un segmento rectilíneo y el arco de alguna función.

Definición:

Sean parametrizaciones para segmentos de rectilíneos y

arcos de curvas.

La integral de línea con respecto a se escribe:

∫ ∫

La integral de línea con respecto a se escribe:

∫ ∫



7

Ejemplo:

Resuelva la integral ∫

, que se encuentra entre las curvas que es una recta que

va de , y el arco de la parábola que va del punto .

Solución:

Es importante que tengas presente la fórmula para representar segmentos rectilíneos, ya que

por medio de éste obtendrás la parametrización que necesitas.

Ya que la representación vectorial de un segmento rectilíneo es ,

al sustituir los puntos se tiene:

, de ahí que:

∫ ∫

Para el segmento del arco de la parábola:

con

∫

2.1.4. Integral de línea en el espacio

Definición:

Sea una función que define a una curva continua, cuya primera derivada es diferente de

cero. Entonces la integral de línea se define como:

∫

∫ √(

)

(

)

(

)

Otra notación usual para las integrales de línea en el espacio es:

Sea | | √(

) (

) (

)



8

∫

∫ ( )| |

Ejemplo:

Sea , sobre la curva parametrizada tal que .

Evalúe la integral de línea.

En este ejemplo, te proporcionan la curva parametrizada, por lo tanto no es necesario encontrar

la parametrización.

Escribimos los datos dentro de la definición de integral de línea y resolvemos.

; √ √

∫ √

2.1.5. Integral de línea de un campo vectorial

La aplicación más común de la integral de línea sobre campos vectoriales, es el cálculo del

trabajo realizado al aplicar una fuerza sobre un objeto.

Recuerda que estarás utilizando la forma vectorial de una curva durante la unidad.

tal que [ ]

Definición:

Un campo vectorial sobre ℝ es una función que asigna a cada pareja ordenada

ℝ , un vector . El conjunto es una región plana.

Definición:

Un campo vectorial sobre ℝ es una función que asigna a cada terna ordenada

ℝ , un vector . El conjunto es una región sólida.

Definición:



9

Se dice que un campo vectorial es continuo, si y sólo si cada una de las funciones que lo

componen lo es, es decir para el caso , sus componentes son y y ambas

deben ser continuas para que lo sea.

Definición:

Sea un campo vectorial continuo, sobre una curva suave cuya ecuación vectorial es ,

tal que [ ].

∫

∫ ( )

La integral de línea de a lo largo de , se expresa el trabajo como:

∫ ( )

Ejemplo:

Cuál es el trabajo que se ejerce por el campo al aplicarlo sobre una partícula

que se mueve a lo largo de la circunferencia

, tal que

.

Al obtener la derivada de y la composición ( ):

( )

∫ ∫

2.1.6. Teorema fundamental de las integrales de línea

El Teorema fundamental de las integrales de línea es una generalización del teorema

fundamental del cálculo, ya que nos permite evaluar una integral de línea que cumple ciertas

condiciones, en los puntos iniciales y finales de la curva.

Teorema:

Sea ℝ ℝ una función escalar continua con derivadas de primer orden también continuas,

la curva [ ] ℝ satisface las mismas condiciones que . Entonces se cumple la siguiente

igualdad:

∫



10

Demostración:

Sea , y su derivada al aplicar el TFC

(Teorema fundamental del cálculo) se obtiene la igualdad deseada.

∫

Ejemplo:

Calcule la integral de línea ∫

, cuya trayectoria .

El teorema nos permite usar al , que es justamente la integral de línea

a resolver, por lo tanto . Aplica el teorema directamente.

∫ ( ) ( )

Actividad 1. Integral de línea A través de esta actividad podrás Identificar las propiedades de la integral de línea para relacionarla con situaciones de la vida cotidiana. Instrucciones

1. A través de lo visto hasta ahora, relaciona el uso del teorema fundamental de las integrales de línea en diversas situaciones de la vida cotidiana.

2. Ingresa al foro y comenta tus respuestas.

3. Revisa las aportaciones de tres de tus compañeros como máximo, aceptando o

rechazando su respuesta.

4. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la

sección Material de apoyo.

2.1.7. Independencia de trayectorias

En algunas de las aplicaciones de la integral de línea, es importante establecer si elegir una

cierta trayectoria en particular, afectará o no el resultado de la integral.

Teorema:



11

Sea un campo vectorial continuo con derivadas de primer orden continuas sobre la curva

parametrizada [ ] ℝ . Si la reparametrización de es [ ] ℝ tal que no

cambia su orientación, entonces la siguiente igualdad es válida.

∫ ∫

Has estado trabajando con Curvas pero aún no se ha determinado cómo son, es decir si son

cerradas, simples o ambas.

Definición:

Se dice que una curva es simple, si no se corta a sí misma.

Definición:

Una curva es cerrada simple, si es simple y además tiene sólo dos opciones de movimiento

(en sentido horario o antihorario)

Observación: No confundas la parametrización de una curva con la orientación de la curva, ya

que una curva puede tener más de una parametrización, pero al momento de cambiar la

orientación cambia el resultado de la integral.

Para poder determinar cuando el resultado de una integral ∫ ∫

es independiente de

la trayectoria se tiene el siguiente resultado:

Teorema:

Dada una integral ∫ ∫

, se dice que es independiente de la trayectoria, sí y sólo sí

∫

para cualquier trayectoria cerrada sobre (dominio).

2.2. Integral de Superficie

El estudio de las integrales de superficie nos ayuda a conocer el comportamiento de las

gráficas que estudiaste en la asignatura de Cálculo de varias variables en el plano tangente,

campos escalares y vectoriales.

Para ello es necesario usar un cambio de variable al que se conoce como parametrización,

de ahí el nombre de superficie paramétrica o parametrizada.

Definición:



12

La función uno a uno ℝ ℝ , define a la superficie paramétrica .

Se escribe , donde son continuas, con

primera derivada continua.

Definición:

El vector tangente con respecto a para cualquier vector fijo se define como:

De manera análoga para el vector tangente con respecto a :

Definición:

Una superficie paramétrica es suave, si , es decir cuando el vector es

perpendicular a .

2.2.1. Integrales de superficie para campos escalares

La integral de superficie aplicada a una función escalar, es una generalización de la integral de

línea con respecto a la longitud de arco.

Definición:

Para función continua, cuya imagen está en ℝ definida en alguna , la

integral de sobre , se define como:

∬

∬ | |

∬ √[

]

[

]

[

]

Ejemplo:



13

Encuentra el valor de la integral ∬

, cuya superficie paramétrica es la esfera unitaria de

radio 1.

Solución:

Utilizamos coordenadas esféricas para la parametrización de la esfera:

tal que

Obtén los valores para:

|

|

Sustituyendo en √[ ] [ ] [ ] | |

La integral a resolver es:

∫ ∫ | | ∫

2.2.2. Integral de superficie de un campo vectorial

Cada resultado que vas aprendiendo en la unidad está enlazado, la integral de superficie

aplicada a un campo vectorial, es una generalización de la integral de superficie aplicada a

campos escalares.

Definición:

Para el campo vectorial , definido sobre una superficie paramétrica . La integral de

superficie de sobre se define como:

∬

∬

Algunos autores usan la notación donde es el vector normal a la superficie

Definición:



14

Para el campo vectorial , la integral de superficie de un campo vectorial sobre una gráfica

, se define como:

∬ ∬ [ (

) (

) ]

Definición:

Las fórmulas para calcular la masa y el centro de masa de una integral de superficie sobre un

campo vectorial son:

∬

∬

∬

∬

Ejemplo:

Sea , campo vectorial sobre la esfera unitaria, ¿Cuál es el flujo del campo

sobre la esfera?

Calcula los elementos que necesitamos para evaluar la integral, usando coordenadas esféricas.

( )

Evalúa la integral

∫ ∫ ∫

2.2.3. Superficies parametrizadas (área)

Por medio de las integrales de superficie paramétricas o parametrizadas, es posible calcular el

área de superficies como las que has trabajo en la unidad 1, pero ahora utilizarás el producto

punto de los vectores normales sobre una superficie paramétrica.

Definición:



15

Para la parametrización de la superficie , contenida en un

dominio , el área de la superficie , se define como:

( ) ∬| |

Cuándo , función continua, con derivadas de primer orden también continuas, tal que

para cualquier punto . La parametrización se escribe:

, cuyo

La integral de área de la superficie se expresa:

( ) ∬ √ [

]

[

]

Ejemplo:

Encuentra el área de la superficie de un cono de radio uno, cuya parametrización está dada por:

Primero evalúa

Calcula √

Y sustituye los datos que tienes en la fórmula.

∫ ∫ √

√

2.2.4. Superficies orientadas e independencia de parametrización

En una superficie paramétrica, es importante establecer que ésta es independiente de la

parametrización.

Las superficies orientadas se utilizan en problemas de física, para calcular el flujo de un campo

vectorial sobre alguna superficie.

Definición:



16

Para un campo vectorial continuo , que se define sobre una superficie orientada con un

vector normal unitario , la integral de superficie se define de la siguiente forma:

∬ ∬

Teorema:

Sea una superficie orientada, el campo continuo, y las parametrizaciones uno a uno,

continuas con sus primeras derivadas continuas. Entonces se cumple la siguiente igualdad:

∬

∬

En caso de que conserve la orientación y la invierta, entonces la integral se escribe:

∬

∬

Definición:

Para un campo continuo, y las funciones continuas, con

primeras derivadas continuas sobre el dominio . Se define la integral de superficie de

orientación como:

∬ ∬

Observación: Para orientaciones negativas, únicamente se multiplica por -1 el resultado, al

usar la definición anterior.

Ejemplo:

Encuentre cuál es el flujo del campo vectorial , que se encuentra sobre la

esfera de radio 1.

Sea una parametrización de la esfera.

Calcula:

con

,

( ) ( )



17

∫ ∫ ∫

Actividad 2.Trayectorias

Al finalizar esta actividad, podrás utilizar las propiedades y aplicaciones de las integrales de

línea y superficie.

1. Descarga el archivo “Act. 2. Trayectorias “

2. Resuelve correctamente cada ejercicio que se te indica

3. Proporciona las gráficas de las superficies que vas a integrar

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV_U2_A2_XXYZ. Sustituye las

XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido

paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu

Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

6. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu

trabajo.

Actividad 3. Solución de integrales de línea y de superficie

Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de resolver problemas y analizar las

diferencias entre las integrales de línea y superficie.

1. Descarga el documento llamado “Act. 3. Solución de integrales de línea y superficie”.

2. Resuelve cada uno de los ejercicios que se te mencionan en el documento

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV2_U2_A3_XXYZ. Sustituye

las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido

paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.





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5. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo

Autoevaluación

Es momento de realizar la Autoevaluación, la cuál te permitirá medir el nivel de conocimiento que has adquirido en la unidad. Instrucciones: Elige la respuesta correcta que corresponda a la pregunta planteada.

1. Dada la trayectoria , donde

. Calcula la integral de línea ∫

.

a)

b)

c)

d)

e)

2. Evalúa la integral de línea ∫

sobre el segmento de línea que va del punto

.

a)

b)

c)

d)

3. Un resorte cuya forma es igual a una hélice, calcula su masa. Su densidad es

y la parametrización de la hélice está dada por:

a) √

b)

√

c) √

d) √

e)

4. Calcula la integral de superficie∬

que se encuentra entre .

a)

b)

c) 2

d) e)

5. ¿Cuál es el flujo que ejerce el campo vectorial (x, y, 0) a través del cilindro de radio 1, y el plano ?



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Evidencia de aprendizaje. Aplicaciones de la Integral de línea y

superficie

Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que resolver

problemas de aplicaciones de integrales de línea y superficie. Además de utilizar todas

las herramientas que aprendiste durante la unidad para encontrar la solución.

Instrucciones:

1. Descarga el documento llamado “EA. Aplicaciones de la integral de línea y superficie”

2. Resuelve el ejercicio que se te plantea en el documento.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV2_U2_EA_XXYZ.

4. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la

inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.



6. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

a) 4

b) c) 2

d) Es necesario comparar tus respuestas, para ello descarga el documento “Respuestas_autoevaluación_U2” ubicado en la pestaña Material de apoyo 1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad. 4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.



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Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad

En esta unidad aprendiste lo que es la integral de línea y superficie así como algunas de sus

aplicaciones que pueden abarcar desde situaciones en la vida cotidiana hasta aspectos

especializados de las ingenierías.

La siguiente unidad es una de las más importantes durante el curso, ya que abarca los

teoremas del cálculo vectorial, los cuales ayudan a facilitar la solución en distintos problemas

relacionados con el cálculo vectorial.

¡Felicidades! Ahora revisa la Unidad 3. Teoremas del cálculo vectorial

Para saber más

Fuentes electrónicas:

Integrales de línea y superficie.

http://www.ma.uva.es/~antonio/Industriales/Apuntes_09-10/MatI/17_Tema-14_09-10.pdf

Teoría y ejemplos sobre la integral de línea y superficie.

http://joseluisquintero.com/Calculo%20Vectorial/Material/TEMA%201%20MATERIAL.pdf

Referencias Bibliográficas

Stewart, J. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas. México D.F..Cengage Learning.

Marsden, J. E. (2011). Cálculo vectorial. México D.F.. Pearson.

http://www.ma.uva.es/~antonio/Industriales/Apuntes_09-10/MatI/17_Tema-14_09-10.pdf

http://joseluisquintero.com/Calculo%20Vectorial/Material/TEMA%201%20MATERIAL.pdf

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