INTEGRALES DE LINEA

TTULO DEL PROYECTO:

INTEGRALES DE LNEA

CURSO:

CALCULO III

CARRERA:

INGENIERIA CIVIL INGENIERA MINAS

CLASE

9787

DOCENTE:

SEVILLANO CASTRO, RODOLFO ANANIAS

INTEGRANTES: DIAZ DIAZ, DENIN RIJKAARD CHOMBA JAMBO , JESSICA VILLENA LLAXA, ELVIS

CAJAMARCA - 2014

DEDICATORIA

Queremos dedicarle este trabajoA Dios quien nos ha dado la vida y fortalezapara terminar este trabajo,A nuestro profesor quien estuvo all para ayudarnos a desarrollar con xito este proyecto. A nuestros Padres por estar ah cuando ms los necesitamos; enespecial a nuestras madres por su ayuda y constante cooperacin.

AGRADECIMIENTO

Primero y antes que nada, dar gracias a Dios, por permitirnos realizar es trabajo, por fortalecer mi corazn e iluminar mi mente y por haber puesto en nuestro camino a aquellas personas que han sido mi soporte y compaa durante todo el periodo de estudio.

Agradecer hoy y siempre a nuestra familia por el esfuerzo realizado por ellos. El apoyo en nuestros estudios, de ser as no hubiese sido posible. A nuestros padres y dems familiares ya que me brindan el apoyo, la alegra y me dan la fortaleza necesaria para seguir adelante. Tambin agradecer a nuestro profesor ya que con su ayuda se realiz el proyecto satisfactoriamenteQueremos dar las gracias a nuestro profesor equipo de trabajo sin el cual no hubiera sido posible la realizacin de este trabajo que nos propusimos llevar a cabo desde comienzos de ciclo. Tambin a nuestros padres y compaeros ya que sin ellos no se hubiera logrado nada. Por eso reitero mi agradecimiento a todos aquellos que nos acompaaron en la ejecucin de este trabajo

INDCETabla de contenidoINTRODUCCION5OBJETIVOS62.1 OBJETIVO GENERAL62.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS6MARCO TEORICO73.1 Preliminares73.2 CURVAS PARAMETRIZADAS73.3 Mtodos Bsicos de parametrizacin de curvas en el plano.73.4 Mtodos bsicos de parametrizacin de curvas en el espacio93.5 Longitud de una curva93.6 Curvas parametrizadas por el arco93.7 INTEGRALES DE LINEA103.8 INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS ESCALARES113.9 INTEGRALES DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALES153.10 APLICACIN DE LA INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALES16EJERCICIOS19TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRALES DE LINEA21INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA EN INTEGRALES DE LINEA233.11 INDEPENDENCIA DEL CAMINO PARA INTEGRALES DE LINEA283.12 TEOREMA DE GREEN31EJERCICIOS PROPUESTOS34CONCLUCIONES35BIBLIOGRAFIA36

INTRODUCCION

Este captulo trata sobre la integracin en campos vectoriales; las matemticas que usan los ingenieros y los fsicos para describir el flujo de fluidos, para el diseo de cables de transmisin submarinos, para explicar el flujo de calor en las estrellas, y para poner satlites en rbita. En particular, definiremos las integrales de lnea que se usan para encontrar el trabajo realizado por un campo de fuerza al mover un objeto a lo largo de una trayectoria a travs del campo. Tambin habremos de definir las integrales de superficie para encontrar la razn con la que un fluido pasa a travs de una superficie. A lo largo de este captulo plantearemos conceptos y resultados clave, como los campos de fuerza conservativos y el teorema de Green, para simplificar los clculos de estas nuevas integrales relacionndolas con las integrales simples, dobles y triples que estudiamos anteriormente.

OBJETIVOS2.1 OBJETIVO GENERAL El objetivo del tema es introducir a los estudiantes al clculo vectorial y su utilizacin como modelos de fenmenos fsicos. Se enfatizar la elaboracin y presentacin de los conceptos, as como la argumentacin matemtica. Tambin se destacar la flexibilidad del clculo vectorial como una herramienta para el modelado y solucin de problemas de la fsica.

2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS a) . Integral de lnea

Determinar la longitud de una curva en el espacio. calcular el volumen de un objeto descrito por una curva, del cual se posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de una curva. el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta los campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.

b) Integrales de lnea independientes de la trayectoria

El clculo de la longitud de una curva. El clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria, teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actan sobre el mismo.

c) Objetivo sobre el teorema de Green

Estudiar con profundidad, analizar e interpretar el teorema de Green Demostrar el teorema de Green

MARCO TEORICO 3.1 Preliminares 3.2 CURVAS PARAMETRIZADAS Definicin:Sea l un intervalo de R. Una curva l. Es una aplicacin continua definida en la forma:C: l l t (x (t), y(t), z(t))Donde t recibe el nombre de parmetro.a) Curvas regulares:Una curva es regular si son continuas en l y no simultneamente nulas. Una curva es regular a trozos si puede expresarse como unin finita de curvas regulares.b) Curvas cerradas:Si , los puntos y reciben el nombre de extremos de la curva. Si A = B la curva es cerrada.c) Vector tangente:El vector tangente a la curva en el punto de parmetro .La recta tangente a la curva en ese punto ser:NOTA:Todas las definiciones vistas para curvas en l sirven para curvas en l, solo basta considerar z = 0.3.3 Mtodos Bsicos de parametrizacin de curvas en el plano.Una curva en el plano viene expresada habitualmente en una de las formas siguientes: Explcita

Implcita

Paramtrica a. Parametrizar una curva expresada en forma explcita basta hacer :

b. La parametrizacin de curvas expresadas en forma implcita requiere de mtodos particulares segn cada tipo. Veamos los casos ms frecuentes :

Segmento de extremos

) Circunferencia de centro y radio r

Implcita:

Paramtrica:

Elipse de centro ( y semiejes a, b

Implcita:

Paramtrica:

3.4 Mtodos bsicos de parametrizacin de curvas en el espacioEn el caso frecuente en que la curva venga dada como interseccin de dos superficies en forma implcita:

C:

Los pasos a seguir para su parametrizacin pueden resumirse as:

Se asla, si es posible, una variable de una ecuacin y se sustituye en la otra (por ejemplo, ).

Se parametriza en el plano coordenado la curva plana que es la proyeccin de la curva C.

Se parametriza la variable aislada.

En el supuesto de que pueda aislarse z, la parametrizacin de C resultara :

3.5 Longitud de una curvaDada la curva La longitud s del arco de curva C entre los puntos de parmetros a y b resulta ser:

3.6 Curvas parametrizadas por el arco

Por definicin, una curva esta parametrizada por el arco s y solo s:

PropiedadC esta parametrizadas por el arco

3.7 INTEGRALES DE LINEAUna integral puede ser evaluada en un intervalo [a, b], como una integral simple:

Tambin puede ser evaluada una integral doble sobre una regin:

Esta integral se evala como integral definida, cuyos extremos dependen de la regin considerada. Vamos a definir una integral que es similar a la integral simple excepto que, en lugar de integrar sobre un intervalo [a, b], o sobre una regin, integramos sobre una curva C. Una integral de lnea es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva.

ObservacinPara el caso en que la curva sea regular pero no est parametrizada por el arco tenemos: Anlogamente, si la curva es regular y est contenida en el dominio de un campo escalar continuo entonces:

Propiedades:(1) (2) (3) (4) La integral de lnea de un campo escalar es independiente de la parametrizacin escogida para la trayectoria de integracin.

3.8 INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS ESCALARESDefinicin:Sea un campo escalar continuo Sea c una curva acotada contenida en el dominio de F y parametrizada por el arco:Definimos la integral del campo escalar F a lo largo de la curva C como:Interpretacin geomtricaSi sobre los puntos de c, la integral anterior puede interpretarse como el rea lateral de la porcin de superficie cilndrica recta que tiene como base en z = 0 la curva C y como altura z = F (x, y) para los (x,y) .Ejercicios1. Calculas las siguientes integrales:a) donde es el borde del tringulo de vrtices (0,0) , (1,0) , (0,1)b) donde es la circunferencia

Solucin El tringulo dado se descompone en tres segmentos de la recta de la recta que parametrizamos de la siguiente forma:

Calculamos en cada tramo e mdulo de vector velocidad

Con estos datos, la integral de lnea se calcula como sigue:

Si escribimos la circunferencia su parametrizacion viene dada por :

De este modo

Por tanto

2. Calcular las siguientes integrales de lnea

Donde O es el origen de coordenadas y A = (1, 2), a lo largo de las trayectorias:(a) segmento que une O con A.(b) parbola con eje OY.(c) poligonal que se compone de un segmento OB en el eje X y un segmento BA paralelo al eje Y.SOLUCINEn la primera de las integrales, si llamamos P(x, y) = y, Q(x, y) = x, como entonces la integral es independiente de la trayectoria. Basta encontrar una funcin: cuyo gradiente sea F = (P, Q). Resulta en este caso F(x, y) = xy, con lo que la integral vale

En la segunda integral, si llamamos P(x, y) = y, Q(x, y) = x, entonces de modo que el valor de la integral depende de la trayectoria descrita. En cada caso, para resolver la integral debemos parametrizar la curva correspondiente.(a) La recta que contiene el segmento que une O con A tiene por ecuacin y = 2x. As pues,

(b) La ecuacin general de la parbola con eje OY es y = ax2. Como debe pasar por el punto A, entonces 2 = a. As pues,

(c) La poligonal indicada est formada por el segmento OB, donde B = (1, 0) y el segmentoBA. El primero de ellos se parametriza por x = t, y = 0 (0 t 1), y el segundo porx = 1, y = t (0 t 2). La integral bale:

Hallar la integral de lnea donde es la curva x = a cost, y = a sen t,z = bt (0 t 2).

SolucinSustituyendo en la integral los valores x = a cost, y = a sen t, z = bt, dx = a sen t dt,dy = a cost dt, dz = b dt, tenemos:

3.9 INTEGRALES DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALESDefinicin:Sea un campo vectorial continuo definido sobre los puntos de una curva C de acotada y regular. Definimos la integral de lnea del campo vectorial F a lo largo de la curva C como la integral de lnea sobre C del campo escalar F.T siendo T el vector tangente unitario en cafa punto C.

Si la curva C viene parametrizada en la forma: Tendremos las notaciones habituales:

Siendo funciones componentes del campo FPropiedades:(1) F, G campos vectoriales

(2)

(3)

(4) El valor de la integral de lnea de un campo vectorial es, salvo el signo, independiente de la parametrizacin escogida para la trayectoria.

3.10 APLICACIN DE LA INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALES

Clculo de trabajo: Para nuestro estudio, vamos a considerar la integral de lnea de campos vectoriales, y una de sus aplicaciones, que es el clculo de trabajo. Primero vamos a definir la integral de lnea para un campo vectorial en R2, y luego se generalizar para R3.Supngase que F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j, representa un campo de fuerzas en R2 (en R3 este campo podra ser el campo gravitacional, o un campo electromagntico), y sea C una curva suave definida por : r(t) = x(t)i +y(t)j para a t b. Queremos calcular el trabajo que realiza el campo F, para mover un objeto sobre la curva C, desde un punto a, hasta un punto b.Vamos a dividir la curva c en pequeos segmentos, quedando determinados n subintervalos.Dentro del subintervalo [ tk ; tk+1 ] escogemos un punto interior ck (o punto muestra)

Rrecordemos que el trabajo est dado por W= Fd si la fuerza est dirigida a lo largo de la lnea de movimiento del objeto. Si la fuerza es un vector que apunta en alguna otra direccin debemos considerar W = F. D siendo D el vector desplazamiento. El trabajo se define como el producto de la componente de la fuerza en la direccin de D, por la distancia recorrida.

W = Figura 2:Fk es el vector de campo correspondiente a un tiempo t = ckTk es el vector tangente unitario a la curva en el punto ck.El producto escalar Fk . Tk nos da la componente del vector de campo en la direccin del vector tangente en el punto t = ck.

El trabajo realizado por F para mover un objeto a lo largo del segmento de curva Pk Pk+1es: Wk = Fk . Tk skEl trabajo realizado a lo largo de la curva (desde a hasta b) es aproximadamente:

W Si consideramos un nmero mayor de segmentos en la particin, obtendremos una mejor aproximacin. Si el nmero de segmentos tiende a infinito o la norma de la particin (longitud de sk) tiende a cero, las sumas se aproximan a la integral de lnea, el trabajo es:

W = integral de lnea sobre la curva CForma de clculo: Forma vectorial:La integral de lnea, la resolvemos como una integral definida. Para ello debemos parametrizar la curva c, para poder determinar los extremos de integracin.En el integrando tenemos un producto escalar donde F(x,y) = M(x,y) i+ N(x,y)j y el vector tangente unitario sabemos que es: T = r(t) / r(t) , en funcin vectorial vimos tambin que:r(t) = v(t) , r(t) = v(t) (rapidez) como ds es un escalar, ds = v(t) dt, en trminos del vector posicin: ds = r(t) dtA las componentes del vector de campo las ponemos en funcin del parmetro t, es decir: x = x(t) e y = y(t) con lo que F es ahora F( rt )

Reemplazando: F T ds = donde r(t) dt = drPara a t b nos queda:

Forma vectorial de la integral de lnea

EJERCICIOS1. Determine el trabajo efectuado por el campo de fuerza cuando mueve una partcula a lo largo del cuarto de circulo

SolucinPuesto que x = cost , y = sent se tiene que:

Por lo tanto el trabajo hecho es:

2. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas:

Sobre una partcula que se mueve a lo largo de un hlice dado por:

Como se sigue que por lo tanto, el campo de fuerzas puede expresarse como:

Para hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas al moverse la partcula a lo largo de la curva C, se utiliza el hecho de que Y se escribe lo siguiente

Para finalizar se hace notar la relacin entre las integrales de lnea de los campos vectoriales y las integrales de lnea de los campos escalares. Suponga que el campo vectorial F sobre 3 est definido en la forma de componentes mediante la ecuacin

Por ejemplo, la integral se podra expresar como donde Notacin: cuando C es una curva cerrada, a la integral de lnea del campo vectorial F a lo largo de C se le denota por . En este caso algunos problemas se resuelven fcilmente aplicando el teorema de Green o el Stokes, segn estemos en 2 o 3, respectivamente. Esta ultima observacin la aplicaremos en las sesiones siguientes.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRALES DE LINEASea c una curva suave a trozos situada en una regin abierta R dada por: Si es conservativo en R y las funciones M y N tienen derivadas continuas en dicha regin, entonces:

siendo f la funcin potencial.Demostracin:Como el campo vectorial es conservativo, se cumple F(x,y) = f(x,y) si reemplazamos en la integral:

Vamos a trabajar con el integrando de la ltima integral.

f r(t) = =En el enunciado se pide que M y N tengan derivadas continuas, esto nos asegura que la funcin f es diferenciable, por la regla de la cadena podemos escribir el producto anterior como:

f r(t) = en la integral nos queda:

Ejercicios del teorema fundamental de integrales lnea) Limitaciones en la aplicacin del Teorema Fundamental de las integrales de lnea.

Sea

a) Probar que en todo el dominio.

b) Calcule , donde C1 y C2 son las mitades superior e inferior de la circunferencia x2 + y2 = 1 de (1;0) a (-1;0). Cmo se explica que la integral dependa del camino en vista del resultado de (a)?Solucina)

Ntese que este resultado es vlido en todo el dominio, ya que, si bien las derivadas parciales no estn definidas en el (0;0), este ltimo no pertenece al dominio.

b) Las curvas estn indicadas en la figura. Parametrizando C1 e integrando F se tiene:x y(-1;0)C1(1;0)C2

Haciendo un trabajo similar para C2 es:

La explicacin es que cualquier regin que abarque ambos caminos necesariamente debe ser no simplemente conexa (debe excluirse alguna subregin que incluya el (0;0), que no pertenece al dominio), y por ende no vale el teorema 5.INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA EN INTEGRALES DE LINEAComo vemos en el teorema fundamental, si el campo es conservativo, el valor de la integral, solo depende del punto inicial y punto final de la curva c.Si c1 y c2 son curvas en la regin que tienen el mismo origen y el mismo extremo entonces:

Las integrales de lneas de campos conservativos son independientes de la trayectoria.

Una curva que tiene el mismo punto inicial que final, es una curva cerrada. Por el teorema fundamental, podemos concluir que si F es continuo en una regin R, y conservativo, entonces la integral de lnea sobre una curva cerrada es nula.

Condiciones equivalentes:Las siguientes condiciones, nos permiten definir un campo vectorial conservativo sobre una regin abierta simplemente conexa R: F = f es independiente de la trayectoria. para toda curva cerrada c en REJERCICIOS1) Independencia del camino en una integral de lnea. Calcular el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza F al llevar un objeto desde A hasta B, siguiendo a) un camino compuesto de un tramo horizontal seguido de uno vertical; y b) un camino compuesto por un tramo vertical seguido de uno horizontal. Discutir si el resultado es lgico o noSolucin:a) Si llamamos C a la curva indicada, la podemos subdividir en las curvas C1 y C2 mostradas en la figura. En tal caso tendremos:x y(1;1)C1(4;-2)C2

Ejecutando ambas integrales por separado tendremos (escogiendo parametrizaciones simples):

Con lo cual resulta:

b) Llamando C* a este nuevo camino, vemos que lo podemos separar en dos tramos C3 y C4. x y(1;1)C3(4;-2)C4

Tendremos entonces, igual que en el apartado anterior, que

Realizando parametrizaciones parecidas a las ejecutadas en el apartado anterior, llegamos a lo siguiente:

Sumando esto se obtiene:

Por ambas vas obtenemos el mismo resultado. Esto es lgico, ya que vemos que:

Las derivadas cruzadas son iguales, excepto cuando x = 0, pero esto ltimo no ocurre dentro de un dominio simplemente conexo que abarca a ambos caminos analizados. Por lo tanto, por el teorema 5 las integrales sobre ambos caminos deben ser iguales.2) Clculo de una integral de lnea usando una funcin potencial. Calcular la integral de lnea del campo vectorial a lo largo de la trayectoria:r(t) = (senh(5t4)/senh5; t4 + 5t3 - 3t2 - 2t) , =0 t 1Solucin:

F es conservativo. Por lo tanto puede expresarse como el gradiente de una funcin potencial f; esto es: f = F. Si obtenemos tal funcin f, podremos aplicar el teorema fundamental de las integrales de lnea.Para ello notemos que:

(1),donde g(y) es una funcin que depende solamente de la variable y. Si ahora derivamos la funcin f obtenida respecto a y, debemos llegar a una expresin equivalente a la otra funcin coordenada, esto es, Q.

Reemplazando este ltimo resultado en (1), tenemos:

(2)Ya tenemos la funcin potencial. Ahora podemos aplicar el teorema fundamental de las integrales de lnea:

Calculando los puntos extremos de la curva con los valores correspondientes del parmetro tenemos:

Aplicando ahora la funcin f dada por (2) a estos dos puntos tenemos:

Y finalmente:

De esta manera nos evitamos ejecutar una integral de lnea sumamente engorrosa.4.) Clculo de un trabajo mediante una funcin potencial. Dado el campo vectorial de fuerzas(x;y;z) =4xez i + cosy j + (2x2ez + z) k ,a) Determinar una funcin f tal que f = F.

7h b) Hallar el trabajo que desarrolla F cuando mueve una partcula desde el punto siguiendo el camino ms corto sobre la esfera , expresndolo con 3 cifras decimales.Solucina) La funcin f que buscamos debe cumplir con las condiciones:(i) fx = 4xez(ii) fy = cosy(iii) fz = 2x2ez

Integrando la condicin (i) tenemos:

Derivando ahora con respecto a y e introduciendo el resultado en la ecuacin (ii) tenemos:

Y ahora podemos introducir esta expresin en la correspondiente a f, y derivarlo con respecto a z e introducir el resultado en (iii):

Con esta expresin para g2, tenemos ahora la expresin final de f:

b) Por el teorema fundamental de las integrales de lnea, podemos ahora calcular el trabajo como la diferencia de valores de la funcin potencial entre sus extremos final e inicial:

-2,269 es un resultado incorrecto que se obtiene con la calculadora puesta en grados.3.11 INDEPENDENCIA DEL CAMINO PARA INTEGRALES DE LINEAIntegrales independientes de la trayectoriaSea C curva que une los puntos A y B. Si el valor de la integral

Es el mismo para cualquier curva C que una A con B, se dice que la integral anterior es independiente de la trayectoria.Diferencial exacta Una expresin diferencial de la forma:1 Es una diferencial exacta si existe una funcin tal que:

Es decir, que la expresin diferencial (1) es la diferencial total de la funcin

Anlogamente para el caso de dos variables:Una expresin diferencial de la forma P(x,y)dx + Q(x,y)dy es una diferencial exacta si existe una funcin:

Es decir:

Campo conservativo, funcin potencialEl campo vectorial recibe el nombre de conservativo se; es una diferencial exacta.En tal caso, la funcin definida anteriormente recibe el nombre de funcin potencial del campo F.Teorema fundamental de las integrales de lnea(a) es una diferencial exacta si y slo si:

Depende solo de los puntos extremos de la trayectoria.(b) Si y A,B son los extremos de la trayectoria C, entonces:

Principio de la conservacin de la energa mecnicaSea un campo de fuerzas continuo definido en un abierto conexo y sea una funcin potencial de F.Por el teorema fundamental, el trabajo W realizado por el campo al mover una partcula desde un punto A a otro B siguiendo un camino C regular a trozos contenido en el dominio de F ser:

Si parame trisamos en C en la forma:

Aplicando la segunda ley de newton: ser:

Si r(t)=v(t) velocidad en el valor de parmetro t, tendremos:

Igualando ambas expresiones del trabajo obtenemos la formulacin del principio de conservacin:

El miembro de la izquierda representa le energa mecnica en el punto A y el de la derecha en el punto B; recibe el nombre de energa cintica y de energa potencial.Si la expresin anterior hacemos variar uno de los puntos concluimos que la energa mecnica se mantiene constante en todo punto, afirmacin que expresa el principio de conservacin de la energa mecnica.La nomenclatura de campo conservativo proviene de esta propiedad. Para los campos conservativos, el trabajo realizado para desplazar una partcula de un punto a otro es independiente de la trayectoria. Si la trayectoria es cerrada el trabajo es nulo.3.12 TEOREMA DE GREEN

Sea D una regin simplemente conexa con frontera C suave a trozos orientada en sentido contrario al avance de la agujas del reloj. Si M, N, y sus derivadas son continuas en una regin abierta que contenga a R, entonces:

Demostracin:Vamos a demostrar el teorema en dos partes, teniendo en cuenta las propiedades de la integral de lnea y las de la integral doble.1 Parte:

Demostramos que: Sea D la regin: D= {(x,y) / a x b, g1(x) y g2(x) } La curva C = C1 + C 2+ C 3 + C4

Por lo tanto la integral de lnea cerrada, la podemos descomponer en la suma de 4 integrales abiertas. 1 Sobre C1: y = g1(x) M(x,y) = M( x,g1(x)) y a x b C2: x = b por lo tanto dx = 0 C3: y = g2(x) M(x,y) = M( x,g2(x)) y b x a C4: x = a por lo tanto dx = 0

En la integral doble consideramos la regin como y- simple:

2

Comparando 1 con 2 tenemos: 2 Parte:

Demostramos que: Sea D la regin: D= { (x,y) / h1(y) x h2(y), c y d } La curva C = C1 + C 2+ C 3 + C4Ahora: sobre C1 y = c por lo tanto dy = 0 C2 x = h2(y) N(x,y) = N( g2(y),y) para c y d C3 y = d por lo tanto dy = 0 C4 x = h1(y) N(x,y) = N(g1(y), y) para d y c

3En la integral doble consideramos la regin como x- simple:

4Comparando 3 con 4 vemos que se verifica la igualdad, y queda demostrado el teorema. Demostracin de la condicin suficiente de campo conservativo en R2:

Ahora demostramos que si es conservativo

Si se cumple la condicin, en el teorema tenemos: hemos visto que la integral sobre una curva cerrada, si el campo es conservativo es nula, por lo tanto si las derivadas son iguales F es conservativo.

Aplicaciones:1) El teorema de Green, nos permite calcular el trabajo como una integral doble, esto se utiliza cuando es ms sencillo expresar la regin que encierra la curva C, como una regin x simple o y simple en lugar de descomponer la curva C en suma de curvas suaves.2) Otra aplicacin es el clculo de rea de una regin como integral de lnea. Esto ltimo se utiliza cuando la regin es ms sencilla trabajarla con su contorno, que como x- simple o y- simple. Para esta aplicacin, el integrando de la integral doble, deber cumplir la condicin:

Reemplazando en el teorema:

Podemos considerar que y para ello deber ser: N= 1/2x y M = -1/2 y Reemplazamos en la integral de lnea:

EJERCICIOS PROPUESTOS

CONCLUCIONES Se logr conocer de forma detallada las integrales de lnea de funciones escalares, as como la interpretacin de los campos vectoriales como modelos fsicos.

El tema concerniente a integrales de lnea es muy amplio ,ya que se logr estudiar el teorema de Green el cual tiene mltiples aplicaciones as como el clculo del trabajo y el clculo de rea de una regin como integral de lnea

BIBLIOGRAFIA James Stewart, calculo 6ta edicin , 2008 Integrales de lnea, ISABEL MARRERO R. Fraga, Calculus Problems for a New Century, the Mathematical Association of America, 1999. L. Leithold, El Clculo, 7 ma edicin, Oxford, 1998. J. E. Marsden, A. I. Tromba Tromba, Clculo Vectorial, Addison Wesley /Longman, 1998. Solow, Learning by Discovery, the Mathematical Association of America 1999. J. Stewart, Clculo, 4ta. Edicin, Thomson Learning, 2002. E. Swokowsky, Clculo con Geometra Analtica, 2da. Edicin, Grupo Editorial Iberoamrica, 1989.

CALCULO III