GRAFICAS

EXPERIENCIA 2:

1. OBJETIVOS

1. Obtener gráficas de datos organizados en tablas.

2. Construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento.

2. MATERIALES

Hojas de papel milimetradas (6)Hojas de papel logarítmicas (2)Hojas de papel semilogarítmica (1)

Se tratarán los datos de tres experimentos :

2.1. La medida de la intensidad de corriente eléctrica conducida por un hilo conductor de nicrón, y de la diferencia de potencial aplicada entre los extremos de este. La Tabla 1 muestra datos de este experimento.

TABLA 1

Vagua(ml) 100 150T(min) ΔT(°C) ΔT(°C)

0 0 01 6.5 4.52 13.0 9.03 19.5 14.04 27.0 18.0

Requerimiento : Una hoja de papel milimetrado

2.2. La medida del tiempo de evacuación de agua de un depósito a través de una llave de cierto diámetro de salida. La Tabla 2 muestra datos de este experimento, tomadas para cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura de agua del mismo depósito.

TABLA 2

Requerimiento : 4 hojas de papel milimetrado y 2 hojas de papel logarítmico

2.3. Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día cero se detectó una desintegración de 4,3 x 1018 núcleos. Los porcentajes de experimentación de los demás días se muestran en la Tabla 3.

TABLA 3

T(días)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A(%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

Requerimiento : Una hoja de papel milimetrado y una hoja de papel semilogarítmico.

3. INFORMACIÓN TEÓRICA

Los datos obtenidos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas

h (cm) 30 10 4 1

D(cm) Tiempo de vaciado t(s)

1.5 73.0 43.0 26.7 13.5

2.0 41.2 23.7 15.0 7.8

3.0 18.4 10.5 6.8 3.7

5.0 6.8 3.9 2.6 1.5

relaciones, es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas según sea el caso. De estas se buscan gráficas lineales (rectas), para facilitar la construcción de las fórmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenómeno.

a) Se grafica en un papel milimetrado los valores de la Tabla.b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas conocidas.

Si se logra identificar la forma de la distribución de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas correspondiente mediante la técnica de mínimos cuadrados. El modelo de ajuste que utilizaremos es lineal, esto significa que la ecuación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es

y = m x + b

Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son constantes a determinar. El ajuste de la distribución de puntos experimentales ahora se puede automatizar mediante programas de computo que facilitan el trabajo.

El primer paso es llevar los datos experimentales a un papel milimetrado. Si la distribución de puntos no tiene una tendencia lineal, se pasa a un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de éstos papeles la distribución de los puntos saldrá una línea recta.

Para las relaciones de la forma y = k x n, n diferente a 1, sus gráficos en el papel logarítmico son rectas con pendiente m = n que cortan al eje vertical en b = k. Se recomienda preferentemente usar papel logarítmico 3 x 3, cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar con 10-1, 100, 101, 102, 103, etc. Para relaciones exponenciales se recomienda utilizar el papel semilogarítmico.

En papel milimetrado también se pueden construir gráficos lineales para ecuaciones de curvas. Esto dependerá de los valores asignados a los ejes coordenados. Para esto es necesario tratar los datos.

Por ejemplo : y = 1,5 x2

abscisa x 0 1 2 3 4

ordenada y 0 1,5 6,0 13,5 24,0 Gráfico Parábola

abscisa x 0 1 4 9 16

ordenada y 0 1,5 6,0 13,5 24,0 Gráfico Recta

Método de Mínimos Cuadrados

De la distribución lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logarítmico o semilogarítmico se calculan la pendiente m y la ordenada b. El método de ajuste más adecuado para una distribución lineal es la técnica de mínimos cuadrados.

Para aplicar esta técnica primero se construye una tabla de la forma :

xi yi xiyi xi2

x1 y1 x1y1 x12

x2 y2 x2y2 x22

xp yp xpyp xp2

xi yi xiyi xi2

Se calculan la pendiente y la ordenada en el origen :

donde p es el número de mediciones.

Luego la fórmula experimental es la ecuación de la recta : y = m x + b

Una vez ajustada la distribución lineal, se procede a hacer los cálculos a fin de encontrar la fórmula experimental buscada.

En los casos de las distribuciones lineales en papeles logarítmico y semilogarítmico las fórmulas experimentales son :

y = b xm..............................................................Se grafica en papel logarítmico

y = b 10mx, y = be2,303mx............Se grafica en papel semilogarítmico

Donde se considera que 10 = e2,303

Dado que en el ajuste lineal es por el método de los mínimos cuadrados la tabla se convierte en logarítmica y semilogarítmica, cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna. Observe que las ecuaciones de la recta en esas escalas son :

log y = m log x + log b, y log y = m x + log b

La ordenada en el origen b obtenida por la fórmula será b’, que corresponde a log b, por lo que b se calcula como antilogaritmo de b’. Así b = anti log b’

En caso de no ser necesario hacer el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribución lineal donde el valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongación de la recta con el eje vertical.

Se recomienda ver el método de los mínimos cuadrados en un libro de estadística.

Método de aproximación de pares de puntos

Para utilizar este método debemos tener presente las siguientes consideraciones :

a) Se aplica a gráficas donde los puntos del eje horizontal están igualmente espaciados.b) Los puntos se dividen en dos grupos iguales. Un grupo para valores bajos de y, otro grupo para valores altos de y.c) A continuación se aparean los puntos uno de cada grupo.d) Luego se calcula la diferencia de los valores de y para cada par de puntos.e) A continuación se calcula el valor medio de las diferencias y.f) Por la primera consideración se sabe que la distancia Dx entre cada par de puntos es la misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada será :

m = y x

g) Se determina el valor medio de x y el valor medio de y.h) Como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (x,y) con una pendiente igual a m, entonces la ecuación de la recta será :

y = mx + ( y - mx )

IV. PROCEDIMIENTO

1. En la tabla 1, se tienen las medidas del incremento de temperatura ΔT (diferencia de temperatura con las temperaturas iniciales) para dos volúmenes de agua y el tiempo de calentamiento. Haga una gráfica de ΔT versus t. Intérprete.

Vagua(ml) 100 150T(min) ΔT(°C) ΔT(°C)

0 0 01 6.5 4.52 13.0 9.03 19.5 14.04 27.0 18.0

2. La tabla muestra datos de medidas del tiempo t de evacuación de agua de un depósito a través de una llave de cierto diámetro D de salida, tomadas para cuatro llaves de diferentes diámetros y todas medidas a igual altura h de agua del mismo depósito.

h (cm) 30 10 4 1D (cm) Tiempo de vaciado t (s)

1.5 73.0 43.0 26.7 13.52.0 41.2 23.7 15.0 7.23.0 18.4 10.5 6.8 3.75.0 6.8 3.9 2.2 1.5

Haga una gráfica de t versus D y t versus h. Use papel milimetrado. Interprete.TABLA: “t” versus” D”

3. La tabla 3, muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radón. El día cero se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos.

T(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A(%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

Haga una gráfica de A versus t. Use papel milimetrado. Interprete.TABLA: “A” versus” t”

V. EVALUACION

1. Adjuntar la gráfica de la tabla 1 y hallar la ecuación experimental por el método de mínimos cuadrados.

Hallando la ecuación experimental por mínimos cuadrados:

Aplicando las fórmulas:

Para el Volumen de 100 ml.

Xi Yi XiYi Xi 2

1 6.5 6.5 12 13 26 43 19.5 58.5 94 27 108 16

∑ Xi   = ∑ Yi  = ∑ XiYi

=∑ Xi

2=

10 66 199 300 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

5

10

15

20

25

30

Vagua=100Vagua=150

Tiempo (t)

ΔT (°c)

Hallando la pendiente: Hallando b:

Por lo tanto la fórmula general es:

Para el Volumen de 150 ml.

Hallando la pendiente: Hallando b:

X i Yi XiYi Xi 2

1 4.5 4.5 12 9 18 43 14 42 94 18 72 16

∑ Xi   = ∑ Yi   =

∑ XiYi   =

∑ Xi 2

=10 45.5 136.5 30

b=30(66 )−10 (199 )

4 (30)−102=−0 .5m=

4 (199 )−10(66 )4 (30)−102

=6 . 8

y=6. 8 X−0 .5

b=30( 45. 5 )−10(136 . 5)

4(30 )−102=0

m=4 (136 .5 )−10 (45 .5 )

4(30 )−102=4 .55

y=4 .55 X

Por lo tanto la fórmula general es:

2. Si la fuente de calor es constante y la temperatura inicial del agua fue de 20oC.¿Cuál es el tiempo que transcurrirá para que el volumen de agua de 100 ml alcance la temperatura de ebullición?

Del problema anterior la pendiente para un volumen de 100 ml. Es:

Pero ahora la temperatura inicial es de 20o por lo consiguiente, tenemos un desplazamiento en la gráfica y por ende una nueva fórmula.La cual es:

Nos piden hallar el tiempo de ebullición. Eso quiere decir, cuando la temperatura alcance los 100o.

Reemplazando en la fórmula, tenemos:

Entonces tenemos que el recipiente de 100 ml alcanzará la ebullición después de 11.76 minutos.

3. Analice, discuta la gráfica obtenida de la tabla 1. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente y el intercepto?

X=11.76

m=6 . 8

y=6.8 X+20

y=6. 8 X+20

100=6 .8 X+20

X=806 . 8

La gráfica nos muestra que entre el tiempo y la variación de temperatura existe una relación directamente proporcional. Esto quiere decir que a mayor tiempo se obtiene una mayor diferencia de temperatura. También observamos que el recipiente de 150 ml necesita más tiempo para incrementar su temperatura a comparación del recipiente de 100 ml.

Pendiente: Es el incremento de Temperatura por cada unidad de tiempo, que en este caso es el minuto.

Intercepto: Es la intersección que existe con las ordenadas. En nuestra gráfica se refiere a la temperatura con que se está iniciando el experimento.

4.- considerando las distribuciones no lineales no correspondientes grafique:a) t=t (h) en papel logarítmico

b) A=A (t) en papel semilogaritmico

c) t=t (D) papel logarítmico

d) Primero calcule el z=1

d2 y luego grafique t =t(z) en papel

milimetrado

5: halle el tiempo en que los núcleos de radón sufren una desintegración del 50%. Ejemplo: Si tomamos un gramo de radón, después de 3.8 días sólo se tendrán 0.5 gramos, pues la otra mitad se transformó en otro núcleo y se dice que la vida media del radón es 3.8 días

La vida media se puede determinar tanto a partir de la expresión de N(t) como de la de R(t)

Si t=T1/2, N=N0/2, entonces, como

teNN 0

2/10

0

2TeN

N

2/1

2

1 Te

22/1 Te )2()( 2/1 LneLn T

La vida media depende solo de por lo que podemos concluír que es una carácterística de cada núcleo radiactivo.

ELEMENTO VIDA MEDIA

Radio – 226 1620 años

6. encuentre los valores Yia obtenidos usando la formula experimental con los valores experimentales de salida Yi

aplicado al caso t=t(D)

m= p∑ xy−∑x∑ yp∑ x x−∑x∑ x b=

∑xx∑ y−∑x∑ xyp∑ x x−∑x∑ x

Usamos fórmulas experimentales siguientes:

y=bxm ……………………………………….(1)∑xy=243.3+174.2+118.2+72=607.7∑x x=11186.39∑x=297.1Sacando los valores de m y bm=-0.04b=1.19 En (1)y=mx + by1= 1.13; y2= 1.102; y3= 1.034; y4 =0.918; y5= 1.042; y6= 0.918; y7= 0.77; y8= 0.454; y9= 0.902; y10= 0.59; y11= 0.242; y12=-0.458;y13= 0.65; y14= 0.122; y15=-0.53; y16= -1.73

7. halle los tiempos de vaciado del agua si:

8. Calcule w=√hd2 para las alturas y diámetros

correspondientes a:

12.

Aproximadamente el valor de Pen ese punto es 38 La ecuación que relaciona es X= 1 + log(n)…. n= lo que

se quiere calcular

CASOS ALTURA h (cm) DIAMETRO D (cm) TIEMPO (s)1 20 4 10.82 40 1 743 25 3.5 9.84 49 1 77.3

t(s) 73 43 26.7 15 10.5 3.9 1.5w 2.43432 1.40545 0.88888 0.5 0.35136 0.12649 0.04

Logy=mlogx+ logb y logy=mx+logb o

VI. CONCLUSIONES

Todos los análisis realizados en laboratorio de fisca se deben colocar ordenadamente en tablas para tener un mejor resultado de los experimentos

VII.- RECOMENDACIONES

- Una vez obtenido los resultados de los experimentos hallados correctamente se deben tomar nota, y reemplazarlos en las ecuaciones dadas e n la separata.