Estática y dinámica

del

cuerpo rígido

Nombre: Victor Araya Romero

E-mail: victor.araya@usach.cl

Física Experimental I

Profesor: Leonardo Caballero

Santiago, 22 de Noviembre de 2010

Universidad de Santiago de ChileFacultad de CienciasDepartamento de FísicaIngeniería FísicaLaboratorio I

0

Objetivo Específico: Actividad 1 :

-Estudiar experimentalmente las condiciones bajo las que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio estático.

Actividad 2 :-Determinar el momento de inercia de una hélice respecto de su eje de giro.-Determinar aproximadamente la viscosidad dinámica del aire.

Introducción Teórica del Experimento:

Estática del cuerpo rígidoPara que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio estático la suma de sus componentes de las fuerzas y torque o momentos aplicadas sobre él deben ser cero, esto es:

(Ec.1)

(Ec.2)

Por convención se tomará un torque positivo si produce una rotación en sentido

antihorario y negativo si produce una rotación en sentido horario. En la figura 1,

y son las masas de los cuerpos 1 y cuerpo 2, m’ y M son las masas de los dos

segmentos de la varilla, a ambos lados del eje de rotación, es la fuerza de la reacción (fuerza que mide el sensor).

Fig. 1. Cuerpo Rígido en equilibrio estático Fig. 2. Diagrama de Cuerpo Libre de la figura 2

mr

Según la figura 2, se realizarán las sumas de fuerzas y sumas de los momentos obtenidas de la ecuación 1 y 2 tenemos que:

(Ec.3)

(Ec.4)

Dinámica del cuerpo rígidoLa ecuación dinámica de rotación de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje de rotación fijo O, en un marco de referencia inercial es:

(Ec.5)

Donde es el torque neto externo respecto de O aplicado al cuerpo rígido, es

el momento de inercia del cuerpo rígido respecto al eje fijo y es la aceleración angular que adquiere el cuerpo rígido.

Fig. 3. Dinámica de rotación del cuerpo rígido

Aplicando la segunda ley de Newton al sistema de la figura 3 se tiene que:

(Ec.6)

(Ec.7)La fuerza que realiza el torque en el sistema proviene de la tensión de la cuerda, luego:

(Ec.8)

Y dada la naturaleza del movimiento, la magnitud de la aceleración angular viene dado por:

(Ec.9)

Luego, la ecuación 5 se puede escribir como:

(Ec.10)

α⃑

Viscosidad DinámicaLa viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales.

Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal.Si imaginamos que un solido está formado por delgadas capas unas sobre otras, el resultado de la deformación tangencial, es el desplazamiento relativo de unas capas respecto de las adyacentes, tal como muestra la figura.

Figura 4. Deformacion de un solido por una fuerza tangencial

En los líquidos, el pequeño rozamiento existente entre capas adyacentes se denomina viscosidad. En los fluidos las capas inferiores no se moverán o lo harán mucho más lentamente que la superficie ya que son arrastradas por efecto de la pequeña resistencia tangencial, mientras que las capas superiores fluyen con facilidad. Cabe señalar que la viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo adopta una forma tal en la que no actúan las fuerzas tangenciales que no puede resistir. Es por ello por lo que llenado un recipiente con un líquido, la superficie del mismo permanece plana, es decir, perpendicular a la única fuerza que actúa en ese momento, la gravedad, sin existir por tanto componente tangencial alguna.El arrastre.

Todo cuerpo que esté inmerso en la corriente de un fluido estará sometido a fuerzas y momentos de fuerzas que dependen de la forma y orientación con respecto al flujo. La fuerza paralela al flujo se llama arrastre o resistencia al aire. Este arrastre tiene signo positivo cuando va en el sentido del flujo. Si un objeto ha de moverse contra el flujo deberá vencer a esta fuerza. Es importante entender que estas fuerzas son definiciones prácticas que representan el efecto de los rebotes y el deslizamiento de las partículas contra la superficie del cuerpo.

La ley de Stokes Se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds (Flujo laminar). La ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a velocidades bajas.La ley de Stokes puede escribirse como:

(Ec.11)Donde R es el radio de la esfera, v su velocidad y η la viscosidad del fluido.

En estas condiciones la resistencia que ofrece el medio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de rozamiento que se oponen al deslizamiento de unas capas de fluido sobre otras a partir de la capa límite adherida al cuerpo.

y

x

Actividad 1:

Materiales:- Varilla con agujeros- Base Magnética- Soporte Universal- Dinamómetro Pasco Scientific E-8714. Sensibilidad 0,01[N]- Juego de Masas- Balanza AND EK-1200A. Sensibilidad 0,0001[Kg]- Huincha genérica. Sensibilidad 0,001[m]

Método Experimental

Se debe primero, instalar la base magnética con el soporte universal y el dinamómetro, como se ve en la figura 5 (a continuación), medir la masa de de la varilla con la balanza, y luego colgar la varilla en el dinamómetro, se debe dejar en un estado de reposo, en este experimento se utilizo el agujero que esta en la mitad de la varilla, colocando así, el centro de masas del cuerpo rígido en el punto de apoyo, anulando el torque que éste produce. De esta primera configuración que mantiene el equilibrio estático, se procede a colgar distintas masas en los agujeros de manera que se obtenga otra configuración de masas donde se mantenga el equilibrio estático, al encontrar una, medir las masas utilizadas y las distancias desde el centro hasta donde fueron colgadas.

Fig. 5. Montaje experimental. Notar que la posición de las masas no es la misma que en el experimento, las distancias al punto de apoyo, se presentan mas adelante.

Las condiciones iniciales del experimento son:.

Datos Experimentales

Peso total del sistema: (0,690 ± 0,005) [N]

(m ± 0,0001) [Kg] (r ± 0,0005) [m]m1 0,0083 0,2410m2 0,0170 0,1190

Mvarilla 0,0437

Desarrollo Experimental

Por las ecuaciones 3 y 4, se obtiene:

y Y sus errores relativos porcentuales, son:

ErF%= 175% y ErT%= 172,2%

Análisis

Encontrados ya los valores de la sumatoria de fuerzas

y de los torques

, se ha encontrado que son muy cercanos a cero y poseen un error relativo porcentual de 175% y 172,2% respectivamente,

esto se explica sabiendo que la formula para obtener el error , y notando que cuando se acerca a cero, el valor del error se incrementa, entonces aunque se ve que es demasiado error, el resultado obtenido es el esperado, a que se acerca a cero, en un sistema en equilibro estático, esta demás indicar que el cero absoluto, no es posible de conseguir experimentalmente, aun cuando se observa un sistema en equilibrio.

Tabla 1. Datos de las masas y las distancias

O

m

Actividad 2Materiales:

- Soporte Universal- Base Magnética- Barra de metal - Polea. Marca: Pasco, modelo ME-9498.- 1 sensor de movimiento circular (Pasco Scientific)- Programa Data Estudio en el computador.- Interfase 500 Science Workshop. Marca: Pasco.- Hilo- Juego de Masas- Balanza digital. Marca: Ohaus. Sensibilidad: 0,0001[Kg]. - Pie de metro Marca: Mitutoyo. Sensibilidad: 0,00005 [m]

Método Experimental

Instalar el soporte junto con el sensor de rotación de tal manera que quede como en la figura 5. Luego atar una cuerda en la parte pequeña del sensor rotacional (nótese que el sensor posee tres tipos de radio acá se eligiera el pequeño), luego de atar la cuerda unirla a una masa “m”, luego dejar caer la masa, y medir con el sensor de movimiento circular la velocidad angular, para obtener después, con mínimos cuadrados, la aceleración que es la que se necesita para calcular el momento de inercia de la barra metálica. Repetir para diez masas distintas, luego de esto, repetir el mismo procedimiento para el sistema sin la barra metálica utilizada como hélice, para obtener el momento de inercia del resto del sistema sin la barra, para luego poder obtener tan solo el momento de inercia de la barra metálica

Las condiciones iniciales del experimento son:

Fig. 5. Montaje Experimental.

Datos Experimentales

Diámetro de la barra: (0,00795± 0,00003) [m]Longitud de la barra: (0,366 ± 0,005) [m]Radio del primer anillo del sensor rotacional: (0,0095± 0,00003) [m]Masa de la masa usada para obtener la viscosidad: (0,0122 ± 0,0001) [m]

Con la barra metálica:(Masa ± 0,0001) [Kg] (Aceleración ± 0,2) [rad/s2]

0,0089 1,70,0110 2,10,0242 4,60,0487 7,60,1003 14,50,0114 2,20,0501 8,50,0987 15,70,0464 8,20,0728 12,5

Sin la barra metálica:(Masa ± 0,0001) [Kg] (Aceleración ± 30) [rad/s2]

0,0076 140 0,0110 1790,0242 3430,0122 2080,1003 5250,0114 1970,0501 5050,0280 3540,0299 3910,0355 454

Desarrollo Experimental

Tabla 2. Datos de la aceleración angular obtenida con respecto a las masas. Notar que los datos medidos fueron velocidad angular con respecto al tiempo, esto es porque se obtuvo la pendiente de la recta obtenida al graficar esos dos valores. Notar además que el error para la aceleración es el error más grande de los valores obtenidos

Tabla 3. Datos de la aceleración angular obtenida con respecto a las masas. Notar además que el error para la aceleración es el error más grande de los valores obtenidos.

Con los datos ya mostrados, se utilizan para obtener el momento de inercia del sistema, es decir, con los datos de la Tabla 2, y utilizando la ecuación 10, se obtienen los datos de la sgte. Tabla:

[Nm] (Aceleración ± 0,2) [rad/s2]

0,000414 1,70,000512 2,10,001124 4,60,002259 7,60,004636 14,5

0,00053 2,20,002323 8,5

0,00456 15,70,002151 8,20,003368 12,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0.004

0.0045

0.005

Aceleración v/s rm(g-αr)

Aceleracion [m/s²]

rm(g

-αr)

[Nm

]

Grafico 1. Datos de la tabla 4. Datos según la ecuación 10, donde “y” es el torque producido por la fuerza y donde x es la aceleración, por lo tanto se obtiene que la pendiente de la recta será el momento de inercia.

Tabla 4. Datos a graficar según la ecuación 10, para obtener el momento de inercia

Como se ve, el grafico presenta una tendencia lineal, luego se puede expresar como una ecuación de primer grado, donde la pendiente será el momento de inercia:

Con un: Coeficiente de correlación de: 99,35%Error relativo porcentual en la pendiente de: 33,47%Error relativo porcentual en el intercepto de: 6,63%

En este caso la pendiente es el momento de inercia del sistema, el intercepto corresponde al torque externo inicial, para nuestro análisis este valor se desprecia, puesto que en nuestras condiciones iniciales se menciona que el torque inicial debe ser cero. Resumiendo, se obtiene un momento de inercia de:

Ahora se debe proceder de la misma forma para los datos de la tabla 3:

[Nm] (Aceleración ± 30) [rad/s2]

0,000279 1400,000397 1790,000812 3430,000435 2080,003075 5250,000409 1970,001552 5050,000934 354

0,00098 3910,001128 454

Tabla 5. Datos según la ecuación 10 utilizando la aceleración sin la barra metálica.

100 150 200 250 300 350 400 450 500 5500

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

Aceleracion v/s rm(g-αr)

Aceleracion [m/s²]

rm(g

-αr)

[Nm

]

Al tender a ser lineal, el grafico la ecuación de la recta del grafico es:

Con un: Coeficiente de correlación de: 83,92%Error relativo porcentual en la pendiente de: 25,95%Error relativo porcentual en el intercepto de: 102,31%

Entonces, el momento de inercia del sistema sin la barra metálica es de:

Luego, se procede a restar de forma normal IT-Is para obtener el momento de inercia de la barra metálica.

Grafico 2. Obtenido con los datos de la tabla 5. Se utilizo el mismo método que

Ahora, se explicara acerca del segundo objetivo del experimento.Durante el experimento se observo una anomalía en el grafico de velocidad angular v/s tiempo:

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

12

14

16

Tiempo v/s Velocidad Angular

Tiempo [s]

Velo

cidad

Ang

ular

[rad

/s]

Como se puede ver existe un cambio notorio en el comportamiento de la velocidad, ésta aumenta linealmente conforme al tiempo, pero luego, bruscamente comienza a seguir un régimen constante.

Esto es, consecuencia de la disminución o nulidad de la aceleración angular, ahora bien, ¿Por qué sucede esto?, la aceleración es la consecuencia de la aplicación de una fuerza en una cierta masa, luego esta comienza a acelerarse, de la misma forma, la disminución o nulidad de la aceleración es consecuencia de una fuerza opuesta a una ya existente.En el experimento la fuerza de gravedad sobre la masa atada al hilo, es la causante de la aceleración de la hélice, por lo dicho anteriormente ésta debió ser igualada para ser anulada, y así la aceleración sea cero, ésta fuerza contraria, fue asociada a la fuerza de arrastre, fuerza explicada según la Ley de Stokes. (Ec.11).

De manera que la anomalía en el grafico se explica con la ley de Stokes y la sumatoria de fuerzas, que debe hacerse cero en ese instante, luego

Grafico 3. Durante el experimento se observó un comportamiento “extraño” en la velocidad angular de la hélice.

Luego,

Entonces, la viscosidad dinámica η se expresa:

Desarrollando según los valores, R es el radio de la hélice y v es la velocidad tangencial, (recordar que el valor de la velocidad tangencial se obtendrá de la velocidad angular, por el radio de giro de la hélice) en el momento en que se vuelve constante:

Luego, la viscosidad dinámica del fluido donde giraba la hélice, es decir, el aire, es de:

Análisis

En un primer lugar, se logro obtener el momento de inercia de la barra, restando los momentos de inercias de los sistemas de con y sin barra,

obteniéndose y con un error relativo porcentual de 33,3%, al analizar los componentes de la resta, es decir, los momentos de inercia de los sistemas con y sin barra, vemos que la rectificación para obtener IT tiene un coeficiente de correlación de 99,35% el cual, indica que un porcentaje menor al 1% de los puntos no están en la rectificación, pero de todos modos es bastante confiable. En el caso de Is, esta rectificación tiene un coeficiente de correlación de, 83,92%, el cual indica que hay un error mucho mas grande en la unión de los puntos por la recta de la rectificación, por lo tanto es un dato mucho menos confiable que IT, el error porcentual de la pendiente es de un 25,95%, el cual indica un error considerable sumado a el error del coeficiente, indicaría una medición mucho menos confiable, esto pudo deberse al sistema de obtención de datos, ya que al no tener la barra, el sistema giraba mucho mas rápido, obteniéndolos de manera lenta, para datos mucho mas rápidos. Por otro lado, la viscosidad que se obtuvo, tiene un error porcentual de 7,81%, con el cual se tiene una idea de la exactitud con que se obtuvo la medida, aun así, al mirar el valor aceptado de la viscosidad a 20°C, es de (1,8 x 10-5) [N s/m2], el cual difiere bastante de la obtenida, (0,64) [N s/m2], en un 3555555,56 %, el cual

es un porcentaje de error casi ridículo, aun así, debemos notar que en el momento del experimento la temperatura de la sala era de 25°C en promedio, y la presión atmosférica común. Además, y el factor mas influyente, es que la Ley de Stokes no es valida para objetos no esféricos, es decir, no funciona con una hélice, en principio, la idea era conseguir la viscosidad del aire de esta manera, pero con esto se demostró que no se acerca al valor aceptado.

Conclusión y Discusión

Se concluye, que para el primer experimento se logro obtener una configuración que diera los datos necesarios para demostrar que estaba en equilibrio estático, en los datos presentados se vieron errores que por una parte, en el caso de los torques, lograba dejar en cero las fuerzas, por otro, las fuerzas en el eje y no indicaban cero, pero si un valor muy bajo, esto debió ser provocado por algún error en la medición, aun así, se acerca mucho a cero, por lo tanto, se puede decir que se logro el objetivo, ya que experimentalmente se observo un sistema en equilibrio estático, con estos datos.

Para el momento de inercia, se vio una gran cantidad de errores, por lo que se puede dudar de su fiabilidad en los porcentajes ya señalados, de todos modos, se logro realizar la actividad y obtener un valor final, el cual tiene un error asociado, por una parte los errores pudieron haber representado mas, si la aceleración hubiese sido validada con diez mediciones de aceleración angular para un mismo sistema, lo cual no fue contemplado al momento de realizar el experimento ya que se encontró innecesario, en un análisis posterior del experimento se encuentra útil realizar esta medición para una mayor precisión de las medidas con respecto a los errores en el momento de inercia.

Para la viscosidad que se obtuvo, se observo que fue una medida con mucho error, respecto del valor aceptado para la viscosidad dinámica del aire, sin embargo, esto, como se digo anteriormente, se debió a un problema en la formula utilizada, ya que esta fue utilizada para realizar un calculo aproximado de la viscosidad, en realidad se obtuvo un dato muy alejado de lo aceptado, en el porcentaje que se mostró, es por eso, que en mente de una mejor medición y obtención de la medida de la viscosidad del aire, se debe investigar y desarrollar una formula que sea valida para hélices, de manera que pueda ser utilizada en un próximo experimento similar.

Anexo

Actividad 1

Por ecuación 3.

Y su error esta dado por:

Luego,

Por ecuación 4,

Y su error esta dado, por:

Luego,

Los errores relativos porcentuales, son:

Actividad 2

Con barra:Para la primera masaY = (1,73 ± 0,01) x [rad/s2] + (0,09± 0,02) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,94%Segunda masaY = (2,05 ± 0,02) x [rad/s2]+ (0,46 ± 0,02) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,93%Tercera masaY = (4,55 ± 0,04) x [rad/s2]+ (0,57 ± 0,04) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,94%Cuarta masaY = (7,6 ± 0,2) x [rad/s2] + (5,7 ± 0,2) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,64%Quinta masaY = (14,5 ± 0,4) x [rad/s2] + (6,3 ± 0,5) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,27 %Sexta masaY = (2,17 ± 0,08) x [rad/s2] + (0,22 ± 0,02) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,94%Séptima masaY = (8,5 ± 0,1) x [rad/s2] + (1,5 ± 0,1) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,94%Octava masaY = (15,7 ± 0,4) x [rad/s2] + (2,2 ± 0,4) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,51%Novena masaY = (8,24 ± 0,09) x [rad/s2] + (0,5 ± 0,1) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,89%Decima masaY = (12,5 ± 0,2) x [rad/s2] + (-2,7 ± 0,3) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,72%

Sin barra:

Primera masa Y = (140 ± 6) x [rad/s2] + (2,9 ± 0,4) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 98,65%Segunda masaY = (179 ± 6) x [rad/s2] + (0,8 ± 0,4) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,11%Tercera masaY = (343 ± 6) x [rad/s2]+ (-13,0 ± 0,5) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,72%Cuarta masa

Y = (208 ± 5) x [rad/s2] + (-2,9 ± 0,3) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,54%Quinta masaY = (525 ± 30) x [rad/s2] + (-128 ± 9) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 97,21%Sexta masaY = (197 ± 6) x [rad/s2] + (-13,4 ± 0,7) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,22%Séptima masaY = (505 ± 20) x [rad/s2] + (-152 ± 7) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 98,61%Octava masaY = (354 ± 11) x [rad/s2] + (-15 ± 1) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,09%Novena masaY = (391 ± 10) x [rad/s2] + (-38 ± 1) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,46%Decima masaY = (454 ± 13) x [rad/s2] + (27,0 ± 0,8) [rad/s2]Coeficiente de correlación r: 99,28%

El radio de giro de la barra es la mitad de la longitud, o sea, 0,183 [m]Velocidad tangencial = (13,6 ± 0,2)*(0,183 ± 0,005) = (2,5 ± 0,2) [m/s]Luego, la viscosidad dinámica del aire es:

Y su error es: