“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA

FISICA MB 223-E

LABORATORIO N° 1

PROFESOR: ING. DARÍO VASQUEZ

TEMA:

MEDICIÓN Y ERROR EXPERIMENTAL PROPAGACIÓN DEL ERROR EXPERIMENTAL GRÁFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICIÓN

INTEGRANTES:

Cirineo Ulloa Justo Omar. Huaynate Almonacid Luis Eduardo. Mateo Espíritu Gilmer. Chapoñan Prada Erick.

CICLO: PRIMERO

01 – 04 – 152015-I

MEDICIÓN Y ERROR EXPERIMENTAL (INCERTIDUMBRE)

FUNDAMENTO TEÓRICO

Teniendo en cuenta que al realizar un experimento de conteo donde se lleva a cabo por el azar no se puede dar ni hablar con exactitud un valor esperado puesto que se dar márgenes de errores, para ello un modo de minimizar la incidencia de los errores es hacer muchas mediciones del experimento con la finalidad que al promediar los resultados, el promedio no estará tan afectado de las desviaciones del experimento, que los valores por si solos.

Si tenemos a1,a2,a3,…,an resultados de la muestra donde n es el número de veces realizado el experimento por lo general la mejor estimación del experimento está dado por el promedio ā de los valores, mientras n sea más grande (mayor muestra ) se podrá obtener el mejor valor de a o valor más probable.

La desviación de cada medición respecto de ā, ∆ai= a1-ā i=1,2,…, n

También definimos error cuadrático medio o desviación estándar Sa2 para al obtener Sa/a es

una constante de medición y no disminuye al aumentar n, mientras S a/a sea muy chico tendremos una mejor muestra de nuestro experimento y con ello podremos calcular un valor muy probable y su vecindad en el experimento.

RESPUESTAS Y PREGUNTAS

1. En vez de medir puñados ¿podría medirse el número de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.?Si se podría, claro que ese cambio afectaría la muestra, los datos y claro el resultado, pero nuestro objetivo no cambia ya que seguiría existiendo la incertidumbre en algunos mayor y en otros menores dependiendo del medidor o sistema pero seguiría llevando el mismo procedimiento

2. Según Ud. ¿a qué se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus

compañeros?La diferencia que puede haber entre mi puñado normal y el de mis compañeros es el tamaño y con ello la capacidad o volumen, que podrían causar una gran desviación o gran incertidumbre y por ende dando nos una mala muestra con lo cual no podríamos tener un valor optimo

3. Después de realizar el experimento, ¿Qué ventaja le ve a la representación π [r; r+2] frente a la de π [r; r+1]?La ventaja que con π [r; r+2] la Sn

2 disminuye y hace que el experimento sea más preciso lo q no ocurre con π [r; r+1]

4. ¿qué sucedería si los frijoles fueran de tamaños apreciablemente diferentes?Bueno si los frijoles no fueran uniformes de tamaño no se tendrían un gran error o incertidumbre de medición, puesto que un frijol podría ocupar el espacio de dos a más y con ello también podría a haber más frijoles como esos y no tendría una equivalencia de uniformidad que le una forma más fácil de medirlo y calcular su probabilidad.

5. En el ejemplo mostrado se debía contar alrededor de 60 frijoles por puñado. ¿sería ventajoso colocar 100 frijoles en el recipiente y de esta manera calcular y de esta manera calcular el número de frejoles en un puñado, contando los frijoles que quedan en el recipiente? En este caso es muy favorable ya que la probabilidad que saque 100 frijoles es casi 0 y estaríamos seguros que tendría que salir como valor optimo 60 y su vecindad , así que se podría contar lo q queda pero no es mucha la diferencia, pero aun así es favorable.

6. ¿Qué sucedería si en el caso anterior colocáramos solo 75 frijoles en el recipiente?Sira mucho más conveniente este caso porque solo tendríamos que contar lo q sobra en el frasco, pero tiene fallas por que no necesariamente va a salir 60 ya que podría salir 75 y eso no quiere decir que no podría salir 76 ya que no saldría por falta frijoles, es así que tendría que verse si podría llegar a tal cantidad o no.

7. La parte que exige más paciencia es la de contar frijoles, ¿Cuál de las sugerencias propondría usted? ¿por qué?

a) Cada participante realiza 33 y 34 extracciones y cuenta los correspondientes frijoles.b) Uno de los participantes realiza las 100 extracciones pero cada cuenta 33 o 34 .

Propondría la b ya un cambio en el medidor o mano, como el tamaño daría un gran error y incertidumbre con la cual no se podría dar una valor óptimo. Mientras que si se saca con una sola mano entonces daría una menor incertidumbre con la cual se podría una aproximación.

8. Mencione tres posibles resultados que observaría si en vez de 100 puñados, extrajeran 1000 puñados. el promedio o valor optimo cambiaria muy poco y se acomodaría la incertidumbre se aria muy chico ,una vecindad pequeña , y menor desviación se aria más pequeño el error haciendo que el experimento sea más preciso

9. ¿cuál es el promedio aritmético de las desviaciones an-nmp?

El promedio es cero ya que, nmp = (∑i=1

n

ai /n) y como piden ∑i=1

n

ai−n∑i=1

n

ai /n

n =

(a1+a 2+a 3+…+an )−(a1+a2+a 3+…an)n

=0n=0

10. ¿cuál cree ud.es la razón para haber definido ∆(mnp) en vez de tomar simplemente el promedio de las desviaciones?Se define ∆ (mnp) porque nos representa cuanto es la separación con la media mientras que en este caso la desviación no nos es muy conciso

11. Después de realizar el experimento coja ud. Un puñado de frijoles ¿qué puede Ud. Afirmar sobre el número de frijoles contenido en tal puñado (antes de contar)?Se puede afirmar que la cantidad debe estar oscilando entre [70; 96] y que su valor más probable y que este en su vecindad es

12. Si Ud. Considera necesario, compare los valores obtenidos por Ud. Para ∆ (mnp) y para (sa); compare con los resultados obtenidos por sus compañeros ¿qué conclusión importante puede Ud. Obtener de tal conclusión? Comparando nos dimos cuenta estos valores son muy próximos no se diferencian en mucho y esto es lo que da cuenta de que la incertidumbre esta hay por muy pequeña que sea siempre está haciendo una diferencia entre los posibles casos.

13. Menciones Ud. Alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frijoles en el presente experimento.Una de sus ventajas es que por su tamaño el experimento es más preciso con baja incertidumbre ya que la cantidad debe sur menor que la delos pallares y no sería muy tedioso en contar. Sus desventajas es que no se podría observar una buena grafica de errores donde varía adecuadamente con un pequeño margen de 19 frijoles mientras que en los pallares solo sería de 3º2 que no sirve mucho para el estudio.

CONCLUSIONES

No se puede obtener un valor preciso o exacto del experimento Se puede obtener una valor muy aproximado con vecindad reducida y una

medición de error muy baja Este te tipo de experimento nos da a entender la naturaleza probabilística de los

fenómenos y con ello es una fuerte herramienta para poder entenderlo.

PROPAGACIÓN DEL ERROR EXPERIMENTAL

FUNDAMENTO TEÓRICO

Introducción:

La investigación científica requiere de la obtención de datos experimentales para el análisis y la formulación de nuevas conclusiones y modelos que expliquen mejor el mundo a nuestro alrededor. Estos datos experimentales los obtenemos a través de la medición. Sin embargo, toda medida incluye cierta incertidumbre o error experimental. Estos llamados errores experimentales pueden clasificarse en tres categorías: errores personales, errores sistemáticos y errores aleatorios.

Tipos de errores:

Errores personales:

Los errores personales dependen de la persona que realiza la medida. Por lo general este tipo de error surge del descuido del observador al realizar la medida o al manipular los datos experimentales al realizar cálculos matemáticos. En ocasiones al realizar varias medidas de alguna propiedad de algún objeto, el observador se inclina por la primera medida presumiendo erróneamente que esta es la correcta. Este comportamiento hace que al realizar las demás medidas, las ajuste a la primera. Obviamente este comportamiento no es adecuado y por lo tanto añade errores a la medida realizada. Para minimizar esta fuente de error, lo correcto es medir la propiedad del objeto varias veces y calcular un promedio de las medidas obtenidas.

Otra fuente de error personal ocurre al leer la medida de la escala. El leer un valor de una escala conlleva alinear el objeto con las marcas en la escala. La distancia aparente entre la escala y el objeto que medimos, depende de la posición del ojo del observador. Una lectura puede variar si se realiza la medida con un ojo o con el otro. A este error lo denominamos “paralaje”. Para minimizar este tipo de error es necesario alinear la escala, el objeto y los ojos del observador en una misma línea recta. Esto se logra mirando la escala de frente con los dos ojos abiertos.

Al manipular los datos experimentales, es decir, al realizar cálculos matemáticos con ellos es necesario que se observen las reglas relacionadas a las cifras significativas. Este asunto lo discutiremos en la próxima sección. Sin embargo piensa en lo siguiente. Imagina que dentro del bolsillo tienes un dólar, tres monedas de 25 centavos y una de 10 centavos. ¿Qué sería lo más correcto en relación a la cantidad de dinero que tienes? ¿Tienes en el bolsillo: $1.85, $1.90 ó $2.00? Obviamente la contestación correcta es $1.85.

Sin embargo, fíjate que las otras dos cantidades son aproximaciones que se obtienen al “redondear” el valor de la primera. Al medir con un instrumento siempre redondeamos la cantidad medida por lo cual introducimos un error en esta.

Errores sistemáticos:

Este tipo de error está asociado con el instrumento de medición o las técnicas al utilizarlos. Las condiciones que sirven de fuente a los errores sistemáticos son:

Instrumentos mal calibrados o una resolución de escala no apropiada. El tiempo de reacción del observador cuando realiza la medida. En especial en

aquellos casos en que la medida depende del tiempo. Tendencia del observador de tomar la medida menor o mayor al leer el valor de la

escala y este encontrarse entre dos marcas.

Para minimizar este tipo de error se recomienda:

Cotejar la calibración del instrumento antes de realizar la medida. Utilizar el instrumento con la resolución de la escala apropiada a lo que vamos a

medir.

Imagina que deseamos medir el espesor de una hoja de papel. Debido a lo pequeño de la medida lo ideal sería utilizar un micrómetro y no un metro. La resolución del metro llega hasta los milímetros y esta cantidad es mayor que el espesor del papel. El micrómetro por otro lado, tiene una resolución de fracciones del milímetro lo que lo hace más versátil y efectivo para realizar la medida.

Errores Aleatorios:

Estos errores se asocian al resultado de variaciones no predecibles durante la experimentación. Estos errores no están bajo el control del observador. Por ejemplo: variaciones en la temperatura o el voltaje durante la operación de algún instrumento de medición sensitivo a estos y otros factores. A diferencia de los errores sistemáticos que siempre aumentan (o disminuyen) en una cantidad fija, el valor medio de los errores aleatorios varían en magnitud y en dirección, es decir, a veces aumentan el valor medido y a veces lo disminuye El efecto de estos errores puede ser minimizado al mejorar y refinar las técnicas de experimentación así como el repetir las medidas varias veces de forma tal que las medidas erróneas se hagan estadísticamente insignificantes.

El siguiente recurso posee un resumen, imágenes y explicaciones detalladas de cada uno de los errores explicados aquí. Utilízalo como referencia y define los siguientes términos:

Medición, incertidumbre en la medición, error sistemático, instrumental, teórico, paralaje, error aleatorio, error ambiental, error de observación, valor óptimo aproximado, exactitud y precisión

CARACTERISTICAS GENERALES DE LOS INSTRUMENTOS DE MEDIDA:

Exactitud: es una medida de la calidad de la calibración de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. Es la cercanía del valor obtenido con el denominado valor “real”, para hacer referencia a la exactitud se tienen que tener en cuenta dos conceptos fundamentales patrones de medida y trazabilidad en las mediciones. Es decir una medida es exacta entre menor sea la discrepancia o separación entre lo obtenido con el instrumento de trabajo y el valor leído con el etalón

Precisión del instrumento: Está relacionada con la repetitividad que él proporciona en sus medidas, es decir que diferentes medidas de una misma cantidad bajo condiciones aproximadamente iguales conducen a resultados muy parecidos. A más parecidas las medidas, más preciso el instrumento.

Fidelidad: Cuando las características del instrumento no cambian apreciablemente en el tiempo

Sensibilidad: Todo instrumento siempre tiene un mínimo del valor de la cantidad a medir. Esta mínima cantidad se denomina la apreciación nominal del instrumento

TAREA

dV=⎹ ∂ V∂x

⎸dx+⎹ ∂ V∂ y

⎸dy

1. S = x+ydS =⎹ ∂( X+Y )

∂ x⎸dx+⎹ ∂(x+ y )

∂ x⎸dy

ds = dx+dy

2. R = x+ydR = ⎹ ∂(x− y )

∂ x⎸dx+⎹ ∂(x− y )

∂ y⎸dy

dR = dx+⎹-dy⎸dR= dx+dy

3. P= xydP= ⎹ ∂(xy )

∂ x⎸dx+⎹ ∂(xy )

∂ x⎸dy

dP= ydx+xdydP= xy(dx

x +dyy )

4. C= xy

dC= ⎹∂( x

y)

∂ x⎸dx+ ⎹

∂( xy)

∂x⎸dy

dc= dxy +

xdyy2

dC= xy (dx

x +dyy )

CALCULOS Y RESULTADOS

TABLA DE MEDICION Y RESULTADOS:

Medidas de laboratorio Porcentaje de incertidumbreCon la regla Con el pie del rey Con la regla Con el pie del rey

Largo a 30.0±0.5mm 30.000±0.025mm 1.667% 0.083%Ancho b 30.0±0.5mm 30.000±0.025mm 1.667% 0.083%Alto h 12.0±0.5mm 13.000±0.425mm 4.167% 3.269%A 900±30mm2 900.0±1.5mm2 3.333% 0.167%V 10800±810mm3 11700±402mm3 7.500% 3.436%a100 3000±50mm 3000.0±2.5mm 1.667% 0.083%b100 3000±50mm 3000.0±2.5mm 1.667% 0.083%h100 1200±50mm 1300.0±42.5mm 4.167% 3.269%A100 9x104±3000mm2 9x104±150mm2 3.333% 0.167%V100 1.08x106±81000mm3 1.17x106±40200mm3 7.500% 3.436%

PRESENTACION DE LAS RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS

1. ¿Las dimensiones de un paralelepípedo se pueden determinar con una sola medición? Si no, ¿Cuál es el procedimiento más apropiado?No se puede determinar con una sola medición ya que todo instrumento de medida tiene errores. Lo más apropiado seria medirlo con una unidad muy pequeña (pie de rey) ya que la incertidumbre sería menor y la medición seria casi exacta.

2. ¿Qué es más conveniente para calcular el volumen del paralelepípedo: una regla en milímetros o un pie de rey?Lo más conveniente sería un pie de rey ya que con la regla a veces no calculamos bien un ángulo vertical de la visión lo que con el pie de rey no sucedería.

GRAFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICIÓN

FUNDAMENTACION TEORICA

El péndulo simple es otro sistema mecánico que muestra movimiento periódico. Consiste en una plomada parecida a una partícula de masa m suspendida de una cuerda ligera de longitud L que esta fija en el extremo superior. El movimiento se presenta en el plano vertical y es impulsado por la fuerza gravitacional. Se demostrara que, siempre que el ángulo θ sea pequeño (menor que aproximadamente 10°), el movimiento es muy cercano al de un oscilador armónico simple.

Las fuerzas que actúan en la plomada son la fuerza T que ejerce la cuerda y la fuerza gravitacional mg. La componente tangencial mg.senθ de la fuerza gravitacional siempre actúa hacia θ¿0, opuesta al desplazamiento de la plomada desde la posicion mas baja.Por lo tanto, la componente tangencial es una fuerza restauradora y se puede aplicar la segunda ley de Newton del movimiento en la dirección tangencial:

F t=−mgSenθ=m d ² sdt ²

Donde s es la posición de la plomada medida a lo largo del arco y el signo negativo indica que la fuerza tangencial actúa hacia la posición de equilibrio (vertical). Ya que S= Lθ y L es constante, esta ecuación se reduce a

d ²θdt ²

=−gL

sin θ

Si se supone que θ es pequeño (menor que aproximadamente 10° o 0.2 rad), se puede usar la aproximación de ángulo pequeño, en la que sin θ=θ , donde θ se mide en radianes. Por lo tanto, para ángulos pequeños, la ecuación de movimiento se convierte en:

d ²θdt ²

=−gL

θ

(Para valores pequeños de θ)Las dos últimas ecuaciones tiene la misma forma, así que se concluye que el movimiento para amplitudes de oscilaciones pequeñas se puede modelar como movimiento armónico simple.En consecuencia la solución de la última ecuación es θ=θmax cos wt+ø, donde θmax es la posición angular máxima y la frecuencia angular w es:

w=√ gL

Entonces el periodo del movimiento es:

T=2 πw

=2π √ Lg

En otras palabras, el periodo y la frecuencia de un péndulo simple sólo dependen de la longitud de la cuerda y de la aceleración debida a la gravedad.

CALCULOS Y RESULTADOS

TABLA

k Lk (cm) Tk1 Tk2 Tk3 Tk4 Tk5 Tk Tk²

1 10 0.6099 0.6091 0.6098 0.6093 0.6096 0.60950.37153901

2

2 20 0.9034 0.9045 0.9040 0.9036 0.9032 0.90370.81674598

8

3 30 1.1018 1.1023 1.1024 1.1014 1.1027 1.10211.21466849

44 40 1.2083 1.2089 1.2091 1.2087 1.2085 1.2087 1.46095569

5 50 1.4034 1.4064 1.4046 1.4036 1.4056 1.40471.97323827

86 60 1.5053 1.5042 1.5040 1.5042 1.5058 1.5047 2.26412209

7 70 1.6068 1.6061 1.6058 1.6056 1.6065 1.60622.57974994

68 80 1.7069 1.7088 1.7091 1.7073 1.7078 1.7080 2.91719568

9 90 1.9029 1.9015 1.9017 1.9016 1.9026 1.90213.61783224

410 100 2.0003 2.0010 2.0007 2.0011 2.0006 2.0007 4.00296054

8

1. Grafique la función discreta.f (Tk )={(T 1 ,l1 ) ; (T2 , l2 ); (T 3 ,l3 ) ; (T 4 , l4 ) ; (T 5 , l5 ) ; (T6 , l6 ) ; (T7 , l7 ) ; (T8 , l8 ) ; (T9 , l9 ) ; (T10 ,l10 ) }

0,6095

0,9037

1,1021

1,2087

1,4047

1,5047

1,6062

1,7080

1,9021

2,0007

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Tk vs Lk

Total

Prom. de tiempo (s)

Long

itud

(cm

)

2. Calcule la incertidumbre Δf

∆ f ={∑k=1

10

[ lk−f (T k)]2

n−1}

1 /2

∆ f ={916,6667 }1/2

∆ f =30.276503

3. Grafique una nueva función discreta:{( T1 ² , l1 ) ; (T 2 ² ,l2 ) ; (T 3² , l3 ) ; (T 4 ² ,l 4 ) ; (T5 ² , l5 ); ( T6 ² , l6 ) ; (T7 ² , l7 ) ; (T8 ² , l8 ) ; (T 9² , l9 ) ; (T 10 ² , l10) }

0,3715390116

0,8167459876

1,2146684944

1,46095569

1,9732382784

2,26412209

2,5797499456

2,9171956804

3,6178322436

4,0029605476

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Tk² vs Lk

Total

Prom. de tiempo al cuadrado (s)

Long

itud

(cm

)

PRESENTACION DE LAS RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS

1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la “masa” del péndulo. ¿Qué sucede si en vez de ello Ud. lanza la masa?Lo que sucede es que el periodo de la oscilación se reduce y eso se debe a que aparte de la fuerza de gravedad y la tensión que actúan, también actuaria la fuerza

externa que es ejercida por mi mano que ocasionaría que el ángulo de elevación de la esfera aumente y este deje de ser un MAS.

2. ¿Depende el periodo del tamaño que tenga la masa?No, el periodo solo dependerá de la longitud que tenga la cuerda y de la gravedad donde se dé el experimento. Otra manera de demostrarlo es mediante la fórmula expuesta en el marco teórico.

T=2 πw

=2π √ Lg

3. ¿Depende el periodo del material que constituye la masa?No, solo depende de la longitud de la cuerda y de la gravedad ejercida en el planeta.

4. Supongamos que se mide el periodo con θ=5o y con θ=10o. ¿En cuál de los dos casos resulta mayor el periodo?En ninguno de los casos, ya que para hallar el periodo no depende del ángulo, por lo que el periodo para ambos seria el mismo.

5. Para determinar el periodo (duración de una oscilación completa), se ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una oscilación. ¿Por qué no es conveniente medir la duración de una sola oscilación? ¿Qué sucedería si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones?Por el hecho de trabajar con ángulos pequeños y longitudes pequeñas, la medición del periodo no puede ser precisa y es propenso a calcular varios periodos de oscilaciones que se alejen del real.Si se midiera el tiempo para 50 oscilaciones, al hallar el periodo de cada oscilación nos debería salir el mismo o aproximado al resultado que para cuando se midió el tiempo para 10 oscilaciones

6. ¿Depende de los coeficientes α, β, γ de la terna de puntos por donde pasa f?No depende ya que lo que usamos son los periodos para calcular α, β, γ.

7. Para determinar α, β, γ se eligieron tres puntos. ¿Por qué no 2? ¿o cuatro?No se eligen 2 por que faltarían más datos y no se eligen 4 por que nos darían diferentes valores de α, β, γ.

8. En general, según como se elija α, β, γ obtendrá un cierto valor para ∆ f . ¿podría Ud. elegir α, β, γ de manera que ∆ f sea mínima (aunque f no pase por ninguno de la función discreta)? ¿puede elegir α, β, γ de manera que ∆ f =0?Si, haciendo los cálculos respectivos se puede definir el valor mínimo de ∆ f aunque las gráficas sean muy parecidas.

9. ¿Qué puede afirmarse, en el presente experimento, con respecto al coeficiente γ de la función g(T)?Tiene dependencia de los demás valores α, β

10. ¿Cuántos valores debería tener la función g para estar seguros de ∆ g=0?Con solo un valor se asegura ∆ g=0

11. ¿Opina Ud. que, por ejemplo usando un trozo de hilo de cocer y una tuerca, puede repetir estos experimentos en casa?Si se podría repetir el proceso, aunque tal vez las condiciones sean distintas y el resultado variara en algo, la variación seria mínima.

12. ¿Tiene Ud. idea de cuantas oscilaciones puede dar el péndulo empleado, con 100cm, antes de detenerse?No se sabría exactamente ya que depende de la resistencia del aire que le ejerce al péndulo, eso hace que varié el periodo y la amplitud de las oscilaciones.

13. Observe que al soltar el péndulo es muy difícil evitar que la masa “rote”. ¿modifica tal rotación el valor del periodo? ¿Qué propondría Ud. para eliminar la citada rotación?Al rotar la esfera se perdería parte de la energía de la esfera y la energía cinética disminuiría, aunque esa variación no es tan significativa, pero haría que varié en algo el periodo.Inclinarlo de manera más apropiada y exacta al soltarlo ya que lo que produce que rote es la mala coordinación al soltarlo.

CONCLUSIONES

Después de haber realizado las mediciones y cálculos respectivos con respecto al péndulo se llegan a las siguientes conclusiones:

El ángulo debe tener una medida menor a 15° de esa manera se le aproximaría a un MAS casi exacto.

El periodo de un péndulo solo depende de la longitud de la cuerda y del valor de la gravedad (la gravedad varía dependiendo de los planetas)

Ya que el periodo de la oscilación no depende de la masa, se deduce que con diferentes masas pero con igual longitud y gravedad se obtendrían iguales periodos.

BIBLIOGRAFIA

Tipos de errores: https://sites.google.com/site/timesolar/medici%C3%B3n/erroresexperimentales

Características de los instrumentos de medida:Sears, Zemansky y Otros. Física Universitaria, 11ª ª ed., Pearson Educación, Mex.2004

Guía de laboratorio de física UNI

CASADO MARQUEZ, JOSE MARTIN física 1 para estudiantes de ciencias e ingeniería

Sears, Zemansky y Otros. Física Universitaria, 11ª ª ed., Pearson Educación, Mex.2004

http://physics.nist.gov/cuu/Uncertainty/index.html

http://www.iso.ch/infoe/sitemap.htm

SERWAY – FISICA I