lab de fisica general

MARZO 2002

LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL

GUIA DE PRÁCTICAS

5

10

TamborTrinquete

Mango Escala lineal

Escala circular

EspécimenFreno

0510

CARLOS E. GONZÁLEZ G. JORGE JUZGA L. LUÍS MORALES

ABDÓN HERNÁNDEZ

Departamento de Física Aplicada Escuela Básica

Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela

LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL FIUCV

INDICE i

INDICE 1.- Generalidades de la Actividad Experimental----------------------------------------------------- 1 1.1.- El Proceso de Medición ------------------------------------------------------------------------------ 1 1.2.- Exactitud y Precisión --------------------------------------------------------------------------------- 2 1.3.- Tipos de Medición ------------------------------------------------------------------------------------ 3 1.4.- Incertidumbre en las Mediciones-------------------------------------------------------------------- 3 1.5.- Errores en la Medición ------------------------------------------------------------------------------- 4 1.6.- Reducción de Errores --------------------------------------------------------------------------------- 7 1.7.- Cifras Significativas ---------------------------------------------------------------------------------- 8 1.8.- Clasificación y Evaluación de la Incertidumbre--------------------------------------------------- 9 1.9.- Incertidumbre Estándar en la Evaluación Tipo A ------------------------------------------------- 10 1.10.- Incertidumbre Estándar en la Evaluación Tipo B------------------------------------------------ 11 1.11.- Distribución de los Valores Estimados Mediante Una Serie de Mediciones----------------- 12 1.12.- Incertidumbre Combinada -------------------------------------------------------------------------- 13 1.13.- Incertidumbre Absoluta e Incertidumbre Relativa----------------------------------------------- 16 1.14.- Ejercicios --------------------------------------------------------------------------------------------- 18 1.15.- Glosario ----------------------------------------------------------------------------------------------- 19 1.16.- Referencias del Capítulo ---------------------------------------------------------------------------- 21 2.- Análisis de Datos Experimentales------------------------------------------------------------------- 23 2.1.- Introducción-------------------------------------------------------------------------------------------- 23 2.2.- Ajuste de Gráficas Lineales-------------------------------------------------------------------------- 24 2.2.1.- Método de los Puntos Escogidos------------------------------------------------------------------ 25 2.2.2.- Método de los Promedios -------------------------------------------------------------------------- 26 2.2.3.- Método de los Mínimos Cuadrados--------------------------------------------------------------- 27 2.4.- Ejercicios ----------------------------------------------------------------------------------------------- 33 3.- El Informe de Laboratorio --------------------------------------------------------------------------- 34 3.1.- Introducción-------------------------------------------------------------------------------------------- 34 3.2.- Estructura del Informe-------------------------------------------------------------------------------- 34 3.3.- Práctica Modelo --------------------------------------------------------------------------------------- 37 4.- Representación Gráfica ------------------------------------------------------------------------------- 43 4.1.- Principales aplicaciones de la representación gráfica--------------------------------------------- 43 4.2.- Ejemplos------------------------------------------------------------------------------------------------ 43 4.2.1.- Representación gráfica de funciones ------------------------------------------------------------- 43 4.2.2.- Representación de datos experimentales --------------------------------------------------------- 44 4.2.3.- Determinación de una expresión empírica a partir de una gráfica ---------------------------- 46 4.2.4.- Escalas logarítmicas -------------------------------------------------------------------------------- 46 4.2.5.- Determinación de empírica de parámetros de una expresión potencial ---------------------- 48 4.2.6.- Determinación empírica de la relación entre los datos cuando la representación----------- 48 semilogarítmica es una recta----------------------------------------------------------------------- 50 4.3.- Ejercicios ----------------------------------------------------------------------------------------------- 50 4.4.- Referencias del capítulo ------------------------------------------------------------------------------ 51 5.- Mediciones Mecánicas -------------------------------------------------------------------------------- 52 5.1.- Introducción-------------------------------------------------------------------------------------------- 52 5.2.- Objetivos ----------------------------------------------------------------------------------------------- 52 5.3.- Actividades--------------------------------------------------------------------------------------------- 52 5.4.- Fundamentos teóricos--------------------------------------------------------------------------------- 52 5.4.2.- Trazabilidad------------------------------------------------------------------------------------------ 53 5.4.3.- Principio de funcionamiento de los instrumentos a ser utilizados ---------------------------- 53 5.4.4.- El tornillo micrométrico---------------------------------------------------------------------------- 54 5.4.5.- El Esferómetro -------------------------------------------------------------------------------------- 55


INDICE ii

5.5.- Procedimiento experimental ------------------------------------------------------------------------- 55 5.6.- Informe ------------------------------------------------------------------------------------------------- 56 5.7.- Referencias del capítulo ------------------------------------------------------------------------------ 57 5.8.- Resultados Experimentales -------------------------------------------------------------------------- 58 6.- Movimiento en una dimensión----------------------------------------------------------------------- 60 6.1.- Introducción-------------------------------------------------------------------------------------------- 60 6.2.- Objetivos ----------------------------------------------------------------------------------------------- 60 6.3.- Actividades--------------------------------------------------------------------------------------------- 60 6.4.- Fundamentos teóricos--------------------------------------------------------------------------------- 60 6.4.1.- Medición del ángulo de inclinación con respecto a la vertical -------------------------------- 60 6.4.2.- Medición de intervalos de tiempo----------------------------------------------------------------- 61 6.4.3.- Rectificación de una gráfica ----------------------------------------------------------------------- 61 6.4.4.- Trazado de gráficas --------------------------------------------------------------------------------- 62 6.4.5.- Ajuste por mínimos cuadrados -------------------------------------------------------------------- 63 6.4.6.- Obtención y verificación de una relación empírica --------------------------------------------- 63 6.5.- Materiales y equipos ---------------------------------------------------------------------------------- 64 6.6.- Procedimiento experimental ------------------------------------------------------------------------- 64 6.7.- Informe ------------------------------------------------------------------------------------------------- 64 6.8.- Referencias del capítulo ------------------------------------------------------------------------------ 64 6.9.- Resultados experimentales --------------------------------------------------------------------------- 64 7.- Movimiento en dos dimensiones--------------------------------------------------------------------- 66 7.1.- Introducción-------------------------------------------------------------------------------------------- 66 7.2.- Objetivos ----------------------------------------------------------------------------------------------- 66 7.3.- Actividades--------------------------------------------------------------------------------------------- 66 7.4.- Fundamentos teóricos--------------------------------------------------------------------------------- 66 7.5.- Procedimiento experimental ------------------------------------------------------------------------- 68 7.6.- Informe ------------------------------------------------------------------------------------------------- 70 7.7.- Referencias del capítulo ------------------------------------------------------------------------------ 70 7.8.- Resultados experimentales --------------------------------------------------------------------------- 71 8.- Momento de inercia------------------------------------------------------------------------------------ 72 8.1.- Introducción-------------------------------------------------------------------------------------------- 72 8.2.- Objetivos ----------------------------------------------------------------------------------------------- 72 8.3.- Actividades--------------------------------------------------------------------------------------------- 72 8.4.- Fundamentos teóricos--------------------------------------------------------------------------------- 73 8.5.- Procedimiento experimental ------------------------------------------------------------------------- 77 8.7.- Referencias del capítulo ------------------------------------------------------------------------------ 78 9.- Choque frontal------------------------------------------------------------------------------------------ 80 8.1.- Introducción-------------------------------------------------------------------------------------------- 80 8.2.- Objetivos ----------------------------------------------------------------------------------------------- 80 8.3.- Actividades--------------------------------------------------------------------------------------------- 80 8.4.- Fundamentos teóricos--------------------------------------------------------------------------------- 81 8.5.- Materiales y equipos ---------------------------------------------------------------------------------- 82 8.6.- Procedimiento experimental ------------------------------------------------------------------------- 84 8.7.- Informe ------------------------------------------------------------------------------------------------- 85 8.8.- Referencias del capítulo ------------------------------------------------------------------------------ 86 8.9.- Resultados experimentales --------------------------------------------------------------------------- 87 10.- Movimiento armónico simple ---------------------------------------------------------------------- 88 10.1.- Introducción ------------------------------------------------------------------------------------------ 88 10.2.- Objetivos---------------------------------------------------------------------------------------------- 88 10.3.- Actividades ------------------------------------------------------------------------------------------- 88


INDICE iii

10.4.- Fundamentos teóricos ------------------------------------------------------------------------------- 89 10.5.- Procedimiento experimental------------------------------------------------------------------------ 92 10.7.- Informe------------------------------------------------------------------------------------------------ 93 10.8.- Referencias del capítulo----------------------------------------------------------------------------- 93 10.9.- Resultados experimentales ------------------------------------------------------------------------- 93 11.- Dilatación térmica ------------------------------------------------------------------------------------ 94 11.1.- Introducción ------------------------------------------------------------------------------------------ 94 11.2.- Objetivos---------------------------------------------------------------------------------------------- 94 11.3.- Actividades ------------------------------------------------------------------------------------------- 94 11.4.- Fundamentos teóricos ------------------------------------------------------------------------------- 95 11.6.- Procedimiento experimental------------------------------------------------------------------------ 100 11.7.- Informe------------------------------------------------------------------------------------------------ 101 11.8.- Referencias del capítulo----------------------------------------------------------------------------- 101 12.- Módulo de Young------------------------------------------------------------------------------------- 102 12.1.- Introducción ------------------------------------------------------------------------------------------ 102 12.2.- Objetivos---------------------------------------------------------------------------------------------- 102 12.3.- Actividades ------------------------------------------------------------------------------------------- 102 12.4.- Fundamentos teóricos ------------------------------------------------------------------------------- 102 12.5.- Procedimiento experimental------------------------------------------------------------------------ 104 12.7.- Informe------------------------------------------------------------------------------------------------ 104 12.8.- Referencias del capítulo----------------------------------------------------------------------------- 107 13.- Efecto Joule -------------------------------------------------------------------------------------------- 108 13.1.- Introducción ------------------------------------------------------------------------------------------ 108 13.2.- Objetivos---------------------------------------------------------------------------------------------- 108 13.3.- Actividades ------------------------------------------------------------------------------------------- 108 13.4.- Fundamentos teóricos ------------------------------------------------------------------------------- 109 13.5.- Materiales y equipos -------------------------------------------------------------------------------- 109 13.6.- Procedimiento experimental------------------------------------------------------------------------ 113 13.7.- Informe------------------------------------------------------------------------------------------------ 114 13.8.- Referencias del capítulo----------------------------------------------------------------------------- 114 14.- Péndulo simple ---------------------------------------------------------------------------------------- 116 14.1.- Introducción ------------------------------------------------------------------------------------------ 116 14.2.- Objetivos---------------------------------------------------------------------------------------------- 116 14.3.- Actividades ------------------------------------------------------------------------------------------- 116 14.4.- Fundamentos teóricos ------------------------------------------------------------------------------- 117 14.5.- Procedimiento experimental------------------------------------------------------------------------ 122 14.6.- Informe------------------------------------------------------------------------------------------------ 123 14.7.- Referencias del capítulo----------------------------------------------------------------------------- 123 APÉNDICE ------------------------------------------------------------------------------------------------- 124 Plan de evaluación y cronograma de actividades ------------------------------------------------------- 124 Escritura de números y cantidades ------------------------------------------------------------------------ 126 Prefijos-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 127 Sistema internacional de unidades (SI) ------------------------------------------------------------------ 127 Definiciones de las unidades básicas y suplementarias del SI ---------------------------------------- 129 Referencias del apéndice ----------------------------------------------------------------------------------- 130


GENERALIDADES 1

1.- MEDICIONES EN LA ACTIVIDAD EXPERIMETAL 1.1.- EL PROCESO DE MEDICIÓN La medición es el proceso mediante el cual se determina el valor de una magnitud física1. En general se trata de un proceso complejo, producto de una evolución. La evolución de este proceso nos ha llevado hoy en día a la implantación de normas internacionales. Todas las naciones han legislado sobre el tema relacionado con la medición de magnitudes de muy diversa índole, por la importancia que tienen para la industria, el comercio, la salud, y la investigación científico - tecnológica. Nos ocuparemos particularmente de la medición de magnitudes de carácter físico. La Metrología es la disciplina científica y tecnológica que se ocupa del estudio sistemático de lo referente a las mediciones: definición de las magnitudes, forma de realización de las mismas, manipulación estadística de los resultados de la medición, patrones, instrumentos de medición, y normalización de la actividad. El desarrollo de la Metrología se debe a la necesidad de establecer convenciones universales sobre magnitudes, unidades, patrones de referencia, notación, calibración de equipos y armonización entre sistemas. Tanto la ciencia y la tecnología como la actividad comercial e industrial, requieren de un intenso intercambio de información, el cual no sería posible sin la adopción de convencionalismos o normas que regulen todo lo relacionado con la medición. La medición no es un acto aislado o individual, ya que, el resultado de la medición debe tener un significado universal, debe ser reproducible y debe reportarse sin ambigüedad. La realización de este proceso implica las siguientes actividades: - definir adecuadamente de la magnitud a medir (observable) - establecer un método de medición - diseñar un procedimiento de medición - obtener un resultado numérico asociado a un sistema de unidades - calcular y reportar la incertidumbre de la medición. La medición es una aproximación o estimación del valor de una magnitud2, por lo cual, para que la medición sea completa, ésta debe acompañarse de una indicación de su incertidumbre. En general la expresión del resultado de una medición, debe contener: .- una expresión numérica del valor aproximado de la magnitud .- una expresión numérica de la incertidumbre .- unidades correspondientes a la magnitud.

1 Magnitud Física. Definición establecida en términos cuantitativos, relativa a un observable. La definición operacional de una magnitud es aquella que indica la forma de medición de la misma. Ejemplos: fuerza, masa, aceleración, tiempo. Atributo de un fenómeno, de un cuerpo o de una sustancia que es susceptible de ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. 2 Los términos valor de una magnitud, valor real y valor verdadero, se utilizan para hacer referencia al resultado que se obtendría al efectuar una medición en condiciones ideales.


GENERALIDADES 2

Error1 es la diferencia entre el resultado de una medición y el valor de la magnitud. Dado que no conocemos el valor de la magnitud, tampoco podemos conocer el error. El término error tiene además la connotación de algo que puede ser evitado o corregido. Dado que en general, la magnitud del error en la medición es desconocida, no es posible efectuar una corrección. Esto conduce a introducir el concepto de incertidumbre2. Este concepto permite expresar el resultado de la medición como un intervalo dentro del cual se supone que esté el valor de la magnitud medida, con una probabilidad dada. Se denomina error de la medición a la diferencia entre el valor medido y el valor de la magnitud, aunque esta diferencia es en general desconocida. En términos constructivos, como por ejemplo al cortar piezas para armar una estructura, los errores de medición conjuntamente con los errores que se producen al efectuar cortes o al perforar para colocar tornillos, se manifestarán como imperfecciones, producto de la propagación y acumulación de los mismos. Estas imperfecciones, comprometen la calidad de las obras o el funcionamiento de dispositivos y máquinas. 1.2.- EXACTITUD Y PRECISIÓN El grado de exactitud de un resultado se asocia a la magnitud relativa de los errores, mientras que la precisión se refiere a la magnitud relativa de su incertidumbre. Por ejemplo, al disparar sobre una diana, si los proyectiles caen cerca del centro de la misma y con poca dispersión, diríamos que el proceso es tanto exacto como preciso. En la figura 1.1 se muestran diversas situaciones posibles. Figura 1.1 Los resultados A y B son igualmente exactos aunque A es más preciso. C y D son igualmente precisos aunque C es más exacto que D.

1 En relación a la medición, tradicionalmente se entiende por error a la diferencia entre el valor de una magnitud y el resultado de una medición. Equivocación o defecto. Puede ser de concepto o interpretación, de transcripción, de calculo, de lectura, etc. 2 Incertidumbre. Intervalo dentro del cual se supone que está el valor de una magnitud, con una probabilidad dada.

A B C D


GENERALIDADES 3

1.3.- TIPOS DE MEDICIÓN Las mediciones se clasifican en dos categorías: - Mediciones directas: las que se obtienen mediante la lectura de las indicaciones de un instrumento. Ejemplo: determinación de la longitud de una mesa con una cinta métrica. - Mediciones indirectas: las que se obtienen al evaluar una expresión analítica o fórmula matemática, en la cual se reemplaza el resultado de una o más mediciones. Ejemplo: determinar la superficie de una circunferencia, a partir de la medición de su diámetro o determinar la densidad de un fluido, a partir de la determinación de su masa y de su volumen. 1.4.- INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES 1.4.1.- Incertidumbre Supongamos que como parte de un experimento, se requiere determinar el tiempo que demora en caer al piso del laboratorio un cuerpo que se suelta desde cierta altura, partiendo del reposo. Si repetimos la medición en idénticas condiciones, (los mismos instrumentos, operadores, condiciones iniciales y procedimiento) podríamos observar que los resultados obtenidos no son idénticos, se presenta cierta variabilidad, la cual es característica del sistema experimental, incluyendo en él al sistema de medición y al operador. La dispersión o variabilidad de los resultados puede reducirse perfeccionado el control experimental sobre los factores que influyen en la evolución de nuestro sistema, hasta el punto de hacerla inferior a la apreciación de los instrumentos utilizados, sin embargo, la variabilidad quedaría de nuevo en evidencia utilizando un instrumento de medición de mayor precisión y sensibilidad1. La dispersión del resultado, al repetir una medición bajo las mismas condiciones, se debe a causas fortuitas. No se puede atribuir en general, a errores personales del operador, o a defectos en los instrumentos. La dispersión es debida a múltiples factores sobre los cuales es imposible, en términos experimentales, tener un control absoluto; o bien es inherente a la naturaleza del observable. 1.4.2.- Incertidumbre y completitud de la definición de la magnitud El resultado de toda medición siempre estará afectado de una incertidumbre. Esta incertidumbre es muy sensible a la naturaleza de la magnitud, al método de medición y al procedimiento empleado. La completitud en la definición de una magnitud influye en la incertidumbre con que se puedan determinar los valores de la misma. Por ejemplo, al determinar la longitud de una barra de acero, si la definición de longitud no contempla la variación con la temperatura, las variaciones de éste parámetro ambiental se reflejarán en el resultado de la medición. 1.4.3.- Incertidumbre y grado de desconocimiento 1 Sensibilidad: capacidad de un instrumento de percibir pequeñas variaciones de la magnitud medida.


GENERALIDADES 4

La incertidumbre en una serie de mediciones, se puede definir como un parámetro que caracteriza el grado de desconocimiento sobre la misma. Está asociada a los datos utilizados, o a la dispersión de los resultados de la medición, cuando ésta se repite consecutivamente bajo un mismo procedimiento y condiciones. Esta dispersión en general se debe a diversas componentes. En algunos casos es necesario suponer un tipo dado de distribución de probabilidades1. 1.4.4.- Diferencia entre error e incertidumbre Es importante destacar la diferencia entre error e incertidumbre. El error es la diferencia, corrimiento o desviación del resultado de la medición, con respecto al valor real (valor verdadero2) de la magnitud medida. La incertidumbre de una medición consiste en especificar un intervalo alrededor del resultado, dentro del cual, con una probabilidad dada, se supone que esté el valor real de la magnitud medida. También se puede interpretar como la probabilidad de que al repetir la medición, esta caiga dentro del intervalo especificado. Discutiremos en las secciones siguientes, las convenciones establecidas acerca de la manera de expresar el intervalo y la probabilidad correspondiente. Es posible que el resultado de una medición este casi libre de error, debido a que casualmente, su valor esté muy cerca del valor real de la magnitud, y sin embargo la medición esté afectada de una incertidumbre relativamente grande, debido a la variabilidad que se obtenga al repetir la medición bajo las mismas condiciones y a la incertidumbre inherente al instrumento de medición. 1.5.- ERRORES EN LA MEDICIÓN Como mencionamos mas arriba, se define como error de la medición a la desviación del resultado de la medición con respecto al valor de la magnitud (valor verdadero). Como en general, no conocemos el valor de la magnitud, tampoco podemos establecer cual es el error. Pero el error en la medición se reflejará en la calidad de las realizaciones para las cuales se requiere la medición, bien sean investigaciones científicas o actividades industriales. 1.5.1.- Clasificación de los errores de medición Tradicionalmente se clasifican, según su origen en dos categorías: .- Errores Sistemáticos .- Errores Aleatorios. 1.5.1.1.- Errores Sistemáticos

1 Distribución de probabilidades. Función que indica la probabilidad de que una variable aleatoria tome cualquiera de los valores correspondientes a un intervalo dado o a un conjunto de valores. 2 Valor verdadero, valor real o simplemente valor de la magnitud, son denominaciones utilizadas para hacer referencia al valor que objetivamente tiene la variable medida, independientemente del sistema de medición. Este valor en general es desconocido.


GENERALIDADES 5

Los errores sistemáticos son aquellos que producen desviaciones del resultado en una misma dirección, en muchos casos se puede corregir una vez que se identifica su naturaleza, para un conjunto de mediciones. Por ejemplo, no haber tomado en cuanta la influencia de la temperatura al determinar la longitud de una barra o corrimiento del cero de un instrumento. 1.5.1.2.- Errores Aleatorios Los errores aleatorios son aquellos debidos a causas fortuitas. Sobre el resultado de una medición generalmente influyen múltiples factores sujetos a fluctuaciones fortuitas o aleatorias, que escapan al control experimental. Por ejemplo: .- influencia de la turbulencia del aire al determinar el alcance de un proyectil .- variaciones de la tensión de alimentación de instrumentos o componentes eléctricos que integren el sistema experimental .- efecto de las vibraciones mecánicas sobre el sistema experimental. 1.5.2 Errores y ejecución del procedimiento de medición También se conocen como errores (e influyen en el error de la medición) los defectos o fallas en la ejecución de procedimientos. Las fallas más comunes en el proceso de medición son las asociadas a mala ejecución del procedimiento, mal uso del instrumento de medición, incorrecta transcripción de los resultados, errores de cálculo y falta de información sobre el sistema o sobre las limitaciones del modelo, incluyendo las ecuaciones utilizadas. En relación a la ejecución del procedimiento de medición, son comunes las siguientes fallas: - utilización de un instrumento defectuoso - falta de calibración del instrumento - lectura incorrecta de la escala, error del cero y errores de paralaje1 En relación a la elaboración del procedimiento de medición tenemos: - error teórico: utilización de suposiciones teóricas inadecuadas o de fórmulas incompletas - subestimar el efecto de factores ambientales o falta de información sobre el proceso - selección inadecuada del equipamiento o del montaje experimental Es de suponer que en la selección del método de medición también se puedan cometer errores (errores o fallas de concepto). En general pueden influir en el error del resultado del proceso de medición, los siguientes factores:

a) definición incompleta de una magnitud.

1 Error de paralaje. Error en la lectura de instrumentos de aguja, reglas gruesas y otros instrumentos, debido a que la visual no incide perpendicularmente a la escala. Muchos instrumentos de aguja tienen un espejo en la escala para evitar el error de paralaje. Al efectuar la lectura, la imagen reflejada de la aguja se debe superponer con ella misma, para evitar este error.


GENERALIDADES 6

Ejemplo: No incluir el efecto de la temperatura en la determinación de la longitud de una barra.

b) Realización incompleta del proceso físico dentro del cual tiene sentido la definición de

una magnitud. Ejemplo: Para determinar la temperatura de un sistema es necesario esperar que se

establezca el equilibrio térmico entre dicho sistema y la parte sensible del instrumento de medición. Si esta condición no se cumple, la determinación de temperatura será defectuosa.

c) Falta de representatividad de las muestras seleccionadas para efectuar la medición (o

inadecuada selección de los intervalos en los cuales se mide) Ejemplo: Supongamos que se requiere determinar la temperatura promedio (temporal

y espacial) en una habitación. Si tomamos varias medidas y promediamos, obtendremos como aproximación a la temperatura promedio, la media aritmética de los valores tomados, los cuales constituyen una muestra finita de las infinitas mediciones que en principio se podrían realizar. Dependiendo de las condiciones que se establezcan, se requerirá seguir una secuencia de intervalos de tiempo y posición para cumplir con el objetivo propuesto y evitar que todas las mediciones efectuadas se realicen cerca de una fuente térmica (lámparas, radiadores, artefactos eléctricos) o en momentos en que la puerta se encuentre abierta.

d) Conocimiento incompleto de la forma en que las condiciones ambientales o externas

influyen en el proceso de medición o determinación defectuosa de los parámetros ambientales.

Ejemplo: La temperatura es una variable de influencia en la determinación de la longitud de un objeto, tanto por la dilatación del material objeto de la medida como por la dilatación del material con el cual esta construido el instrumento de medición.

e) Defectos en el procedimiento de lectura de instrumentos analógicos. Por ejemplo el

error de paralaje. Este error de lectura se produce cuando la visual no incide perpendicularmente a la escala sobre la cual se desplaza la aguja de un instrumento.

f) Resolución del instrumento, umbral de discriminación del mismo o también, el efecto

de histéresis del instrumento (cuando el resultado de una medición depende del resultado anterior o de la forma en que cargo o descargo el instrumento en su uso previo)

g) Valores asignados a los patrones o a las propiedades de los materiales de referencia. h) Valores de las constantes y de otros parámetros obtenidos de fuentes externas. i) Aproximaciones o suposiciones incorporadas al proceso de medición. Ejemplo: Despreciar la resistencia del aire en la determinación de la aceleración en la

caída libre de un objeto. j) Variaciones de la magnitud medida, por su propia naturaleza.


GENERALIDADES 7

Ejemplo: Mediciones de temperatura ambiental, velocidad del viento, nivel de ruido en una fábrica.

Estas fuentes de error no son independientes en general. Además, en muchas ocasiones resulta imposible la implantación de un procedimiento de medición que no afecte los parámetros de un sistema, es decir, afectando el valor de la magnitud que se desea medir. Por ejemplo, la capacidad térmica de un termómetro podría ser comparable a la del sistema cuya temperatura se quiera determinar, luego el instrumento de medición, en este caso, afectará el comportamiento del sistema. 1.6.- REDUCCIÓN DE ERRORES 1.6.1.- REDUCCIÓN DE ERRORES SISTEMÁTICOS En el caso de los errores sistemáticos, los mismos generalmente se pueden identificar mediante procedimientos de verificación. Por ejemplo, aplicando la medición a piezas de referencia caracterizadas previamente, se podría identificar corrimientos sistemáticos en la medición. También es importante la verificación de la calibración de los instrumentos, la revisión de los procedimientos, el adiestramiento de los operadores y la revisión de las fuentes de datos y de los cálculos realizados. 1.6.2.- REDUCCIÓN DE ERRORES ALEATORIOS Los errores aleatorios o fortuitos pueden ser reducidos mediante el tratamiento estadístico de los datos experimentales obtenidos al repetir la medición consecutivamente y bajo las mismas condiciones. Generalmente, los factores que influyen en la medición, fluctúan de manera fortuita, alrededor de cierto valor intermedio y de manera simétrica, es decir, se presentan tanto por encima como por debajo de cierto valor, con la misma frecuencia. Se puede decir que es igualmente probable que la fluctuación sea por encima o por debajo de su valor medio. Por otra parte, las fluctuaciones grandes son menos probables que las pequeñas. De acuerdo con lo planteado en el párrafo anterior, tomar el promedio1 del resultado de muchas mediciones realizadas en condiciones similares, permitiría obtener un resultado libre de errores aleatorios. En términos más precisos, se puede establecer que el error aleatorio tiende a cero cuando el número de mediciones a promediar tiende a infinito 1.7.- CIFRAS SIGNIFICATIVAS La incertidumbre asociada al resultado de una medición, puede ser expresada de manera explícita, como por ejemplo 5,5cm ± 2mm en donde 2mm es la incertidumbre. La incertidumbre también puede ser expresada de una manera implícita en base al convencionalismo que se expone en esta sección, el cual se basa en el concepto de cifra significativa. 1 Promedio. El promedio de un conjunto de datos es igual a la sumatoria de los mismos dividida por el número de sumandos. Media aritmética.


GENERALIDADES 8

En la notación numérica decimal, se emplean diez símbolos o guarismos, que al combinarse permiten denotar valores enteros y fraccionarios. Por ejemplo, tenemos que

123,4 = 1×102 + 2×101 + 3×100 + 4×10-1 en una base decimal. Como resultado de esta convención también tenemos que 0123,4 representa la misma cantidad, así como 123,40. Aunque las expresiones 123,4 y 123,40 representan exactamente la misma cantidad, la segunda expresión sugiere menor incertidumbre que la primera. Definición: En una expresión decimal, todos los dígitos distintos de cero siempre son significativos, mientras que el cero solo es significativo cuando: a) uno o mas ceros están en el extremo derecho de una expresión decimal con coma o parte fraccionaria; b) cuando uno o más ceros se encuentren entre dígitos deferentes de cero. De esta manera, una expresión como 12 no tiene la misma significación que 12,0 aunque el valor numérico es el mismo. En el primer caso se está expresando implícitamente una incertidumbre de 0,5 unidades, mientras que en la segunda la incertidumbre es igual a 0,05 unidades1. En los casos indicados se está suponiendo que los resultados corresponden a un redondeo hasta la cifra menos significativa, lo cual no es siempre el caso. Es importante tener en cuenta el contexto en el cual se utiliza la expresión numérica, por ejemplo, si nos referimos a una llave de 1” (una pulgada) sería incorrecto interpretar que se trata de una llave de 1±0,5 pulgadas. En el contexto de las herramientas, la tolerancia de tal llave podría ser del orden de 1/64” o menor. En el ejemplo de la llave, así como en el caso de la denominación de billetes, ángulos notables, docenas de unidades y en muchos otros casos, se trata de valores nominales para los cuales el convencionalismo al que nos referimos no es aplicable. En efecto, en la notación decimal los dígitos que conforman una expresión numérica tal como 1234, tienen más significación mientras más a la izquierda se encuentren. Los ceros a la izquierda de una expresión nunca tiene significado, mientras que los ceros añadidos a la derecha, si la expresión tiene una coma decimal, sugieren precisión. Los ceros en una expresión decimal tal como en 12300 cumplen la función de guardar un espacio decimal, por lo tanto no son significativos. Los números de la Tabla 1.1 tienen en común que el número de cifras significativas es el mismo para todos los números dentro de las casillas de la A a la H.

Tabla 1.1 A B C D E F G H

1234 1230, 0,01234 1,001 123400 0,1000 1001 12,34 1 Una incertidumbre de medio intervalo, correspondiente a la cifra menos significativa es aplicable si la magnitud se conocía con más cifras significativas y se efectuó un redondeo. En caso de truncamiento, la incertidumbre sería de una unidad de la posición decimal menos significativa, es decir, 12 significaría 12±1.


GENERALIDADES 9

Al realizar operaciones con números aproximados, el número de cifras significativas, o de cifras decimales del resultado, se determina en base a las siguientes reglas1: a.- Al sumar o restar el resultado se expresa con tantas cifras decimales como tenga el

dato de menor número de cifras decimales. Ejemplo: 3,476 + 123,2 ≅ 126,7 . b.- Al multiplicar o dividir, el resultado conservará tantas cifras significativas cuantas

tenga el dato de menor número de cifras significativas. Ejemplo: 22,4×3 ≅ 70 . c.- Al elevar al cuadrado o al cubo, o al extraer raíces cuadradas o cúbicas, se

conservarán tantas cifras significativas cuantas tenga el número procesado. Ejemplo: √20, ≅ 4,5 pero √20 ≅ 4 .

d.- En general, la determinación del número de cifras significativas, del resultado de

evaluar una expresión numérica, se puede determinar propagando la incertidumbre mediante las expresiones para la propagación que veremos más adelante.

e.- Al redondear una expresión procure hacerlo a partir de la primera cifra afectada de

incertidumbre, mediante el siguiente criterio: a) si la cifra siguiente a la derecha de la primera cifra afectada de incertidumbre es mayor que 4, sume uno, (redondeo por arriba) de lo contrario puede truncar la expresión (redondeo por debajo); b) si la cifra a redondear es 5 y no hay mas cifras a la derecha, se redondea hacia arriba si la penúltima cifra es impar y hacia abajo si es par. Ejemplo de redondeo hasta las décimas: 3,467 → 3,5 ; 3,453 → 3,5 ; 3,35 → 3,4 ; 3,45 → 3,4 .

1.8.- CLASIFICACIÓN Y EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE La incertidumbre desde el punto de vista metrológico, se clasifica de acuerdo al origen de la misma en dos tipos: la incertidumbre tipo A y la incertidumbre tipo B. La tipo A se refiere a la incertidumbre debida a la dispersión de un conjunto de mediciones efectuadas bajo las mismas condiciones. Mientras que la Incertidumbre tipo B se asocia a cualquier otra fuente de incertidumbre diferente a la incertidumbre tipo A. INCERTIDUMBRE TIPO A: Consiste en la evaluación de la componente de la incertidumbre asociada a la dispersión estadística de los valores estimados mediante una serie de mediciones. INCERTIDUMBRE TIPO B: Consiste en la evaluación de la componente de la incertidumbre asociada a aspectos distintos a los estadísticos, en una serie de mediciones.

1 Estas reglas constituyen una orientación sobre la forma de expresar un resultado de manera consistente con la precisión de los datos, no deben utilizarse de manera rígida.


GENERALIDADES 10

Estas dos contribuciones a la incertidumbre, se diferencian por la forma en que se determinan, pero ambas contribuyen a la incertidumbre en la determinación del valor estimado de una magnitud. También estudiaremos la manera de combinar ambos resultados. 1.9.- CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE TIPO A En general, la mejor estimación del valor esperado1 μq de una magnitud q, de la cual se hayan efectuado n determinaciones independientes y bajo las mismas condiciones, es su media aritmética o promedio experimental q (también se utiliza <q> como notación):

∑=

=n

kkq

nq

1

1 (1)

Los resultados individuales difieren entre si, debido a variaciones al azar, las cuales dan lugar a una distribución. Se denomina varianza s2, de la distribución de valores de q, al valor determinado mediante:

( ) 2

1

2 )(1

1 qqn

qsn

kk −−

= ∑=

(2)

la raíz cuadrada s(q) de la varianza es denominada desviación estándar y representa la variabilidad de los valores de q o su dispersión alrededor de la media q . Así como se define un valor esperado μq de la magnitud q, se define σ2 como el valor esperado de la varianza, cuya mejor estimación es s2. La varianza de la media se define como:

nqs

qs)(

)(2

2 = (3)

de esta manera tenemos que:

( ) 2

1

2 )()1(

1 qqnn

qsn

kk −−

= ∑=

(4)

Así mismo se define la desviación estándar de la media s(q ) como la raíz cuadrada de s2(q ). s(q ) cuantifica, que tan bien q , representa una estimación del valor esperado μq de q. s(q ) puede ser utilizado como una medida de la incertidumbre de q .

1 Las letras griegas se utilizaran para designar parámetros de la población. En este caso la población está integrada por las infinitas mediciones que en principio se podrían tomar. La media de estas infinitas mediciones es el valor esperado del conjunto finito de mediciones efectuadas.


GENERALIDADES 11

Es importante comentar por que utilizaremos la desviación estándar de la media y no la desviación estándar del conjunto de mediciones, para establecer la incertidumbre del resultado de un conjunto de mediciones. Supongamos que repetimos 100 veces una medición y determinamos la media m y la desviación estándar s. Luego agrupamos los datos de a diez en diez y determinamos la media mi de cada grupo. Con respecto a estas medias, observaríamos que las mismas no son todas iguales, presentan cierta desviación estándar. La desviación estándar de las medias es menor que la desviación estándar de los 100 datos iniciales, en un factor aproximadamente igual a la raíz cuadrada del número de elementos de cada subgrupo. (por ejemplo: la media diaria de la temperatura en una región del planeta, fluctúa más, durante digamos un siglo, que la media anual durante el mismo intervalo). Cuando efectuamos un conjunto de N mediciones para la determinación del valor experimental de una variable, podemos pensar que estamos tomando una muestra de las infinitas mediciones que en principio se podrían efectuar, bajo condiciones similares. Tomamos como incertidumbre la desviación de la media debido a que este valor nos indica la desviación que encontraríamos al repetir el proceso de efectuar las N mediciones de manera consecutiva. 1.10.- INCERTIDUMBRE ESTÁNDAR EN LA EVALUACIÓN TIPO B Para estimar el valor xi de una magnitud Xi que no ha sido obtenida a partir de una serie de mediciones, la varianza estimada u2(xi) o la incertidumbre estándar u(xi), se evalúa a partir de toda la información relevante sobre la variabilidad de Xi. La recopilación de esta información debe estar incluida en el procedimiento de medición. Esta información incluye: - conocimiento general del comportamiento de Xi - propiedades de los materiales e instrumentos utilizados en el procedimiento de medición - especificaciones de los fabricantes, datos sobre calibración, certificaciones e

incertidumbre relacionada con los datos que provengan de manuales o tablas. La información suministrada por fabricantes, a menudo está dada mediante el concepto de intervalo de confiabilidad, que indica cual es la probabilidad de que el valor de una magnitud medida se encuentre dentro de los límites del intervalo de incertidumbre. Este intervalo comúnmente se expresa como X= x ± k u(x) donde el valor de k depende de la confiabilidad del intervalo, para la distribución estadística de la variable x. Asumiendo una distribución normal1, para una confiabilidad del 50% , k=1/1,48. Para valores de confiabilidad de 68,3%, 90%, 95% y 99% se tienen respectivamente los valores de k: 1,0; 1,64; 1,96 y 2,58. Recordando que μ es el valor esperado o mas probable de X y que σ es el valor esperado de la desviación estándar u(x), se tiene que una confiabilidad del 50% significa que la probabilidad de que el valor estimado esté alrededor de μ dentro del intervalo μ ± σ/1.48 es 1/2. Hay que recordar que esto solo es válido si la distribución es normal o gaussiana. Ejemplo: El certificado del fabricante de una masa de latón de valor nominal un kilogramo, indica que

ms=1 000,000 485 g 1 Vea la figura 1


GENERALIDADES 12

con una incertidumbre de 270 μg determinada bajo el criterio de las tres sigmas o tres desviaciones estándar. En este caso, la incertidumbre estándar de la medición es u(ms) = 270/3 μg = 90 μg , mientras que la varianza estimada es u²(ms) = (90 μg)² = 8,1× 10-9 g² . Ejemplo: La certificación de una resistencia de calibración de valor nominal 10Ω establece que Rs = 10,000 654 Ω a 20°C y que la incertidumbre de este valor, con una confiabilidad del 99% es 135μΩ . Suponiendo que la distribución de las medidas que condujeron a la determinación del intervalo, es la normal o gaussiana, de acuerdo con lo indicado en 1.8.1, el intervalo de 99% de confiabilidad se determino multiplicando la desviación estándar por 2,58 . Por lo tanto, u(Rs) = 135μΩ / 2,58 Nota: en esta guía no se contemplan casos en los cuales la distribución sea diferente a la distribución normal 1.11.- DISTRIBUCIÓN DE LOS VALORES ESTIMADOS MEDIANTE UNA

SERIE DE MEDICIONES Para determinar la forma en que se distribuyen los resultados de una serie de mediciones de una magnitud, bajo las mismas condiciones, se construye un gráfico en el cual se representa la dependencia entre los valores obtenidos o estimados, con la frecuencia o numero de veces que un resultado se repite dentro de un intervalo de valores. Para ilustrar este concepto, veamos el siguiente ejemplo: 1.11.1.- Ejemplo En la tabla 1 se representan los resultados experimentales de una serie de 20 mediciones de la longitud de una barra, determinadas mediante el mismo procedimiento y bajo condiciones similares. Las mediciones se efectuaron con una regla graduada con apreciación de 1mm (el operador efectuó estimaciones hasta 0,1mm).

TABLA 1 Medidas de longitud d Intervalo (mm) Espesores di (mm) 994≤ d < 996 995,2 996≤ d < 998 997,1; 996,0; 996,3; 996,5;


GENERALIDADES 13

998≤ d < 1000 998,1; 998,1; 999,6; 999,1; 998,7; 998,0; 998,1; 998,2; 1000≤ d < 1002 1000,5; 1001,3; 1000,7; 1000,1 1002≤ d < 1004 1002,0; 1003,1 1004≤ d < 1006 1004,3

En la figura 1 se muestra el histograma correspondiente. Dado el número reducido de mediciones, la forma de la distribución no queda definida claramente. Utilizando las ecuaciones 1-4 tenemos que:

( ) ( )( ) ( )( ) mmds

mmds

mmds

mmd

i

539,0

291,0

82,5

05,999

22

22

=

=

=

=

Utilizando el criterio de las tres sigmas, (k=3, vea la sección 1.10) tendríamos que el resultado del procedimiento de estimación de la longitud es 1

(999.0 ± 1,6) mm . Cabe preguntarse ¿por qué no expresar la incertidumbre 3×0,539mm exactamente? es decir 1,617mm. ¿Podríamos aproximar este resultado a 2mm? Para responder a esta pregunta habría que profundizar en el tema estadístico, lo cual está fuera del alcance de esta guía. Como regla práctica utilizaremos los resultados de la Tabla 2, en la cual se muestran la desviación estándar relativa de la desviación estándar experimental, en función del número de mediciones. Estos resultados se pueden calcular aproximadamente reemplazando el número de mediciones en la expresión: 100×[2(n-1)]-1/2 .

TABLA 2

1 Falta incorporar la contribución del error del instrumento y de la estimación del operador. Vea la sección siguiente.


GENERALIDADES 14

No. Observaciones

n

Desviación estándar

relativa (%) 2 76 3 52 4 42 5 36 10 24 20 16 30 13 50 10 100 7

De acuerdo con lo indicado en la Tabla 2, dado que se efectuaron 20 mediciones, la desviación relativa de la desviación estándar experimental es del 16%. Calculando este porcentaje a la incertidumbre obtenida, la cual fue de 1.617μm, tenemos que la desviación de este valor es 0,26. Esto indica que tenemos incertidumbre en la primera cifra decimal del valor 1,617 y por lo tanto, carece de sentido práctico expresar este resultado con más cifras. En general no arrastraremos más de una cifra adicional a la primera cifra de izquierda a derecha que, esté afectada de incertidumbre, dentro del criterio establecido ( el de 3σ) al expresar el resultado de la medición y hasta la primera cifra afectada de incertidumbre al expresar la desviación. Es importante redondear el resultado en lugar de truncarlo a partir de la cifra inmediata a aquella afectada de incertidumbre.

994 996 998 1000 1002 1004 1006

1

2

4

3

5

6

7

8

9

μmespesor ( )

frecuencia

μμ−σ μ+σ

μ+σμ−σ 2020 FIGURA 1: Histograma de las medidas experimentales y su comparación con la distribución normal. 1.12.- INCERTIDUMBRE COMBINADA


GENERALIDADES 15

Frecuentemente en la evaluación de una magnitud depende de los valores de dos o mas resultados previos, los cuales podrían ser independientes o presentar algún grado de correlación. En esta guía solo consideraremos el casos de correlación nula. La incertidumbre total en la determinación de una magnitud X, donde x es el valor estimado, se obtiene mediante la adecuada combinación de las incertidumbres estándar en los parámetros x1, x2, x3, ..., de los cuales depende x. La incertidumbre estándar en x se denota como uc(x). La incertidumbre estándar es la raíz positiva de la varianza combinada, la cual se obtiene a partir de la siguiente expresión:

)()( 22

1

2i

N

i ic xu

xfxu ∑

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

(5)

en donde u2(xi) es la incertidumbre estándar en xi la cual podría provenir de una determinación Tipo A o de una Tipo B. Las derivadas ∂f/∂xi pueden ser determinadas si conocemos explícitamente X=f(x1,x2,....xN) o bien pueden determinarse experimentalmente. A estas derivadas se les denomina coeficientes de sensibilidad, ya que los mismos describen la magnitud de un cambio en el resultado X, cuando varia xi. Las derivadas se evalúan para valores los nominales de las variables. Algunos autores argumentan que para evaluar la incertidumbre combinada es suficiente utilizar la siguiente expresión

)()(1∑ ∂

∂=

N

ii

c xuxfxu (6)

Es importante destacar que la ecuación (6), aunque más fácil de evaluar, siempre da valores para uc(x) mayores a los que se obtienen mediante (5). En algunos casos la utilización de la ecuación (6) puede conducir a sobre estimaciones de la incertidumbre, por lo cual se recomienda utilizarla con prudencia. 1.12.1.- Ejemplo Una vez definido el intervalo de confiabilidad para x, el cual podría ser igual a una desviación o dos o tres, etc., denotaremos a este intervalo como Δx, mientras que la incertidumbre en las variables, expresadas mediante la misma convención, la denotaremos como: Δx1, Δx2, ...ΔxN. Suponiendo que se trata de determinar la incertidumbre en la determinación de la velocidad V de un móvil, donde se conocen los valores de la distancia recorrida X, y el intervalo de tiempo transcurrido T. Es decir, tenemos que X = x ±Δx representa la posición y que T=t±Δt representa el intervalo de tiempo. Entonces:


GENERALIDADES 16

2

2

,

22

,

2

1

0000

TX

TV

TXV

TTVX

XVV

TXV

XXTTXXTT

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=Δ

=

====

donde X0 y T0 son los valores nominales o los medidos, de las respectivas variables. Si los valores numéricos son los siguientes: X=1,25m±0,015m y T=7,6s±0,3s tenemos que: V=1,25/7,6m/s ± [0,015/7,6+1,25·0,3/(7,6)²]m/s = 0,1645m/s ± (0,0020+0,0067)m/s = = 0,164m/s ± 0.009m/s Nota: el criterio para determinar el número de cifras significativas en este caso, consistió en indicar hasta una cifra adicional a la derecha de la primera afectada de incertidumbre, dentro del criterio utilizado para la determinación de la incertidumbre en las variables. 1.12.2.- Contribución de la estimación y del error máximo del instrumento en la determinación de la incertidumbre Hasta el momento solo hemos mencionado como determinar la incertidumbre correspondiente a la dispersión de los datos experimentales. Es importante tener en cuenta otras dos fuentes de incertidumbre: .- Error máximo del instrumento (eI) .- Estimación del operador (ao) .- Error máximo del instrumento (eI) El error máximo del instrumento es la máxima desviación que presenta la escala del mismo, con respecto a un patrón o a un instrumento de referencia debidamente calibrado. Podríamos decir que este error corresponde a imperfecciones en la demarcación de las divisiones de la escala o a limitaciones en el mecanismo del instrumento. Al tratarse de un valor máximo, consideraremos que la desviación en la colocación de las rayas o divisiones, para cada una de éstas en particular, estará comprendida entre cero y el error máximo.


GENERALIDADES 17

A partir del error máximo eI y bajo la suposición que el error de una lectura particular estará entre cero y eI , determinamos la desviación estimada uI suponiendo una distribución rectangular [1]. De esta manera tenemos que uI = eI / √3. .- Estimación del operador (ao) La estimación consiste en subdividir visualmente (a ojo) la menor división que presenta la escala de un instrumento. Esto tiene sentido al utilizar instrumentos analógicos para los cuales el error máximo sea al menos 1/10 de la apreciación. Designaremos con el símbolo ao a la fracción de la apreciación hasta las cuales se está estimando. Con algo de práctica se pueden efectuar estimaciones de décimas y hasta de centésimas de división con un error máximo del 5%. En la práctica se comprueba que los errores de estimación obedecen a una distribución triangular. El error máximo puede representarse como eo = nao, donde n = 1, 2, 3,... dependiendo de la destreza de la persona que mide. A partir del error máximo de estimación eo, se determina la desviación estimada correspondiente uo. Suponiendo una distribución triangular, como se argumentó en el párrafo anterior [1] tenemos que uo = eo / √6. 1.12.3.- Ejemplo En el ejemplo 1.11.1, las mediciones se efectuaron con una regla de 1mm de apreciación. El operador del instrumento efectúo estimaciones hasta ao = 0,1mm; proceso al cual atribuimos un error máximo eo = 0,2mm y por lo tanto, una desviación estimada uo=eo/√6=0,1mm. La regla utilizada tiene, de acuerdo a especificaciones del fabricante, un error máximo ei = 0,1 mm al cual corresponde una desviación estimada ui = ei / √3 = 0,06mm. En el ejemplo 1.11.1.- obtuvimos una desviación estándar d = 0,54mm para la dispersión de los valores medidos. Este resultado no incluye las contribuciones a la incertidumbre debidas al error del instrumento y al error de apreciación. Para combinar las tres contribuciones sumamos las varianzas estimadas para las diversas contribuciones. Recordando que la varianza es el cuadrado de la desviación, tenemos que la desviación combinada u, está dada por:

mmuudu oI 552,0222 =++= La incertidumbre ampliada Δd, utilizando k = 3 (criterio 3σ), esta dada por:

mmud 7,13 ≅=Δ La cual es ligeramente superior a la determinada en el ejemplo anterior1.

1 Vea ejemplo del párrafo 5.1.5 de la referencia [1].


GENERALIDADES 18

Es importante destacar, que en aquellos casos en que la repetición de una medida no presenta variaciones, la desviación estándar es nula, sin embargo, la incertidumbre no es cero debido a las otras contribuciones. 1.13.- INCERTIDUMBRE ABSOLUTA E INCERTIDUMBRE RELATIVA En la expresión (2,37±0,25)m se tiene que 0,25m es la incertidumbre absoluta. Si dividimos la incertidumbre absoluta por el valor de la media de la medida, tendremos la incertidumbre relativa. También es frecuente la utilización de la incertidumbre relativa porcentual, la cual se obtiene multiplicando la incertidumbre relativa por 100. En efecto, si tenemos que AAA Δ±= tendremos que la incertidumbre relativa está dada

por AAΔ y la incertidumbre porcentual es 100×

ΔAA .

Utilizando los valores mA 37,2= y mA 25,0=Δ , tenemos:

10,0=ΔAA (sin unidades) y para la incertidumbre porcentual tendremos %10100 =×

ΔAA .

La incertidumbre relativa es un concepto de mucha utilidad cuando se trata de comparar la precisión de medidas de una misma magnitud pero disimiles cuantitativamente o bien para comparar la precisión de mediciones de magnitudes distintas. El concepto también es aplicable a los errores. La incertidumbre relativa también es útil en el cálculo de la incertidumbre del resultado de multiplicaciones y divisiones. En efecto, mediante la expresión (6) se puede demostrar que la incertidumbre relativa de un producto es igual a la suma de las incertidumbres relativas de los factores. Utilizando el símbolo ΔA para denotar la incertidumbre de A, tenemos:

BB

AA

BABA Δ

+Δ

=××Δ )( (7)

En el caso de la división tenemos un resultado similar

BB

AA

BABA Δ

+Δ

=Δ

/)/( (8)

Para la suma y la resta, la utilización de la ecuación (6) nos conduce a los resultados aproximados (por exceso) siguientes:

BABA

BABA

Δ+Δ≅−Δ

Δ+Δ≅+Δ

)(

)( (9)


GENERALIDADES 19

Observe que en estas aproximaciones la incertidumbre absoluta se obtiene sumando las incertidumbres también absolutas. Es importante destacar que los resultado mostrados arriba para el caso de la suma y de la resta son aproximaciones por exceso usualmente utilizadas para una estimación grosera de la incertidumbre. Utilizando la ecuación (5), la cual contempla rigurosamente los aspectos estadísticos involucrados, una estimación más adecuada de la incertidumbre de la suma o de la resta de dos cantidades vendría dada por

22

22

)()()(

)()()(

BABA

BABA

Δ+Δ=−Δ

Δ+Δ=+Δ

(10)

Si las magnitudes de las incertidumbres de A y de B son similares, es decir, ΔA≈ΔB, mediante la expresión (9) tendríamos que Δ(A+B) ≈2ΔA, mientras que mediante la expresión (10) se tiene Δ(A+B) ≈ 2 ΔA, con idéntico resultado para la resta. Es importante destacar que muchos autores recomiendan la utilización del primer resultado debido a que se trata de una aproximación por exceso. Sin embargo, reportar una incertidumbre mayor a la que realmente se obtuvo, constituye un desperdicio de esfuerzo. Recuerde que para aumentar la precisión de un resultado se requiere, en general, invertir mas tiempo o más esfuerzo o más dinero en la compra de equipos de mayor precisión. 1.14.- EJERCICIOS 1.14.1.- Discuta y defina cada uno de los siguientes conceptos: a) Medición b) Metrología c) Magnitud física d) Exactitud e) Precisión f) Error g) Incertidumbre 1.14.2.- Indique el número de cifras significativas de cada una de las siguientes expresiones a) 2,35 b) 2,05 c) 100 d) 100, e) 100,1 f) 1001 g) 0,0023 h) 0,1002 i) 700,03 j) 0123,0 k) 100,00 l) 1230


GENERALIDADES 20

1.14.3.- Escriba cada una de las cantidades del ejercicio anterior en notación científica1 a) ____________ b) ____________ c) ____________ d) ____________ e) ____________ f) ____________

g) _____________ h) _____________ i) _____________ j) _____________ k) _____________ l) _____________

1.14.4.- Para los siguientes casos, efectúe las operaciones indicadas y exprese el resultado con un número de cifras significativas que sea consistente con el número de cifras significativas de los datos. a) 2,35 × 100 =________________ b) 2,45 × π = ________________ c) 123,4 + 15,16 =_____________ d) (123,45)2 = ________________ e) (20)½ = ___________________ f) 123 × 200,0 /45 = ___________ 1.14.5.- Para el conjunto de datos mostrados a continuación, determine: a) Media b) Desviación estándar c) Desviación de la media d) Suponiendo que los datos corresponden a una serie de mediciones efectuadas bajo

condiciones similares, indique cual sería el valor más probable para la magnitud medida y su incertidumbre, utilizando el criterio de las 3 sigmas. (suponga que uI=0,05)

Datos: 1,3 1,2 1,1 1,4 1,2 1,2 1,0 1,1 1,2 1,2 1,3 1,4 1,1 1,2 1,3 1,0 1,2 1,3 1,2 1,1 1.14.6.- La medición de los lados de un paralelepípedo, dio como resultado los siguientes valores: L = (16,25±0,12)cm; H = (8,43±0,08)cm; A = (10,44±0,10)cm Determine el volumen V = L × H × A del paralelepípedo y la incertidumbre del resultado mediante la ecuación (5) 1 Consulte la referencia 4, página 4 ó la referencia 5, página 15.


GENERALIDADES 21

1.14.- Glosario .- Correlación. Relación entre dos o mas variables aleatorias dentro de una distribución de dos o mas variables. La correlación cuantifica el grado de ínter relación entre dos variables. .- Criterio de las tres sigmas. Determinación del intervalo de confiabilidad en base a un factor k=3 (párrafo 1.8.1) .- Distribución normal. Es la distribución de probabilidades en la cual la función de distribución es

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=2

21exp

21)(

σμ

πσxxf

en donde μ es el valor esperado y σ la desviación estándar de la distribución. .- Error absoluto. Expresión de la desviación del resultado de una medición con respecto a lo que se supone es el valor de la magnitud medida. Se expresa en las mismas unidades que la magnitud medida. .- Error aleatorio. Diferencia entre el resultado de una medida individual y el resultado de promediar los resultados un gran número de mediciones de la misma magnitud, bajo las mismas condiciones, método y procedimiento. .- Error de estimación. Error que se produce al estimar fracciones de la mínima división de una escala. Por ejemplo, al estimar décimas de mm utilizando una regla de apreciación igual a 1mm, el error de estimación podría estar entre 0,1mm y 0,5mm; pero es muy raro que sea superior a 0,5mm. (Vea párrafo 1.12) .- Error máximo. Máxima desviación que presenta la escala de un instrumento a lo largo de su alcance. (Vea párrafo 1.12) .- Error probable. Determinación estadística del intervalo, alrededor del resultado de la medición, dentro del cual estaría el valor de la magnitud medida, con una probabilidad dada. Vea (1.8.1). .- Error relativo. Relación entre el error absoluto y el valor medido. El error relativo se puede expresar en tanto por ciento, multiplicando la relación referida por cien. .- Exactitud. Grado de proximidad entre el resultado de la medición y el valor de la magnitud. .- Gaussiana. Función de distribución normal. Curva que se obtiene al graficar la ecuación contenida en el párrafo (1.11.5) .- Observable. Un observable puede ser una propiedad de un cuerpo, o una acción sobre éste o el efecto resultante de una acción. Los observables se definen en términos cuantitativos mediante definiciones operacionales. Ejemplo: masa, dureza, temperatura, fuerza. Se utiliza como sinónimo de magnitud. .- Precisión. Grado de dispersión de los resultados de una serie de mediciones. La desviación estándar es una indicación cuantitativa de la precisión del procedimiento de medición. .- Procedimiento de medición Descripción detallada de la forma de implantación del método de medición. El procedimiento debe contener todas las acciones requeridas para garantizar los atributos de calidad del proceso de medición.


GENERALIDADES 22

.- Sensibilidad Es el atributo metrológico de un instrumento de medición, que indica la capacidad de percibir pequeñas variaciones de la magnitud medida. En el caso de balanzas, por ejemplo, la sensibilidad se expresa como el cociente entre el desplazamiento del índice y la variación de la magnitud correspondiente. .- Valor de una magnitud Cantidad de una magnitud u observable que objetivamente se tiene bajo determinadas condiciones. Valor que resultaría de una medición efectuada bajo condiciones ideales. .- Valor esperado. Valor más probable. .- Valor nominal. Valor especificado de alguna manera (por ejemplo por un fabricante en el caso de propiedades de un material o parámetros de un dispositivo) que puede atribuirse a una magnitud. .- Valor verdadero. Valor de una magnitud. Valor real. .- Varianza. Cuadrado de la desviación estandar 1.14 BIBLIOGRAFÍA 1.- Conferencia de Organizaciones Metrológicas: Guide to the Expression of Uncertainty, Editado por BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, y OIML, ISO, 1993. 2.- José Goldenberg: Física General y Experimental, Ed. Interamericana, México 1972, pp. 419-434. 3.- Guillermo García Talavera: Generalidades sobre las Medidas, Ed. Limusa, México 1993, pp. 9-37. 4.- Paul M. Fishbane, Stephen Gasiorowicz y Stefen T. Thornton: Física para Ciencias e Ingeniería, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A., México, 1993, pp. 4-18. 5.- Raymond A. Serway: Física, Ed. McGraw-Hill, Tomo 1, cuarta edición, México 1997, pp. 3-22. 6.- Marcelo Alonso y Edward J. Finn: Física, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, Buenos Aires, 1995, pp. 15-19. 7.- Jerry D. Wilson: Física, Ed. Prentice-Hall Hiberoamericana, segunda edición, México 1996, pp. 1-31. 8.- John R. Taylor: An Introduction to Error Analysis, 2da Edición, Ed. University Science Books, Sausalito, EEUU, 1982.


23

2.- ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 2.1.- INTRODUCCIÓN Cuando se analiza un sistema físico en el laboratorio, frecuentemente es necesario determinar la relación existente entre las magnitudes que intervienen en su evolución. Estas magnitudes, variables o parámetros del sistema, generalmente se pueden clasificar en entradas (variables independientes) y salidas (variables dependientes). Para simplificar el estudio de un sistema, a menudo se consideran dos magnitudes (X y Y), donde una de ellas corresponde a una entrada y la otra a una salida. La variación de la entrada o variable independiente se efectúa procurando que las demás variables independientes permanezcan constantes. Determinando los cambios en la variable de salida se obtiene una tabla de datos experimentales (X,Y) con lo cual obtenemos una característica del sistema físico estudiado. Para visualizar en forma rápida y sencilla la relación entre las dos magnitudes, se representan los datos experimentales en un gráfico sobre papel milimetrado. Cada par de datos corresponde a puntos, cuyas coordenadas son los valores de las magnitudes medidas y se traza una curva suave que pasa por estos puntos o muy cerca de ellos. En el trazado de tal curva, quedan implícitas varias suposiciones sobre el comportamiento del sistema, entre las cuales se destacan las siguientes: a) Continuidad en la relación causa efecto, presente entre las variables consideradas. b) Intervalo de variación (muestreo) lo suficientemente pequeño como para garantizar la

validez de una interpolación. Frecuentemente, la curva trazada puede ser descrita analíticamente como una función Y=Y(X) de forma simple, tal como una función afín, cuadrática, exponencial, potencial, logarítmica, trigonométrica, o como un polinomio de grado n.

Al igual que las medidas originales, el dibujo de los puntos y el trazado de la curva son aproximaciones. La ecuación representará sólo aproximadamente la relación entre las magnitudes que se miden. La determinación de la función que mejor represente al conjunto de datos experimentales, constituye una disciplina formal, sobre la cual en este curso cubriremos solo los aspectos más fundamentales. En el caso más simple, cuando los puntos se distribuyen aproximadamente a lo largo de una recta, se supone que la ecuación es de la forma Y = a + m x. Pero si los puntos se desvían sistemáticamente de una recta, es más difícil escoger la ecuación. A menudo la forma de la curva sugiere el tipo de ecuación, por ejemplo, frecuentemente nos encontraremos con relaciones del tipo ley de potencia, Y = AXn , o del tipo exponencial, Y = ABcx . Es posible probar la aproximación a la ecuación de la curva, rectificando la misma, por ejemplo, si la ecuación propuesta se puede escribir en la forma

f(y) = a + mg(x) o v = a + mu (2.1)


24

en donde v = f(y) y u = g(x), se calculan los valores de v y u a partir de x y y, se construye una nueva tabla (u, v). Con esta tabla se hace una gráfica de u y v como coordenadas. Si los puntos se aproximan a una recta, se puede afirmar que la ecuación (1) constituye una aproximación aceptable, en correspondencia con la incertidumbre de los datos experimentales. Verificada la forma de la ecuación aproximada, se procede a determinar los valores aproximados de la constante o coeficientes que aparecen en la ecuación. Una vez determinadas las constantes, debe probarse la fórmula efectuando varios experimentos adicionales y para valores de las magnitudes en el intervalo de los datos iniciales. Luego, para validar el modelo, se comparan los resultados de los experimentos con los que predice la fórmula empírica asi obtenida. 2.2.- AJUSTE DE GRÁFICAS LINEALES Si el trazado por los puntos se aproxima a una recta, la relación funcional entre las variable se podrá aproximar mediante una función de la forma:

y = a + m x (2.2) en donde las constantes a y m deben ser determinadas. Esto puede hacerse de varias maneras dependiendo de la precisión que se desee. Para ilustrar con un ejemplo tres diferentes métodos, se indican a continuación los resultados de un experimento, realizado para medir el coeficiente de temperatura de un alambre de cobre. Se sometió el alambre a diferentes temperaturas y para cada una de ellas se midió la resistencia eléctrica, obteniéndose la siguiente tabla de datos:

TABLA 2.1 R (μΩ) 76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 T (°C) 19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0

En la figura 2.1 se muestra la representación gráfica correspondiente a la tabla 2.1


25

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85 R ( μΩ )

T ( C)10 20 30 40 50 60

+

+

+

+

+

+

+

FIGURA 2.1 Representacón gráfica de lor valores de la Tabla 2.1 2.2.1.- Método de los Puntos Escogidos Se trata de determinar la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales, como se indica en la figura 2.1. Se eligen dos puntos sobre la recta, preferiblemente alejados y se leen los valores correspondientes; por ejemplo T = 20, R = 76,45 y T = 48, R = 84,60. Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación R = a + mT se obtiene:

m 76,45 = a + m 20 y 84,60 = a + m 48 resolviendo para a y m en las dos ecuaciones:

a = 70,63 y m = 0,291


26

por lo tanto, la ecuación buscada es:

R = 70, 63 + 0,291 T Otra forma equivalente para determinar las constantes a y b con este método, consiste en identificar a la constante a, como la intersección de la recta en la ordenada y la constante m, como la pendiente de la recta. En este caso, para determinar a se extrapola la recta hasta T = 0 y el valor de a, se lee directamente en la escala vertical de R. El parámetro m corresponde a la pendiente de la recta y se calcula a partir de los puntos escogidos.

mR RT T

=−−

2 1

2 1 (2.3)

Cuando se aplica este método, el criterio para el trazado de la mejor recta es bastante subjetivo y las constantes no son muy precisas. Para calcular la incertidumbre asociada a la pendiente de la recta, se seleccionan varias parejas de puntos y se calculan las pendientes, mi respectivas. Con los diferentes valores de pendientes mi, se elige un criterio para estimar la incertidumbre de mi, como por ejemplo la incertidumbre límite o la desviación media absoluta de las pendientes respecto al valor medio de la pendiente (vea sección 1.7). 2.2.2.- Método de Promedios Se asume que la dispersión en los puntos es debida incertidumbre en la variable representada en el eje vertical. Las distancias verticales desde los puntos marcados hasta la línea representativa se llaman residuos; son las diferencias entre los valores medidos de Re y los valores calculados por la ecuación Rt = a + mT.

δR R Ri ie

it= − (2.4)

algunos de estos residuos son positivos y otros negativos. Si se supone que la mejor línea es aquella que hace igual a cero la suma algebraica de los residuos, se tiene:

( ) 0=−∑ ti

ei RR (2.5)

o, reemplazando

( ) 0=−−∑ iti mTaR (2.6)


27

de donde,

∑ ∑+= iti TmNaR (2.7)

Para determinar los dos parámetros a y m de la recta, se separan las sumatorias de los datos en dos grupos. En el ejemplo considerado se eligen para el primero, cuatro conjuntos de datos y para el segundo, tres; se suman parcialmente obteniendo:

314.65 = 4 a + 110,2 m y 251.35 = 3 a + 135.1 m

de las cuales se deduce

a = 70.59 y m = 0.293 obteniendo la ecuación de la recta,

R = 70.59 + 0.293 T En este método como en el anterior se asume que la dispersión en los puntos experimentales de la gráfica, es debido solamente a la incetidumbre en la variable vertical. 2.2.3.- Método de los Mínimos Cuadrados En el método de los Mínimos Cuadrados [1, 2 y 3], la mejor recta o lo que el lo mismo, los mejores valores de los parámetros a y m, son aquellos para los cuales la suma de los cuadrados de los residuos es mínima, o sea:

( ) ( )22 ∑∑ −−=− iei

ti

ei mTaRRR (2.8)

debe ser mínima La expresión anterior depende de los valores experimentales y de los parámetros en ajuste a y m. Para hacer mínima la expresión, las derivadas parciales con respecto a a y m deben ser nulas:


28

( )

( )0

0

2

2

=−−

=−−

∑

∑

mmTaR

ya

mTaR

ii

ii

δδ

δδ

(2.9)

o sea,

( )[ ]

( )[ ] 02

02

=−−

=−−

∑

∑

ii

ii

mTaRT

mTaR

(2.10)

la cual conduce a:

∑ ∑ ∑

∑ ∑

+=

+=

2iiii

ii

TmTaTR

TmaNR

(2.11)

donde N es el número de observaciones. De estas dos ecuaciones se obtienen los valores de a y de m. Si se desea estimar la incertidumbre asociada a los parámetros a y m cuando se utiliza el ajuste por mínimos cuadrados, se demuestra que δa y δm se pueden expresar en base a la desviación estándar y vienen dados por: [1,2,3]

( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ))(2(

)(

))(2()(

22

22

22

222

NXXNN

YYm

NXXNN

XYYa

ei

ti

ei

ei

ei

ti

ei

−−

−=

−−

−=

∑∑

∑∑∑

σ

σ

en donde Xie, Yie son los valores experimentales, Yit el valor calculado y N el número de puntos experimentales. (Yi = a + m Xi) y X es el promedio de los valores de Xi.


29

Para utilizar en las ecuaciones (2.11) con los valores de la tabla (2.1), se amplía ésta con columnas para RT y T², como se indica a continuación:

TABLA 2.2

T (°C)

R (μW)

T² RT

19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0

76.30 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10

364.81 625.00 906.01 1296.00 1600.00 2034.01 2500.00

1457.33 1945.00 2400.49 2908.80 3294.00 3783.89 4255.00

ΣTi = 245.3

ΣRi = 566.00 ΣT² = 9325.83 ΣTiRi = 20044.50

Reemplazando

566.00 = 7 + 245.3 m

20044.50 = 245.3 a + 9325.83 m

de donde resulta

a = 70.76 y m = 0.288 de modo que finalmente se obtiene

R = 70.76 + 0.288 T Para comparar los resultados con los tres métodos, cuyas ecuaciones son:

1. R = 70.63 + 0.291 T 2. R = 70.59 + 0.239 T 3. R = 70.76 + 0.288 T

se han calculado los valores de la resistencia con cada uno de los métodos así como los correspondientes residuos, como se indica en la siguiente tabla:


30

TABLA 2.3

T Re R(1) R(2) R(3) δR(1) δ R(2) δR(3)

19.1

25.0

30.1

36.0

40.0

45.1

50.0

76.30

77.80

79.75

80.80

82.35

83.90

85.10

76.19

77.91

79.39

81.11

82.27

83.75

85.18

76.19

77.92

79.41

81.14

82.31

83.80

85.24

76.25

77.96

79.43

81.13

82.28

83.76

85.16

+0.11

-0.12

+0.36

-0.31

+0.08

+0.15

-0.08

+0.11

-0.12

+0.34

-0.34

+0.04

+0.10

-0.14

+0.05

-0.16

+0.32

-0.33

+0.07

+0.14

-0.06

171,01 =Rδ ; 170,02 =Rδ ; 160,03 =Rδ (la barra "|a|" representa valor absoluto de a y el símbolo "⟨a⟩" designa el promedio de los valores que toma a) Se observa que los valores de R calculados con los tres modelos, concuerdan bastante bien con los datos originales y también entre sí. En los residuos se encuentra que el residuo promedio es menor en el tercer método y que es aproximadamente igual para los dos primeros métodos. En conclusión: Los tres métodos dan buenos resultados; el método de los Mínimos Cuadrados da los mejores valores de las constantes, pero es el que requiere más cálculo; el método gráfico de puntos escogidos es el que requiere menos cálculos, pero su exactitud depende de la exactitud con la que se representen los puntos y de lo adecuado de la línea trazada; el segundo método da buenos valores para las constantes y requiere poco cálculo. En el ejemplo considerado σ(a) = 0,31 σ(m) = 8,4 x 10-3 Considerando δa = 3σa 0,26 y δm = 3σm, se obtiene: a = 70,0 ± 0,9 m = 0,30 ± 0,02


31

También se puede utilizar el método de mínimos cuadrados para determinar polinomios de orden superior que se ajusten a una tabla de datos. En tal caso, se realizan diferenciaciones adicionales para determinar las constantes respectivas. Por ejemplo, si se desea obtener un ajuste de mínimos cuadrados de acuerdo a la función cuadrática.

Y = aX² + bX + c la cantidad

( ) ( )[ ]222∑ ∑ ++−= cbXaXYY iiiiδ

se minimiza cuando las siguientes derivadas son iguales a cero:

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]( ) 012

02

02

22

22

222

=−++−=

=−++−=

=−++−=

∑∑

∑∑

∑∑

cbXaXYYc

XcbXaXYYb

XcbXaXYYa

iiii

iiiii

iiiii

δ∂∂

δ∂∂

δ∂∂

Desarrollando las expresiones anteriores y agrupando términos.

a X b X c X X Y

a X b X c X X Y

a X b X cN Y

i i i i i

i i i i i

i i i

4 3 2 2

3 2

2

+ + =

+ + =

+ + =

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑

De las ecuaciones anteriores se resuelven los valores correspondientes a las constantes a, b y c. Actualmente es muy usual encontrar calculadores programables que tienen incorporado el programa para ajustar datos experimentales mediante el método de mínimos cuadrados para las regresiones más frecuentes como lo son las de tipo lineal, ley de potencia, exponencial o logaritmo con parámetros estadísticos asociados que facilitan el análisis de datos experimentales.


32

En el caso de que los puntos experimentales en la gráfica presenten dispersión tanto en el eje vertical como en el horizontal, se utiliza el método de las diferencias extendidas. En este método se dividen las medidas en dos grupos A y B como en el caso del método de los promedios y se calcula la pendiente entre grupos de puntos correspondientes a un punto en A y otro en B. Calculadas las diferentes pendientes, se obtiene la pendiente media con su respectivo error. Para determinar el valor del coeficiente A, se toma un punto que debe pertenecer a la recta ajustada: el centroide. El centroide se calcula tomando el valor medio de las medidas verticales y el valor medio de las medidas horizontales:

XX

N

YY

N

ci

ci

=

=

∑

∑

por lo tanto Y a mXc c= +

de donde se calcula a. A continuación se indica en la tabla un ejemplo para la aplicación del método:

TABLA 2.6

X y Δy = (yn+6 - yn) ΔX = (Xn+6 - Xn) Δy/ΔX

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.00 0.56 1.11 0.72 1.28 1.44 1.41 1.81 1.60 1.78 1.92 2.55

1.41 1.25 0.49 1.06 0.64 1.11

6 6 6 6 6 6

0.235 0.208 0.82 0.117 0.107 0.185 --------- Sum = 0.934 Media = 0.156

Para calcular la incertidumbre en la pendiente, se calcula el valor medio de los valores absolutos de las desviaciones de cada una de las pendientes respecto al valor de la


33

pendiente media. Al calcular se obtiene m = 0,156 y Δm= 0,054. Si se desea un criterio estadístico más exigente, se puede calcular Δm utilizando la desviación estándar en este caso Δm =σm=0,06 En consecuencia:

m = 0,16 ± 0,06 2.3.- EJERCICIOS: 2.3.1.-. Utilizando el método de mínimos cuadrados, determine los coeficientes a y b de la

ecuación lineal, Y = aX + b, que ajustan mejor la siguiente tabla de datos 2.7:

TABLA 2.7 Y 0.0 5.0 6.9 9.4 12.5 14.5 17.0 X 0 5 10 15 20 25 30

Represente los puntos en una gráfica y trace en la misma la ecuación de la recta obtenida. 2.3.2.- Mediante el método de mínimos cuadrados, determine las constantes A, B, C, de la

ecuación Y = AX² + Bx + C, que ajustan mejor la siguiente tabla de datos 2.8.

TABLA 2.8 Y 0 2 4 6 8 10 X 1 21 30 37 42 48

Represente gráficamente los datos y represente en la misma gráfica los puntos calculados mediante la ecuación obtenida. 2.4.- Referencias 1.- D. C. Baird: Rxperimentación, Ed. PHH, México 1991, p. 130. 2.- Richard A. Johnson y Gouri K. Bhattacharyya: Statistics, Ed. John Willey & Sons, Inc., New York 1992, p. 452. 3.- Irvin R. Miller, John E. Freud y Richard Johnson: Probailidad y Estadística para Ingenieros, Ed. PHH, México 1992, p. 334.

LABORATORIO DE FISICA GENERAL

3.- INFORME DE LABORATORIO rev. 19/7/99 34

3.- EL INFORME DE LABORATORIO 3.1.- INTRODUCCIÓN Cualquiera que sea nuestra actividad, en la vida profesional es imprescindible poder

comunicar de forma clara, precisa y estructurada los resultados obtenidos. De esto puede depender el reconocimiento a nuestro trabajo, el que otras personas se beneficien de él, una nueva oportunidad de empleo, etc. Es probable que personas que no conocemos lean nuestro informe y la única forma de relacionarnos con ellos sea la comunicación misma, luego, el informe debería influir positivamente en nuestros lectores por sí sólo, ya que no estaremos allí para aclarar las dudas.

Si bien existen diversas maneras de redactar un informe técnico, éste debe seguir una

secuencia lógica, clara y preferiblemente breve; si debemos incluir una descripción que interrumpe la continuidad del discurso, es recomendable hacerlo como apéndice.

3.2.- ESTRUCTURA DEL INFORME Las partes básicas de un informe deben dar respuesta a las siguientes preguntas: .- ¿qué se hace? .- ¿cómo se hace? .- ¿cuáles don los resultados? .- ¿qué se concluye de los resutados? De acuerdo a esto, como mínimo, el informe de laboratorio debe tener las siguientes

secciones: .- Portada .- Introducción .- Desarrollo del informe .- Resumen de resultados .- Análisis de resultados (discusión) .- Conclusiónes .- Observaciones .- Recomendaciones .- Apéndices A continuación analizaremos en detalle cada una de estas secciones: 3.2.1.- Portada La portada identifica a primera vista el informe. Debe contener el nombre de la institución, titulo, nombre de los autores, sección y fecha. 3.2.2.- Introducción Consiste de dos partes: objetivos y fundamento teórico. Objetivo: Especifica el propósito de la practica de manera breve y clara.



Fundamento teórico: Expone el modelo, la teoría, definiciones y ecuaciones que sustentan el experimento; identificando claramente cada uno de los símbolos utilizados. 3.2.3.- Desarrollo del informe El desarrollo es el cuerpo o parte central del informe, consta del método, descripción de lo equipos, procedimiento experimental y resultados. Método: Describe en forma sucinta la técnica experimental a utilizar. Proporciona una visión general del trabajo a realizar. Equipos: Es pertinente una identificación de los materiales y equipos utilizados; indicando modelo, marca, serial, rango y apreciación. La identificación del equipo es sumamente importante, dada la necesidad de poder reconocerlo posteriormente, ante cualquier eventualidad. Procedimiento experimental: Describe en forma detallada los pasos a realizar en el trabajo experimental. Puede incluir gráficos descriptivos del montaje experimental. Condiciones ambientales: Es muy importante registrar las condiciones ambientales bajo las cuales se realizan las mediciones. Esta práctica debe ser observada aun cuando tengamos la impresión de que tales condiciones no son variables de influencia para las mediciones que se realizan en una práctica dada. El reporte de las condiciones ambientales debe repetirse para las diversas medidas que se realicen, dependiendo del intervalo de tiempo transcurrido entre las mismas, e incluirá lo siguiente: .- Lugar, fecha y hora .-Temperatura .- Presión atmosférica .- Humedad relativa del aire dentro del laboratorio En esta sección damos respuesta a la interrogante: ¿Dónde, cuándo y bajo que condiciones ambientales se realizan las medidas? Resultados: Resumen de los resultados experimentales obtenidos en la ejecución del experimento. Los resultados deben estar expresados en forma de tablas y/o gráficas. Es muy importante presentar una tabla resumen de los resultados obtenidos. En esta tabla se muestran los resultados experimentales con su incertidumbre (absoluta y relativa) y en otra columna, los valores nominales o teóricos que supuestamente tienen las magnitudes medidas (si es el caso). 3.2.4.- Análisis de Resultados (discusión) En esta sección se analiza y discute la validez de los resultados obtenidos para el logro de los objetivos propuestos. Si viene al caso se comparan los resultados obtenidos con los



esperados o con los valores nominales de las cantidades medidas. Tambíen es importante contrastar los valores de la incertidumbre de los resultados obtenidos. Las interrogantes a las cuales se responde en esta sección son generalmente: .- ¿Cómo es la diferencia entre los valores medidos y los esperados con respecto a la incertidumbre obtenida? .- ¿Es la incertidumbre absoluta o la relativa menor a lo propuesto como objetivo? .- ¿Siquen los resultados el comportamiento teóricamente esperado? .- ¿Es razonable el resultado obtenido? 3.2.5.- Conclusión En esta sección del informe se da respuesta a la siguiente pregunta: .- ¿Cúal es el significado de los resultados obtenidos ? Como se desprende de la preguntas formulada, en las conclusiones se interpreta el significado de los resultados de la actividad realizada. Debe tenerse en cuenta que la interpretación de los resultados se realiza en función de los objetivos propuestos. Las conclusiones constituyen una parte de suma importancia en un informe, ya que mediante las mismas se da significación a los resultados. 3.2.6.- Observaciones En esta parte se comentan y destacan aquellos aspectos de la actividad realizada que pudierán ser relevantes para la validez de las conclusiones. Las observaciones generalmente obedecen a las siguientes interrogantes: .- ¿Fue posible sequir el procedimiento en todas sus partes? .- ¿La incertidumbre de los resultados se corresponde con las expectativas? .- ¿Ocurrieron durante la práctica circunstancias inusuales? 3.2.6.- Recomendaciones En esta sección se incluirían comentarios que pudieran facilitar el cumplimiento de los objetivos, a quienes tengan que repetir la actividad en cuestión. Las recomendaciones también pueden ser de mucha ayuda para quienes elaboran los procedimientos escritos (prácticas en este caso). La interrogante respectiva es la siguiente: .- ¿Cómo se puede facilitar el cumplimiento de los objetivos? 3.2.5.- Apéndices En esta sección ubicamos todos los detalles relativos a la ejecución, cálculos, desarrollos matemáticos y obtención de los resultados reportados en el informe. Es más, debe incluir toda la información adicional necesaria para poder entender y reproducir el experimento. Es decir, consiste en la información complementaria para la descripción de la experiencia, tales como cálculos típicos detallados, cálculos de incertidumbre, bibliografía, y cualquier otra información relevante.



3.3.- PRACTICA MODELO Para ilustrar específicamente cómo realizar un informe haremos una práctica concreta; como ejemplo, calcularemos la densidad de un cilindro metálico sólido.

PRÁCTICA: MEDIDA DE LA DENSIDAD DE UN SOLIDÓ

1.- (PORTADA O PRESENTACIÓN) 1.1.- Laboratorio de Física General 1.2.- Practica realizada por: L. Morales A. Hernández 1.3.- Fecha: 14 de julio de 1997 1.4.- Lugar: LFG. 1.5.- Hora: 3:33PM. 1.6.- Condiciones ambientales: .- Temperatura: 26.0 ˚C .- Presión atmosférica: 724mmHg .- Humedad relativa del aire: 50%

2.- INTRODUCCIÓN Se requiere determinar la densidad de un objeto macizo como parte de un procedimiento para identificar el material del cual está constituida la pieza. 2.1.- OBJETIVO: Determinar la densidad de un cilindro metálico macizo con una incertidumbre de por lo menos el 2% (mediante el criterio de las 3 sigmas) e identificar el material que lo constituye en base a su densidad y a otras propiedades físicas. 2.2.- FUNDAMENTO TEÓRICO: La densidad de un cuerpo es una propiedad intensiva característica del tipo de material del cual esta hecho el cuerpo. Las unidades vienen expresadas en Kg/m3 , o bien gr/cm3. Por ejemplo, las densidades del aluminio, cobre, acero, mercurio y plomo son respectivamente: 2,70; 8,92; 7,86; 13,6 y 11,3 gr / cm3 La densidad ρ de un cuerpo se define según la expresión :

ρ =ΔΔ

mV (1)

donde m es la masa y V el volumen. El volumen de un cilindro viene dado por la expresión :

V D L=π4

2 (2)

donde D es el diámetro de la base y L su altura.



3.- DESARROLLO DEL INFORME 3.1.- MATERIALES Y EQUIPOS: 3.1.1.- Vernier con apreciación 0.1mm Serial LBFIv005 3.1.2.- Balanza con apreciación 0.1gr. Serial LBFIb001 3.1.3.- Cilindro metálico macizo. (suministrado sin identificación) 3.2.- MÉTODO: Se utilizará el método de determinación indirecta en base a la definición de densidad, el cual consiste en la determinación directa de la masa del cilindro y de sus dimensiones. Se aplica la formula (2) para determinación indirecta del volumen, y luego, aplicando la fórmula (1) se calcula la densidad. 3.3.- PROCEDIMIENTO: En la determinación del volumen del cilindro, medimos el diámetro y la longitud varias veces (diez), con la finalidad de obtener el valor mas probable mediante promediación. Al hacer esto buscamos que se compensen diversos factores aleatorios que intervienen en la medición así como también compensar la variabilidad de los parámetros geométricos del cilindro derivados de imperfecciones constructivas. .- Con la balanza se determina la masa (m) del cilindro.

.- Utilizando el vernier se miden 10 veces la longitud (L) y el diámetro (D) del cilindro. .- Se calculan los valores medios de las dimensiones. .- Se determina el volumen del cilindro, aplicando (1). .- Se calcula la densidad del cilindro, mediante (2).



3.4.- RESULTADOS: 3.4.1.- Registro de datos experimentales :

m = (242.3 + 0.1) gr L (cm) + 0.01 D (cm) + 0.01

4.87 2.86 4.85 2.86 4.81 2.86 4.78 2.84 4.83 2.86 4.89 2.85 4.82 2.87 4.82 2.88 4.83 2.87 4.82 2.88

3.4.2.- Cálculos: (vea el apéndice) L = 4.83 + 0.04 cm D = 2.86 + 0.04 cm V = 31.1 + 0.8 cm3

Luego tenemos para la Densidad el siguiente resultado:

ρ = (7.8 + 0.2) g/cm3

Tabla resumen de resultados INCERTIDUMBRE DENSIDAD (g/cm3)

ABSOLUTA RELATIVA 7,8 0,2 2,5%

4.- DISCUSIÓN .- La incertidumbre relativa del resultado obtenido, mediante el procedimiento empleado, es algo superior al

2%, lo cual permite concluir que en este aspecto no se cumplió completamente el objetivo propuesto. Para superar esta situación se requiere disminuir la incertidumbre en la determinación del volumen. Disminuir la incertidumbre en la determinación de la masa no tendría mayor incidencia.

.- Hemos supuesto que el cilindro no tiene cavidades internas y que su contorno geométrico presenta pocas irregularidades, si esta condición no se cumple, el método no es válido.

4.- CONCLUSIONES .- Podemos identificar al acero como el material constitutivo del cilindro, ya que el valor calculado de la

densidad corresponde al acero así como otras propiedades físicas tales como su brillo y color.



5.- OBSERVACIONES .- Las medidas de longitud efectuadas corresponden a diversos diámetros y generatrices para tomar en cuenta

las posibles irregularidades o falta de simetría del objeto. .- Si la forma del cuerpo es muy irregular, debemos usar un método alterno para la determinación del volumen,

por ejemplo, se podría introducir el cuerpo en un líquido y medir el volumen desalojado. 7.- RECOMENDACIONES .- Es necesario disminuir la incertidumbre en la determinación del volumen para poder cumplir con el objetivo

propuesto, en cuanto a precisión. El uso de un tornillo micrométrico con 0,001cm de apreciación permitiría bajar del 2% de incertidumbre.

8.- APÉNDICES : a ) Calculo de los valores medios y su respectiva incertidumbre (tipo A), el valor medio de una magnitud está

dado por

XX

Ni=

∑

Reemplazando en esta ecuación los datos de la tabla (3.4.1) se obtienen los siguientes resultados:

cmDcmL

863,2832,4

=

=

la desviación estándar de la media esta definida por

( )( )σmiX X

N N=

−

−∑2

1

Aplicando esta expresión a los valores de la tabla (3.4.1) obtenemos los siguientes resultados para la desviación estandar:

cmdcmd

D

L

004,001,0

=

=

La incertidumbre combinada la determinamos, en cada caso, sumando la varianza (cuadrado de la desviación), con el cuadrado de la incertidumbre estandar (incertidumbre tipo B) asociada al instrumento utilizado, la cual de acuerdo a la tabla (3.4.1) es Instu = 0,01cm.

En efecto tenemos que:

cmudu

cmudu

InstDD

InstLL

011,0

014,022

22

=+=

=+=

b ) Calculo del volumen y su incertidumbre: como el volumen está dado por

V D L= π2

4*

entonces, de acuerdo a la expresión (5) del Capítulo 1, tenemos que



322

22

26,0 cmuDVu

LVu DLV =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

c) Calculo de la densidad y su incertidumbre De acuerdo con la definición de densidad se tiene:

ρ = mV

Por lo tanto 32

22

2

065,0cm

guV

um

u Vm =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=ρρ

ρ

donde um= 0.01g corresponde a la incertidumbre (tipo B) en la medición de la masa. d) Incertidumbre expandida De acuerdo al criterio 3σ, tenemos que la incertidumbre expandida (Δρ) para la densidad, esta dada por:

33 2,0195,03cm

gcm

gu ≅==Δ ρρ

e) La incertidumbre relativa está dada por 100Δρρ

9.- BIBLIOGRAFÍA 1. D.C. Baird: Experimentacion, Prentice Hall, 2da edición, México 1990. 2. R. A. Serway: Física, Tomo I, 3ra. edición, McGraw-Hill, México 1993. 3.- David H. Loid: Physics Laboratory Manual, Ed. Dauders College Publishing HBJ, Fort Worth,

EEUU, 1992.


REPRESENTACIÓN GRÁFICA 43

4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA En este capítulo abordaremos los aspectos más frecuentemente utilizados en la representación gráfica de datos experimentales, en este curso. 4.1.- PRINCIPALES APLICACIONES DE LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA Las aplicaciones mas importantes en relación a las actividades experimental comprenden: .- Comportamiento de una relación analítica tal como y = f(x). .- Representación de la interdependencia entre datos experimentales. .- Determinación de la ecuación empírica que mejor describe la dependencia entre datos

experimentales. .- Representación de valores tabulados con la finalidad de obtener interpolaciones y

extrapolaciones. .- Comparar el comportamiento de datos experimentales bajo diversas condiciones o entre

éstos y el resultado de una modelación numérica o un resultado teórico. .- Curvas de calibración de instrumentos. .- Comportamiento estadístico de un conjunto de datos experimentales (histograma). El uso de la representación gráfica como recurso para la determinación de la relación empírica entre conjuntos de datos experimentales ha perdido importancia debido a la gran difusión de métodos estadísticos computarizados para la realización de ajustes y regresiones. Sin embargo, es importante destacar la importancia de aplicar diversos procedimientos manualmente, para la comprensión del fundamento de métodos más avanzados. A continuación ilustraremos con ejemplos diversos tipos de representación gráfica. 4.2.- EJEMPLOS 4.2.1.- Representación gráfica de funciones. En la figura 4.1 se muestra la representación de la función f(x) = ax + b

Figura 4.1 Representación gráfica de la función f(x) = 2x – 1 en el intervalo –1<x<5.



en donde se tiene que a=2,0 y b=-1 . La representación comprende el intervalo –2<x<5 en el eje horizontal o abscisa. En la gráfica de la figura 4.1 se observa que la curva pasa por el punto (0 , -1). En este punto o intercepto con el eje y, en el caso de una función afín, el valor de y es justamente el valor del término independiente de la función representada. El valor a es la pendiente, la cual corresponde numéricamente con el coeficiente de x. El valor de a se determina calculando (y1-y2)/(x1-x2) donde (x1,y1) y (x1, y2) son las coordenadas de los puntos p1 y p2 de la curva, como se muestra en la figura 4.2.

Figura 4.2.- Determinación de la pendiente de la recta. Se tiene que xy

xxyya

ΔΔ

=−−

=21

21

4.2.2.- Representación de datos experimentales Supongamos que como resultado de un experimento en el cual se determina la posición de un móvil en función del tiempo, se obtiene la siguiente tabla de datos

TABLA 4.1 x (cm) 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0

t (s) 0,08 0,11 0,17 0,21 0,23 0,29 0,34 0,37 0,39 0,46 0,50 En donde la incertidumbre de los datos es de 0,1 cm y 0,02s para la posición y el tiempo, respectivamente.

Figura 4.3 Representación gráfica de la Tabla 4.1

Tiempo (s)

Desplazamiento (cm)

P1

P2

Δy

Δx



En la figura 4.3 se han representado los puntos (experimentales) mediante cruces. En este caso, no es posible representar en la gráfica la incertidumbre correspondiente a los datos experimentales debido a que los mismos son menores que la resolución de las escalas. Para ilustrar como se gráfica la incertidumbre, en la figura 4.4 se muestra un sector ampliado de la gráfica de la figura 4.3

Figura 4.4 Detalle de la representación de la Tabla 4.1 Como se observa en la figura 4.4, los puntos experimentales corresponden mas bien a una región rectangular de lados 2Δx por 2Δy. La gráfica de la figura 4.3 parece corresponder a una recta. Podemos argumentar que la dispersión de los puntos experimentales alrededor de una recta, obedece a la variabilidad propia del proceso de medición. Los puntos experimentales están sujetos a errores y además, cada uno tiene asociada una incertidumbre experimental que se puede representar como se indicó en la figura 4.4. Figura 4.5 En lugar de enlazar los puntos mediante un trazo curvilíneo, la suposición de una dependencia lineal se concreta trazando la mejor recta alrededor de la cual se distribuyen los puntos experimentales.

Tiempo (s)

Desplazamiento (cm)



En la figura 4.5 se muestra el resultado de incluir en la representación gráfica, la suposición sobre una dependencia lineal (afín) entre los datos experimentales. 4.2.3.- Determinación de una expresión empírica a partir de una gráfica. Para los datos de la tabla 4.1, la aplicación del método de mínimos cuadrados (sección 2.2.3) arroja el siguiente resultado

y = -0,058+0,020x (1) el cual se puede aproximar, siguiendo el mismo procedimiento descrito en la sección 4.2.1. 4.2.4.- Escalas logarítmicas Las escalas logarítmicas son utilizadas en uno o en ambos ejes de coordenadas, básicamente en los siguientes casos: .- Cuando el rango de variación de los datos abarca varios ordenes de magnitud. .- Cuando se desee verificar o destacar un tipo de comportamiento específico, tal como en el caso de las funciones potencial y exponencial. 4.2.4.1.- Representación de una función exponencial ( f(x)=abx ) Supongamos que se desea representar la función f(x) = 2×10x . Utilizando la representación semilogarítmica, tenemos:

Figura 4.6 Representación de la función f(x) = 2×10 x mediante un gráfico semilog.

Al representar la misma función en un grafico lineal, se obtiene el resultado mostrado en la figura 4.7

1

1



4.7.- Representación de la función f(x) = 2×10 x en una gráfica lineal. Observe que en el intervalo 0<x<<2 la resolución de la gráfica de la figura 4.6 es notablemente mayor. 4.2.4.2.- Representación de una función potencial Consideramos a continuación el caso de la representación de una función potencial, tal como f(x)=2x3, en este caso, utilizando escalas logarítmicas en ambos ejes, tenemos:

Figura 4.8 Representación de la función f(x)=2x3 en una gráfica logarítmica.

En la figura 4.9 se representa la función f(x)=2x3 en una gráfica lineal.



Figura 4.9 Representación de la función f(x)=2x3 en una gráfica lineal. Compare la resolución de las figuras 4.8 y 4.9 para pequeños valores de x. 4.2.5.- Determinación empírica de parámetros de una expresión potencial (f(x)=axn) Para el ejemplo de la sección anterior se tiene a=2 y n=3 (lo que sigue también es válido para todo a y n reales). Supongamos que se requiere determinar los valores de a y n a partir de la gráfica 4.8. Evaluando la función para x=1 tenemos:

1)(

==

xxfa (2)

Efectivamente, en la figura 4.10 se observa un detalle de la grafica de la figura 4.8

Figura 4.10 Representación gráfica de la función para el intervalo 1<x<2 en donde se observa que el valor de f(x) para x=1 es 2 luego a=2



Para determinar el valor del exponente es importante observar que la representación logaritmica (loglog) de la función potencial, es una recta, debido a que en este tipo de representación, las distancias entre los valores en las escalas son proporcionales a la deferencia de los logaritmos de estos valores. En efecto, tomando logaritmo a ambos lados de la expresión f(x)=axn tenemos:

( ) )log()log(log xnaxf += (3) por consiguiente, reemplazar los valores de la función y de su argumento sobre una escala lineal, por distancias proporcionales a sus logaritmos, conduce a la linealización de la gráfica. El valor de n se determina tomando en cuenta las variables introducidas en la figura 4.11, en donde Kx y Ky son los factores de escala (longitud de los ciclos en cm u otra unidad) correspondientes a los ejes, ΔX es una distancia sobre la gráfica (cm u otra unidad) y ΔY también es una distancia medida consistentemente en las mismas unidades que las distancias anteriormente definidas.

Figura 4.11 Parámetros para la determinación del exponente de la función potencial. A partir de los valores definidos en la figura 4.11 tenemos:

KxXKyYn

//

ΔΔ

= (4)

ΔY

ΔX

Ky

Kx



4.2.6.- Determinación empírica de la relación entre los datos cuando la representación semilogarítmica es una recta. En este caso, come vimos más arriba (figura 4,6), los datos se ajustan a una función exponencial de la forma f(x)=abx en donde es fácil demostrar que

0)(

==

xxfa (5)

por otra parte, tomando logaritmo (decimal) de la expresión f(x)=abx tenemos:

)log()log()(log bxaxf += Mediante un razonamiento similar al realizado a la sección anterior y definiendo Ky de la misma forma mostrada en la figura 4.11, tenemos:

xKyYb

ΔΔ

=/)log( (6)

Es importante resaltar que en este caso, en el denominador tenemos la diferencia de los valores de la abscisa, y no una distancia medida con una regla como en el caso de ΔY. Si la exponencial es de base 10, generalmente se expresa la función como f(x)=a 10nx. En este caso, a se calcula de idéntica manera, mientras que n se determina mediante:

xKyYn

ΔΔ

=/

(7)

ya que claramente, si 10n=b, tenemos que log(b) = n. 4.3.- EJERCICIOS 4.3.1.- Represente en papel milimetrado la siguiente tabla de datos y determine los parámetros de la ecuación empírica correspondiente.

x 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0 Y 0,16 0,22 0,34 0,42 0,46 0,58 0,68 0,74 0,78 0,92 0,99

4.3.2.- Determine los parámetros de la función afín de la figura 4.5 y compare con los valores indicados en la ecuación (1)



4.3.3.- Determine los parámetros de la función representada en la figura 4.6 utilizando las expresiones (5) y (7). Compare sus resultados con los indicados en el texto. 4.3.4.- Determine los parámetros de la función representada en la figura 4.8 utilizando las expresiones (2) y (4). Compare sus resultados con los indicados en el texto. 4.3.5.- A partir de las siguientes tablas de datos, determine las ecuaciones empíricas correspondientes así como los parámetros de la misma.

Tabla A t(s) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10 11 12 13 14 15 V(m/s) 15,0 19,5 25,0 32,0 41,5 54,0 69,0 89,0 117 150 195 250 325 420 550 710

Tabla B t(s) 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 m(g) 1,50 31,0 50,0 73,0 100, 130, 165 205 242 334 435 550 680 810, 4.4.- REFERENCIAS 4.4.1.- H. I. Fenyes, M. Angol, J. Juzga, V. Walker: Laboratorio Introductorio de Física, Ed. EDIT, Caracas 1990, pp. 31-76.


MEDICIONES MECÁNICAS 52

5.- MEDICIONES MECÁNICAS 5.1.- INTRODUCCIÓN Las mediciones mecánicas son posiblemente las más utilizadas en la vida cotidiana, además, los instrumentos para mediciones mecánicas son transparentes en cuanto al principio de funcionamiento en el cual se basan. No obstante, los requisitos metrológicos frecuentemente encontrados a nivel industrial o en las actividades de investigación y desarrollo, requieren del dominio y ejercitación de técnicas que permitan aprovechar al máximo las características de los diversos instrumentos. En esta actividad se procura establecer las bases para un adecuado aprovechamiento de los atributos de diversos instrumentos para mediciones mecánicas, ejercitar el tratamiento de los datos experimentales y reportar de manera efectiva la actividad realizada y sus resultados. 5.2.- OBJETIVOS La evaluación de esta actividad permite determinar que el estudiante está en condiciones de: .- Identificar, describir y aplicar a la medición dimensional de objetos rígidos, los

instrumentos siguientes: cinta métrica, vernier, tornillo micrométrico y esferómetro. .- Aplicar el concepto de cifras significativas en las operaciones realizadas .- Determinar la media y de la desviación estándar de un conjunto de datos .- Aplicar la propagación de la incertidumbre en mediciones indirectas .- Explicar los conceptos: incertidumbre tipo A e incertidumbre tipo B. .- Seguir un procedimiento escrito y redactar un reporte de la actividad realizada conforme

a un formato preestablecido. 5.3.- ACTIVIDADES .- Manipulación aritmética de números aplicando los conceptos de cifras significativas y

redondeo. .- Calcular la media y la desviación estándar de un conjunto de datos experimentales. .- Discutir el principio de funcionamiento de la cinta métrica, el vernier, el tornillo y el

esferómetro. .- Determinar las dimensiones de objetos rígidos utilizando los instrumentos indicados

arriba. .- Determinar la masa y la densidad de un objeto rígido. .- Estimar la incertidumbre correspondiente a una serie de mediciones. .- Seguir un procedimiento escrito y reportar la actividad realizada. 5.4.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS 5.4.1.- Discusión sobre el principio de funcionamiento de los diversos instrumentos. Esta discusión debe contener los siguientes aspectos: .- Principios sobre los cuales se basa el funcionamiento de cada instrumento. .- Propósito del instrumento. Aplicaciones típicas. .- Procedimiento para su utilización. Normas de seguridad y de preservación del

instrumento.



Rango, apreciación y sensibilidad. Errores comunes en su utilización. Recuerde que la exactitud de un instrumento no está dada por su apreciación, la cual más bien se relaciona con la precisión del mismo. La exactitud del instrumento depende de su construcción, calibración y uso. La incertidumbre en la lectura de un instrumento podría ser mayor o menor que la apreciación del mismo. Al realizar una serie de medidas para determinar estadísticamente la incertidumbre, procure estimar fracciones de la apreciación, por ejemplo décimas o quintas partes de esta, con lo cual sacará máximo provecho del instrumento (recuerde que la precisión y la exactitud cuestan dinero). 5.4.2.- Trazabilidad Se define como trazabilidad a la cualidad del resultado de una medición, según la cual dicho resultado puede ser relacionado con un patrón adecuado, (generalmente un patrón internacional o nacional) mediante una cadena ininterrumpida de comparaciones. Discuta como podría implantarse este concepto a las mediciones que realizará en el Laboratorio. 5.4.3.- Principios de funcionamiento de los instrumentos a ser utilizados El Vernier (o Pie de Rey) es un instrumento construido generalmente de acero inoxidable, dotado de una corredera con mordazas que permiten la medición de espesores de placas o láminas, diámetros internos y externos, así como profundidades. Su rango o medición máxima posible es de unos 15 cm aunque los hay de rango mayor. La apreciación de un vernier generalmente es de 0,1mm .

El funcionamiento de este instrumento se basa en el principio del nonio o vernier. El nonio o vernier consiste en dos escalas, una principal solidaria a una de las mordazas y otra escala secundaria solidaria a la otra mordaza del instrumento, (vea la figura 5.1) La escala secundaria tiene 10 o 20 divisiones limitadas por 11 o 21 marcas, divisiones o rayas ( numeradas del 0 al 10 o del 0 al 20) ortogonales al borde de la corredera. La primera marca de la escala secundaria es el cursor del instrumento; esta indica el número entero de milímetros que incluye la medida. La parte fraccionaria se determina contando el número correspondiente a la marca de la escala secundaria que se encuentre más próxima a alguna de las divisiones de la escala principal. La justificación de esto es muy simple. Las divisiones de la escala secundaria no corresponden a un milímetro sino a 9/10 de milímetro, de tal manera que, por ejemplo, si la tercera marca de la escala secundaria coincide con una marca en la primaria, la segunda se corrió 1/10, la numero 1 se corrió 2/10 y la numero 0 (el cursor) se corrió 3/10 con respecto a la división mas próxima a su izquierda (vea la figura 5.1).



A

B

0 5 10 15 20

0 5 10 15 20mm 20 C

mm 20 C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 5.1 En A el espacio entre el extremo y la corredera es de 0mm. En B el espacio entre el extremo y la

corredera es de 2,3mm 5.4.4.- El tornillo micrométrico Este instrumento se basa en un tornillo cuyo paso es de un milímetro o, en algunos casos de medio milímetro. El tornillo enrosca en un extremo de una horquilla en forma de C, similar a una prensa de mano o sargento. (vea la figura 5.2) El objeto a medir o espécimen se coloca dentro de la horquilla y se gira el tornillo hasta que el objeto quede ajustado o libre de juego entre un extremo de la horquilla y el tope del tornillo. La presión de ajuste está regulada por un trinquete para evitar deformar el objeto a medir o dañar el instrumento, así como garantizar que la presión del ajuste sea siempre, aproximadamente la misma..

5

10

TamborTrinquete

Mango Escala lineal

Escala circular

EspécimenFreno

0510

Figura 5.2 El tornillo Micrométrico



El tornillo es solidario a un tambor con 50 divisiones (100 en algunos casos) de tal manera que si el paso del tornillo es de 1/2 mm, se requieren dos vueltas para que avance 1mm, por lo tanto este instrumento tiene una apreciación de 1/100 de milímetro. El rango de estos instrumentos está comprendido entre 30 y 50mm por lo general. Por su geometría, no es apto para medir profundidad o diámetros internos. 5.4.5.- EL ESFERÓMETRO El esferómetro se puede considerar como una variante del tornillo micrométrico. Puede ser utilizado para la determinación de la altura de objetos o resaltos pequeños sobre una superficie plana. Su principal aplicación es la determinación de radios de curvatura de objetos lenticulares cóncavos o convexos. El esferómetro tiene tres patas cuyos extremos forman un triángulo equilátero (vea la Figura 5.3)

R

h

o

R-h

a

Figura 5.3 Funcionamiento del tornillo micrométrico. En la figura a es la distancia entre los ejes de las

patas y el eje del tornillo, R es el radio a determinar y h es la lectura en el esferómetro (la lectura de referencia o cero debe determinarse mediante una superficie plana.

De la geometría de la Figura 5.3 se obtiene que

( )h

haRahRR2

luego 22

22 +=+−=

5.5.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 5.5.1.- Utilización del Vernier. Cada integrante del equipo repetirá cada una de las mediciones siguientes por lo menos siete veces, hasta completar veinte mediciones de las dimensiones de la copa de acero suministrada (Figura 5.4). Los resultados serán registrados en la Tabla 5.3, la cual se anexa. Las dimensiones a determinar son: diámetro externo (D); diámetro interno (d); altura (L); profundidad (l)



d

D

L l

Figura 5.4

a.- Determine el volumen que desaloja la pieza. b.- Determine la incertidumbre correspondiente. Justifique el número de cifras significativas con las cuales expresa estos resultados. Determine la masa de la copa utilizando una balanza y calcule la densidad del material. ¿de qué material está hecha la copa? 5.5.2- Utilización del Tornillo Micrométrico a la determinación del grosor de una lámina metálica a.- Todos los integrantes del equipo repiten por lo menos siete veces la medición del grosor de la lámina metálica suministrada, hasta completar 20 mediciones. b.- Registre los resultados en la Tabla 5.4 y complete los cálculos indicados. 5.5.3- Utilización del Esferómetro para la determinación del radio de curvatura de una superficie a.- Determine las distancia entre el eje y cada uno de los extremos de las patas del

esferómetro. Utilice como valor de a el promedio de las tres distancias. b.- Mida por lo menos tres veces el radio de curvatura del objeto lenticular suministrado. c.- Determine la incertidumbre correspondiente. d.- Registre los resultados en la Tabla 5.5 y complete de acuerdo a sus resultados. 5.6.- INFORME Se realizará un informe por equipo pero este contendrá los registros y cálculos realizados por cada uno de los integrantes del mismo. Consulte el capítulo 3. 5.7.- REFERENCIAS



5.7.1.- D.C. Baird: Experimentación (Una introducción a la Teoría de Mediciones y al Diseño de Experimentos), Prentice Hall Hispanoamericana, México 1988

5.7.2.- D. H. Loyd: Physics Laboratory Manual, Saunders College Publishing, Fort Worth 1992

5.7.3.- I. Escalona, P. Chocron: Laboratorio de Física, Vol 1, FundaVac, Caracas, 1980 5.7.5.- Heine-Holzer: University Laboratory Experiments. Physycs, Phywe, 1980. 5.7.5.- ISO/IEC/OIML/BIPM: Guide to the Expression of Uncentainty, Organization for

Standardization (ISO), International Electrotechnical Comission (IEC), International Organization of Legal Metrology (OIML), y el International Bureau of Weights and Measures (BIPM); Redactado por el Technical Advisory Group on Metrology (ISO/TAG 4/WG 3) 1992.

5.7.6.- I. Bronshtein y K. Semendiaev: Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes; Cuarta edición, Editorial Mir, Moscu 1982.

5.7.7.- I. Fenyes, V. Walker, J. Juzga, M. Angol: Laboratorio de Física I, Editorial EDIT, Caracas, 1987.



5.8.- RESULTADOS EXPERIMENTALES

Tabla 5.3 Determinación del volumen de una copa de metal D d L l 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Σxi x

s(x )

( )=−= ldLDV 22

4π ( ____________ ± _____________ ) mm3

m = ( ____________________ ± ___________________ ) g

ρ= ( _____________________ ± ___________________ ) g/cm3

Tabla 5.4 Utilización del tornillo



n e (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Σei= ⟨e⟩= ( )eσ =

Tabla 5.5 Mediciones con el esferómetro

n h (mm) 1 2 3 ⟨h⟩

R = ( _______________ ± __________ ) mm


MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 60

6.- MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 6.1.- INTRODUCCIÓN En esta actividad se considera el movimiento uniformemente acelerado que se obtiene al permitir que una esfera de acero baje rodando por una canal ( en V de 90º ) inclinada. Los aspectos dinámicos del problema no son considerados, sin embargo se utiliza el resultado de un modelo teórico conservativo, el cual se verifica mediante la comparación con los datos experimentales. El modelo a verificar en base a los resultados empíricos consiste en las siguientes proposiciones:

• El movimiento de una esféra que rueda por un perfil en V de 90º, con una inclinación dada, es uniformemente acelerado.

• La aceleración es proporcional al seno del ángulo de inclinación. 6.2.- OBJETIVOS La evaluación de esta práctica permite determinar que el estudiante está en condiciones de: .- Determinar mediante mediciones directas e indirectas: ángulo de inclinación, intervalos

de tiempo mediante el uso del cronómetro manual y determinar correlativamente posición y tiempo para un móvil.

.- Analizar los datos experimentales para la obtención de una ecuación empírica.

.- Comparar los resultados experimentales con las predicciones teóricas.

.- Evaluar la incertidumbre de los resultados experimentales, para la situación propuesta.

.- Contrastar los resultados experimentales con las predicciones teóricas.

.- Seguir un procedimiento escrito y reportar la actividad realizada y sus resultados. 6.3.- ACTIVIDADES .- Medición de ángulo de inclinación, de intervalo de tiempo y de distancia recorrida por

un móvil .- Rectificación de la gráfica correspondiente a un conjunto de datos experimentales .- Ajuste por mínimos cuadrados de datos numéricos bajo la hipótesis de que el

comportamiento es cuadrático. .- Obtención y verificación de una relación empírica que describa el comportamiento de un

sistema. .- Reportar la actividad realizada mediante el formato suministrado. 6.4.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS 6.4.1.- Medición del ángulo de inclinación con respecto a la vertical. En el experimento a realizar, la medición del ángulo de inclinación de un objeto con respecto a la vertical, constituye un aspecto fundamental. Como en todo proceso de medición, debemos partir de la definición operacional de la magnitud a medir. En este caso, habría que comenzar por la definición de verticalidad y establecer cual es la referencia para la determinación del ángulo de inclinación de una superficie o de una arista perteneciente al objeto de interés. En este sentido, responda las siguientes preguntas:



¿Qué se entiende por verticalidad? ¿Cuál es la definición de inclinación? ¿Qué instrumentos se utilizan para determinar horizontalidad o verticalidad? ¿Cómo se determina el ángulo de inclinación con los instrumentos referidos?

6.4.2.- Medición de intervalos de tiempo. En la determinación de intervalos de tiempo se utilizará el cronómetro. Este instrumento puede ser electrónico, electromecánico o mecánico. En el laboratorio, se utilizarán cronómetros de los tres tipos citados, tanto de accionamiento manual como de accionamiento eléctrico y opto-eléctrico. Los relojes electrónicos son generalmente de tipo digital mientras que los mecánicos por lo general son del tipo analógico. Los cronómetros mecánicos a utilizar, son de accionamiento manual. Estos instrumentos tienen dos botones, el mayor de los cuales se utiliza para darle cuerda al instrumento así como para ponerlo en marcha y para detenerlo, pulsando el botón hacia el cuerpo del instrumento. El segundo botón sirve para restablecer las agujas a la posición inicial o cero del instrumento. La apreciación de estos cronómetros es generalmente de 0,2s pudiendo ser en algunos modelos de 0,1s . En la utilización del cronómetro de accionamiento manual debe tener en cuenta que dependiendo de la naturaleza del estímulo fisiológico, la respuesta del operador, por lo general, tiene un retraso entre 0,1s y 0,3s . En la práctica a realizar tendrá que determinar el tiempo que demora una esfera en descender rodando por una canal inclinada, desde el momento en que se suelta a partir del reposo, hasta que pasa por diversas marcas en la canal. Defina en términos precisos la magnitud a medir, tomando en cuenta que la esfera tiene un diámetro de varios milímetros, por lo cual debe establecer un criterio para determinar cuando la esfera llega o pasa por una marca. 6.4.3.- Rectificación de una gráfica Otra actividad que se realizará en esta práctica es la rectificación de la gráfica correspondiente a un conjunto de datos bajo la hipótesis de que la dependencia entre las variables tiene una forma específica, por ejemplo, cuadrática, exponencial, etc. En el caso contemplado en esta práctica, se establece como hipótesis que la aceleración de una esfera, al descender rodando por una canal recta inclinada, es constante. De esta manera tenemos que si x es la distancia recorrida y t el tiempo transcurrido desde el instante en que se suelta la esfera con velocidad cero, de acuerdo con las ecuaciones de la cinemática del movimiento uniformemente acelerado, tenemos que

( ) 200 2

1 attvxtx ++= 5.1

donde a es la aceleración de la esfera. Como x0 y v0 son nulos, se tiene



2

21)( attx = 5.2

Si graficamos en papel milimetrado los valores correspondientes al espacio recorrido para diversos intervalos de tiempo (tabla de datos), obtendremos que la representación gráfica esta dada por una parábola. La linealización de la gráfica correspondiente a una tabla de datos, bajo la hipótesis de que el comportamiento es cuadrático, como suponemos en este caso, consiste en crear una nueva tabla de datos formada por los valores de x y los correspondientes valores de t2, de esta manera al graficar x vs t2, en papel milimetrado se obtiene una recta con pendiente a/2. Ejemplo: grafique en papel milimetrado x vs t y x vs t2, los valores de la Tabla 5.1.

TABLA 6.1 x±0.1 (cm) 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 t±0.05 (s) 0,45 0,63 0,77 0,89 1,05 1.10 1,18 1,26 1,34 t2 (s2) 0,02 0,40 0,59 0,74 1.10 1,21 1.39 1,59 1,79

Observe que en la Tabla 5.1 los valores de t2 se expresan con el mismo número de cifras significativas que tiene t. 6.4.4.- Trazado de gráficas Para el trazado de gráficas es recomendable seguir las siguientes normas .- Procure utilizar el eje horizontal o abscisa para la variable independiente, .- Escoja las escalas sobre cada eje de manera tal que todos los datos se puedan representar

al mismo que la gráfica abarque la mayor parte posible de la hoja, para esto debe determinar tanto el factor de escala (correspondencia entre las divisiones del papel con el número de unidades de la variable a representar) como el rango o intervalo de valores representados.

.- Al escoger la escala, procure que la menor división del papel corresponda unidades o a múltiplos de 2, 5 o 10 unidades. Esto facilitará la interpolación datos cuya representación caiga entre dos divisiones.

.- Los ejes deben estar debidamente identificados, incluyendo nombre de la variable, unidades y factor de escala (en potencias de diez)

.- El gráfico debe tener una identificación clara, que incluya el nombre de la práctica, experimento, fecha, autor y Tabla de datos a la cual corresponde.

.- Represente la incertidumbre trazando un segmento de recta centrado en el valor a graficar, para cada eje. de esta manera los puntos experimentales quedarán representados como una cruz.

.- Recuerde que el trazado de una curva continua que enlace los puntos graficados solo tiene sentido si se realiza en base a una hipótesis sobre la dependencia de los datos y sobre la representatividad del muestreo. La incertidumbre de los datos experimentales también es de fundamental importancia en el trazado de una curva que permita la interpolación o la extrapolación de los datos experimentales.



6.4.5.- Ajuste por mínimos cuadrados Repase el Capítulo 2 y aplique el procedimiento explicado allí a los datos de la tabla 6.1. Compare los resultados del ajuste por mínimos cuadrados con el resultado de obtener el valor de la aceleración mediante linealización de la gráfica. 6.4.6.- Obtención y verificación de una relación empírica En esta práctica estudiaremos el comportamiento de un sistema, con la finalidad de poder realizar predicciones sobre la evolución de dicho sistema. Esto significa, que bajo condiciones especificadas, estaremos en la capacidad de establecer cual será la respuesta de un sistema. Por lo general, los parámetros que caracterizan a un sistema pueden variar de manera continua, por lo tanto existe una gama infinita de combinaciones entre estos parámetros. El establecimiento de un modelo, permite establecer, cual sería en principio, la respuesta de un sistema bajo una combinación dada de condiciones. Un sistema puede ser modelado en base al conocimiento teórico que se tenga sobre los principios y leyes que rigen los fenómenos relacionados con su evolución. Otra manera de modelar un sistema consiste en establecer una hipótesis sobre la dependencia de los diversos parámetros que caracterizan la evolución del sistema, y determinar estas relaciones de manera experimental o empírica. A menudo afrontaremos el problema de verificar la correspondencia entre un modelo teórico y un modelo empírico. El sistema estudiado en esta practica consiste en una canal inclinada (perfil en Vde 90°), por el cual baja rodando una esfera de acero, por efecto de la gravedad. La esfera se suelta a partir del reposo, pudiéndose determinar el tiempo que demora en recorrer cierta distancia a lo largo de la canal. Los parámetros del sistema incluyen la gravedad, ángulo de inclinación, radio de la esfera, masa de la esfera, distancia recorrida y tiempo que demora la esfera en recorrer dicha distancia. Para establecer un modelo empírico del sistema, estableceremos como hipótesis lo siguiente: - La aceleración es constante para cada ángulo de inclinación - La aceleración no depende de la masa ni del radio de la esfera (la cual suponemos maciza) Estas hipótesis las verificaremos experimentalmente. La verificación de las mismas nos permite realizar otras hipótesis que permiten profundizar en el conocimiento del sistema. Por ejemplo, podríamos establecer, en base al conocimiento teórico relativo a la descomposición de fuerzas, en este caso la de gravedad, que la aceleración de la esfera debe ser proporcional al seno del ángulo θ que forma la canal con la horizontal. es decir a=Ksenθ. La determinación empírica de la aceleración para un ángulo dado, así como la medición del ángulo nos permiten determinar K. Para verificar esta hipótesis tenemos que verificar que la relación se cumple para otros ángulo de inclinación.



6.5.- MATERIALES Y EQUIPOS .- Canal en V con base de inclinación variable. .- Inclinómetro (de plomada o de vaso comunicante) .- Cronómetro. .- Esféra de acero. .- Papel milimetrado .- Bloques de madera .- Cinta métrica. 6.6.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 6.6.1.- Fije el ángulo de inclinación del perfil o canal en 4° (el profesor podría indicarle otro valor) 6.6.2.- Repita por lo menos tres veces cada una de las mediciones del tiempo requerido para que la esfera recorra a partir del reposo las distancias indicadas en la Tabla 5.2 (cada integrante del equipo debe realizar las mediciones indicadas al menos una vez) 6.6.3.- Determine los valores medios de las mediciones indicadas y estime la incertidumbre correspondiente. 6.6.4.- Grafique en papel milimetrado los valores de t2 vs x y determine la aceleración de la esfera para el ángulo fijado 6.6.5.- Determine mediante el método de mínimos cuadrados los coeficientes de la ecuación cuadrática que supuestamente satisfacen los datos experimentales. Compare estos resultados con la determinación de los coeficientes mediante linealización de la gráfica. 6.6.6.- Bajo la hipótesis de que a = K sen θ, determine el valor de K. 6.6.7.- Verifique la ecuación determinada empíricamente graficando el tiempo que demora la esfera en recorrer una distancia de 200 cm, en función del ángulo para los valores 2, 4, 8, y 12°. Compare estos resultados con los correspondientes a la fórmula empírica sugerida en 5.2.4.6. Indique resultados en la Tabla 5.3 y determine el valor de K mediante la gráfica. 6.7.- INFORME Se realizará un informe por equipo pero este debe contener los registros y cálculos de todos y cada uno de los integrantes del mismo. El Informe correspondiente a esta práctica deberá tener la estructura indicada en el Capitulo 3 de esta guía. 6.8.- REFERENCIAS 6.8.1.- Raymond A. Serway: Física, Tomo 1, Cuarta edición, Ed. McGraw-Hill, México, 1996, pp 23-52 y 280-295.



6.9.- RESULTADOS EXPERIMENTALS TABLA 6.2 (intervalo de tiempo para cada distancia) x1=20,0 cm x2=40,0 cm x3=80,0 cm x4=120 cm x5=160 cm x6=200 cm 1 2 3 4 5 ⟨t⟩ (s) ⟨t⟩2 (s2) a = ( _______ ± _______ ) cm/s² TABLA 5.3 (Verificación de la fórmula empírica para diversos ángulos)

Ángulo=θ 2° 4° 8° 10° 12° Sen(θ)

t (s) a (m/s2)

K = _________ ± __________


MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 66

7.- MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 7.1.- INTRODUCCIÓN Esta práctica comprende el estudio de la trayectoria de caída libre de un cuerpo denso, cuando es lanzado mediante una rampa inclinada. En el estudio de la trayectoria de caída libre se utilizará el Método de Mínimos Cuadrados descrito en Capítulo 2 de esta guía, en el cual se desarrolla la obtención de los coeficientes de una función cuadrática a partir de los datos experimentales. El montaje experimental permite la determinación de las componentes de la trayectoria parabólica y mediante ésta se determina la velocidad inicial en amplitud y orientación. 7.2.- OBJETIVOS Al finalizar esta actividad el estudiante estará en condiciones de: .- Describir el sistema experimental utilizado para determinar la trayectoria de un proyectil. .- Calcular los coeficientes correspondientes a un ajuste a una función cuadrática, a partir

de los datos experimentales. .- Comparar los resultados del ajuste de los datos experimentales con las predicciones

teóricas correspondientes a la modelación del sistema. .- Representar gráficamente los datos experimentales y determinar los coeficientes

mediante linealización de la gráfica. .- Describir la actividad realizada estableciendo el significado de los resultados obtenidos. .- Enumerar la fuentes de la dispersión de los resultados experimentales para el sistema

empleado. 7.3.- ACTIVIDADES .- Ajustar el sistema experimental para la determinación de la inclinación de la rampa de

lanzamiento del proyectil (esfera de acero). .- Determinar la trayectoria del proyectil mediante múltiples lanzamientos bajo

condiciones controladas. .- Tabular adecuadamente los datos experimentales y representarlos gráficamente. .- Efectuar un ajuste de los datos a una función cuadrática mediante el método de Mínimos

Cuadrados. .- Comparar el resultado del ajuste con las predicciones teóricas para el modelo idealizado

del sistema. .- Efectuar un informe de la actividad mediante el formato preestablecido, interpretando el

significado de los resultados, discutiendo las fuentes de errores e indicando las deficiencias del modelo.

7.4.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS En la figura 7.1 se muestra un objeto que abandona una canal con una velocidad inicial v0. La canal tiene una inclinación θ con respecto a la horizontal, por lo tanto, las componentes de la velocidad inicial del movimiento del objeto, de acuerdo a las coordenadas indicadas en dicha figura, se pueden evaluar mediante las expresiones:



v v

v v

x

y

0 0

0 0

=

=

cos

sen

θ

θ 7.1

Una vez que el cuerpo abandona la canal, la única fuerza que actúa sobre él es su peso, luego tenemos en la dirección vertical un movimiento uniformemente acelerado y en el eje horizontal un movimiento uniforme. Estas afirmaciones son válidas suponiendo que la fuerza de resistencia del aire tiene una influencia despreciable. De esta manera las proyecciones de la trayectoria sobre los ejes están dadas por

x t v t

y t v t gt

x

y

( )

( )

=

= +

0

0

2

2

7.2

Eliminando el parámetro t en las ecuaciones (7.2) tenemos

y gv

x x= +2 0

2 22

costg

θθ 7.2

Esta ecuación es de la forma y ax bx= +2 7.3

donde

a gv

b= =2 0

2 2costg

θθ; 7.4

Nos propondremos la determinación de los coeficientes a y b de las expresiones (7.4) a partir de la medición experimental de los pares ordenados (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3),......(xn,yn); los cuales corresponden a puntos de la trayectoria. Como suponemos que los pares ordenados corresponden a la función (7.3), utilizaremos el Método de Mínimos Cuadrados para una función cuadrática, el cual se desarrolló en la sección 2.2.4.7 con el término independiente c = 0. De esta manera, de acuerdo al criterio de mínimos cuadrados, los valores de los coeficientes a, b que darían lugar al mejor ajuste de los datos experimentales a la ecuación (7.3), se obtienen como soluciones del sistema de ecuaciones siguiente

a x b x x y

a x b x y

ii

n

ii

n

i ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

3

1

2

1 1

2

1 1 1

= = =

= = =

∑ + ∑ = ∑

∑ + ∑ = ∑

7.5



EJEMPLO En la siguiente tabla se muestran los resultados de la determinación de cuatro puntos de la trayectoria de un objeto en caída libre

TABLA 7.1 I x (m) y (m) x2 x3 xy 1 1,0 1,5 1,0 1,0 1,5 2 2,0 5,3 4,0 8,0 10,6 3 3,0 11,5 9,0 27 34,5 4 4,0 20,0 16 64 80 Σ 10,0 38,3 30 100 127

De acuerdo con los resultados de la última fila de la Tabla 7.1, de la ecuación (7.5) tenemos

100 30 127

30 10 38 3

a b

a b

+ =

+ = ,

de donde se obtienen los siguientes resultados numéricos

a

b

=

=

1 2

0 2

,

,

Es importante destacar que las unidades de a son m-1 y b es adimensional. 7.5.- PARTE EXPERIMENTAL 7.5.1.- Montaje Experimental En la figura 7.1 se ilustra el esquema del dispositivo experimental mediante el cual se determina la trayectoria de caída libre de una esfera de acero que rueda a partir del reposo una distancia dada (fija) por una canal hasta que abandona ésta con una velocidad inicial que depende de la inclinación y de la distancia que recorre por la canal. Una bandeja cuya altura puede ser modificada deslizando la misma a lo largo del poste, permite interceptar la trayectoria de la esfera. Sobre la bandeja se coloca una cinta de papel y un pedazo de papel carbón, de tal manera que al incidir la esfera, deja una marca indicando la posición de la intersección de la trayectoria de la esfera con el plano horizontal a la altura de la bandeja. La esfera se deja caer repetidas veces para diversas posiciones de la bandeja. El registro de los valores de x y de y para cada lanzamiento, es la parte crucial del experimento.



Vo

trayectoria

canal

bandeja

poste

base

tope

X

Y

0 θ

FIGURA 7.1 Montaje experimental indicando el sistema de coordenadas utilizado. 7.5.2- Materiales y equipos requeridos .- Aparato con los componentes indicados en la figura 7.1 .- Cinta de papel. .- Hoja de papel carbón .- Esfera de acero. .- Plomada o nivel de burbuja. .- Cinta métrica o regla graduada. .- Papel cuadriculado. 7.5.3.- Procedimiento 7.5.1.- Mediante una plomada, verifique la verticalidad del poste (Figura 7.1) y corríjala de ser necesario, mediante los tornillos colocados en la base del dispositivo experimental. 7.5.2.- Coloque una cinta de papel sobre la bandeja y fíjela mediante las prensas de la bandeja. Coloque un pedazo de papel carbón en la región donde caerá la esfera. A continuación determine la proyección vertical del origen del sistema de coordenadas (vea la figura 7.1) dejando caer la esfera desde el punto en que esta abandona la canal pero con velocidad inicial cero.



7.5.3.- Seleccione el ángulo de inclinación de la canal aflojando el tornillo que sujeta el soporte de la canal al poste. Apriete de nuevo el tornillo. 7.5.4.- Seleccione la longitud de la carrera de la esfera sobre la canal, modificando la posición del tope. Recuerde que la esfera será soltada con velocidad inicial cero desde el tope, cada vez que repita el lanzamiento. 7.5.5.- Seleccione siete alturas para la bandeja, de tal manera que éstas abarquen el mayor recorrido posible a lo largo del poste. Procure que las posiciones queden equiespaciadas. Observe que los valores de la coordenada y se determinan restando la proyección del punto de salida de la esfera, de la posición de la bandeja sobre el poste. 7.5.7.- Para cada una de las alturas seleccionadas, repita tres veces el lanzamiento de la esfera. Recuerde colocar el papel carbón en la región donde cae la esfera en cada caso. No retire el papel de la bandeja hasta que haya concluido el lanzamiento para todas las posiciones de la bandeja. 7.5.7.- Una vez finalizados los lanzamientos, retire la cinta de papel de la bandeja y efectúe la medición de los valores de x correspondientes. Recuerde promediar los valores de x para las tres repeticiones de cada lanzamiento. A continuación transcriba los datos experimentales a la Tabla 7.2 y complete las diversas casillas. 7.5.8.- Calcule los coeficientes de la ecuación de la trayectoria y compare los resultados con las predicciones teóricas, determinando directamente el ángulo de inclinación. Utilice el valor de la gravedad local. La velocidad inicial de la esfera se puede determinar a partir de la distancia que recorre sobre la canal, utilizando como valor de la aceleración el valor a = (5/9) g senθ, donde θ es el ángulo que forma la canal con la horizontal. 7.6.- INFORME Realice un informe de la actividad, de acuerdo al formato indicado en el Capítulo 3.

7.7.- REFERENCIAS 1.- Jerry D. Wilson: Física, 2da Edición, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana S.A., México

1996, pp. 85-100. 2.- Raymond A. Serway: Física, Tomo 1, 4ª edición, Ed. McGraw-Hill, México, 1997, pp.

77-84 3.- Jerzy Gintel y Victoria Walker: Física Uno, Ed. Edit, Caracas, 1995, pp. 92-95. 6.- Marcelo Alonso y Edward J. Finn: Física, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana,

Buenos Aires, 1995, pp. 53-56. 7.- Paul M. Fishbane, Stephen Gasiorowicz y Stephen T. Thornton: Física, Vol I, Ed. .

Prentice Hall Hisánoamericana S.A., México, 1994, pp. 71-76.



TABLA 7.2 RESULTADOS EXPERIMENTALES

i x (cm) y (cm) x2 x3 xy 1 2 3 4 5 6 7 Σ

a = _______________cm-1 b = ________________ Valores de ángulo y velocidad calculados a partir de a y de b θ = _________________ Vo = _______________cm/s Valores de ángulo y velocidad determinados de otra manera (vea párrafo 7.2.3.8) θ = _________________ Vo = _______________cm/s


MOMENTO DE INERCIA 72

8.- MOMENTO DE INERCIA 8.1.- INTRODUCCIÓN Esta práctica comprende la aplicación de diversos métodos experimentales para la determinación del momento de inercia de un cuerpo rígido con respecto a un eje particular. En el caso de cuerpos de simetría de revolución, los resultados obtenidos se comparan con los cálculos efectuados a partir de la definición de momento de inercia y de la aplicación del teorema de los ejes paralelos. Para el sistema experimental utilizado se introduce un modelo en el cual se supone que para cada objeto problema, el sistema experimenta una fuerza de roce constante proporcional a la masa del objeto problema. 8.2.- OBJETIVOS Al finalizar esta actividad, mediante la evaluación del informe, interrogatorios y prueba escrita, se verificará que el estudiante ha adquirido los conocimientos y posee la destreza para: .- Seguir un el procedimiento escrito para completar el sistema experimental. .- Determinar intervalos de tiempo correspondientes a eventos en la evolución del sistema

experimental, mediante el uso de un cronómetro. .- Tabular los datos experimentales, de manera adecuada. .- Calcular el momento de inercia de los objetos rígidos suministrados, a partir de los datos

experimentales. .- Determinar la masa y dimensiones de objetos diversos, estimando la incertidumbre de

los resultados. .- Calcular el momento de inercia un cilindro, disco y anillo, con respecto al eje de

revolución, a partir de fórmulas suministradas y de mediciones de masa y radios. .- Comparar y discutir diferencias entre resultados determinados mediante diversos

procedimientos (mediciones en sistema dinámico y cálculo a partir de fórmulas) .- Aplicar el teorema de los ejes paralelos y el principio de superposición, al cálculo y

medición de momentos de inercia. .- Determinar la incertidumbre en mediciones indirectas. 8.3.- ACTIVIDADES .- Seguir un procedimiento escrito para completar el sistema experimental. .- Determinar mediante un cronómetro manual, el tiempo que demora el sistema en

efectuar un desplazamiento, bajo diversas condiciones. .- Aplicar un modelo preestablecido para la determinación dinámica de momentos de

inercia. .- Determinar la masa y dimensiones de diversos objetos rígidos, utilizando la balanza,

reglas y vernier. .-Aplicar fórmulas suministradas para el cálculo de momento de inercia de cilindros, discos

y anillos con respecto al eje de revolución. .- Aplicar el teorema de los ejes paralelos. .- Comparar resultado dinámico con el cálculo a partir de fórmulas, para el momento de

inercia de diversos objetos (simples y compuestos) .- Aplicar el principio de superposición. .- Reportar la actividad realizada y discutir el significado de los resultados.



8.4.- FUNDAMENTO TEÓRICO 8.4.1.- Momento de Inercia Considere el cuerpo sólido indicado en la figura 8.1 el cual gira con velocidad angular ω alrededor del eje Z.

x

y

z

θ

ΔVi

rR

FIG. 8.1

Se introduce una partición en elementos de masa del cuerpo, los cuales corresponden a la masa dentro de un elemento de volumen ΔVi. Se tiene que Δmi = ρi ΔVi , donde ρi es la densidad media del material dentro del elemento de volumen ΔVi , cuya distancia al eje z es R (R = r cosθ). Se define como Momento de Inercia I de un cuerpo rígido con respecto al eje, al límite siguiente

I Lim mi Rii

Nm

= ⋅=∑

→ΔΔ

02

1 (8.1)

La ecuación (8.1) puede ser escrita utilizando el concepto de integral de volumen, el cual coincide con el límite de la sumatoria cuando los elementos de volumen de la partición tienden regularmente a cero. En efecto:

( ) dVrrIV∫= 2)cos( θρ

(8.2)

8.4.2.- Ejemplo Calculemos el momento de inercia de un aro de alambre de radio R de masa M con respecto a un eje normal al plano que contiene al aro y que pasa por su centro. Si s es la sección del alambre, supondremos que el diámetro del alambre es mucho menor que R . De conformidad con la figura (8.2) tenemos que dV=sR dϕ, ya que R dϕ es el arco desplegado por el ángulo dϕ a la distancia R del centro de curvatura. Por otra parte tenemos que la



distancia entre el elemento de volumen dV y el eje es igual a R y es constante por construcción. Por otra parte, la densidad también es constante, de tal manera que

φ

φ

ρ

d

dm= dV

φ

φ

r

dm= dVρ

d

FIG. (8.2) FIG. (8.3)

∫=π

ϕρ2

0

3 dsRI (8.3)

donde

ρπ

= =MV

MRs2

(8.4)

luego, tenemos que el momento de inercia del aro viene a ser I mR= 2 (8.5)

8.4.3.- Ejemplo Determinación del momento de inercia con respecto al eje de mayor simetría de un disco de espesor e, radio R y masa m. En este caso , a partir de la figura 8.3 tenemos

dV er dr d= ϕ (8.6) dado que en este caso R es constante, así como la densidad y el espesor e, al reemplazar en la ecuación 8.2 tenemos

I e r dr dR eR

= =∫∫ ρ ϕπ ρπ

3

0

2

0

4

2 (8.6)

reemplazando la densidad ρ = m/(πR²e) tenemos que el momento de inercia se puede expresar como

I mR=12

2 (8.8)

En la figura (8.7) se muestra la expresión correspondiente al momento de inercia para diversos cuerpos de densidad uniforme con respecto a diversos ejes.



8.4.4.- Teorema de los ejes paralelos Si conocemos el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje que pase por su centro de masa, entonces, el momento de inercia del cuerpo con respecto a otro eje paralelo al primero, a una distancia D, estará dado por la siguiente expresión:

I ICM mD= + 2 (8.9) donde m es la masa del cuerpo. 8.5.- PARTE EXPERIMENTAL 8.5.1.- Materiales y equipos requeridos .- Sistema experimental mostrado en la figura 8.1. .- Cronómetro manual. .- Juego de pesas (50g-300g). .- cinta métrica o regla graduada de 1m. .- Balanza (5Kg) .- Vernier 8.5.2.- MODELO EXPERIMETAL En la figura 8.4 se muestran los diversos componentes del sistema experimental a utilizar. Una plataforma se pone en rotación mediante la tensión de una cuerda a la cual se encuentra sujeto un cuerpo que desciende bajo la acción de la gravedad, como se muestra en la figura (8.5). Sobre la plataforma se pueden colocar diversos objetos, determinándose el momento de inercia de la plataforma y de los cuerpos colocados sobre ella con respecto al eje de rotación de la plataforma. Fig. (8.4)



Considere el sistema mostrado en la figura (8.5). El cuerpo M (con momento de inercia I ) puede rotar libremente alrededor del eje OO' impulsado por la tensión de la cuerda a la cual se encuentra sujeto otro cuerpo m1. El tambor A , de radio R, es solidario a la plataforma sobre la cual reposa el cuerpo M (B). La masa m1 desciende una distancia h a partir del reposo y demora un tiempo t en recorrer esta distancia. La velocidad y la aceleración de la masa m1 al final del recorrido son v1 y a1 , las mismas se relaciona con la velocidad y la aceleración angular de A mediante la expresión (8.10):

Fig. (8.5)

v1 = Rω1 , a1 = Rα1 (8.10) Este sistema se puede describir mediante un modelo simplificado, el cual será verificado mediante medidas experimentales. Primero, despreciaremos tanto la masa de la polea que está al borde de la mesa, como el roce en el eje de ésta, lo que trae como consecuencia que consideramos una sola tensión T a lo largo de toda la cuerda. Luego, tomaremos en cuenta la fricción en el eje de la plataforma, la cual da lugar a un torque τ con sentido opuesto al torque producido por la tensión de la cuerda. Suponemos que el torque del sistema es independiente de m1 ,aunque puede depender de M . Aplicando las leyes de Newton, tenemos para el eje de la plataforma

T1 R - τ = Iα1 (8.11) para la masa m1 se cumple

P1 - T1 = m1 a1 (8.12) como m1 cae con aceleración constante, de las ecuaciones de la cinemática se tiene que

a1 = 2h/t2 (8.13) donde h es la distancia recorrida desde el reposo y t el tiempo transcurrido durante la caída. Utilizando una masa m2 (en sustitución de m1 ) y la misma masa M se obtienen las ecuaciones análogas



T2 R - τ = Iα2

(8.14)

P2 - T2 = m2 a2 (8.15)

De las ecuaciones (8.10), (8.11), (8.12), (8.13),(8.14) y (8.15) , eliminando τ y despejando el momento de inercia, tenemos que

I = {P - P - 2h [(m / t ) - ( m t )]} R

2h (1 / t - 1 / t )2 1 2

22 1 / 21 2

22 21

(8.16)

De donde determinamos el momento de inercia I en términos de parámetros que pueden ser medidos. 8.5.4.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: 8.5.4.1.- Determine con un vernier el diámetro del tambor A (fig. 8.5). 8.5.4.2.- Coloque un portapesas con una masa adicional de 20g en el extremo de la cuerda

(fig. 8.5). 8.5.4.3.- Determine la máxima distancia que puede recorrer el portapesas en su caída a

partir del reposo hasta que llegue al piso. Esta será la distancia h que utilizará en las ecuaciones.

8.5.4.4.- Para la plataforma sola, sin ningún objeto sobre ésta, determine el tiempo que

demora el portapesas en recorrer la distancia h, partiendo con velocidad cero (desde el reposo).

8.5.4.5.-Coloque masas adicionales (20g a 50g) y determine el nuevo intervalo de tiempo

de caída a partir del reposo para el recorrido h (hasta que el portapesas llegue al piso, partiendo del reposo).

8.5.4.6.- Determine el momento de inercia de la plataforma sola, mediante la ecuación

(8.16) 8.5.4.8.- Repita el procedimiento colocando sobre la plataforma los siguientes objetos: .- disco .-anillo .- disco y dos cilindros dispuestos verticalmente, en posiciones diametralmente

opuestas sobre el disco. 8.5.4.8.- Determine el momento de inercia resultante en cada uno de los casos anteriores.



8.5.5.- INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS: 8.5.5.1.- Utilizando el principio de superposición, determine el momento de inercia

individual de cada uno de los objetos regulares utilizados. 8.5.5.2.- Compare el momento de inercia experimental con el valor teórico obtenido

utilizando las fórmulas de la Tabla 1 y la relacione entre los momentos de inercia correspondientes a ejes paralelos (ecuación 8.9)

8.5.5.3.- Discuta la validez del modelo utilizado.

2

21 MRI =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

22

22

21 RRMI

FIG. (8.7) Momento de inercia de diversos objetos macizos con respecto al eje indicado

R

R1 R2



TABLA DE RESULTADOS

Objeto I (Kgm2) (fórmula 8.16) ΔI (Kgm2) I (Kgm2)

(fórmulas fig. 8.7) ΔI (Kgm2)

plataforma

disco

anillo

cilindro

8.6.- REFERENCIAS 1.- C. J. Overbeck; Selective Experiments in Physics; Editado por CENCO, USA 1941 2.- R. A. Serway; FISICA Tomo I, 4ª edición, McGraw-Hill; México 1996, pp. 318-323


CHOQUE FRONTAL 80

9.- CHOQUE FRONTAL 9.1.- INTRODUCCIÓN Observar por primera vez un sistema en el cual las fuerzas de roce son imperceptibles, resulta una experiencia fascinante. En esta práctica se utiliza el riel de aire para estudiar colisiones tanto elásticas (realmente cuasielásticas) así como totalmente inelásticas (plásticas). El aspecto fundamental de esta práctica es estudiar el comportamiento de la cantidad de movimiento y de la energía mecánica para el sistema estudiado. La determinación de la velocidad se efectúa mediante sensores ópticos que forman parte de un sistema de adquisición de datos que registra intervalos de tiempo o directamente las velocidades de los carros. 9.2.- OBJETIVOS Una vez culminada esta actividad, el estudiante podrá demostrar su competencia en los siguientes aspectos: .- Describir el sistema experimental empleado y explicar su principio de funcionamiento. .- Explicar en que consiste un sistema lineal unidimensional libre (cuasi-libre). .- Registrar las velocidades de dos móviles que se desplazan por el riel de aire, antes y

después de la colisión entre ellos, siguiendo el procedimiento escrito para tal fin. .- Calcular, a partir de las leyes de conservación, las velocidades finales de cuerpos que

experimentan un choque central totalmente elástico y totalmente plástico. .- Determinar la incertidumbre en mediciones indirectas a partir de la incertidumbre de los

datos experimentales. .- Comparar los resultados experimentales con las predicciones teóricas y discutir la razón

de la diferencia entre ellos. .- Elaborar un informe de la actividad realizada, de acuerdo a el formato suministrado,

incluyendo la interpretación de los resultados y la discusión de la validez del modelo. 9.3.- ACTIVIDADES .- Completar el montaje experimental suministrado, nivelar el riel de aire y verificar el

funcionamiento del sistema de adquisición. .- Determinar la masa de los carros utilizando una balanza .- Seguir el procedimiento escrito para determinar velocidades iniciales y finales en

diversas situaciones de colisión. .- Calcular velocidades finales a partir de las iniciales mediante ecuaciones de

conservación de energía y momento. .- Comparar resultados experimentales con predicciones teóricas .- Calcular incertidumbre de los resultados .- Discutir validez del sistema experimental y del modelo .- Reportar el desarrollo de la actividad de acuerdo a formato incluyendo discusión sobre

validez y significado de los resultados.


CHOQUE FRONTAL 81

9.4.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS 9.4.1.- El choque central Se denomina choque frontal a aquel que se produce entre objetos cuyos centros de masa, justo antes de la colisión, se desplazan sobre una misma recta y además, las fuerzas de interacción son centrales (fuerzas dirigidas a lo largo de la línea que contiene los centros de masa). Sean m1, m2 las masas de dos objetos; v1i, v2i sus velocidades iniciales y p1i, p2i las cantidades de movimiento iniciales. Entonces, la cantidad de movimiento inicial pi del sistema formado por los dos cuerpos, es

p p pi i i= +1 2 9.1 donde

p v p v1 1 1 2 2 2i m i i m i= =; ; 9.2

Suponiendo que no haya fuerzas externas en la dirección de movimiento o bien que las fuerzas externas sean mucho menores que las fuerzas internas, (aproximación de fuerza impulsiva) la cantidad de movimiento inmediatamente después de la colisión será vectorialmente idéntica al valor inicial. Es decir,

m m m mi i f f1 1 2 2 1 1 2 2v v v v+ = + 9.3 donde v1f y v2f son respectivamente las velocidades después de la colisión de las masa m1 y m2. Como todos los vectores en la ecuación (9.3) son paralelos, esta ecuación se puede escribir en forma escalar tomando las componentes de los vectores a lo largo de la recta sobre la cual se desplazan los objetos y sobre la cual actúan las fuerzas de interacción. (recta de acción) De esta manera tenemos

m m m mi i f f1 1 2 2 1 1 2 2v v v v+ = + 9.4 9.4.2.- Choque elástico El choque completamente elástico es aquel en el cual las fuerzas de interacción entre los objetos que colisionan son conservativas, es decir, la suma de las energías mecánicas inmediatamente antes de la colisión, es igual a la suma de las energías mecánicas inmediatamente después de la misma. Dado que no hay variaciones de la energía potencial gravitacional (colisión sobre una recta horizontal) tendremos conservación de la energía cinética, lo cual se puede expresar mediante

m m m mi i f f1 12

2 22

1 12

2 22v v v v+ = + 9.5

Además de la conservación de la energía cinética expresada mediante la ecuación (9.5) tenemos la conservación de la cantidad de movimiento en la forma de la ecuación (9.4). De las ecuaciones (9.4) y (9.5), se tienen las siguientes expresiones para las velocidades después de la colisión, a partir de las velocidades iniciales y los valores de las masas


CHOQUE FRONTAL 82

( )

( )v

v v

vv v

11 1 2 2 2

1 2

22 2 1 1 1

1 2

2

2

fi i

fi i

m m mm m

m m mm m

=− +

+

=− ++

9.6

9.4.3.- Choque plástico Para un choque completamente inelástico o plástico, los cuerpos que chocan quedan adheridos, por lo cual v1f = v2f = vf . Las fuerzas que intervienen en este tipo de colisión no son conservativas, como la energía potencial gravitacional no varía durante el choque, la energía cinética final será menor a la energía cinética inicial. Utilizando la conservación de la cantidad de movimiento en la forma de la ecuación (9.4) tenemos

( )m m m mi i f1 1 2 2 1 2v v v+ = + 9.7 9.4.4.- Choque parcialmente inelástico El choque parcialmente inelástico es aquel para el cual durante la colisión se disipa energía pero los objetos no quedan adheridos, es decir, las velocidades finales son diferentes. Dado que la conservación de la cantidad de movimiento es valida en cualquiera de los casos estudiados y considerando la conservación de la energía, tenemos

12

12

12

121 1

22 2

21 1

22 2

2m m m m Ei i f fv v v v+ = + + Δ

m m m mi i f f1 1 2 2 1 1 2 2v v v v+ = + 9.8

donde ΔE es la variación de energía cinética durante la colisión. 9.5.- MATERIALES Y EQUIPOS A UTILIZAR El equipo experimental consiste en un carril de aire, móviles de diversas masas y un sistema electrónico de medición de velocidades. 9.5.1.- El riel de aire El carril de aire o riel de aire es un dispositivo de precisión, el cual se basa en la formación de un colchón de aire entre un riel y los móviles que se colocan sobre el, con la finalidad de disminuir las fuerzas de rozamiento a valores muy inferiores a aquellos que se producen en el deslizamiento entre superficies sólidas o bien mediante el uso de rodamientos. El carril de aire consiste básicamente en una viga horizontal sobre la cual se coloca un tubo de sección triangular. Este tubo o perfil tiene pequeñas perforaciones equiespaciadas por las cuales sale aire gracias a la acción de un compresor externo que se conecta al tubo mediante una manguera. Como se muestra en la figura 9.1 el tubo está sujeto a la viga


CHOQUE FRONTAL 83

mediante un conjunto de tornillos que permiten la alineación del tubo. El conjunto posee tres patas con tornillos para su nivelación, la cual se realiza mediante la verificación de que un móvil colocado en reposo sobre el riel, debe continuar en reposo si este no está inclinado. No se requiere de un nivel para este ajuste.

compresor

mesa

viga

rielcarro muelle

Figura 9.1 diagrama del carril de aire

El riel es un instrumento de gran sensibilidad, por lo cual debe evitar apoyarse sobre el mismo o dejar caer al piso los móviles o carros. Al colocar los carros sobre el riel, verifique que el compresor este prendido, no apague el compresor con los carros sobre el riel. Siga estrictamente las instrucciones de esta guía así como las indicaciones del personal docente del laboratorio. Para mayor información sobre el riel podrá consultar el manual del fabricante, el cual estará disponible en el laboratorio. 9.5.2.- El sistema de medición La medición de las velocidades de los carros sobre el riel se efectuará mediante un sistema electrónico el cual está formado por un conjunto de cuatro interruptores ópticos conectados a una computadora. Los interruptores están colocados a lo largo del riel, dos a cada lado del mismo. Las prolongaciones laterales o lengüetas de los carros interrumpen el paso de un haz de luz infrarroja emitida dentro del detector. Un sistema de adquisición permite la determinación del tiempo que demora la interrupción del haz. La velocidad de los caros es determinada dividiendo el tiempo de interrupción del haz por el ancho de la lengüeta. El resultado de la velocidad será indicado en la pantalla de un microcomputador conectado al sistema de detectores. Es importante destacar que en la pantalla de la computadora se indican en columnas diferentes las velocidades de dos móviles dependiendo del lado que se coloque la lengüeta (recuerde que hay dos conjuntos de detectores). La primera columna corresponde al móvil que tenga la lengüeta hacia la parte anterior del riel, mientras que la segunda columna corresponderá al móvil con la lengüeta hacia la parte posterior. Las velocidades aparecen en la pantalla a medida que los interruptores ópticos son atravesados por las lengüetas de


CHOQUE FRONTAL 84

los carros. No se indica la posición correspondiente en cada caso por lo cual deberá verificar por inspección cuales son los valores que utilizará para realizar la práctica. El ancho efectivo de la lengüeta es l = (10,0±0,1)mm mientras que la incertidumbre en la determinación del tiempo por parte del sistema electrónico es de 0,05s. Utilice estos valores para la determinación de la incertidumbre de la velocidad en cada caso. 9.5.3.- Programa de adquisición El programa de adquisición es muy simple, basta con correr el programa CHOQUE.EXE para que se visualice en la pantalla, de manera consecutiva, los valores de las velocidades de los carros a medida que las prolongaciones de estos interrumpen el haz de luz de los detectores. Las velocidades de cada carro se muestran en columnas diferentes si las prolongaciones colocadas en cada carro están en lados opuestos. Para reiniciar el programa basta con pulsar la barra espaciadora. 9.6.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 9.6.1.- Espere que el personal del laboratorio le suministre los materiales y equipos requeridos para la realización de esta actividad y le suministre las instrucciones referentes al uso del sistema. El personal del laboratorio le indicará en que momento encender o apagar el computador y el compresor de aire. También recibirá instrucciones sobre el programa a utilizar. 9.6.2.- Verifique la nivelación del riel colocando, con el compresor prendido, un carro en el centro del riel. El carro deberá permanecer en reposo. Pequeñas aceleraciones podrían no ser de importancia para la realización de esta práctica, consulte al personal del laboratorio si requiere corregir la nivelación. 9.6.3.- Solicite al personal docente del laboratorio que accione el programa de adquisición de los datos. Verifique el funcionamiento del sistema colocando dos carros sobre el riel, con las lengüetas hacia lados opuestos. La velocidad de desplazamiento de los carros no debe sobrepasar los 30cm/s. 9.6.4.- Colisión elástica de objetos de igual masa cuando uno está en reposo. a.- Seleccione dos carros de la misma longitud y determine la masa de los mismos. b.- Coloque uno de los carros en el centro del riel de manera que quede en reposo con respecto al riel. Lance el segundo carro utilizando los muelles de goma en el extremo del riel, de tal manera que salga disparado con una velocidad inicial comprendida entre 25 y 30cm/s. Recuerde que alguno de los carros debe tener un muelle o resorte del lado de la colisión.


CHOQUE FRONTAL 85

c.- Tome nota de las velocidades iniciales y finales en cada caso. Recuerde que en la pantalla visualizará la velocidad con la cual cada carro pasa por los diversos detectores, por lo cual deberá tomar como velocidades los valores correspondientes a los detectores mas cercanos al lugar de la colisión y verificar la consistencia entre los resultados suministrados por los diversos detectores. d.- Repita el lanzamiento para otro valor de velocidad inicial comprendida entre los límites indicados. e.- Complete la tabla 9.1. Repita el experimento si encuentra inconsistentes los valores de las variaciones de P y de E. 9.6.5.- Colisión elástica entre objetos de diferente masa cuando uno de ellos está en reposo inicialmente. a.- Seleccione dos carros de longitudes diferentes y determine las masas de los mismos. b.- Coloque uno de los carros en el centro del carril y lance el otro utilizando los muelles de goma, con velocidades comprendidas entre 25 y 35 cm/s. c.- Repita el lanzamiento intercambiando los carros. d.- Complete la tabla 9.2. 9.6.6.- Colisión completamente inelástica entre cuerpos de masas iguales con uno inicialmente en reposo. a.- Seleccione dos carros de igual longitud y determine sus masas. Coloque las mordazas con Velcro™ en los carros y recuerde que deberá quedar el Velcro del lado de la colisión. Verifique que las mordazas tengan los tipos complementarios de Velcro. b.- Coloque uno de los carros en el centro del riel en reposo y lance el otro con velocidad inicial comprendida entre 25 y 35cm/s. c.- Tome nota de las velocidades iniciales y finales y complete la tabla 9.3. 9.7.- Informe de la actividad realizada. Realice un informe de la actividad, utilizando el formato descrito en el Capítulo 3.


CHOQUE FRONTAL 86


1996, pp. 172-193. 2.- Raymond A. Serway: Física, Tomo 1, 4ª edición, Ed. McGraw-Hill, México, 1997, pp.

245-249. 3.- Jerzy Gintel y Victoria Walker: Física Uno, Ed. Edit, Caracas, 1995, pp. 72-81. 4.- Marcelo Alonso y Edward J. Finn: Física, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana,

Buenos Aires, 1995, pp. 300-306. 5.- Paul M. Fishbane, Stephen Gasiorowicz y Stephen T. Thornton: Física, Vol I, Ed. .



CHOQUE FRONTAL 87

9.9.- RESULTADOS EXPERIMENTALES (recuerde indicar la incertidumbre)

TABLA 9.1 Choque elástico entre masas similares (vi2=0)

MASA g

Vi cm/s

vf cm/s

Pi g cm/s

Pf g cm/s

Eki ergio

Ekf ergio

ΔP g cm/s

ΔE ergio

M1=

m2=

TOTAL (Variaciones para el sistema experimental)

TOTAL (Variaciones para el sistema en teoría) 0,0 0,0

TABLA 9.2 Choque elástico entre masas diferentes (vi2=0)

MASA g

Vi Cm/s

vf cm/s

Pi g cm/s

Pf g cm/s

Eki ergio

Ekf ergio

ΔP g cm/s

ΔE ergio

m1=

m2=


TOTAL (Variaciones para el sistema en teoría) 0,0 0,0

TABLA 9.3 Choque plástico entre masas iguales (vi2 = 0)

MASA g

Vi cm/s

vf cm/s

Pi g cm/s

Pf g cm/s

Eki ergio

Ekf ergio

ΔP g cm/s

ΔE ergio

m1=

m2=


TOTAL (Variaciones para el sistema en teoría) 0,0 50.0%


MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 88

10.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 10.1.- INTRODUCCIÓN En esta práctica estudiaremos el movimiento armónico simple utilizando un sistema masa - resorte. Determinaremos la constante elástica de un resorte mediante mediciones estáticas de la deformación en función de la fuerza aplicada. Verificaremos el isocronismo de las oscilaciones para pequeñas deformaciones y determinaremos la relación entre la masa y el período de las oscilaciones. También determinaremos la constante elástica de manera dinámica y la compararemos con la constante determinada de manera estática. Como parte complementaria determinaremos la influencia de la masa del resorte en el período de las oscilaciones para situaciones en que la masa del resorte sea pequeña con relación a la masa que acoplemos al sistema. En este caso, utilizaremos un modelo aproximado del comportamiento dinámico del resorte, el cual consiste en suponer que la amplitud e oscilación de las espiras aumenta proporcionalmente a la distancia de estas al punto de sujeción o pivote. 10.2.- OBJETIVOS Al culminar esta actividad el estudiante podrá demostrar competencia en los siguientes aspectos: .- Determinar la constante elástica de un resorte helicoidal a partir de la tabla de

deformación en función de la fuerza aplicada. .- Aplicar el método de mínimos cuadrados para ajustar los datos experimentales a una

función afín y a una función cuadrática. .- Linealizar un conjunto de datos bajo la suposición de un comportamiento cuadrático y

determinar a partir de la gráfica los parámetros de la ecuación empírica correspondiente. .- Definir los conceptos: amplitud, período, frecuencia, oscilación armónica e isocronismo. .- Determinar el período de las oscilaciones de un oscilador, haciendo uso del isocronismo

de las oscilaciones, para sistemas que oscilan lentamente (periodos del orden de 1s) .- Explicar la aproximación de deformación proporcional para el sistema masa resorte y

justificar la validez del modelo a partir de los datos experimentales. .- Reportar la actividad realizada interpretando la validez de los resultados, su significado y

discutiendo las fuentes de incertidumbre en las mediciones. 10.3.- ACTIVIDADES .- Completar el sistema experimental suministrado .- Determinar la tabla de deformación – fuerza para un resorte helicoidal .- Ajustar los datos a una función afín mediante mínimos cuadrados. .- Representar gráficamente los resultados experimentales .- Verificar el isocronismo de las oscilaciones para pequeñas deformaciones. .- Comparar la constante elástica del resorte determinada por métodos estáticos con la

determinada por métodos dinámicos. .- Determinar la relación entre la masa del sistema y la frecuencia de las oscilaciones.



.- Hacer un informe de la actividad discutiendo la validez de los resultados, su significado y fuentes de incertidumbre.

10.4.- FUNDAMENTO TEÓRICO 10.4.1.- Ecuación de movimiento de una masa sujeta a un resorte. Consideremos un resorte helicoidal de longitud natural L0 (longitud del resorte libre de esfuerzos) el cual cuelga de un pivote P. Si sujetamos del extremo inferior del resorte una masa m como se muestra en la figura 10.1, el resorte experimentará una elongación o estiramiento, el cual podría ser dependiente del tiempo.

y

m

k

p

Figura 10.1 Sistema masa resorte bajo la acción de la gravedad.

Si el sistema de la figura 10.1 se encuentra en equilibrio estático, analizando las fuerzas que actúan sobre la masa m obtenemos la siguiente relación

0=− rFmg 10.1 Donde Fr = -kΔL es la fuerza elástica. No se ha considerado el efecto de la masa del resorte ya que suponemos que esta es mucho menor a la masa m del cuerpo sujeto al resorte. La evolución del movimiento de la masa cuando ésta es sacada de la posición de equilibrio, suministrándole un impulso en la dirección vertical, se deduce de la aplicación de la Segunda Ley de Newton. En efecto, si reemplazamos la fuerza del resorte por su valor en función de la ley de Hooke

)( 0yykFr −−= 10.2 Donde y0 es la posición del extremo del resorte sin carga. Entonces

( ) 2

2

0 dtydmyykmg =−− 10.3



en donde estamos expresando la aceleración del cuerpo como la derivada segunda de su posición sobre el eje vertical, con respecto al tiempo. Observe que se ha elegido el sentido hacia abajo como positivo para y. Se puede verificar mediante substitución, que la solución y = y(t) de la ecuación (10.3) esta dada por

)sen()( 1 δω ++= tAyty 10.4 donde y1 es la posición de equilibrio estático del resorte dada por y1 = y0 + mg/k. A es la amplitud de las oscilaciones y δ es el ángulo de fase, el cual depende del instante en el cual comencemos a medir el tiempo. Es fácil verificar que la derivada segunda de y con respecto al tiempo esta dada por

)sen(22

2

δωω −−= tAdt

yd 10.5

Reemplazando las ecuaciones (10.4) y (10.5) en (10.3) se obtiene una expresión la frecuencia ω

mk

=ω 10.6

De esta manera, el período T de las oscilaciones está dado por

T mk

= 2π 10.7

Observe que el período T de las oscilaciones, el cual se define como el tiempo que demora el sistema en describir una oscilación completa o ciclo, no depende de la amplitud A de las oscilaciones. Este resultado se conoce como isocronismo de las oscilaciones armónicas y el mismo es utilizado como fundamento en el diseño de mecanismos de relojería. 10.4.2.- Influencia de la masa del resorte en la frecuencia de oscilación. Cuando la masa mr del resorte no es despreciable comparada a la masa sujeta al resorte, la frecuencia de las oscilaciones dependerá también de la primera. Estudiaremos el caso en el cual la masa del resorte no es despreciable aunque si lo suficientemente pequeña como para suponer que el desplazamiento de las espiras del resorte aumenta proporcionalmente a la distancia al punto de sujeción. Es fácil comprobar, por ejemplo, que para el caso de un resorte que oscila por efecto de su propio peso, esta condición no se cumple. Para el resorte mostrado en la figura (10.1), las espiras cercanas al punto de sujeción no se mueven cuando la masa oscila mientras que las espiras cercanas a la masa m se mueven con la misma velocidad de esta. Si colocamos el origen de coordenadas (y = 0) a la altura del pivote de donde se cuelga el resorte, bajo la aproximación referida en el párrafo anterior, tendremos que la velocidad ve



de la espira del resorte que se encuentre a una distancia l del punto de sujeción, cuando la masa se encuentra en la posición y, moviéndose con velocidad dy/dt, se puede expresar en función de l mediante la expresión

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dtdy

yllve 10.8

por otra parte tenemos que la densidad lineal de masa λ del resorte, cuando este tiene una longitud total y, se puede expresar como

yme=λ 10.9

donde me es la masa del resorte. De esta manera tenemos que la masa de una porción de longitud dl del resorte tiene una masa

dm dle = λ 10.10 Dado que las fuerzas que intervienen en el problema son conservativas, la energía mecánica del sistema en oscilación debe ser una constante, al menos aproximadamente ya que el sistema en oscilación demora un tiempo finito en detenerse. La sumatoria de la energía cinética más la potencial elástica más la potencial gravitacional es una constante del movimiento. La energía potencial del resorte esta dada por Ur = ½k(y-L0)². La energía potencial gravitatoria de la masa m es Ug = -mgy. La energía potencial gravitatoria del resorte esta dada por Ugr = -mr gy/2 ya que de acuerdo a la aproximación referida mas arriba, la deformación del resorte es uniforme por lo tanto su centro de masa se encontrará a una distancia y/2 del origen. La energía cinética del resorte es el término más difícil de calcular, ya que las diversas espiras se mueven a diferentes velocidades. En efecto, de las ecuaciones (10.8), (10.9) y (10.10) tenemos que el elemento de energía cinética del resorte dKr esta dado por

dly

mdtdy

yldmvdK e

eer

22

21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== 10.11

integrando la expresión (10.11) a lo largo de la extensión del resorte, para un y fijo, tenemos

2

0

22

30

2

6221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫ dt

dymdll

dtdy

ym

dly

mdtdy

ylK e

ye

ye

r 10.12

por lo tanto, sumando todas las formas de energía tenemos

( ) constanteLykdtdym

dtdym

gymmgy

e

e =−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−22

322

20

22

10.13

Derivando (10.13) con respecto al tiempo tenemos

( ) 032 02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

dtdyLyk

dtyd

dtdymm

dtdymmg ee 10.14

dividiendo ambos miembros de (10.14) por dy/dt queda



( ) 032 02

2

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− Lyk

dtydmmmmg ee 10.15

Comparando esta ecuación con (10.3) se observa que son de la misma forma, por lo tanto, reemplazando en (10.15) la expresión (10.4) se encuentra que el período de las oscilaciones viene dado por

Tm m

k

e

=+

2 3π 10.16

lo cual implica que bajo la aproximación de deformación uniforme del resorte, un tercio de su masa contribuye a la masa del sistema oscilante. 10.5.- PARTE EXPERIMENTAL 10.5.1.- Objetivos a.- Determinar la constante elástica de un resorte b.- Verificar el isocronismo de las oscilaciones del sistema masa resorte c.- Determinar experimentalmente el período de las oscilaciones en función de la masa y de la constante elástica. d.- Verificar experimentalmente la ecuación (10.16) 10.5.2.- Procedimiento 10.5.2.1.- Colocando un portapesas en el extremo del resorte suministrado, determine la elongación del resorte en función del peso que soporta el mismo. Complete la Tabla (10.1) agregando masas hasta que la elongación sea similar a la longitud natural del resorte. 10.5.2.2.- Grafique en papel milimetrado los resultados de la Tabla (10.1) y a partir de ella determine la constante k del resorte. 10.5.2.3.- Para un peso tal que la elongación del resorte sea igual a su longitud natural, determine el período de las oscilaciones, midiendo el tiempo que demoran 10 oscilaciones en cada caso. Complete la Tabla (10.2) para el período de oscilaciones de diversa amplitud, con igual masa. Seleccione amplitudes entre L0/10 y L0/2 10.5.2.4.- Complete la Tabla (10.3) determinando el período en función de la masa, sobre la base de la medición del tiempo correspondiente a 10 oscilaciones en cada caso. Las amplitudes deben ser pequeñas con respecto a la elongación del resorte. 10.5.2.5.- Represente gráficamente el cuadrado de T en función de la masa, en papel milimetrado. Determine a partir de la gráfica la expresión de T² en función de m y compare el resultado con la ecuación (10.16). 10.5.- INFORME



Realice un informe de la actividad, de acuerdo al formato del Capítulo 4. Cada equipo entregará un solo informe, pero éste deberá contener la tabla de datos y cálculos realizados por cada uno de los integrantes del mismo. 10.6.- REFERENCIAS .- A. P. Frech: Vibraciones y Ondas, Ed. Reverté, Buenos Aires, 1974, pp. 69-72. .- Paul M. Fishbane, Stephen Gasiorowicz y Stephen T. Thornton:Física para Ciencias e Ingeniería, Vol I, México, 1993, pp. 383-387. 10.7.- RESULTADOS EXPERIMENTALES

TABLA 10.1 n 1 2 3 4 5 6 7 masa (g) y-y0 (cm)

TABLA 10.2 n 1 2 3 4 5 6 7 A (cm) T (s)

TABLA 10.3 n 1 2 3 4 5 6 7 masa (g) 50 100 150 200 250 300 350 T (s)

MASA DEL RESORTE me = _______________ g (medido directamente) me = _______________ g (determinado por extrapolación de la gráfica)


DILATACIÓN TÉRMICA 94

11.- DILATACIÓN TÉRMICA 11.1.- INTRODUCCIÓN Esta práctica comprende el estudio de la dilatación que experimentan los materiales como consecuencia de la variación de la temperatura. Consideraremos principalmente barras de materiales metálicos cuya longitud puede ser determinada mientras se encuentran sumergidas en un baño térmico. También se incluyen algunos aspectos de la dilatación de líquidos y del funcionamiento del termómetro de mercurio en vidrio. 11.2.- OBJETIVOS Al finalizar esta actividad, el estudiante podrá demostrar competencia para: .- Determinar el coeficiente lineal de dilatación térmica medio para diversos materiales

metálicos, en el intervalo comprendido entre la temperatura ambiente y los 100 °C. .- Utilización del termómetro de mercurio. .-Utilización del Barómetro para la determinación de la presión atmosférica. .- Aplicar el manejo de la Tabla de Temperaturas y Presiones del Vapor Saturado de Agua

a la determinación de la temperatura, mediante interpolación. .- Identificar el material correspondiente a cada barra utilizada a partir de propiedades

físicas tales como coeficiente de dilatación, densidad, y apariencia visual. 11.3.- ACTIVIDADES .- Completar el montaje experimental. .- Determinar la longitud inicial de una varilla metálica .- Seguir el procedimiento escrito para calentar la barra mediante un generador de vapor. .- Determinar cuando el sistema alcanza un estado estacionario, mediante monitoreo del

termómetro. .- Determinar elongación de la barra mediante el micrómetro con verificación de contacto

por continuidad eléctrica. .- Calcular la temperatura de equilibrio del vapor de agua mediante uso del barómetro y de

la tabla de presión temperatura respectiva. .- Identificar el material de la barra por comparación con valores de la tabla de coeficientes

de dilatación. .- Discutir las diferencias en el uso del termómetro de inmersión total y el de inmersión

parcial. .- Reportar la actividad realizada discutiendo validez y significado de los resultados e

identificando las fuentes de dispersión de los resultados. 11.1.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS 11.4.1.- DILATACIÓN EN SÓLIDOS Y LÍQUIDOS Los materiales en fase sólida, líquida o gaseosa, manifiestan generalmente una tendencia a cambiar su densidad cuando experimentan una variación de temperatura. Para el estudio del cambio en la densidad correspondiente a variaciones de temperatura, es necesario



controlar las fuerzas externas que actúan sobre el contorno del cuerpo, por ejemplo, manteniendo constante la presión ejercida por el medio sobre la superficie del material estudiado. Para tener una idea de la razón de la tendencia al cambio de densidad con la temperatura, introduzcamos un modelo mecanicista según el cual los átomos en un sólido se comportan como esferas acopladas unas a otras mediante resortes. A temperatura ambiente, en sólidos y líquidos, los átomos o moléculas vibran con amplitudes del orden de 10-11m aproximadamente, alrededor de posiciones de equilibrio, con frecuencias del orden de 1013Hz. Al aumentar la temperatura, la amplitud de las vibraciones aumenta, con lo cual también aumenta la energía cinética media y la energía potencial media. Sin embargo, sabemos que cuando se incrementa la amplitud de movimiento de un oscilador, su posición de equilibrio no cambia necesariamente, luego si cada átomo continúa vibrando alrededor de la misma posición de equilibrio, la densidad no debería cambiar. Para explicar el cambio en la densidad es necesario recordar que la energía potencial entre átomos o moléculas no es una curva simétrica como en el caso de un resorte. Es la asimetría de la energía potencial y por lo tanto de la fuerza de interacción lo que explica el fenómeno del cambio de densidad. En la figura 11.1 se muestra la forma típica de la dependencia entre la energía potencial y la distancia correspondiente a la interacción entre moléculas.

Figura 11.1 Energía potencial ínter molecular. 11.4.2.- DILATACIÓN LONGITUDINAL El cambio de densidad de un material sólido, da lugar a un cambio en sus dimensiones (longitud, ancho, espesor) el cual, para intervalos de temperatura suficientemente pequeños, se puede considerar como proporcional al incremento de la temperatura. La variación en la longitud de un objeto sólido como resultado de un aumento de temperatura, a presión constante, se expresa de la siguiente manera

Δ ΔL L T= α 0 (11.1)

Donde Lo es la longitud inicial del cuerpo, α el coeficiente promedio de dilatación lineal y ΔT la variación en la temperatura en grados centígrados o en grados Kelvin. 11.4.3.- DILATACIÓN SUPERFICIAL Y VOLUMÉTRICA

r

Ep



Como consecuencia de la dilatación lineal se tiene que la superficie de un cuerpo también se verá afectada por un cambio en la temperatura. Consideremos una superficie rectangular de lados a y b de un material cuyo coeficiente de dilatación lineal sea α. Bajo un cambio de temperatura la superficie A=ab se verá afectada de acuerdo a la siguiente expresión

Δ ΔA A T= 2 0α (11.2)

como se puede verificar utilizando la ecuación 11.1 y despreciando el término en (ΔT)2. Para el volumen de un cuerpo tendremos que la variación con la temperatura estará dada por la siguiente expresión

Δ ΔV V T= β 0 (11.3)

Es fácil verificar que el coeficiente de expansión volumétrica β se relaciona con el coeficiente de expansión lineal mediante la relación simple

β α= 3 (11.4)

La cual se puede obtener de manera similar al caso de la ecuación 11.2. En la Tabla 11.1 se indican los coeficientes de dilatación de diversos materiales en el intervalo de temperatura próximo a la temperatura ambiental.

TABLA 11.1 Coeficientes de dilatación a temperatura próxima a la del ambiente Material (Sólido) α (0C)-1×10-6 Material (fluidos) β (0C)-1×10-4

Aluminio 24 Alcohol etílico 1,12 Bronce 19 Benceno 1,24 Cobre 17 Acetona 1,5 Vidrio 9 Glicerina 4,85 Pyrex 3,2 Mercurio 1,82 Plomo 29 Trementina 9,0 Acero 11 Gasolina 9,6

Invar (Ni-Fe) 0,9 Aire (a 00C) 37 Concreto 12 Helio 37

11.4.4.- MEDICIÓN DE LA TEMPERATURA En esta práctica se utilizará un termómetro de mercurio para la determinación de la temperatura de un baño en el cual está sumergida una barra de metal. Para la utilización de este instrumento es importante recordar que el mismo se basa en la dilatación que experimenta el mercurio contenido en un bulbo de vidrio una vez que este alcanza un estado de equilibrio térmico con el ambiente en el cual esta sumergido. Es importante tener en cuenta que los termómetros que se utilizarán en esta práctica son del tipo inmersión parcial. Estos termómetros están calibrados de tal manera que indican la



temperatura correctamente cuando tanto el bulbo como una parte de la columna (señalada mediante una línea) se encuentran sumergidos en el medio cuya temperatura se desea medir, el resto de la columna queda expuesta al medio ambiente. En los termómetros de inmersión total, la calibración se efectúa introduciendo el termómetro completo en un baño térmico, por lo cual tanto el bulbo como la columna de mercurio alcanzarán una temperatura de equilibrio igual a la del baño. En muchas aplicaciones de medición de temperatura, no es posible que el termómetro completo o la porción de la columna bajo la línea de inmersión, lleguen a estar en equilibrio térmico con la porción del sistema cuya temperatura se desea determinar, ya que solo es posible que el bulbo quede en contacto con el sistema. Esto conduce a que la lectura del termómetro (en el caso en que la temperatura a determinar sea superior a la ambiental) sea inferior a la temperatura del sistema. A continuación discutiremos algunos aspectos básicos de los termómetros de mercurio. Como se indica en la figura 11.2 el termómetro lo podemos caracterizar mediante los siguientes parámetros: a) V0: volumen del bulbo más volumen bajo la línea de inmersión b) L: longitud del capilar comprendida entre los extremos de la escala. c) Tmin: lectura mínima d) Tmax: lectura máxima e) R: radio del capilar f) β: Coeficiente de dilatación del fluido (Hg en este caso) g) α: Coeficiente de dilatación lineal del vidrio En la figura 11.2 se muestran las diversas partes del termómetro.

L

R

V0

Tmin

Tmax

BULBO

CAPILAR

Figura 11.2 Termómetro de mercurio

Utilizando la ecuación 11.3 podemos determinar el cambio de volumen del mercurio contenido en el bulbo al variar la temperatura entre los valores extremos de la escala.



En efecto, suponiendo que la dilatación del vidrio no es significativa1 tenemos:

( )π βR L V T Tmax min2

0= − (11.5)

Por otra parte, supongamos que la temperatura del bulbo del termómetro es Tb mientras que la temperatura de la columna de mercurio es Tc. En el caso más desfavorable podríamos tener que la temperatura de la columna es la temperatura ambiental. Como se mencionó arriba, la calibración de un termómetro de inmersión total corresponde a una situación de equilibrio en la cual todo el cuerpo del mismo, es decir, tanto el bulbo como la prolongación que contiene el capilar están en equilibrio con el baño térmico. Utilizando la relación 11.3 se puede demostrar que la longitud de la columna de mercurio difiere de la longitud que tendría, de estar a la misma temperatura que el bulbo, en una longitud ΔL dada por:

( )ΔL L T Tb c= −β (11.6)

Lo cual corresponde a un error ΔT ( en este caso por defecto) en la indicación de la temperatura igual a:

( )ΔΔ

TL

LT Tmax min= − (11.7)

Utilizando las ecuaciones 11.6 y 11.7 podríamos establecer el error sistemático que se cometería al utilizar un termómetro de inmersión total en lugar de uno de inmersión parcial o bien cuando un termómetro de inmersión parcial se utiliza a una temperatura ambiente diferente a la correspondiente a su calibración. 11.4.5.- DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA DEL VAPOR DE AGUA SATURADO Una forma de corregir la dificultad mencionada en el párrafo anterior sobre la determinación de la temperatura para la actividad que realizaremos en esta práctica, es utilizar una tabla de temperaturas y presión de vapor saturado para el agua. En el experimento a realizar se utiliza un generador de vapor de agua para calentar la pieza ensayada. Como la presión del vapor es aproximadamente igual a la presión atmosférica, mediante el uso de un barómetro y de la tabla referida se puede tener una estimación de la temperatura del vapor. En la tabla 11.2 se indica la variación de la presión P en mm de mercurio (mmHg) con la temperatura T en grados centígrados °C. 1 Comparando β del mercurio con 3α correspondiente al vidrio pyrex podemos ver que esta suposición es razonable.



Tabla 11.2 Temperatura y Presión de Vapor

de Agua Saturado T (°C) P (mmHg)

65,0 187,6 70,0 233,8 75,0 288,8 80,0 355,3 85,0 433,7 90,0 526,0 95,0 634,1 100,0 760,0 105,0 906,3 110,0 1074,8

11.4.6.- INTERPOLACIÓN Si el valor de la presión no esta en la tabla, utilizar el valor más cercano nos podría introducir un error de por lo menos cinco grados. En este caso es conveniente interpolar linealmente, lo cual corresponde a suponer que la porción de la gráfica de esta tabla es aproximadamente recta entre dos valores de temperatura consecutivas de la tabla. Por ejemplo, si la presión es de 740 mmHg, la temperatura correspondiente T estaría dada por:

( )( ) CCT °=°−×−−

+= 2,991,6340,7401,6340,760

0,950,1000,95 (11.8)

11.5.- EQUIPO A UTILIZAR 11.5.1.- Aparato para expansión lineal Este equipo está constituido por una camisa metálica tubular en cuyo eje se coloca una barra metálica objeto de estudio. La camisa permite el flujo continuo de agua o de vapor de agua mediante conectores para mangueras y además, tiene un receptáculo para el termómetro. Entre la camisa y la barra se colocan tapones horadados que impiden la salida del fluido de calefacción y permiten la dilatación cuasi libre de la barra. Mediante un micrómetro dispuesto axialmente se determina la longitud de la barra. El sistema de medición referido dispone de un contacto eléctrico para facilitar la utilización del micrómetro. 11.5.2.- Generador de vapor.



Consiste en un recipiente metálico con un tubo lateral de vidrio para visualizar el nivel del agua y de una salida con empalme a una manguera para la conducción del vapor de agua hasta el aparato de expansión. El generador tiene una tapa con empacadura de goma. 11.5.3.- Termómetro de Mercurio 11.5.4.- Regla graduada para la determinación de la longitud de las barras. 11.5.5.- Tornillo micrométrico para la determinación del diámetro de las barras. 11.5.6.- Balanza para la determinación de la masa de las barras. 11.5.7.- Batería, conductores eléctricos y lámpara para determinar continuidad eléctrica. 11.5.8.- Estufa para calentar el generador de vapor. 11.6.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 11.6.1.- Disponga los componentes como se indica en la figura 11.3. La barra debe hacer contacto con el tornillo S. 11.6.2.- Conecte la manguera D a la toma de agua y permita un flujo estacionario mientras la temperatura se estabiliza. Determine la temperatura. 11.6.3.- Determine para la primera barra, la indicación del tornillo M hasta que haya continuidad eléctrica. Repita cinco veces la medición descargando M solamente y ajustándolo de nuevo. IMPORTANTE: EL TORQUE APLICADO AL TORNILLO M NO DEBE SER MUCHO MAYOR AL MÍNIMO REQUERIDO PARA QUE ESTE GIRE. DESCARGUE EL TORNILLO POR LO MENOS DOS VUELTAS COMPLETAS ANTES DE INICIAR EL CALENTAMIENTO MEDIANTE VAPOR. 11.6.4.- Conecte la manguera D al generador de vapor G. Permita que el vapor escape por la manguera O. CUIDADO, EL VAPOR QUE SALE POR O PUEDE PRODUCIR GRAVES QUEMADURAS. 11.6.5.- Al observar que la temperatura del termómetro T sea estable, determine mediante cinco lecturas independientes la posición de continuidad del tornillo M. Tome nota también de la temperatura indicada por el termómetro. 11.6.6.- Determine la presión atmosférica leyendo el barómetro. Mediante la tabla 11.2, determine la temperatura del vapor. Esta es la temperatura que utilizará en los cálculos. 11.6.7.- Repita el procedimiento para los demás materiales. 11.6.8.- Suponiendo que el volumen del bulbo del termómetro utilizado sea de 0,2cm3 , calcule mediante la ecuación 11.5 el diámetro del capilar. Luego determine el error ΔT en



la medición de la temperatura del vapor saturado, en caso de que se utilice un termómetro de inmersión total, en lugar de uno de inmersión parcial. Para esto haga uso de las ecuaciones 11.6 y 11.7 con Tc igual a la temperatura ambiente.

Figura 11.3 Sistema experimental

11.7.- INFORME Realice un informe de la actividad utilizando el formato acostumbrado. 11.8.- REFERENCIAS .- C. J. Overbeck, R. R. Palmer y Marsh W. White: Selective Experiments in Physics (Coeficient of Linear Expansion), Editado por CENCO, USA, 1943. .- Paul M. Fishbane, Stephen Gasiorowicz y Stephen T. Thornton: Física para Ciencias e Ingeniería, Vol I, México, 1993, p. 636.


MÓDULO DE YOUNG 102

12.- MÓDULO DE YOUNG 12.1.- INTRODUCCIÓN En esta práctica estudiaremos una propiedad fundamental de los materiales sólidos, que refleja la relación entre el esfuerzo de tensión o de compresión con la deformación. 12.2.- OBJETIVOS Al finalizar esta actividad, el estudiante estará en capacidad de: .- Definir el comportamiento elástico y distinguir este del comportamiento inelástico. .- Definir y aplicar los siguientes conceptos: Esfuerzo Axial, Deformación Longitudinal,

Límite elástico .- Deformación Plástica .- Módulo de Young .- Utilizar equipos de medición para la determinación indirecta de magnitudes físicas y

reportar el resultado y su incertidumbre, de manera consistente con el procedimiento empleado.

.- Reportar el resultado de la actividad, siguiendo el significado y validez del mismo y estableciendo las fuentes de dispersión.

12.3.- ACTIVIDADES .- Seguir un procedimiento escrito para la utilización del sistema de medición de pequeñas

deformaciones. .- Utilizar la representación gráfica para la interpretación de los resultados de la medición. .- Determinar el Módulo de Young del material del alambre suministrado. .- Escribir un informe de la actividad realizada en donde se indican los resultados obtenidos y

se interpreta la significación de los mismos. 12.4.- INTRODUCCIÓN TEORICA Para el estudio de la relación entre la respuesta y la solicitud longitudinal o esfuerzo axil, conviene utilizar una porción prismática o barra de sección constante del material. Sujetando adecuadamente los extremos de la pieza a ensayar, se aplica una tensión (también podemos decir que se aplica una deformación) y se registra la dependencia del esfuerzo en la pieza con la deformación. En la figura 1 se muestra el comportamiento típico para una barra metálica, en donde se destaca una zona lineal, para la cual el material exhibe un comportamiento reversible, es decir, recupera su forma original al reducir a cero la tensión. El límite elástico corresponde a un punto en la gráfica más allá del cual se producen deformaciones permanentes y eventualmente el material puede fracturarse o romperse. Considere una barra de longitud L y sección A. Sí aplica una tensión F a la barra, la misma experimenta una deformación ΔL. Si la deformación es pequeña1 con respecto a la longitud L de la barra se obtiene que la dependencia o relación entre los parámetros referidos esta dada por la expresión 1 Para algunos materiales la relación entre el esfuerzo y la deformación es lineal aun para valores de la deformación comparables a la longitud misma del material, como el caso del látex.



LLYAF Δ

= (1)

Figura 1.- Tensión en función de la deformación para un material metálico típico. Observe que para pequeñas deformaciones la relación es lineal. Más allá del límite elástico se produce una deformación plástica del material. Generalmente, en los materiales metálicos para uso estructural, la deformación correspondiente a la zona elástica es inferior a 0,4%. En donde Y es una propiedad del material que refleja su comportamiento elástico en respuesta a una tensión o a una compresión simple o axial.

TABLA 1 Modulo de Young y Densidad de algunos materiales Sustancia Y (N/m2) Densidad (g/cm3) Aluminio 7×1010 2,70 Latón 9,1×1010 8,80 Cobre 11×1010 8,92 Acero (1% de C) 20×1010 7,83 Plomo 1,5×1010 11,3 Vidrio (6,5-7,8)×1010 2,4-2,8 Cuarzo 5,6×1010 2,63

En la tabla 1 se incluyen los valores del Módulo de Young y la densidad para diversos materiales. La fuerza por unidad de área recibe el nombre de esfuerzo de tensión, mientras que la relación ΔL/L es denominada deformación de tensión. De esta manera tenemos que

Límite Elástico

Fractura

Deformación

Tensión



εσ

==tensióndendeformació

tensióndeesfuerzoY (2)

Los símbolos ε y σ introducidos en la expresión 2 son utilizados generalmente para denotar respectivamente la deformación y el esfuerzo. De esta manera, la ecuación 2 se puede escribir como

εσ Y= (3) EJEMPLO Calculemos cual es la fuerza que se requiere aplicar a los extremos de un cable de acero de 0,2mm de diámetro para que su longitud aumente en 1/1000 parte (0,1%).

Tenemos que 001,0=ΔLL y el radio es R=0,001m. De la Tabla 11 tenemos que

Y=20×1010N/m2. Aplicando la ecuación 1 tenemos:

( )( ) NmmNRLLYF 630101101)/102( 2332112 =×××=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ= −− ππ

esto corresponde aproximadamente al peso de un objeto de masa m=63kg aproximadamente. Si repetimos el cálculo para una deformación del 1% el resultado sería 6300N, lo cual corresponde a un esfuerzo cercano al esfuerzo de ruptura típico para un acero de uso estructural (11×108N/m). Tal esfuerzo daría lugar a una deformación permanente en el cable. Comparando la ecuación 1 con la ley de Hooke, se obtiene que la barra del ejemplo se

comporta como un resorte de constante elástica LAYK =

12.5.- PARTE EXPERIMENTAL Para la realización de esta práctica utilizaremos un dispositivo como el mostrado en la figura 2, el cual está constituido un soporte y dos guías, una mordaza M1 que permite sujetar un alambre A, el cual se somete a tensión mediante un conjunto de pesas P. Para determinar el incremento de la longitud del alambre se utiliza un sistema constituido por un tornillo micrométrico y un nivel de burbuja. En la figura 3 se muestra el dispositivo de medición de la elongación, el cual se basa en la nivelación de un elemento que se acopla a la mordaza M2 mediante un pivote.



Inicialmente se nivela el elemento N y se toma la lectura del tornillo para la carga inicial. Posteriormente se agregan o se quitan pesas, lo cual produce un desnivel del elemento N. Girando el tornillo se restablece el nivel y se determina la nueva lectura del tornillo.

Figura 2.- Montaje experimental. 12.5.1.- Determinación del módulo de Young de un alambre de acero. Materiales y equipos .- Aparato para la determinación del Módulo de Young .- Cinta métrica .- Porta pesas de 1kg y juego de pesas hasta 10kg. .- Tornillo Micrométrico .- Papel milimetrado, e instrumentos de dibujo. Procedimiento 1.- Determine la longitud L del alambre utilizando una cinta métrica. Observe que la longitud

relevante para el ensayo es la longitud comprendida entre las mordazas M1 y M2 (distancia L en la figura 2). Determine mediante un tornillo micrométrico el diámetro D del alambre.

Mordaza (M1)

Alambre (A)

Tornillo Micrométrico

Pesas (P)

Pedestal

Elemento con nivel (N)

Mordaza (M2)

L

Guías y soporte



2.- Cuelgue el portapesas (1kg) del extremo inferior del alambre. Verifique que la punta del tornillo esté apoyada sobre el saliente circular de la plataforma (figura 3). Mueva el tornillo hasta que la burbuja quede en la posición central. Determine la lectura del tornillo y tome nota de la misma.

3.- Repita el paso anterior agregando al portapesas masas de 1kg hasta completar 10kg. Elabore una tabla para registrar adecuadamente el resultado de las indicaciones del tornillo.

4.- Construya una gráfica con los resultados registrados en la tabla elaborada en 1.3 y determine el valor del Módulo de Young del material del alambre, a partir de dicha gráfica

5.- Repita, en sentido descendente, es decir a partir de 10kg hasta llegar a 1kg, los pasos 1-4 y compare los resultados obtenidos con los anteriores.

3.- Elabore un informe de la actividad siguiendo el formato acostumbrado. Figura 3.- Detalle del dispositivo de medición de la elongación basado en un nivel de burbuja.

Saliente de la plataforma (S)

Alambre Mordaza (M2) Nivel Pivote Elemento N Plataforma (Solidaria a las Guías)




1996, pp. 292-298. 2.- Raymond A. Serway: Física, Tomo 1, Ed. McGraw-Hill, México, 1997, pp. 347-350. 3.- Jerzy Gintel y Victoria Walker: Física Dos, Ed. Edit, Caracas, 1995, pp. 1-5. 4.- José Goldenberg: Física General y Experimental, Vol 1, Ed. Interamericana, México,

1972, pp. 474-476. 5.- A. P. French: Vibraciones y Ondas, Ed. Reverté, Barcelona, 1974, pp. 52-56. 6.- Marcelo Alonso y Edward J. Finn: Física, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, Buenos

Aires, 1995, pp. 639-641. 7.- Paul M. Fishbane, Stephen Gasiorowicz y Stephen T. Thornton: Física, Vol I, Ed. .



EFECTO JOULE 108

13.- EFECTO JOULE (CALENTAMIENTO OHMICO EN UNA RESISTENCIA) 13.1.- INTRODUCCIÓN En esta práctica se estudia el efecto de calentamiento producido por una corriente eléctrica, en un elemento resistivo metálico. Este efecto es conocido como efecto Joule de calentamiento Ohmico de una resistencia. En la realización de esta actividad se aplicarán diversos conceptos relacionados con los circuitos de corriente continua y de calorimetría, tales como: - carga eléctrica - definición de diferencia de potencial - corriente, resistencia y ley de Ohm - potencia disipada en una resistencia - calor y temperatura - calor específico y capacidad calorífica o térmica. Estos conceptos se aplicarán en una situación experimental en la cual usaremos diversos instrumentos de medición y dispositivos tales como calorímetro, fuentes de alimentación de corriente alterna, conductores metálicos y resistencias. Estos dispositivos, conjuntamente con los instrumentos de medición conforman un sistema experimental concebido para la verificación de los principios y leyes involucrados. Al verificar que el sistema obedece a tales principios y leyes, dentro del grado de aproximación del sistema implantado, podemos utilizarlo como instrumento para la determinación experimental de propiedades o variables del sistema, en función de parámetros que pueden ser medidos directamente. 13.2.- OBJETIVOS Al finalizar esta actividad el estudiante estará en condiciones de: .- Enunciar la Ley de Ohm y expresar la potencia disipada en la parte externa de un

circuito, en términos de la corriente, la tensión y la resistencia externas. .- Reconocer las diversas funciones de un multímetro. .- Utilizar el múltimetro para mediciones de corriente y de tensión alternas. .- Definir valores eficaces asociados a corriente alterna. .- Identificar las partes de un circuito simple. .- Describir el funcionamiento de un calorímetro. .- Definir los siguientes conceptos: calor, capacidad térmica, equivalente mecánico del

calor y equivalente en agua del calorímetro. .- Aplicar ecuaciones de balance energético en las cuales interviene el calor. .- Determinar el equivalente en agua de un calorímetro. 13.3.- ACTIVIDADES .- Completar el sistema experimental. .- Utilizar el cilindro graduado. .- Determinar mediante un multímetro la corriente, la tensión y la resistencia externa en un

circuito. .- Determinar la energía suministrada al calorímetro a partir de parámetros eléctricos. .- Determinar el incremento de temperatura del calorímetro.


EFECTO JOULE 109

.- Calcular el equivalente en agua del sistema experimental.

.- Utilizar el calorímetro para la determinación de la corriente suministrada a partir de los resultados obtenidos para el equivalente en agua y el valor de la resistencia.

13.4 INTRODUCCIÓN TEÓRICA Definiremos a continuación las propiedades, principios y leyes relacionadas con la evolución del sistema objeto de estudio. 13.4.1.- La carga eléctrica (q, Coulombio = C) es una magnitud física fundamental (no derivable a partir de otras magnitudes físicas) definida sobre la base de la forma de interacción entre cuerpos que contengan esta propiedad. Las partículas constituyentes de los átomos, tales como los electrones y los protones poseen carga eléctrica, siendo esto un aspecto fundamental de la naturaleza de las mismas. Las cargas interactúan a través del campo eléctrico, de tal manera que para mover una carga en un campo eléctrico se requiere realizar un trabajo mecánico. La naturaleza de la fuerza de interacción en el caso estático (electrostático), permiten introducir un potencial, el cual denotaremos como V, cuyo significado es el siguiente: la diferencia de potencial V2 - V1 entre dos puntos 1, 2 es igual al trabajo por unidad de carga, requerido para desplazar cierta cantidad de carga q del primer punto al segundo, es decir:

V V Wq2 11 2− = → 13.1

donde W1→2 es el trabajo que realiza un agente externo para mover la carga q del punto 1 al punto 2. La diferencia de potencial se expresa en voltios (V= Joule/Coulomb = J/C). 13.4.2- La corriente eléctrica i (Amperio = A = C/s) se define como la cantidad de carga que atraviesa la sección transversal de un conductor por unidad de tiempo (i = Δq/Δt), mientras que se entiende por conductor a aquellos materiales que permiten el flujo de la carga eléctrica cuando se aplica a sus extremos una diferencia de potencial (por ejemplo los metales). 13.4.3.- Para algunos materiales, aunque dentro de un rango limitado de temperatura, la relación entre la corriente eléctrica y la diferencia de potencial o voltaje aplicado a los mismos es lineal, es decir, i ∝ V. La constante de proporcionalidad es la resistencia eléctrica R (Ohm = Ω = V/A) de tal manera que V = iR, lo cual se conoce como Ley de Ohm. La resistencia eléctrica depende de las propiedades y geometría del material del cual estén hechas. La propiedad física de los materiales que caracteriza su respuesta óhmica es la denominada conductividad σ cuyo recíproco es la resistividad ρ. Para un objeto alargado o prismático de longitud L y sección transversal S, al cual se le aplique una diferencia de potencial V entre sus extremos longitudinales, se tiene que R = ρ L/S. 13.4.4.- La potencia (P, W = J/S) se define como trabajo realizado por unidad de tiempo o como energía transferida, generada o disipada, por unidad de tiempo. El producto de la


EFECTO JOULE 110

corriente eléctrica i por la diferencia de potencial o voltaje V tiene dimensiones de potencia. Efectivamente, si una fuente, tal como una pila, batería o generador electromecánico (dínamo, alternador) suministra una corriente i siendo la diferencia de potencial entre sus terminales V, dicha fuente está suministrando al circuito externo una potencia P = V ⋅ i . Si dicha fuente mantiene el suministro de corriente a un elemento externo conectado a ella por un intervalo de tiempo Δt, la fuente habrá realizado sobre la carga que recorre el circuito (vea la figura 13.1) en ese intervalo un trabajo W = P⋅Δt

FUENTE

RESISTENCIA

V

i

TERMINALES

CONDUCTORESIDEALES

R

Vi

FIGURA 13.1 La figura muestra la disposición de los elementos de un circuito resistivo simple y el correspondiente diagrama. Utilizando la Ley de Ohm en la expresión de la potencia, tenemos que esta se puede expresar de diversas formas.

P Vi P i R P VR

= = = ; ; 22

13.2

La potencia suministrada por la fuente a la parte externa del circuito (la resistencia R) da lugar a disipación de energía en forma de calor en la resistencia en una cantidad igual, ya que la corriente eléctrica no produce en la resistencia ningún otro cambio que no sea la variación de su temperatura. El resultado expresado mediante las relaciones (13.2) se conoce como el Efecto Joule Ohmico y el mismo se enuncia de esta manera: la potencia disipada por una resistencia R en forma de calor es igual al cuadrado de la intensidad de corriente que la atraviesa multiplicado por R. Dado que i = V/R, este resultado se puede expresar de las otras dos formas, recordando que V es la diferencia de potencial en los extremos de la resistencia en cuestión. 13.4.5.- La corriente alterna es el resultado de aplicar a un elemento resistivo una fuerza electromotriz que dependa armónicamente del tiempo, es decir V(t) =Vo Sen (2πft) donde f es la frecuencia en Hz ó ciclos/segundo y Vo es la amplitud. La corriente alterna es ampliamente utilizada para el suministro de energía. Cuando se utilizan las relaciones (13.2) con valores de V y de i dependientes del tiempo de manera senoidal se tiene que la potencia instantánea está dada por:


EFECTO JOULE 111

P(t) = Vo Sen(2πft) io Sen(2πft). En muchos casos esta expresión no tiene utilidad práctica, resultando más importante determinar el valor medio de P(t) durante un ciclo o durante un número entero de ciclos. Se puede demostrar que la potencia media en un ciclo, en este caso, está dada por <P(t)> = Vo io /2. Consistentemente con esta expresión, se definen los valores eficaces Ve y ie mediante Ve = Vo /√2; ie = io /√2. Las relaciones (13.2) siguen siendo válidas si se utilizan los valores eficaces para V e i. Los instrumentos para medidas eléctricas generalmente indican directamente los valores eficaces. Por ejemplo, la placa de especificación de los equipos eléctricos, muestra los parámetros de alimentación y consumo en valores eficaces. 13.4.6.- El calor (Q, caloría = cal) es una magnitud física que refleja la energía de un cuerpo asociada a los grados de libertad de vibración de los átomos y moléculas de los materiales que integran dicho cuerpo (vea referencia 1 capítulos 17 y 18). Esta energía incluye tanto la denomina energía cinético molecular como la energía potencial asociada a los potenciales de interacción entre los átomos o moléculas que lo integran. El calor es una magnitud extensiva a toda la masa de un cuerpo o porción de materia. El concepto de calor esta asociado al de temperatura. Este último refleja la energía a nivel molecular distribuida en los diversos grados de libertad, dividida por el número de grados de libertad y por el número de moléculas. Por ejemplo, La Teoría Cinético Molecular establece que para gases ideales la energía cinética por molécula está dada por la ecuación

E n kTk =2

13.3

donde n es el número de grados de libertad, k es la constante de Boltzman y T es la temperatura absoluta (escala de temperatura para la cual T = 0 implica que Ek = 0, para los gases ideales). La temperatura es una magnitud intensiva, es decir, no depende de la cantidad de materia ya que es específica de cada porción de la misma. Entre dos cuerpos que tengan diferente temperatura, en condiciones de proximidad se establecerá espontáneamente un flujo de calor o transferencia de calor desde el que tenga mayor temperatura hacia el otro. El flujo de calor discurre hasta que se establece el equilibrio térmico (igualación de temperaturas). Las variaciones de calor ΔQ que experimenta una porción de masa m de un material homogéneo se puede expresar de la siguiente manera

Δ ΔQ mc T= ⋅ 13.4 donde c es el calor específico del material. El calor específico es una propiedad intensiva del material que lo caracteriza térmicamente. En la ecuación (13.4) ΔT es la variación de la temperatura absoluta la cual expresaremos en grados Kelvin (K). Es importante destacar que la relación (13.4) solo es válida si la transferencia de calor se realiza bajo las mismas condiciones y en intervalos limitados de temperatura, para los cuales los materiales no experimenten cambió de fase (cambio de estado de agregación o de estructura atómica) o experimente reacciones químicas.


EFECTO JOULE 112

13.5.- SISTEMA EXPERIMENTAL A continuación se describen los componentes fundamentales del equipo experimental a utilizar y se desarrollan las ecuaciones requeridas en el desarrollo de la práctica. 13.5.1.- El calorímetro es un montaje que consiste en un recipiente construido de tal manera que sea mínima la transferencia de calor hacia el exterior de dicho recipiente. Esto se consigue mediante un recipiente de doble pared, procurando que entre las dos paredes se tenga un medio aislante del calor. En algunos casos, si los experimentos se realizan en intervalos cortos de tiempo, es suficiente con vasos de doble pared con materiales aislantes como la lana de vidrio, anime o simplemente aire. Cuando se requiere mayor aislamiento se utiliza el vaso Dewar, (James Dewar, Físico y Químico ingles, 1842-1923) el cual consiste en un recipiente de vidrio de doble pared (figura 13.2) en donde se hace vacío entre las dos paredes, las cuales son plateadas. La razón de hacer vacío entre las paredes es evitar la transferencia de calor por conducción así como mecanismos convectivos (cuando el calor es transportado con el movimiento de un fluido) producidos por las diferencias de temperatura del gas que se encuentre entre las paredes. El plateado de las paredes permite mínima emisividad de radiación infrarroja así como máxima reflexión de esta misma radiación. La irradiación constituye otro de los mecanismos de transporte del calor. En el interior del calorímetro, los materiales deben estar en estrecho contacto, para que el equilibrio térmico se establezca rápidamente. Para esto, es importante la utilización de agua o de otro líquido que facilite el contacto térmico.

VACIO

TAPA

RECIPIENTE DEVIDRIO DE DOBLE

INTERNAMENTE

TERMÓMETRO

AGUA

PARAD PLATEADAS

FIGURA 13.2 Calorímetro de vaso Dewar. La naturaleza de los diversos materiales de los cuales está constituido el calorímetro, da lugar a que éste tenga una capacidad calorífica C la cual es corriente expresar en términos de la cantidad de agua que tendría una capacidad calorífica idéntica. A menudo, esta cantidad de agua equivalente se expresa en unidades de masa de agua equivalente (me). De esta manera tenemos que la capacidad equivalente en agua del calorímetro se expresa como


EFECTO JOULE 113

eOH mcC2

= 13.5 donde cH2O es el calor específico del agua. tenemos que

Jcal

gkcalc OH

1868,41

12

=

=

13.6

La energía correspondiente a una caloría es equivalente a la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1g de agua (liquida) en un grado. Si de alguna manera se suministra calor al calorímetro, tendremos que esto se reflejara en la temperatura del mismo, de acuerdo a la siguiente expresión

( ) TcmmQ OHe Δ⋅+=Δ2 13.7

donde m es la masa de agua del calorímetro y me es el equivalente en agua del calorímetro, incluyendo la masa equivalente en agua de cualquier otro objeto que se introduzca, si es el caso. Por ejemplo, si la resistencia de la figura (13.1) se introduce dentro del calorímetro, la energía E= PΔt = i2R Δt , donde Δt en el intervalo de tiempo que permanece conectado (cerrado) el circuito, la temperatura del calorímetro se modificará de acuerdo a la siguiente relación:

( ) TcmmtivtRi OHe Δ+=Δ⋅⋅=Δ2

2 13.8

13.6.- PARTE EXPERIMENTAL ¡CUIDADO! LA MANIPULACIÓN INADECUADA DE LOS EQUIPOS ELÉCTRICOS PUEDE CONLLEVAR GRAVES DAÑOS PERSONALES Y MATERIALES. SOLICITE SUPERVISIÓN DEL MONTAJE ANTES DE ENCENDER LOS EQUIPOS. PROCEDA DE ACUERDO A LOS PASOS INDICADOS. LA RESISTENCIA DEBE ESTAR SUMERGIDA EN AGUA ANTES DE CONECTAR LA FUENTE A continuación se utilizará la ecuación (13.8) para determinar la masa equivalente en agua del calorímetro (me) incluyendo una resistencia en su interior. De esta manera podremos calibrar un dispositivo que puede ser utilizado como un amperímetro térmico, o bien como un dispositivo para la verificación del equivalente mecánico del calor. Recuerde tomar


EFECTO JOULE 114

nota de la incertidumbre en las mediciones que realice para la estimación de la incertidumbre de los resultados experimentales. 13.6.1.- Introduzca la resistencia suministrada en el fondo del calorímetro de tal manera que los cables salgan por la perforación mayor de la tapa. 13.6.2.- Mida con el cilindro graduado la cantidad de 200 cm3 de agua y agregue la misma al vaso interior del calorímetro. Para conseguir ina mayor exactitud en la determinación de la masa de agua, puede utilizar una balanza. Para tal efecto determine la masa del recipiente de aluminio vacío, ajuste la balanza para una masa igual a la del recipiente vacío más 200g y luego agregue agua al recipiente hasta que la balanza quede en equilibrio. 13.6.3.- Coloque la tapa del calorímetro recordando introducir el agitador en la perforación correspondiente. Coloque el termómetro en la perforación del tapón central de la tapa del calorímetro. 13.6.4.- Conecte los terminales de los cables en la salida de tensión alterna de la fuente suministrada. Verifique que la tensión sea de 10V en circuito cerrado (con la resistencia conectada y sumergida en agua). Determine la corriente suministrada a la resistencia mediante el circuito (a) de la figura 13.3. Recuerde ajustar adecuadamente las funciones y escalas de los multímetros. Solicite al personal del laboratorio que revice el montaje antes de encender los equipos. a) b) Figura 13.3 El circuito de la izquierda (a) es el más conveniente para el caso que nos ocupa, debido a que la resistencia R es comparable a la resistencia interna del amperímetro. Por otra parte, R es mucho menor que la resistencia interna del voltímetro. El montage de la derecha (b) sería el apropiado si la resistencia R fuera grande (mucho mayor a la resistencia interna del amperímetro). 13.6.5.- Una vez conectado el sistema y que ha verificado el valor de la tensión de salida de la fuente, apague esta y espere que la temperatura se estabilice (unos 5 minutos). Determine la temperatura inicial To. 13.6.6.- Prenda la fuente y simultáneamente accione el cronómetro. Deje la corriente circulando durante 5 minutos (300s). Al cabo de este tiempo, apague la fuente y determine la temperatura final. Recuerde mover el agitador ligeramente cada 30s durante el calentamiento y después de apagar la fuente, observe las variaciones de temperatura

A

V

R

A

V

R

~ ~


EFECTO JOULE 115

durante unos dos minutos, a intervalos de 30s. tome como temperatura Tf final el valor máximo de temperatura determinado después de apagar la fuente. 13.6.7.- Utilizando la ecuación (13.8) con el valor eficaz de la corriente, (el valor que indica directamente el instrumento de medida) determine la masa equivalente en agua del calorímetro (incluyendo la resistencia, cables y aislantes). Determine la incertidumbre en la determinación de esta masa equivalente. 13.6.8.- Modifique la tensión de la fuente de tal manera que la salida de la misma sea de aproximadamente 5V. Repita los pasos del (13.6.1) al (13.6.7) con una tensión de 5V. 13.7.- INFORME Realice el informe de la actividad de acuerdo al formato indicado en el Capítulo 3. 13.8.- REFERENCIAS 1.- P. Fishbane, S. Gasiorowicz, S. Thornton: Física para Ciencias e Ingeniería, Ed.

Prentice Hall Hispanoamericana, México 1994, pp. 636-637 2.- Jerry D. Wilson: Física, 2da Edición, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana S.A., México

1996, pp. 364-368. 3.- Raymond A. Serway: Física, Tomo 1, Ed. McGraw-Hill, México, 1997, pp. 534-535. 4.- Jerzy Gintel y Victoria Walker: Física Dos, Ed. Edit, Caracas, 1995, pp. 56-85 5.- José Goldenberg: Física General y Experimental, Vol 1, Ed. Interamericana, México,

1972, pp. 497-499. 6.- Marcelo Alonso y Edward J. Finn: Física, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana,

Buenos Aires, 1995, pp.433-346.


PÉNDULO SIMPLE 116

14.- PÉNDULO SIMPLE 14.1.- INTRODUCCIÓN En esta práctica estudiaremos el comportamiento del sistema formado por un cuerpo (grave o masa) sujeto mediante una cuerda flexible. Si el cuerpo tiene una extensión pequeña con respecto a la longitud de la cuerda y además la masa de la cuerda es mucho menor que la masa del cuerpo, se puede entonces modelar el sistema mediante la suposición de que tenemos una masa puntual sujeta a una cuerda flexible sin masa. Tal sistema presenta oscilaciones cuando el extremo de la cuerda se sujeta a un soporte fijo1. Llamaremos a este sistema idealizado péndulo simple. 14.2.- OBJETIVOS .- Definir el concepto de péndulo simple y distinguirlo de un péndulo compuesto o físico. .- Identificar los parámetros de un péndulo. .- Analizar los aspectos dinámicos que intervienen en el funcionamiento del péndulo. .- Explicar en que consiste la aproximación de pequeñas oscilaciones. .- Determinar el período de un péndulo utilizando el isocronismo de las oscilaciones. .- Determinar la dependencia del período con la amplitud para pequeñas oscilaciones. .- Determinar experimentalmente la relación entre el período y la longitud del péndulo. .- Establecer empíricamente la relación entre el período y la masa del péndulo. .- Comparar el resultado de modelar un sistema real como péndulo simple y como péndulo

físico. .- Reportar la actividad realizada evaluando los resultados, su validez y significado. .- Discutir fuentes de incertidumbre en las mediciones. 14.3.- ACTIVIDADES .- Completar el montaje experimental. .- Determinar el período de un péndulo simple para pequeñas oscilaciones y comparar el

resultado con las predicciones teóricas. .- Representar gráficamente los datos experimentales. .- Determinar la ecuación empírica que establece la dependencia entre el período y la

longitud del péndulo. .- Verificar la dependencia del período con la masa del grave. .- Verificar el comportamiento anarmónico para grandes amplitudes. .- Comprobar la corrección al modelo de péndulo simple, utilizando el concepto de

péndulo físico, para el caso de una cuerda corta con respecto al radio del grave. .- Escribir un informe de la actividad realizada incluyendo discusión de la validez y

significado de los resultados obtenidos, y comentando las fuentes de incertidumbre. 14.4.- FUNDAMENTO TEÓRICO 1 Suponemos que fijo con respecto a la tierra y además hay que considerar que el campo gravitatorio terrestre forma parte del sistema.


PÉNDULO SIMPLE 117

14.4.1.- EL PÉNDULO SIMPLE En la figura 1 se muestra un sistema formado por una esfera sujeta mediante un hilo a un soporte confinado de alguna manera a la pared del laboratorio o a un mesón de trabajo. Figura 1.- Una esfera de masa m colgando mediante

una cuerda de longitud L, en su posición de equilibrio. Este sistema presenta oscilaciones armónicas para amplitudes pequeñas. Se puede considerar que se trata de un péndulo simple si el radio de la esfera es pequeño con respecto a la longitud de la cuerda L.

A continuación analizaremos las fuerzas que actúan sobre la masa o grave del péndulo para establecer, mediante las leyes de Newton, la ecuación que describe el comportamiento del sistema descrito. En la figura 2 observamos el diagrama de cuerpo libre correspondiente. Figura 2.- La fuerza de restitución es

igual a mg senθ la cual siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio (θ = 0). S es el arco subtendido por el ángulo θ.

La fuerza tangencial Ft = mg senθ da lugar a una aceleración d²S/dt². Por lo tanto tenemos que

2

2

sendt

SdmmgFt =−= θ (1)

en donde el signo menos indica que la fuerza siempre se dirige hacia la posición de equilibrio. Teniendo en cuenta que S = Lθ y recordando que para ángulos pequeños se

mg mg senθ

S

Tθ

mg cosθ

m

L

gr

m

L

gr


PÉNDULO SIMPLE 118

puede aproximar el seno a su argumento2, tenemos de la ecuación (1) la siguiente expresión

θθLg

dtd

−=2

2

(2)

Dado que la ecuación 2 tiene la misma forma de la ecuación que se obtuvo en el análisis del sistema masa resorte, se deduce que el ángulo es una función senoidal del tiempo caracterizada por una frecuencia angular

Lg

=ω (3)

El período del movimiento estará dado por T=2π/ω el cual tiene como significado el tiempo que demora el grave en volver a pasar por un mismo punto en el mismo sentido de movimiento. Como solución particular de la ecuación 2 tenemos que el ángulo θ es una función del tiempo de la forma

)sen()( 0 tt ωθθ = (4) La representación gráfica de esta función se muestra en la figura 3. Figura 3.- Representación gráfica función sen(2π f t) para una frecuencia f=1Hz y para el intervalo

0 < t < 5s. 14.4.2.- PÉNDULO FÍSICO El péndulo físico o compuesto, se construye mediante un cuerpo rígido solidario a un eje que no pase por su centro de masa. Colocando el eje horizontalmente y apoyado de manera 2 Vea la figura 5.

Tiempo (s)


PÉNDULO SIMPLE 119

que éste pueda girar libremente, obtendremos un sistema que puede oscilar alrededor de su posición de equilibrio estable (aquella en la cual es centro de masa del cuerpo se encuentra en el punto mas bajo). Estas oscilaciones se deben al momento restitutivo del peso del cuerpo, con respecto al eje sobre el cual se apoya el mismo. Figura 4.- El objeto rígido pende de un pivote fijo y se encuentre fuera de su posición de equilibrio (línea

punteada). El péndulo experimenta un torque restaurador mgd senθ. Como se indica en la figura 4, un cuerpo de forma arbitraria es solidario a un pivote horizontal fijo, pero que puede girar libremente. La fuerza mg da lugar a un momento con respecto a O de la forma mg senθ . Por otra parte, de acuerdo a las ecuaciones de la dinámica del cuerpo rígido, tenemos que el torque es igual al momento de inercia por la aceleración angular (τ = Iα ), por lo tanto tenemos que

2

2

sendtdImgd θθ =− (5)

en donde d es la distancia entre el pivote y el centro de gravedad del cuerpo. El signo menos, al igual que en el caso del péndulo simple, es necesario para tomar en cuenta el sentido del torque con respecto a la dirección en la cual varía el ángulo. Reemplazando el seno del ángulo por su argumento3, tenemos

02

2

=+ θθI

mgddtd

(6)

3 Esto se conoce como aproximación de pequeñas oscilaciones. Reemplazar el seno por su argumento produce un error del orden del 1% para un ángulo de 15º. Vea la Figura 5.

Pivote

mg

Centro de Gravedad

θ d

dsenθ


PÉNDULO SIMPLE 120

ecuación de forma familiar en donde se puede identificar la frecuencia angular al cuadrado, como el coeficiente de θ. En efecto

Imgd

=ω (7)

Como ejemplo podemos considerar una barra de longitud L y masa m con un pivote que pasa por uno de sus extremos. Para pequeñas oscilaciones tendremos que el período está dado por la expresión

mgdIT π

ωπ 22== (8)

dado que el momento de inercia con respecto a un eje transverso que pase por el extremo de la barra esta dado por I = mL2/3 y la distancia d = L/2, tenemos

gL

mgdmLT

3223/22 2

ππωπ

=== (9)

En el análisis del péndulo simple suponíamos que el cuerpo tenia dimensiones pequeñas con respecto a la longitud de la cuerda. Cuando esta aproximación no parezca razonable, es conveniente utilizar la ecuación correspondiente al péndulo físico, es decir, el período de las oscilaciones se debe calcular mediante la ecuación 8. Por ejemplo, en el caso de una esfera de radio R, masa m, sujeta mediante una cuerda de longitud L, es importante observar que la esfera no solamente se traslada al oscilar, sino que además gira alrededor de su eje. Utilizando la ecuación 8 para el caso de una esfera tenemos que utilizar el momento de inercia de la esfera con respecto a un eje que pase por su centro de masa y el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia con respecto al eje de giro. El momento de inercia de una esfera maciza con respecto a un eje que pasa por su centro, está dado por

2

52 mRICM =

(10)

de acuerdo con el teorema de los ejes paralelos, tenemos que el momento de inercia I con respecto al eje que pasa por el pivote esta dado por


PÉNDULO SIMPLE 121

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= 222

52 LRmmLII CM (11)

ya que L es la distancia entre el centro de la esfera y el pivote. Se observa de esta ecuación que para radios pequeños con respecto a L se puede aproximar el momento de inercia a I = mL2, con lo cual la ecuación 8 nos lleva a un resultado consistente con la ecuación 3. El período corregido para la esfera es entonces

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=== 1

52222

2

2

LR

gL

mgdIT ππ

ωπ

(12)

En la ecuación 12 se observa un factor de corrección para el período que depende de la relación entre el radio de la esfera y la distancia del centro de la esfera al pivote. Si L es mucho mayor que R este factor es aproximadamente igual a 1, con lo cual se obtiene la expresión para el período del péndulo simple.

Figura 5.- Representación gráfica de las funciones f(x)=Sen(πx/180) (línea punteada), f(x)= πx/180, y f(x)= πx/180-(πx/180)3/3! Observe que la función afín es una buena aproximación incluso para ángulos del orden de 30º. Como se muestra en la figura 5, la aproximación utilizada para la resolución de las ecuaciones 1 y 6, no es adecuada para ángulos mayores de 30º e incluso menores, dependiendo de la precisión requerida. En el caso del péndulo simple, la ecuación diferencial sin aproximar el ángulo a su argumento no tiene una solución en forma cerrada. Formalmente tenemos que el período del péndulo simple está dado por


PÉNDULO SIMPLE 122

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

2sen

649

2sen

411 0402 θθ

LgT (13)

En el caso del péndulo físico el factor de corrección es el mismo. En la figura 6 se muestra el comportamiento del factor de corrección en función del ángulo de amplitud.

Figura 6.- Factor de corrección para el período en función del ángulo de amplitud de las oscilaciones. 14.5.- PARTE EXPERIMENTAL 14.5.1.- Materiales y equipos .- Soporte para péndulo con indicador de amplitud angular .- Esferas macizas de diversos materiales .- Cuerdas .- Cronómetro .- Papel milimetrado, regla o juego de escuadras. 14.5.2.- Dependencia del período con la amplitud para el péndulo simple Procedimiento a.- Se cuelga una de las esferas suministradas con una longitud de cuerda tal que se cumpla

la condición L>>R. La longitud establecida permanecerá invariable durante la realización de esta sección de la práctica.

b.- Determine el período de oscilación para las amplitudes angulares de 4º, 6º, 12º 15º y 20º. Para determinar el período mida el tiempo correspondiente a 10 oscilaciones completas o ciclos, luego divida entre 10 el tiempo medido. Observe que la amplitud de las oscilaciones se mantiene aproximadamente constante para intervalos incluso superiores a 10 oscilaciones. Construya una tabla adecuada para registrar el período correspondiente a las amplitudes angulares seleccionadas. Recuerde estimar la incertidumbre correspondiente a los resultados experimentales.

90 Angulo (grados)

Factor de Corrección


PÉNDULO SIMPLE 123

c.- Grafique en papel milimetrado los resultados registrados en la sección anterior. 14.5.3.- Dependencia del período con la densidad del grave Procedimiento a.- Determine la masa y dimensiones de las esferas suministradas b.- Para la misma longitud del péndulo simple utilizada en la sección anterior, determine el

período de oscilación para las diversas esferas. Note que al determinar el período midiendo el tiempo de por lo menos 10 oscilaciones completas, permite obtener este parámetro con mayor precisión. Recuerde realizar una tabla adecuada para registrar los resultados.

c.- Grafique en papel milimetrado los resultados registrados en la tabla. 14.5.4.- Dependencia del período con la distancia entre el punto de suspención y el

centro de la esfera Procedimiento a.- Utilizando la esfera más pesada, determine el período de oscilación para una amplitud

de 6º, para por lo menos 10 valores de L, donde L es la longitud de la cuerda más el radio de la esfera. Los valores de L deberán estar aproximadamente equiespaciados comenzando por 5cm hasta alcanzar la máxima extensión posible. Registre los resultados en una tabla.

b.- Grafique en papel milimetrado el cuadrado del período (T2) en función de la distancia L.

c.- A partir de la gráfica anterior, determine el valor de la aceleración de gravedad g y estime la incertidumbre correspondiente.

14.5.5.- Péndulo Físico a.- Utilizando la esfera más pesada, determine el período para una longitud del orden de

5cm y pequeña amplitud de oscilación. b.- Compare el resultado con las expresiones correspondientes a: i) péndulo simple ii) péndulo físico. 14.6.- INFORME Complete el informe de la actividad realizada utilizando el formato acostumbrado. 14.7.- REFERENCIAS 1.- Marcelo Alonso y Edward J. Finn: Física (Mecánica), Vol 1, Ed. Fonde Educativo

Interamericano, México 1971, pp. 366-371.


APÉNDICE 124

PLAN DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA: LABORATORIO DE FÍSICA GENERAL

Fecha: marzo 2002 Lapso lectivo: 03/01 Código Asignatura: 0334 1.- Introducción: El presente plan se ha elaborado de conformidad con el Reglamento de Evaluación de la Facultad de Ingeniería y el mismo está orientado a garantizar que la evaluación de las diferentes secciones de la asignatura sea uniforme. La asignatura Laboratorio de Física General tiene un carácter práctico y experimental, por lo tanto la evaluación será continua a lo largo del semestre, quedando excluidos tanto el examen final como la figura de reparación. 2.- Componentes de la evaluación: 2.1.- La evaluación se realizará tomando en cuenta los siguientes aspectos y porcentajes: .- Informes de Laboratorio 70% .- Quices e interrogatorios 30% 2.2.- Los estudiantes realizarán un informe por cada una de las prácticas, de conformidad con las indicaciones de la Guía de Laboratorio. El informe se realiza durante el lapso de tiempo indicado para cada práctica (tres horas) y dentro del laboratorio. 2.3.- Los estudiantes serán subdivididos en equipos de no más de tres (3) integrantes, quienes realizarán las actividades señaladas en la Guía de manera conjunta. El facilitador deberá cuidar que los integrantes de cada equipo se turnen en cada una de las funciones relativas al desarrollo de la actividad. El informe de la práctica podría ser individual o por equipos. En este último caso, cada uno de los integrantes anexará las tablas de datos, gráficos, y cálculos realizados al informe, y las conclusiones serán el resultado de la discusión de todos los integrantes del equipo. 2.4.- La calificación de los informes incluirá una parte apreciativa sobre el desempeño de los estudiantes en el laboratorio. 2.5.- El resultado de la evaluación de los informes será suministrado a los estudiante en sesión correspondiente a la práctica siguiente, de tal manera que éstos puedan efectuar los correctivos necesarios en los informes subsiguientes.


APÉNDICE 125

3.- Asistencia: La asistencia es obligatoria de conformidad con la normativa vigente, la cual establece que para materias de carácter práctico o experimental el máximo de inasistencias permitido es del 15% (quince por ciento). La inasistencia a dos sesiones de laboratorio supera el 15% de las practicas, por lo tanto, el estudiante con más de una inasistencia perdería la materia. 4.- Personal Docente: 4.1.- El personal docente del Laboratorio está integrado por el Profesor titular de cada sección de la asignatura y los preparadores asignados a la misma. 4.2.- Los preparadores podrán participar en la evaluación de quices e informes de laboratorio, bajo la supervisión del profesor y siguiendo las instrucciones y patrones de corrección fijados por éste, de conformidad con las recomendaciones de la cátedra y tomando en cuenta la carga docente asignada los mismos. 5.- Cronograma: 5.1 Durante el semestre se realizarán 10 prácticas distribuidas de la siguiente forma: SEMANA ACTIVIDAD

1 y 2 Introducción teórica 3 Mediciones Mecánicas 4 Quiz sobre actividades realizada y prelaboratorio de las 3 prácticas siguientes

5, 6 y 7 Prácticas: Movimiento en 1 Dimensión, Movimiento en 2 Dimensiones y Momento de Inercia.

8 Quiz sobre actividades realizada y prelaboratorio de las 3 prácticas siguientes 9, 10 y 11 Prácticas: Oscilaciones, Choques y Dilatación Térmica.

12 Quiz sobre actividades realizadas y prelaboratorio de las 3 práctica siguientes 13, 14 y 15 Prácticas: Módulo de Young, Péndulo simple y Efecto Joule

16 Entrega de notas


APÉNDICE 126

ESCRITURA DE NÚMEROS Y CANTIDADES NUMERACIÓN Y SÍMBOLOS

USO / DEFINICIÓN EJEMPLO

Decimal 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 123= 3×100+2×101+1×1002

Ordinal Indican orden, se coloca un punto a la derecha del mismo.

3. (tercero) 21. (vigésimo primero)

Enteros Se agrupan de tres en tres con una separación de un espacio.

5 234 567

Fracciones Se agrupan de tres en tres con una separación de un espacio. Se usa la coma como separador.

1 123,567 89

Quebrados Enteros separados por la barra inclinada o por dos puntos.

5/3 = 5:3

Mixtos la parte entera debe separarse de la fraccionaria para evitar confusión

5 3/5 = 5+3/5

Lista de números Los enteros se separar con comas si no se presta a confusión, las fraccionarios se separan con punto y coma.

1,2,3,4,5 1,2; 2,3; 3,4

Unidades de medida

Expresan cantidades de magnitudes. Cuando se use el nombre completo este puede estar en plural (si la unidad es derivada). Cuando se usan símbolos este va en singular. Las derivadas de nombres propios llevan su primera letra en mayúsculas. No llevan punto al final, tampoco van en plural.

20 m = 20 metros 1s = 1 segundo 25 A = 25 ampere m (metro), g (gramo). s (segundo), T (Tesla), Hz (Hertz).

Lista de cantidades

Se coloca la unidad respectiva al final de la lista.

4, 6, 8 m 25, 26 y 27 ºC

Incertidumbres Pueden ir en las mismas unidades o submultiplos de ésta.

100mm ± 1mm 20kg ± 150mg 10,0 ± 0,1 ó 10 ± 0,1

Símbolos de magnitudes

Denotan magnitudes físicas, se escriben en letra itálica (inclinada).

F (fuerza), m (masa), T (temperatura)

Prefijos (múltiplos y submúltiplos)

Se escriben en mayúsculas cuando denotan múltiplos mayores a 106. No se coloca espacio entre el prefijo y la unidad. Los exponentes se aplican a toda la unidad, incluyendo el prefijo.

cm3 = 10-6 m3 μF = 10-6 F GHz=1012 Hz

Unidades de Temperatura

El uso del cero como supra prefijo sólo se utiliza para grados Celsius (centígrados).

27 ºC 273,15 K

Productos de Se separan mediante un punto subido (en el N⋅m


APÉNDICE 127

unidades medio de la línea) o mediante un espacio. El valor numérico y las unidades deben separarse mediante un espacio.

N m m s-1 = m/s W/(m2 K4) = W⋅m-2⋅K-4

14 m Valor numérico y uso del prefijo

El prefijo se selecciona de tal manera que el valor numérico quede entre 0,1 y 1000

125 kN 5,5 mA

Uso del litro Aunque no pertenece al SI (Sistema Internacional de Unidades) su uso es generalizado. Se denotará mediante L.

22,4 L

PREFIJOS FACTOR PREFIJO SÍMBOLO FACTOR PREFIJO SÍMBOLO

1024 yota Y 10-1 deci d 1021 zeta Z 10-2 centi c 1018 exa E 10-3 mili m 1015 peta P 10-6 micro μ 1012 tera T 10-9 nano n 109 giga G 10-12 pico p 106 mega M 10-15 femto f 103 kilo k 10-18 atto a 102 hecto h 10-21 zepto z 101 deca da 10-24 yocto y

UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL En la XI Conferencia General de Pesas y Medidas (1960) se adopto la denominación de SI o Sistema Internacional de Unidades, al sistema coherente de unidades de tres tipos:

• Unidades Básicas • Unidades Suplementarias • Unidades Derivadas

UNIDADES FUNDAMENTALES

MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s intensidad de corriente eléctrica ampere A temperatura termodinámica kelvin K cantidad de sustancia mol mol intensidad luminosa candela cd


APÉNDICE 128

UNIDADES SUPLEMENTARIAS MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO

Ángulo plano radián rad Ángulo sólido estereorradián sr

UNIDADES DERIVADAS MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO EQUIVALENCIA

frecuencia hertz Hz s-1 fuerza newton N kg m s-2 presión Tensión pascal Pa N m-2 energía, Trabajo, Calor joule J N m potencia watt W J / s carga eléctrica coulomb C A s potencial eléctrico, diferencia de potencial, tensión, fuerza electromotriz

volt V J / C

capacidad eléctrica farad F C / V resistencia eléctrica ohm Ω V / A conductancia eléctrica siemens S Ω-1 flujo de inducción magnética, flujo magnético

weber Wb V s

densidad de flujo magnético, inducción magnética

tesla T Wb / m2

inductancia henry H Wb / A temperatura Celsius grado Celsius ºC K (solo intervalos) flujo luminoso lumen lm cd sr iluminancia lux lx lm / m2 actividad (radiación ionizante)

becqerel Bq s-1

dosis absorbida, energía específica impartida, Kerma, índice de la dosis absorbida

gray Gy J / kg

dosis equivalente sievert Sv J / kg


APÉNDICE 129

DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BÁSICAS Y SUPLEMENTARIAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES UNIDAD DEFINICIÓN ADOPCIÓN metro longitud del trayecto recorrido por la luz en el

vacío, durante 1/299 792 458 s XXVII Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), (octubre 1983)

kilogramo masa del prototipo internacional del kilogramo 1ra Conferencia General (1889) y 3ra CGPM (1901

segundo duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133

13ra CGPM (1967) Resolución 1.

ampere intensidad de corriente eléctrica constante que mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados en el vacío a una distancia de un metro uno del otro, produce entre éstos conductores una fuerza igual a 2×10-7 newton por metro de longitud.

CIPM (1946) y 9na CIPM (1948)

kelvin unidad e temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

13ra CGPM (1976), resolución 4.

mol cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas unidades elementales como átomos hay en 0,012 kg de carbono 12. Las entidades fundamentales pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de tales partículas.

14va CGPM (1971), resolución 3.

candela intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012 Hz y cuya intensidad radiante en esta dirección es 1/683 watt por estereorradián.

radián ángulo plano entre dos radios de un círculo que corta en la circunferencia un arco de longitud igual a la del círculo.

estereo-rradián

ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, corta (subtiende) un área de la superficie de la esfera igual a la de un cuadrado de lados de longitud igual al radio de la esfera.


APÉNDICE 130

REFERENCIAS (Apéndice): .- Norma Venezolana COVENIN 288-88 (ISO-1000-81) .- Robert A. Nelson: Guide for Metric Practice, Physics Today, agosto 1993, pp. BG 15-16

lab de fisica general

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