EXPERIMENTO N2: CUERDAS VIBRANTES1. OBJETIVOS

GENERAL: Estudiar experimentalmente la relacin entre la frecuencia, tensin, densidad lineal y longitud de onda, de una onda estacionaria en una cuerda tensa. ESPECIFICO: Comprobar si la velocidad tiene una relacion con la tensin de la cuerda, a medida que la tensin de la cuerda crece. Comprobar si la longitud de onda tiene una relacin con los nmeros de nodos que se observa en la onda estacionaria. Analizar si las frecuencias de los diferentes procesos de experimentacin son guales.

2. FUNDAMENTO TERICOOndas Mecnicas ArmnicasCuando la fuente que produce la perturbacin describe unmovimiento armnico simplela onda generada se denominaonda armnica. Muchos fenmenos fsicos pueden ser descritos por estas ondas, adems cualquier movimiento ondulatorio puede expresarse como superposicin de ondas armnicas.Descripcin de una onda armnicaSupongamos una cuerda infinita en la que se fuerza a uno de sus extremos a realizar un movimiento armnico simple de amplitud A y de frecuenciafo . Su desplazamiento vertical (y) ser (a falta de la constante de fase):

Cada uno de los pulsos de onda generados se propaga por la cuerda de forma continua produciendo una onda armnica de la misma amplitud y de la misma frecuencia. En un instante de tiempo determinado (t0) la cuerda tendra esta forma:

La distancia entre dos puntos consecutivos con el mismo desplazamiento vertical se denominalongitud de onda() y en el S.I. se mide en metros. Se define tambin otra variable relacionada llamadanmero de ondas(k):

Si se representa el desplazamiento vertical en funcin del tiempo para un punto de coordenada fija (x0) se obtiene:

El tiempo que tarda un punto en describir una oscilacin completa es elperiodo (T) cuyas unidades en el S. I. son los segundos. La inversa del periodo es la frecuencia (fo) que representa el nmero de oscilaciones por segundo y se mide en Herzios.Lavelocidad de fasese calcula entonces como el cociente entre la longitud de onda y el periodo:

Lafuncin de ondaque describe el desplazamiento verticalypara un punto de coordenadaxen funcin del tiempo se expresa:

O de una forma ms sencilla:

En esta ecuacin se ha incorporado ya la constante de fase , que queda determinada por las condiciones iniciales. Se puede usar tambin la funcin seno, con la constante de fase correspondiente.

Considerando un trozo de cuerda:

Consideremos un trozo de cuerda de longitud infinitesimal, comprendido entre las posicionesxyx+ x. Este trozo tendr una masa muy pequea Esta masa, aunque dibujada de forma exagerada como un segmento largo de cuerda, puede tratarse como una partcula que se mueve exclusivamente en la direccin vertical, segn hemos supuesto, de forma que la velocidad y aceleracin de esta masa es El uso de la derivada parcial, en vez de la total, indicada normalmente con uno () o dos puntos (sobre la variable, se debe a queydepende realmente de dos variables,xyt. La velocidad y la aceleracin corresponden a un movimiento vertical (variacin ent) sin que se modifique la posicin horizontal (xconstante). Esta es justamente la definicin de derivada parcial.

Este trozo infinitesimal de cuerda se mueve sometida a la accin de las fuerzas ejercidas por los trozos de cuerda adyacentes, a travs de la tensincon que tiran de ella. De esta forma, la segunda ley de Newton para esta masa puntual se escribir

El signo menos en la segunda tensin se debe a que consideramos la tensin siempre como la que el elemento situado enx+ xtira del elemento anterior, situado enx. Si consideramos la fuerza con la que un elemento tira del siguiente, en vez del anterior, habr que cambiarle el signo.Veamos cada componente de esta ecuacin vectorial por separado. Componente longitudinalSi consideramos la direccin longitudinal, paralela a la cuerda, tenemos que en esta direccin la aceleracin es nula (pues la onda es transversal), as que la segunda ley de Newton se reduce a

SiendoFTxlas componentes de la tensin (que, como toda fuerza, es un vector) en la direccin longitudinal. Podemos relacionar estas componentes con el mdulo de la tensin, , y el nguloque forma con la direccin longitudinal

Con lo que nos queda

Ahora bien, por ser pequea la amplitud de las oscilaciones, este ngulo \theta es siempre muy pequeo, de forma que podemos hacer la aproximacin

De forma que la ecuacin de movimiento en la direccin longitudinal se reduce a

O, lo que es lo mismo, la tensin es la misma, en mdulo, para todos los puntos de la cuerda. Por ello se puede hablar de la tensin de la cuerda sin especificar a qu punto nos referimos. Hay que recordar, no obstante, que este resultado es aproximado, consecuencia de haber supuesto pequeas amplitudes.

Componente transversalEn la direccin transversal s debemos considerar la aceleracin del elemento de masa, de forma que nos queda

Relacionando de nuevo las componentes con el mdulo (del cual ya sabemos que es constante) y el ngulo nos queda

Aplicando de nuevo que el ngulo es pequeo, podemos hacer una doble aproximacin

(Recordemos que el coseno vale prcticamente la unidad). Esto nos convierte la ecuacin para la componente transversal en

Ahora bien, la tangente del nguloes justamente la pendiente de la recta tangente a la curva, esto es, la derivada con respecto ax

As que la ecuacin anterior la podemos escribir como (pasandoxal segundo miembro)

Pero, para una funcin cualquiera en un instante dado, sixes infinitesimal

As que nos queda finalmente

Que es la ecuacin de onda que buscbamos. Velocidad de las ondasLa ecuacin de onda anterior la podemos escribir en la forma

Que, comparndola con la forma general

Nos dice que la velocidad con la que se propagan las ondas por una cuerda tensa es

Segn esto, la velocidad es mayor cuanto ms tensa est la cuerda y menor cuanto mayor sea su masa. Para el caso de que la cuerda sea un cable circular de dimetroDde un material de densidad volumtrica , esta velocidad vale

Segn esto, para dos hilos del mismo material sometidos a la misma tensin, si uno es el doble de grueso que el otro, la velocidad de las ondas en l ser la mitad.

ONDAS ESTACIONARIAS ARMONICASLasondas estacionariasson aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, permanecen inmviles. Una onda estacionaria se forma por lainterferencia de dosondasde la misma naturaleza con igual amplitud,longitud de onda(ofrecuencia) que avanzan en sentido opuesto a travs de un medio. Se producen cuando interfieren dos movimientos ondulatorios con la misma frecuencia, amplitud pero con diferente sentido, a lo largo de una lnea con una diferencia de fase de media longitud de onda.Las ondas estacionariaspermanecen confinadas en un espacio(cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de laoscilacinpara cada punto depende de su posicin, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Tiene puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibracin mxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energa mxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda.Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagacin sino los distintos modos devibracinde la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para una cuerda, tubo, membrana, ... determinados, slo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La ms baja se denomina frecuencia fundamental, y las dems son mltiplos enteros de ella (doble, triple, ...). Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada sobre un mismo eje.(x o y)Cuando llega a una cresta consecutiva, habiendo recorrido un valle.Viceversa.Se pueden obtener por la suma de dos ondas atendiendo a la frmula:

Siendo para x=0 y t=0 entonces y=0, para otro caso se tiene que aadir su correspondiente ngulo de desfase.Estas frmulas nos dan como resultado:

Siendoy

Vientres y nodosSe produce un vientre cuando, siendopara, entoncesparaSe produce un nodo cuando, siendopara, entoncesparaSiendola longitud de la onda.Ondas estacionarias en una cuerda

Modos normales de vibracin en una cuerda.La formacin de ondas estacionarias en una cuerda se debe a la suma (combinacin lineal) de infinitos modos de vibracin, llamados modos normales, los cuales tienen una frecuencia de vibracin dada por la siguiente expresin (para un modo n):

Dondees la velocidad de propagacin, normalmente dada porpara una cuerda de densidady tensin.La frecuencia ms baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuacin de los nodos (vista anteriormente), que representa la distancia mxima posible entre dos nodos de una longitud dada. sta se denomina frecuencia fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad en la ecuacin, el caso n = 2, se llama segundo armnico, y presenta un nodo intermedio.

Despejamos :

Materiales Un vibrador Una fuente de corriente continua. Un vasito de plstico. Una polea incorporada a una prensa. Cuatro masas de 10 gramos y una de 50 gramos. Una regla graduada de 1 metro. Una cuerda de 1.8 metros.Procedimiento1. Disponga el equipo sobre la mesa tal como se indica en el diagrama.2. Ponga la masa de 10 g en el vasito, haga funcionar el vibrador, vare lentamente la distancia del vibrador hasta la polea, hasta que se forme un nodo muy cerca al vibrador. Mida la distancia L desde la polea hasta el nodo inmediato al vibrador. Anote el nmero n de semilongitudes de onda estacionaria.3. Repita el paso anterior con 20, 30, 40 y 50 gramos dentro del baldecito, cuyo peso debe ser aadido al peso contenido en l para referirnos a la fuerza F. como resultado de los pasos llenar el cuadro que se indica en la gua del laboratorio.

3. CALCULOS Y RESULTADOS

3. Grafique f2 versus F interprete el resultado. Haga ajuste de la grfica por mnimos cuadrados.Por los datos experimentales obtenemos el siguiente cuadro:F(N)nL (m)(Hertz) (m)V(m/s)

0.33157820.43760.20653870.43726.3102574

0.63372620.5961.64970380.5936.3733252

0.93783620.72561.03201190.72544.2482086

1.1379620.80660.47288660.80648.7411466

0.53268330.8459.54957070.5633.3477596

0.83581231.02361.24944670.68241.7721226

60.6933597

Donde: Como nos pide graficar: F(N)F2(Hertz2)

0.3315783624.8273

0.6337263800.68598

0.9378363724.90648

1.137963656.97002

0.5326833546.15137

0.8358123751.49472

Nos ayudamos de la siguiente tabla:

Obtenemos la siguiente grfica:

Como nos salieron los puntos muy distanciados lo ajustamos por el mtodo de mnimos cuadrados:Sabemos que la recta mnimo cuadrtica que ajusta el conjunto de puntos (x1,y1), (x2,y2),.,(xn,yn) tiene por ecuacin:F(x)= a0+a1xDonde las constantes a0, a1 se pueden determinar resolviendo las dos siguientes ecuaciones llamadas ecuaciones normales.A)

B) Para eso nos ayudamos del siguiente cuadro:ixiyixiyiXi2

10.3315783624.82731201.912990.10994397

20.6337263800.685982408.593520.401608643

30.9378363724.906483493.351390.879536363

41.137963656.970024161.48561.294952962

50.5326833546.151371888.974550.283751178

60.8358123751.494723135.54430.698581699

4.40959522105.035916289.86243.668374815

Donde se obtiene: , , n=6 (nmero de datos)Reemplazando estos resultados en las ecuaciones normales y resolviendo el sistema se obtiene:a0=3608.292444, a1=103.2478581La ecuacin vendra a ser:F(x)= 3608.292444 + 103.2478581xReagrupamos los datos y creamos la siguiente tabla:Ff2=3608.292444+103.2478581F

0.3315783642.52716

0.6337263673.7233

0.9378363705.122

1.137963725.78438

0.5326833663.29082

0.8358123694.58824

Obtenemos la siguiente grfica:

Ahora superponemos las dos grficas obtenemos:

3. Grafique f2 versus F interprete el resultado. Haga ajuste de la grfica por mnimos cuadrados.

Grafique un perfil de la cuerda indicando la posicin de mayor Energa Cintica y la posicin de mayor Energa Potencial en la cuerdaPunto de mayor Energa Cintica

Puntos de mayor Energa Potencial

4. OBSERVACIN

Cuando se realiza el experimento los nodos que se observa a partir de la onda estacionaria se debe encontrar sin movimiento, es decir no debe de estar vibrando, porque se obtendr un resultado con mayor error.

Al estar realizando el experimento, cuando se mide la distancia de la longitud de la cuerda que se utiliza para generar la onda estacionaria, se debe dejar prendido el vibrador y a la vez tomar nota la distancia.

al calcular las frecuencias de los diferentes procesos de experimento, los resultados de las frecuencias deben ser aproximadamente iguales.

Las diferentes frecuencias que se obtiene del experimento se debe a que la fuente vibradora esta genera por una corriente alterna en el laboratorio, adems la polea que lo sujeta la cuerda hay un rozamiento lo cual no est esttico, por lo que nos da un resultado con un margen de error.

5. CONCLUSIONES

se comprueba experimental que la velocidad es proporcional a la tensin de la cuerda, es decir, crece la velocidad a medida que crece la tensin de la cuerda.

Se comprueba experimental que la longitud de onda es diferente para cada nmero de nodos diferentes, es decir, hay una relacin inversamente proporcional con el nmero de nodos que se encuentra en una onda estacionaria.

Efectivamente las frecuencias que se obtiene para cada proceso de experimento, es la misma, a pesar que se observa diferentes nodos, y adems la longitud de cuerda sea ms largo o corto, o la velocidad es mayor, siempre va hacer la misma, porque la frecuencia solo es dependiente de la fuente generadora, es decir del vibrador que genera la onda estacionaria.

Comprobamos experimentalmente que si hay una relacin entre, la longitud de onda, frecuencia, velocidad, tensin, densidad lineal.

6. BIBLIOGRAFIA