fisica lab 02 inc

INTRODUCCIN

La construccin de grficas nos sirve para predecir el comportamiento de

variables relacionadas entre s a travs de una ecuacin, en el presente

informe trataremos sobre tres experiencias.

La primera experiencia basada en la Ley de Hooke; muestra una funcin lineal

con variables de deformacin experimentado por el resorte (Li) y del peso

aplicado al resorte (Pi), la cual realizaremos mediante el mtodo visual y el

mtodo de los mnimos cuadrados.

La segunda experiencia basada en la cada libre de los cuerpos; muestra una

funcin potencia con variable de tiempo (Ti) y de espacio recorrido (Hi);

realizado mediante el mtodo de los mnimos cuadrados.

La ltima experiencia, basada en la descarga de un condensador nos muestra

una funcin exponencial con variables de tiempo de descarga (Ti) y de

diferencia potencial en el condensador (Vi); realizado mediante el mtodo de

los mnimos cuadrados.

.

2

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA E.A.P ING AGROINDUSTRIAL

NDICE

INTRODUCCIN..

CAPTULO I: GENERALIDADES..

1.1. ESPECIALIDAD.

1.2. TITULO.....

1.3. OBJETIVO..

CAPTULO II:FUNDAMENTO TEORICO ..........

CAPTULO II: EXPERIMENTACIN...

3.1. MATERIALES..

a. Materiales y equipos

3.2. METODOLOGA..

3.3. TABLA DE DATOS.

CAPTULO IV: RESULTADOS ....

4.1. RESULTADOS .

4.2. DISCUSIN ..

CONCLUSIONES .

BIBLIOGRAFA..

3


I. GENERALIDADES

1.1. ESPECIALIDAD

Laboratorio de FISICA I

1.2. TITULO.

CONSTRUCCIN DE GRFICAS Y ECUACIONES EMPRICAS

1.3. OBJETIVO.

Dados los datos experimentales de tres experiencias realizadas en

la UNS, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo de

curva y determinar su ecuacin emprica.

Aplicar cambio de variables y/o logaritmos para transformar la

ecuacin de una curva (exponencial, potencial, logartmica, etc.) a

una recta.

Aplicar el mtodo de los mnimos cuadrados para hallar la

ecuacin emprica de una recta y representarlo grficamente.

CAPTULO 1

4


II. FUNDAMENTO TERICO

Una variable es un smbolo como x, y, z, etc. que representa a una cantidad a la cual puede asignrsele, a una variable se le puede asignar un nmero ilimitado de valores.

Si a cada valor que puede tomar una variable x corresponde uno o ms valores de una variable y se dice que y es funcin de x y se escribe:

X Variable Independiente Y Variable Dependiente

A la variable x se le llama Independiente, porque toma el valor el valor que se le asigne; y a la variable y se le llama Dependiente, porque toma los valores que satisfacen la relacin particular.

Las funciones se representan grficamente en un sistema de coordenadas rectangulares, mediante puntos que satisfacen la ecuacin: y = f(x).

Estas grficas pueden ser lneas rectas o curvas, las que representan el lugar geomtrico de los puntos que cumplen la ecuacin.

La pendiente b de la ecuacin de una recta y = a + bx, tal como la representada en la figura1, que pasa por los puntos P(x, , y,) y Q(x, , , y, , ) , se define por :

CAPTULO 2

y = f(x)

5


Muchas leyes de la fsica se expresan mediante la ecuacin de una recta,

como ejemplo tenemos el M.R.U.: e = v.t. donde y=e, x =t, a=0, b=v

As tambin tenemos funciones de la forma:

FUNCION POTENCIAL FUNCION EXPONENCIAL

FUNCION LOGARITMICA

La prolongacin de una pequea cantidad de una lnea recta o curva por

cualquiera de sus extremos se llama extrapolacin y es una tcnica til para

obtener coordenadas en forma aproximada, propias de la grfica que no se

tenan inicialmente obtenindose valores fuera del intervalo experimental. La

extrapolacin no es un proceso seguro, por lo que se debe tener cuidado en su

utilizacin.

Y

X /

Figura N04

6


Otra tcnica es la interpolacin, que consiste en obtener una de las

coordenadas por ejemplo x, fijada la otra, es decir y, a travs de la

correspondencia que establece entre ambas la grficas.

Si la grfica no es una recta, Cmo encontrar los valores de A y B en la

funcin potencia?. Una tcnica muy empleada es aplicando logaritmos y

cambio de variable.

Tenemos: y = AxB

Aplicando logaritmo: ln y = ln A + B ln x

Cambio de variable: r = ln y, x = ln x, a = ln A, b = B

Reemplazando: r = a + bx ..Ecuacin de la recta

METODOS DE LOS MINIMOS CUADRADOS

En un experimento realizado en el laboratorio se han medido cantidades de 2

magnitudes fsicas x e y , con el propsito de descubrir o de verificar la ley

fsica que las vincula. Como consecuencia, se han obtenido n pares de valores

(xi , yi) que representados grficamente muestran un conjunto de puntos que

sugiere la forma de una lnea recta.

Figura N05 Figura N06

7


Existe 2 formas de hacer ste grfico:

1. Trazando directamente la lnea recta entre los puntos (Mtodo visual).

2. Encontrando los parmetros a y b de la ecuacin de la recta y = a + bx,

por el mtodo de los mnimos cuadrados y luego graficarlo. Donde a y b

se calcula con las siguientes frmulas:

. (2)

.. (3)

Las desviaciones estndar de a y b se obtienen mediante las siguientes

ecuaciones:

. (4)

(5)

8


III. EXPERIMENTACIN. 3.1. MATERIALES.

a. Materiales y equipos:

Calculadora

Juego de pistoletes, regla, lpiz y borrador.

6 unidades de papel milimetrado.

3.2. METODOLOGA.

Los puntos de las grficas deben tener sus incertidumbres bien marcadas

sobre ellos (con un rectngulo o una cruz), y los ejes estn debidamente

identificados. Tanto el tipo de incertidumbre como cualquier smbolo

empleado para rotular los ejes debern de identificarse explcitamente en

forma claro, sobre o junto a la grfica.

Para representar una curva o recta grficamente en un papel grfico,

indique cada punto experimental con una seal encerrada por un crculo

pequeo o cruz, previamente escoger una escala para cada variable fsica

en forma adecuada. Despus de indicar los puntos experimentales, dibuje

lo mejor posible una curva o recta continua que pase entre los puntos.

Algunas veces no es posible dibujar una curva o recta que pase por todos

los puntos trazados. En este caso, quedarn algunos puntos a uno y otro

lado de la curva o recta.

Cuando aparezcan dos o ms curvas en la misma grfica se debern

utilizar distintos smbolos para cada grupo de datos.

CAPTULO 3

9


3.3. TABLA DE DATOS

a. Experimento N 01: Ley de Hooke

Tabla N 1

Li (m) 0,052 0,102 0,155 0,206 0,258

Pi (N) 1,96 2,94 3,92 4,90 5,88

Donde:

Li = Deformacin experimentada por el resorte

Pi = Peso aplicado al resorte que est suspendido por uno de

sus extremos.

b. Experimento N 02: Cada libre de un cuerpo

Tabla N 2

Ti (s) 0,112 0,155 0,189 0,216 0,264 0,306 0,334 0,362 0,391 0,419

Hi(m) 0,08 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,6 0,7 0,8

Donde:

Ti = Tiempo que demora en recorrer el espacio Hi.

Hi = Espacio recorrido por el cuerpo que cae.

c. Experimento N 03: Descarga de un condensador

Tabla N 3

Ti(s) 0,00 4,14 7,58 11,87 13,97 16,92 20,24 24,16 28,65 37,10 46,51

Vi(v) 15 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1

Donde:

Ti = Tiempo de descarga.

Vi = Diferencia de potencial en el condensador.

Con estos datos experimentales hacer las siguientes gracficas:

P versus L H versus T V versus T

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IV. RESULTADOS

4.1. RESULTADOS

1. Experimento: Ley de Hooke

Cuadro 1: Ley de Hooke

n L (m) P (N) L2 (m2) L P(Nxm) P2 (N2)

1 0.052 1.96 0.002704 0.10192 3.8416

2 0.102 2.94 0.010404 0.29988 8.6436

3 0.155 3.92 0.024025 0.60760 15.3664

4 0.206 4.90 0.042436 1.00940 24.01

5 0.258 5.88 0.066564 1.51704 34.5744

Total 0.773 19.6 0.146133 3.53584 86.436

Utilizando la frmula 2

a = 0.983974882


b = 18.99110684

Frmula Emprica: P = 0.983974882 + 18.99110684 L

CAPTULO 4

11


Buscando r (coeficiente de correlacin lineal)

Cuadro 2 : Ley de Hooke

N Li (m) Pi (N)

1 0.052 1.97129

2 0.102 2.92095

3 0.155 3.92759

4 0.206 4.89624

5 0.258 5.88383

Total 0.773 19.59996

Reemplazando los Datos:

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Pi (

N)

Li (m)

Ley de hooke

P

12


2. Experimento: Cada Libre de un Cuerpo

H = A T B

Haciendo un cambio de variable:

H = A T B

LnH = lnA + B lnT

H = a + bt, donde: h = lnH

a = ln A

b = B

t = lnT

Cuadro 3 : Cada libre de los Cuerpos

n t = lnT (s) h = lnH (m) t 2 (s 2) t h (m.s)

1 -2.189264080 -2.995732274 4.79286 6.55846

2 -1.864330162 -2.302585093 3.47573 4.29279

3 -1.666008264 -1.897119985 2.77559 3.16062

4 -1.532476871 -1.609437912 2.34849 2.46643

5 -1.331806176 -1.203972804 1.77372 1.60346

6 -1.184170177 -0.9162907319 1.40226 1.08504

7 -1.096614186 -0.6931471806 1.20255 0.16012

8 -1.016111067 -0.5108256238 1.03248 0.51906

9 -0.939047719 -0.3566749439 0.88185 0.53493

10 -0.869884359 -0.2231435513 0.75669 0.18411

Total -13.68970569 -12.7089301 20.44216 20.97497

13



lnA = a ea = A A = 4.988510065


b = 2.102331875 B = 2.102331875

H = A TB

H = 4.988510065 T2.102331875

Buscando r (coeficiente de correlacin lineal)

Cuadro 4 : Cada libre de los Cuerpos

n t (s) h (m)

1 -2.18926 -2.99733

2 -1.86433 -2.31394

3 -1.66601 -1.89683

4 -1.53248 -1.61599

5 -1.33181 -1.19394

6 -1.18417 -0.88343

7 -1.09661 -0.69927

8 -1.01611 -0.52996

9 -0.93905 -0.36789

10 -0.86988 -0.22241

Total -13.68971 -12.72099

14


Reemplazando datos:

c) Experimento: Descarga de un Condensador

V = A e BT

Haciendo un cambio de variable:

V = A e BT

LnV = lnA + BT

v = a + bt, donde: v = lnV

a = ln A

b = B

t = T

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0

lnH

lnT

Series1

15


Cuadro 5: Descarga de un Condensador

n t (s) V (v) t 2 (s2) t v (v.s) v2 (v2)

1 0.000 15 0.00000 0.000000 225

2 4.14 12 17.1396 49.68 144

3 7.58 10 57.4564 75.8 100

4 11.87 8 140.8969 94.96 64

5 13.97 7 195.1609 97.79 49

6 16.92 6 286.2864 101.52 36

7 20.24 5 409.6556 101.2 25

8 24.16 4 583.7056 96.64 16

9 28.65 3 820.8225 85.95 9

10 37.10 2 1376.410 74.2 4

11 46.51 1 2163.180 46.51 1

Total 211.14 73 6050.716 15413.22 673


a = -127.9767776


b = 7.013093463

Buscando r

16


Cuadro 6 : descarga de un condensador

n t (s) v (v)

1 0.000 2.74297

2 4.14 2.50624

3 7.58 2.30955

4 11.87 2.06424

5 13.97 1.94417

6 16.92 1.77548

7 20.24 1.58565

8 24.16 1.36150

9 28.65 1.10476

10 37.10 0.62159

11 46.51 0.08353

Total 211.14 18.09968

Reemplazando datos:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 10 20 30 40 50

t(S)

V(v)

v versus t

17


CONCLUSIONES

Se pudo establecer las rectas lineales a partir de las formulaciones, siendo las

grficas la demostracin del hecho en mencin.

Se ha alcanzando a resolver las ecuaciones y a poder formar para cada caso la

ecuacin correcta, a partir de eso se pretende graficar en el papel milimetrado.

BIBLIOGRAFA

Fsica. Volumen I. Sears. Zemansky. undecima edicin. Capitulo movimiento oscilatorio. 1999.

Fsica. Tomo I. Serway. Cuarta edicin. Capitulo 13. 1996.

Baird D.C. Experimentacin; Segunda Edicin. Prentice Hall.

18


CUESTIONARIO

1. De las grficas obtenidas, con qu tipo de funciones los puede relacionar.

El primer Experimento (Ley de Hooke); como se pudo observar que

se trata de una funcin lineal:

P = a +bL

El segundo Experimento (Cada Libre de los Cuerpos); trata sobre una funcin Potencia:

H = A T B

El tercer Experimento (Descarga de un Condensador); trata sobre una funcin exponencial :

V = A e BT

2. Una vez identificadas las grficas, la que corresponde a una recta, determinar su ecuacin emprica por el mtodo visual y

tambin por el mtodo de los mnimos cuadrados.

La grfica que corresponde a una recta, es la grfica del primer

experimento (Ley de Hooke), cuya ecuacin emprica es:

o Mtodo Visual: P = + L o Mtodo de los Mnimos Cuadrados: P = 0.983974882 +

18.99110684 L

3. Para las grficas curvas, transformarlos a una recta y determinar la ecuacin emprica de las curvas.

En el segundo y tercer experimento se puede observar que sus grficas pertenecen a curvas.

o El Segundo Experimento: Cada Libre de los Cuerpos. Trata sobre una curva de la forma: H = A T B (potencial).

Transformacin a una recta:

H = A T B

LnH = lnA + B lnT

H = a + bt, donde: h = lnH

a = ln A

b = B

t = lnT

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Ecuacin Emprica: h = 1.60712 + 2.1032 t

La ecuacin de la curva es: H = 4.98862 T 2.10236

o El Tercer Experimento: Descarga de un Condensador. Trata sobre una curva de la forma: V = A e BT (Exponencial)

Transformando a una recta:

V = A e BT

LnV = lnA + BT

v = a + bt, donde: v = lnV

a = ln A

b = B

t = T Ecuacin Emprica: v = 2.74297 0.05718 t La ecuacin de la curva es: V = 15.53305 e 0.05718 t

4. Dar tres ejemplos de leyes de ecuaciones fsicas que correspondan a una funcin lineal y de potencia. Identifique cada variable y constantes.

Funcin Lineal

1. e = v.t, y = e (espacio)

x = t (tiempo)

a = o

b = V (velocidad)

2. VF = g.t y = VF (velocidad)

x = t (tiempo)

a = o

b = g (aceleracin de la gravedad)

3. F = K.s y = F (fuerza de friccin)

x = s (deformacin)

a = o

b = K (constante elstica)

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Funcin Potencial

1. h = .g.t 2 y = h (altura)

x = t (tiempo) a = .g ( de la gravedad) b = 2

2. f = T -1 y = f (frecuencia)

x = T (perodo)

a = 1 b = -1

3. T = 2.w -1 y = T (perodo)

x = w (velocidad angular)

a = 2 b = -1

5. Para trazar una grfica que corresponda a una recta, con cual mtodo es ms conveniente trazar, con el Mtodo Visual o empleando el Mtodo de los Mnimos Cuadrados. Porque?

Para el trazado de grficas que corresponden a una rectas, es ms conveniente trazarla por el mtodo de los mnimos cuadrados, ya que posee mucha ms exactitud que el mtodo visual. Con el mtodo

visual se corre el riesgo de trazar una recta equivocada, debido a que las variables dependiente e independiente sufriran cambios.

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