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OBJETIVOS

Evaluar la constante de elasticidad de un resorte mediante la Ley de Hooke.

Investigar los cambios de energía potencial elástica en un sistema masa –

resorte.

Comprobar que la energía se conserva

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MARCO TEORICO

LEY DE HOOKE Y CAMBIOS DE ENERGÍA POTENCIAL

Ley de elasticidad de Hooke

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :

siendo el alargamiento, la longitud original, : módulo de Young, la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

Ley de Hooke para los resortes

La ley de Hooke describe cuanto se alargará un resorte bajo una cierta fuerza.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza

ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento producido:

donde se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

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Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o intrínseca, se tiene:

Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud a la misma distancia y al alargamiento de

ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza . Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo , de obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

Elasticidad:

P r o p i e d a d d e c a m b i a r d e f o r m a c u a n d o a c t ú a u n a f u e r z a d e deformación sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformación.

 Los materiales no deformables se les llaman inelásticos (arcilla, plastilina y masa de repostería). El plomo también es inelástico, porque se deforma con facilidad de manera permanente. Si se estira o se comprime más allá de cierta cantidad,

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ya no regresa a su estado original, y permanece deformado, a esto se le llama límite elástico.

 * C u a n d o s e t i r a o s e e s t i r a d e l a g o s e d i c e q u e e s t á e n tensión (largas y delgadas).

* C u a n d o s e a p r i e t a o s e c o m p r i m e a l g o s e d i c e q u e e s t á e n compresión (Cortas y gruesas).

Ley de Hooke en sólidos elásticos

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.

De tal forma que la deformación es una cantidad adimensional, el modulo se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo para el que la similitud entre y deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades

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físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

Energía Potencial

E s e n e r g í a q u e m i d e l a c a p a c i d a d q u e t i e n e d i c h o s i s t e m a p a r a r e a l i z a r u n trabajo en   f u n c i ó n   e x c l u s i v a m e n t e   d e   s u   p o s i c i ó n   o   c o n f i g u r a c i ó n .   P u e d e pensarse como la energía almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Suele abreviarse con la letra o. La energía potencial puede presentarse como energía potencial gravitatoria, energía potencial electrostática, y energía potencial elástica.Ley de Hooke: “La cantidad de estiramiento o de compresión (cambio de longitud), es directamente proporcional a la fuerza aplicada”.E n f í s i c a , l a ley de elasticidad de Hooke o l e y d e H o o k e , originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario ε de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F donde:

δ: alargamiento longitudinal,L: Longitud original,E : módulo de Youngo módulo de elasticidad,A: sección transversal de la pieza estirada. La ley seaplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite de elasticidad.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo d e   I s a a c   N e w t o n .   A n t e   e l   t e m o r d e q u e a l g u i e n s e   a p o d e r a r a   d e   s u descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv , revelando su contenido un par de años más tarde. Elanagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material. Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sé le quita este peso y regresa a su tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico. 

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PARTE EXPERIMENTAL

EQUIPOS Y MATERIALES

Un soporte universal.

Un resorte helicoidal

Un Juego de masas

Un Porta masa

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Una Balanza de tres Brazos

Una regla graduada

Hojas de papel milimetrado

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PROCEDIMIENTO

SISTEMA EXPERIMENTAL (pasos y figura)

1. Monte el equipo tal como se muestra en la figura Nº 1 y haga coincidir el extremo inferior del resorte con el cero de la escala graduada o un punto de ésta, que le permita fáciles lecturas, tal como x0 = 40 cm. Este será el sistema de referencia para medir los estiramientos del resorte.

2. Suspenda el porta pesas del extremo inferior del resorte. Es posible que en estas condiciones se produzca un pequeño estiramiento en el resorte. Si es así, anote la masa del porta pesas y el estiramiento producido en el resorte en la Tabla Nº 1.

3. Adicione sucesivamente masas y registre los estiramientos del resorte para cada uno de ellas. Cuide de no pasar el límite elástico del resorte.

4. Cuando el peso máximo que ha considerado este aún suspendido, retire una a una las masas y registre nuevamente los estiramientos producidos en el resorte para cada caso.

5. Complete la Tabla Nº 1, calculando el promedio de las lecturas y determinando los correspondientes estiramientos para cada masa usada.

6. Suspende ahora una masa de 0,5 kg (u otra sugerida por su profesor) del extremo inferior del resorte y mientras la sostiene con la mano hágala descender de tal manera que el resorte se estire unos 2 cm. Registre este valor como x1.

7. Suelte la masa de manera que caiga libremente. Después de dos o más intentos observe la posición aproximada del punto más bajo de caída. Registre la lectura como x2.

8. Repita los pasos (6) y (7) considerando nuevos valores para x1, tales como: 4 cm, 6 cm, 8 cm y 10 cm. Anote todos estos valores en la Tabla Nº 2 y complete según la información que ha recibido.

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TOMA DE DATOS

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TRATAMIENTO DE DATOS

TABLA Nº 1: Medida de la elongación de un resorte

Masa suspendida

Fuerza Aplicada Estiramiento del resorte

Adicionando masas

Retirando masas

Promedio

M M F F x x x x x x0,0559 0,492 0,011 0,012 0,0115

0,0734 0,717 0,016 0,017 0,0165

0,0933 0,9124 0,023 0,024 0,0235

0,1136 1,111 0,028 0,029 0,0285

0,133 1,309 0,035 0,036 0,0355

0,1840 1,802 0,051 0,052 0,0515

0,23 2,292 0,067 0,067 0,067

0,285 2,787 0,083 0,083 0,083

TABLA Nº 2: Comparación entre la energía potencial elástica y gravitatoria

X1± X1 (m) 0.035 m 0.050 m

X2± X2 (m) 0.070 m 0.136 m

Ue1 = ½ KX12

(J)0.01876555 J 0.06801443

J

Ue2 = ½ KX22

(J)0.08500 J 0.02398501

J

U e (J) 0.06623445 J 0.04402942 J

Y1± Y1 (m) 0.07 m 0.070 m

Y2± Y2 (m) 0.118 m 0.083 m

Ug1 = mgy1 (J)

0.1776 J 0.500134 J

Ug2 = mgy2 (J)

0.3587 J 0.28755 J

U g (J) 0.1811 J 0.212584 J

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CUESTIONARIO

1. Grafique e intérprete las fuerzas aplicadas vs. Los estiramientos del resorte, usando los valores de la tabla nº1. Del experimento desarrollado, ¿F es proporcional a X?

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

0.5

1

1.5

2

2.5

3

f(x) = 31.5976991691444 x + 0.175741170422653R² = 0.999083545388939

Series2Linear (Series2)

x

fuer

za

Por la grafica se puede ver, que F y X forman una ecuación F= mX+b siendo esta:

F = 31,598x + 0,1757 aproximadamente.

2. A partir de la pendiente de la grafica F vs. X, determine la constante elástica del resorte.

La pendiente de la grafica anterior representa la constante de elasticidad del resorte utilizado en la experiencia. Esta constante se halla en la grafica como pendiente y es de K=31.598 N/cm

3. Halle el área bajo la curva F vs. X. ¿Físicamente que significa esta área?

El área bajo la curva representa el trabajo (W) realizado por el resorte, o también se podría decir a la energía interna del resorte (U).En nuestra experiencia el trabajo será: 

W = (2,787 – 0,492) x (0,083 – 0,0115) / 2 0,082 N x cm = 8,2 N x m

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4. Si la grafica F vs. X no fuera lineal para el estiramiento dadode cierto resorte. ¿Cómo podría encontrar la energía potencial almacenada?

Si la grafica no es lineal se podría calcula infinitesimalmente con lasumatoria de áreas, a este artificio en las matemáticas llamamos “LA INTEGRAL”

5. Observe de sus resultados la perdida de energía potencial gravitatoria y el aumento de la energía potencial del resorte cuando la masa cae. ¿Qué relación hay entre ellas?

Al observar los datos se concluye que existe una relación de proporcionalidad

6. Grafique simultáneamente las 2 formas de energía en función de los estiramientos del resorte. De una interpretación adecuada.

E

X

La energía potencial gravitatoria es máxima cuando la deformación del resorte es igual a cero y va disminuyendo a medida que va bajando hacia el punto de referencia. La energía potencial elástica es mínima cuando la deformación del resorte es igual a cero y va aumentando hasta llegar al punto de referencia.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA

ENERGIA POTENCIAL ELASTICA

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7. ¿Se conserva la energía en estas interacciones entre la masa y el resorte?

Si se conserva ya que actúa la fuerza elástica, y esta es una fuerza conservativa de la energía.

8. ¿Cuál es la suma de las energías potenciales cuando la masa de 5kg (o la que considero en su experimento) ha llegado a la mitad de su caída?

Cuando llegue a la mitad la suma de sus energías potenciales seria:

Ep = Eg + Ee E = mgh + 1/2 ( kx2) E = (m)(g)(h) + 1/8 (kh2)

10. ¿Bajo que condiciones la suma de la energía cinética y potencial de un sistema permanecen constantes?

La suma de la energía cinética y potencial de un sistema permanecen constantes si y solo si no actúan en el sistema fuerzas no conservativas como lo son la fuerza de rozamiento, la fuerza de resistencia del aire.

11. Determine experimentalmente el valor de la constante K.

Según los datos que tenemos en la grafica, experimentalmente el K seria igual a 31,598 N/m

12. ¿Qué otras formas de energía potencial existen que no sean gravitatoria ni elástica?

Energía potencial electrostática y la energía potencial magnética.

13. Si se sabe que es cero la fuerza sobre un cuerpo en determinado punto. ¿Implica necesariamente que la energía potencial es nula en ese punto?

No porque el que un cuerpo no tenga una fuerza aceleradora o este en equilibrio no es motivo suficiente para decir que no presenta energía potencial ya que esta se debe a la posición más no tiene relación con la fuerza.

14. Considero un resorte de constante elástica K. si el resorte se corta exactamente por la mitad de su longitud ¿Qué ocurre con el valor del K? muestre su respuesta analíticamente.

El valor se duplica ya que teniendo la formula F = kx si se corta el resorte, se llega a la conclusión que la deformación será la mitad pero como nuestra fuerza es constante el k se duplica para mantener invariable la fuerza.

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CONCLUSIONES

Idealmente la energía se conserva, por lo tanto podemos decir que la fuerza elástica es una fuerza conservativa a la par de la fuerza gravitatoria.

Al realizar el proyecto hemos podido darnos cuenta que la deformación es mayor si el peso aumenta.

Al tener el valor de los resultados muy cerca de los valores ideales podemos decir se cumple la ley de Hook y que también se desarrollo el laboratorio de forma eficiente.

.

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RECOMENDACIONES

Para realizar esta práctica es conveniente primero revisar que los instrumentos a utilizar estén aptos para su uso ya que si no lo están vamos a obtener datos erróneos

Al momento de tomar los datos obtenidos en la práctica debemos observar bien las cantidades con sus cifras significativas ya que estas pueden afectar mucho a nuestros resultados finales

Antes de utilizar los instrumentos revisar si están calibrados ya que de no ser asi obtendríamos datos erróneos

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REFERENCIAS

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke - Ley de la

elasticidad de Hooke

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencial - Energía

Potencial

http://www.jfinternational.com/mf/energia-potencial.html - Energía

http://html.rincondelvago.com/energia-mecanica_potencial-y-

cinetica.html - Energía mecánica Potencial y cinética

http://shibiz.tripod.com/id8.html - Elasticidad

http://www2.ib.edu.ar/becaib/cd-ib/trabajos/Sanger.pdf - Ley de

Hooke