UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICAS

GUIA DE ESTUDIO PARA ESTUDIANTES DEL DÉCIMO AÑO

TEMA

GEOMETRÍA ANALÍTICA: ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

PROF. ARGENIS MÉNDEZ VILLALOBOS

AÑO: 2015

Contenido Geometría analítica: Ecuación de la circunferencia ..................................................................... 1

1- Ecuación de la circunferencia ................................................................................................ 1

1.1- Construcción de una circunferencia utilizando regla y compas ......................... 1

1.2- La ecuación de la circunferencia: ............................................................................... 2

1.3- Ejercicios de autoevaluación ..................................................................................... 3

I) Ejercicios de aplicación .......................................................................................................... 4

2- Puntos interiores y puntos exteriores a una circunferencia ............................................ 4

2.1- Autoevaluación ................................................................................................................. 6

3- Posición relativa de rectas en una circunferencia ................................................................ 6

3.1- Autoevaluación ..................................................................................................................... 9

4- Autoevaluación final del capítulo ecuación de la circunferencia: ................................. 9

5- Referencias.................................................................................. ¡Error! Marcador no definido.

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Geometría analítica: Ecuación de la circunferencia

Habilidad específica: Representar gráficamente una circunferencia dado su centro y su

radio.

1- Ecuación de la circunferencia

Definición: El conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia fija “𝑟” de

un punto fijo “𝑐” se le llama circunferencia de centro 𝑐 y radio 𝑟. A cualquier segmento

que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma circunferencia

también se le llama radio de la circunferencia

1.1- Construcción de una circunferencia utilizando regla y compas

Pasos de construcción de una circunferencia de centro en el punto (2,2) y radio de 4 cm

1) Colocar en el eje de coordenadas el punto (2,2).

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2) Utilizando el compás y la regla medimos los 4 centímetros y trazamos la

circunferencia colocando el compás con la abertura que coincida con los extremos

del segmento.

1.2- La ecuación de la circunferencia:

Demostración:

Sea una circunferencia de centro (ℎ, 𝑘) y un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) que

pertenece a la circunferencia, por la fórmula de distancia entre

dos puntos tenemos:

√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟

Donde 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad tenemos:

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2,

Por lo tanto la ecuación de una circunferencia viene dada

por:

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

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1.3- Ejercicios de autoevaluación

Utilizando regla y compas, graficar las siguientes circunferencias dado su radio y

centro.

A) Centro (0,0) y radio: 4 cm

B) Centro (2,4) y radio: 5 cm

C) Centro (−3,1) y radio: 3 cm

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (−1, −3) y que contiene

al punto (9,6) ?

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (−4,13) y que contiene al

punto (−3,5)?

Determine la ecuación de la circunferencia de centro (4, −2) y radio 23.

Determine la ecuación de la circunferencia de radio 19 y centro (1,3).

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I) Ejercicios de aplicación

Considere la siguiente figura que representa una piscina en forma de

circunferencia, con base en esta, determine la medida del radio de la piscina.

2- Puntos interiores y puntos exteriores a una circunferencia

Situación problema: “En el Observatorio Vulcanológico y Sismológico de Costa Rica,

establece una imagen acerca de un sismo ocurrido en la Zona Sur con epicentro en golfito,

el OVSICORI identifica los puntos de mayor impacto del sismo”

Todos los lugares de mayor impacto representan puntos interiores y los puntos de menor

impacto representan puntos exteriores.

Lugares de mayor impacto

del sismo:

La Cuesta, Potrero

Grande, Puerto

Armuelles

Lugares de menor impacto

del sismo:

David, Bajo

Boquete, Chiriquí.

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Definición:

Un punto es interior si su distancia al centro es menor que la medida del radio.

Un punto es exterior si su distancia al centro es mayor que la medida del radio

Ejemplo:

Sea la circunferencia con ecuación (𝑥 + 9)2 + (𝑦 − 7)2 = 121, entonces, el punto 𝐴(−2, −8)

es interior o exterior a la circunferencia.

Solución:

Determinando el centro de la circunferencia en el punto (−9,7) y el radio √121 = 11,

utilizamos la fórmula para calcular la distancia entre puntos:

√(−9 + 2)2 + (7 + 8)2 = √274 ≈ 16,55

Por lo tanto √274 > 11, lo que nos dice que el punto A es exterior a la circunferencia.

𝑑 [𝐴(𝑥, 𝑦) "y" (ℎ, 𝑘)] > 𝑟

𝑑 [𝐶(𝑥, 𝑦) "y" (h,k)] < 𝑟

𝐴 es un punto exterior dado que:

𝐶 es un punto interior dado que:

Puede comprobar el resultado utilizando del software

Geogebra: http://www.geogebra.org/download

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2.1- Autoevaluación

a) Sea la circunferencia con ecuación (𝑥 − 12)2 + (𝑦 + 15)2 = 31, determine si el

punto 𝐵(11, −14) es interior o exterior.

b) Sea la circunferencia con ecuación (𝑥 + 13)2 + (𝑦 − 6)2 = 19, determine si el punto

𝐶(12, −3) es interior o exterior.

c) Sea la circunferencia con ecuación (𝑥 + 20)2 + (𝑦 + 25)2 = 41, determine si el

punto 𝐷(9, −2) es interior o exterior.

d) En una estación de control el programador del radar establece que el área de

monitoreo es en forma de circunferencia, al ingresarla al sistema lo hace por medio

de la ecuación (𝑥 − 250)2 + (𝑦 − 300)2 = 1600, si un barco se ubica en el punto

(400, 500), entonces, pruebe si este está dentro o fuera del área de control del

radar.

3- Posición relativa de rectas en una circunferencia

Para hallar los puntos comunes de una circunferencia resolveremos el sistema formado

por las ecuaciones de ambas. En general se obtiene una ecuación de segundo grado, que

tendrá dependiendo del valor de su discriminante (∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐), las siguientes soluciones:

Recta secante

∆> 0

Una recta es secante si su

discriminante es positivo:

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Recta tangente

Recta exterior

∆= 0

Una recta es tangente si su discriminante

es igual a cero:

∆< 0

Una recta es exterior si su discriminante

es negativo:

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Ejemplo:

Compruebe la posición relativa de la recta 𝑦 = 6𝑥 − 5, en la circunferencia con ecuación

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 8)2=34.

Prueba:

1) (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 8)2 = 34, (sustituir 𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝟓)

2) (𝑥 + 2)2 + (6𝑥 − 5 − 8)2 = 34, (se desarrollan los productos notables)

3) 𝑥2 + 22 + 2(𝑥)(2) + (6𝑥)2 + (13)2 − 2(6𝑥)(13) = 34, (se simplifica)

4) 𝑥2 + 4 + 4𝑥 + 36𝑥2 + 169 − 156𝑥 = 34

5) 37𝑥2 − 152𝑥 + 109 = 0 (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂, 𝒃, 𝒄)

6) 𝑎 = 37, 𝑏 = −152, 𝑐 = 109, (utilizamos la fórmula ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒(𝒂)(𝒄))

7) ∆= (−152)2 − 4(37)(109) = 6 972

8) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∆> 0, la recta 𝑦 = 6𝑥 − 5 es secante a la circunferencia.

Este se puede verificar gráficamente utilizando el software geogebra

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3.1- Autoevaluación

1) Determine la posición relativa de la recta 𝒎: 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟒 en la circunferencia con

ecuación (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = √3

2) Determine la posición relativa de la recta 𝒏: 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟏 en la circunferencia con

ecuación (𝑥 − 9)2 + (𝑦 − 5)2 = 1.

3) Determine la posición relativa de la recta 𝒍: 𝒚 = 𝒙, en la circunferencia con ecuación

𝑥2 + (𝑦 − 5)2 = 2√2

4) Determine la posición relativa de la recta 2𝑦 − 5𝑥 = 12, en la circunferencia con

ecuación (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 9

5) Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (6, −4) y donde el eje “y”

es tangente a dicha circunferencia.

6) Determine la ecuación de la circunferencia con centro en el cuarto cuadrante y

donde los ejes de coordenadas son tangentes a dicha circunferencia.

4- Autoevaluación final del capítulo ecuación de la circunferencia:

a) Considere la siguiente figura, con base a esta determine

I) Centro: __________

II) Un punto interior: _______

III) Un punto exterior: _______

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b) La imagen representa la vista de un radar en un centro de control, con base a esta

determine lo siguiente

I) La posición en la que se encuentra el avión representa un punto:

_____________________________

II) El centro de la circunferencia viene representado por el punto:

____________________________________

c) En el OVSICORI se representó la onda de mayor impacto de un sismo que ocurrió

en la zona de San Carlos con la ecuación (𝑥 − 150)2 + (𝑦 − 300)2 = 2500, con base

a lo anterior, determine el radio y el centro de la onda

d) Un barco se mantiene en el mar a una distancia de 5 km del puerto, si se considera

el puerto como el centro. ¿Cuál es la ecuación que describe la trayectoria del radar

de localización si este tiene forma de circunferencia?

e) Considere la ecuación de la circunferencia que viene dada por

(𝑥 − 11)2 + (𝑦 − 15)2 = 256, pruebe si el punto 𝐶 (12,14) es interior o exterior.