GEOMETRIA ANALÍTICA

2

CONTINGUTS

Vectors del pla, 3

Concepte de vector fix, 3 Components d’un vector fix, 3 Mòdul d’un vector, 4 Vector lliure, 5 Operacions en el conjunt de vectors lliures del pla, 6 Aplicacions geomètriques dels vectors, 8

El pla afí, 11

Determinació d’una recta, 9 Equacions de la recta, 11 Posició relativa d’un punt i una recta, 16 Posició relativa de dues rectes, 16

El pla afí euclidià, 19

Producte escalar de dos vectors, 18 Ortogonalitat de vectors, 18 Angle de dos vectors, 19 Projecció ortogonal d’un vector sobre un altre vector, 19 Distància entre dos punts del pla, 20 Distància d’un punt a una recta, 20 Distància entre dues rectes paral·leles, 20 Angle de dues rectes no paral·leles, 21

3

Vectors del pla. Concepte de vector fix.

Donats dos punts A i B, s’anomena vector fix d’origen A i extrem B el

segment orientat AB. Es representa per

AB.

AB

Exercici 1.- Representeu gràficament els vectors amb origen i extrem en els punts que s’indiquen:

origen extremA(-2,3) B(4,5)E(1,0) F(2,4)

G(-4,-2) H(3,-1)M(2,-1) N(-3,3)P(-3,-2) Q(4,-1)C(-3,4) D(-3,6)R(7,-1) S(2,3)

Components d’un vector fix

S’anomenen components del vector fix

AB, d’origen A(x1,y1) i extrem B(x2,y2), la diferència entre les coordenades de l’extrem i les de l’origen.

A

B

4

La primera component a = x2 - x1

La segona component b = y2 – y1

Escriurem

AB = (a , b)

components = coordenades de l’extrem - coordenades de l’origen

Exercici 2.- Calculeu les components de tots els vectors de l’exercici anterior.

Es diu que dos vectors fixos són equipol·lents quan tenen les mateixes components.

Exercici 3.- Indiqueu els vectors de l’exercici 1 que siguin equipol·lents.

Exercici 4.- Escriviu vectors equipol·lents al d’origen A(2,-1) i extrem B(4,2) amb origen o extrem en el punt que en cada cas s’indica:

origen extrem(-2,3)

(4,-3)(0,0)

(-1,4)(5,2)

(-3,1)

Mòdul d’un vector

Donat un vector fix

AB

A

B

5

La longitud del segment AB rep el nom de mòdul del vector

AB i es

representa per

|AB|

212

212 )y(y)x(x|AB|

= 22 ba

Exercici 5.- Trobeu el mòdul dels vectors següents:

a) vector d’origen A(1,2) i extrem B(5,3)b) vector d’origen C(1,2) i components (3,-2)c) vector d’origen F(-1,1) i components (-3,-2)

Vector lliure

S’anomena vector lliure de components (v1,v2) el conjunt de tots els vectors fixos de components (v1,v2). Qualsevol vector amb aquestes components és un representant del vector lliure.

Exercici 6.- Donat el vector lliure v = (1, 5), determineu l’origen i

l’extrem de tres representants seus.

Exercici 7.- Donades les components dels vectors lliures de la columna de l’esquerra, completeu l’origen o l’extrem d’un dels seus representants.

representantcomponents del

vector lliure origen extrem(2,3) (5,-1)(-3,5) (7,0)(4,-1) (2,3)(3,-2) (4,-3)(0,-2) (4,3)(4,3) (5,4)

Operacions en el conjunt de vectors lliures del pla

6

Donats dos vectors lliures )v,(vv 21 i )w,(ww 21

, s’anomena vector suma, i és representat per wv

, el vector lliure de components

wv

= )wv,w(v 2211 .La suma de vectors lliures té les propietats següents:

Associativa: v + ( w

+ u ) = ( v

+ w ) + u

Commutativa: v + w

= w + v

Existeix l’element neutre, 0

, tal que v + 0

= 0

+ v = v

Tot element v té un element oposat (- v

) tal que v + (- v

) = 0

Per sumar gràficament vectors lliures cal situar a continuació d’un representant del primer vector un representant del segon vector. Unint l’origen del primer vector amb l’extrem del segon s’obté un representant del vector suma.

wv

w

v

Exercici 8.- Sumeu gràficament els vectors lliures següents situant l’origen del representant del primer vector en el punt que s’indica:

a) v = (2,-1) , w

= (5, 7) origen (4, 2)b) s

= (-3,-5) , t

= (3, 0) origen (-1,3)

7

Donat un vector lliure v = ( v1, v2) i un nombre real k, s’anomena

producte del vector lliure pel nombre real el vector k v = ( kv1, kv2).

Els vectors v i k v

, representats gràficament amb origen en el mateix punt, estan situats sobre una mateixa recta i la longitud del vector k v

és la del vector v

multiplicada per k.

Les operacions de suma de vectors i de producte per un nombre poden combinar-se entre elles complint les propietats següents:

k ( v + w

) = k v + k w

( k + h ) v = k v

+ h v

( k h ) v = h ( k v

)

Exercici 9.- Donat el vector v = ( 3 , -2 ), calculeu els vectors 2 v

, 3 v ,

-2 v ,

1

2v . Representeu-los tots amb origen en el punt ( 1 , 3 ) . Comproveu

que tots els extrems estan sobre una mateixa recta.

Exercici 10.- Efectueu les operacions que s’indiquen amb els vectors lliures següents:

u = ( 2, -3), v

= ( 0, 4), w = ( -4, 2 ), s

= ( 3, -2)

a) u + v

8

b) u + w

+ s

c) v - s

d) 2 u

e) v + 3 w

- 4 s

f) s

- 4 u

g) wv5

3u

2

1

Aplicacions geomètriques dels vectors

El punt mitjà, M, d’un segment AB, on A té per coordenades (x1,y1) i B (x2,y2) ve donat per l’expressió

M( 2

,2

2121 yyxx )

Exercici 11.- Calculeu el punt mitjà dels parells de punts següents:

A( 3, 7 ) B( -4, 2 )C( 4, -1) D( 5, 8 )E( -4, 3) F( 9, 4 )

Per calcular les coordenades dels punts que divideixen el segment, d’extrems A i B, en n parts iguals, procedim de la manera següent:

Determinem el vector v que té com a representant el vector

AB.

Dividim les components del vector v per n, així obtenim el vector

u .

Determinem l’extrem M1 del representant del vector u que té per

origen el punt A. Repetim el procés anterior prenent com a origen del representant

del vector u el punt M1, d’aquesta manera determinem el punt M2.

Continuarem repetint el procés fins a determinar les coordenades de tots els punts.

v

u

A

B

M1

M2

M3

9

Exercici 12.- Calculeu els punts que divideixen el segment d’extrems A(-1,2) i B(9,-2) en quatre parts iguals.

Exercici 13.- Calculeu els punts que divideixen el segment d’extrems A(-5,-2) i B(0,8) en cinc parts iguals.

El pla afí. Determinació d’una recta.

Una recta queda determinada si coneixem dos punts, A i B, d’aquesta recta.També es pot determinar una recta si coneixem un punt, A, i un vector, anomenat vector director, tal que el seu representant d’origen A estigui situat sobre la recta.

Exercici 14.- Representeu gràficament la recta que passa pels punts A(2,3) i B(-3,-2). Calculeu-ne un vector director.

Exercici 15.- Calculeu un vector director de la recta que passa per l’origen de coordenades i pel punt mitjà del segment AB, on A(2,5) i B(-4, 7).

Exercici 16.- Dibuixeu la recta que passa per A(-2,1) i té de vector director v = (3, 2).

10

Exercici 17.- Calculeu un vector director d’una recta paral·lela a l’eix d’abscisses i que passa pel punt (4, 3).

Exercici 18.- Dibuixeu dues rectes de vector director c = ( 3, -4) i que

passin per A(-4,2) i B(0,3).

Exercici 19.- Calculeu un vector director de la recta que talla els eixos de coordenades en els punts (4, 0) i (0,-3).

Exercici 20.- Calculeu un vector director de la mitjana que surt de A en el triangle de vèrtex A(2, 3), B(5, -1) i C(4,2).

11

Exercici 21.- Calculeu els vectors directors de les rectes que contenen els costats del triangle de vèrtexs A(2, 3), B(5, -1) i C(4,2).

Equacions de la recta

Sigui A(x0 ,y0) un punt i v = (a, b) un vector director d’una recta r. Es

tracta de trobar les relacions existents entre les coordenades del punt A, les components del vector director i les coordenades d’un punt qualsevol de la recta B(x, y). Fixeu-vos en el gràfic següent

Es compleix que BOBAAO

, ara bé, si ens fixem en les components d’aquests vectors: AO

= (x0 , y0), BO

= (x , y) i BA

= v

= (a, b), és a dir:

(x, y) = (x0 , y0) + (a, b) equació vectorial de la recta

igualant les components, trobem les relacions:

x = x0 + a equacions paramètriques de la recta

y = y0 + b

aïllant en totes dues equacions el paràmetre i igualant obtenim:

b

yy

a

xx 00

equació contínua de la recta

12

Si es coneixen dos punts de la recta A(x1, y1) i B(x2, y2), com que el vector

AB és un representant d’un vector director de la recta, l’equació contínua és de la forma:

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

i si els dos punts que es coneixen són els punts en què la recta talla els eixos de coordenades, A(a,0) i B(0,b), en resulta:

b

y

a

ax

i, d’aquí

x

a

y

b 1 equació canònica de la recta

De l’equació contínua, eliminant denominadors i agrupant termes, s’obté:

bx –bx0 = ay – ay0

bx - ay + ay0 – bx0 = 0

expressió de la forma:

Ax + By + C = 0 equació implícita o general de la recta

on A = b, B = -a, i C = ay0 – bx0

Observeu que, coneguda l’equació implícita o general de la recta, un vector director ve donat per v

= ( -B, A )

Tota recta no paral·lela a l’eix d’abscisses el talla i determina un angle . A la tangent d’aquest angle tg , se li dóna el nom de pendent de la recta, el representarem per m.Conegut un vector director de la recta, també es coneix el seu pendent.

13

α b m = tg = a

b

a α

De l’equació contínua de la recta:

b

yy

a

xx 00

a

b ( x – x0 ) = y – y0

com que m =a

b,

y – y0 = m(x – x0 ) equació punt-pendent

que traient parèntesi i agrupant

y = mx + n equació explícita

Exercici 22.- Comproveu si el punt B(2,7) pertany a la recta que passa per A(4,2) i que té de vector director v

= ( 1, 3).

Exercici 23.- Escriviu en totes les seves formes la recta que passa per A(2,-1) i B(4,5).

14

Exercici 24.- Comproveu si els següents punts estan situats en la mateixa recta:

A(2,-1) B(5,4) C(11,14)

Exercici 25.- Donada la recta s: 2x - 3y + 6 = 0:

a) Calculeu-ne tres punts.b) Calculeu-ne un vector director.c) Escriviu-la en forma paramètrica.

Exercici 26.- Escriviu en totes les altres formes cadascuna de les rectes:

a) 4x + y - 2 = 0

b) y = 2x - 4

c)

k5y

3k2x

d)6

y

4

2x

Exercici 27.- Indiqueu un punt i un vector director de cada una de les rectes:

a) 3x + 5y - 2 = 0

b)

25ky

3k2x

c)5

2y

3

2x

d) y = 3x -3

Exercici 28.- Donada la recta d’equacions paramètriques:

4k6y

2k3x

15

Calculeu els punts que corresponen als valors del paràmetre: k = 0, k = -2,

k = 5, k = 1

4.

Exercici 29.- Calculeu l’equació de la recta que passa pels punts indicats i en la forma que en cada cas s’indica:

a) A(2,3) i B(5,-1) equació contínuab) A(0,-2) i B(4,5) equació generalc) A(-2,0) i B(-4,5) equacions paramètriquesd) A(-2,4) i B(0,-3) equació explícitae) A(0,4) i B(-5,0) equació canònica

Exercici 30.- Calculeu l’equació general de les mitjanes del triangle de vèrtexs A(4,2), B(0,6) i C(8,4).

Exercici 31.- Calculeu l’equació general dels costats i de les diagonals del quadrilàter de vèrtexs A(2,3), B(5,7), C(6,2), D(3,-2).

Exercici 32.- Calculeu el pendent de cadascuna de les rectes següents, i també l’angle que determinen amb l’eix de les abscisses.

a) 2x + 3y + 4 = 0

b)4

5y

3

2x

c)

k5y

3k2x

d) 15

y

4

x

16

Posició relativa d’un punt i una recta

Donat un punt A i una recta r, per saber si el punt A pertany o no a la recta r cal comprovar si les coordenades del punt compleixen l’equació de la recta. En cas afirmatiu el punt és de la recta, en cas negatiu el punt no és de la recta.

Posició relativa de dues rectes

Donades les equacions de dues rectes r i s, per saber la posició relativa entre aquestes seguim els passos següents:Primer comprovem si els vectors directors són proporcionals o les dues rectes tenen el mateix pendent. En cas negatiu les rectes es tallen en un punt. En cas afirmatiu les rectes o són paral·leles, o són coincidents. Per diferenciar aquests últims casos comprovem si les coordenades d’un punt d’una de les rectes compleixen l’equació de l’altra recta. En cas negatiu les rectes són paral·leles, en cas afirmatiu les rectes són coincidents.

Exercici 33.- Calculeu el valor de m perquè la recta (m-2)x - 2y + 1 = 0 passi pel punt (3, 2).

Exercici 34.- Indiqueu en cada cas si totes dues rectes són paral·leles.

a)

3k4y

2k5x

6k3y

4k2x

b)

2k5y

k4x32xy

c) y = 3x -2 6x - 2y + 5 = 0

d)8

3y

6

1x1

6

y

3

x

Exercici 35.- Calculeu el valor de t perquè les rectes següents siguin paral·leles a la recta 3x - 5y + 4 = 0.

17

a) tx + 10y - 3 = 0

b)3

4y

t

2x

c)

tk6y

10k4x

Exercici 36.- Escriviu l’equació contínua de la recta que passa per A(4,7) i és paral·lela a la recta que passa pels punts B(2, -5) i C(4, 2).

Exercici 37.- En el triangle de vèrtexs A(3,3), B(4,6) i C(2,-6), calculeu-hi:

a) les equacions dels costats.b) les equacions de les tres mitjanes.c) el baricentre com a intersecció de dues de les mitjanes.d) comproveu que la tercera mitjana també passa pel punt calculat a

l’apartat c).

Exercici 38.- Calculeu el valor de k perquè les rectes x + y - 2 = 0, 2x - 3y +1 = 0 i (k + 1)x -ky +2k + 3 = 0 es tallin en un mateix punt.

Exercici 39.- Calculeu els punts d’intersecció dels parells de rectes següents:

a) 2x - 3y + 5 = 0; 6x -2y + 4 = 0

b) 063yx5

2y

3

1x

c)

3t5y

t4x

t6y

2t5x

d) y =2x + 4; x + 3y - 2 = 0

18

El pla afí euclidià. Producte escalar de dos vectors.

Donats dos vectors v = (v1, v2) i w

= (w1, w2 ) s’anomena producte escalar de v

i w , que es representa per w·v

, el nombre real que s’obté multiplicant el mòdul de v

pel mòdul de w i pel cosinus de l’angle que

formen :

w·v = ),cos( wvwv

Les propietats del producte escalar de vectors són les següents:

Commutativa: w·v = v·w

Distributiva respecte a la suma: )wv(·u

= w·uv·u

Associativa amb la multiplicació per un nombre

real: w·)v(k = )·( wvk

Si w·v = 0 per tot vector v

, llavors w = 0

Ortogonalitat de vectors

Dos vectors v i w

no nuls són ortogonals si el seu producte escalar és zero.Donat un vector v

= (v1, v2) és molt senzill determinar vectors que li siguin ortogonals, n’hi haurà prou amb considerar vectors de la forma wk

, en què w

= (- v2, v1 ).

Expressió analítica del producte escalar de dos vectors

Considerem els vectors u = (u1 , u 2 ) i v

= (v1 , v 2 ).Podem expressar-los de la següent manera: u= u1 (1,0) + u 2 (0,1) = u1 jui

2

v = v1 (1,0) + v 2 (0,1) = v1 jvi

2 on )1,0()0,1( jii

Per tant ))·((· 2121 jvivjuiuvu

= )·()·()·()·( 22122111 jjvuijvujivuiivu

Per als vectors i i j

tenim:1),cos(· iiiiii

19

1),cos(· jjjjjj

0·· ijji

perquè segons ortogonals

Per tant: 2211· vuvuvu

Angle de dos vectors

Tenint en compte les components dels vectors v =( ), 21 vv i w

=( ), 21 ww i el seu producte escalar:

cos = cos( ), wv =

wv

wv

·

·=

22

21

22

21

2211

wwvv

wvwv

Projecció ortogonal d’un vector sobre un altre vector

Donats dos vectors v i w

, s’anomena projecció ortogonal de v sobre w

el nombre real:

w

w·vαcosvv

on α és l’angle format pels dos vectors.

v

α

v´w

20

Exercici 40.- Calculeu l’angle de les parelles de vectors següents:

a) v = (-3, 5 ) , w

= (7, 2)b) s

= (4, -1) , t

= (2, 3)

Distància entre dos punts del pla

La distància entre dos punts A i B del pla ve donada pel mòdul del vector

AB.

AB

|AB|B)d(A,

Distància d’un punt a una recta

Donat un punt S(p,q) i una recta r: Ax + By + C = 0 del pla, la distància del punt S a la recta r ve donada pel valor absolut de la projecció ortogonal

del vector RS sobre un vector u

ortogonal a r, on R és un punt qualsevol de la recta.

r: Ax + By + C = 0 u

22 BA

|CBqAp|

|u|

|u·RS|r)d(S,

Distància entre dues rectes paral·leles

Per trobar la distància entre dues rectes paral·leles r i s, prenem un punt Q qualsevol d’una de les rectes i calculem la distància d’aquest punt a l’altra recta.

A

B

R(a,b)

S(p,q)

21

r s

Q d(r,s) d(Q,s)

Angle de dues rectes no paral·leles

Dues rectes secants del pla determinen quatre angles. Podem trobar aquests angles a partir de l’angle que formen els vectors directors d’aquestes rectes.Dues rectes són perpendiculars quan l’angle que formen és recte o, el que és equivalent, quan els seus vectors directors són ortogonals.Condició de perpendicularitat:

A partir de l’equació general: AA´ + BB´= 0 A partir de l’equació explícita: m m´= -1

Exercici 41.- Trobeu tres vectors ortogonals al vector u = (-1, 4).

Exercici 42.- Determineu la distància entre els punts A(-1,3) i B(0,3)

Exercici 43.- Calculeu la distància del punt P(1,1) a la recta r: y = -2x +3

Exercici 44.- Calculeu la distància entre les rectes r i s

r: y = -x + 2 s: y = -x + 4

Exercici 45.- Trobeu els angles que determinen les rectes r i s

r: 3x + 2y - 4 = 0 s: 2x - 3y + 4 = 0

22

Exercici 46.- Determineu l’equació general de la recta que passa per

P(1,2) i és perpendicular a r: 3

y

2

2x

.

Exercici 47.- Completeu la taula:

components origen extrem(2,1) (-2,4)

(3,-5) (0,-3)(-2,7) (-3,4)(1,-3) (5,2)

Exercici 48.- Trobeu m i n en la igualtat de vectors següent:

(2m - 3 , m + n ) = ( 1 - n , 3 )

Exercici 49.- Calculeu les components dels vectors:

a)

2,3

5

1

3

2

b) 40,2

1,

3

1222,3

Exercici 50.- Calculeu les coordenades dels punts que divideixen el segment AB en tres parts iguals, sent A(1,2) i B(4,-2).

Exercici 51.- Si el baricentre d’un triangle és el punt (1,4), determineu el tercer vèrtex del triangle sabent que els altres dos són A(-1,2) i B(0,7).

Exercici 52.- Escriviu cinc punts de la recta que té per equacions paramètriques:

t3

2y

3tx

Exercici 53.- Completeu la taula:

23

paramètriques contínua canònica punt-pendent

y - 2 = 5( x + 1 )

Exercici 54.- Determineu quines sèries de punts estan alineats:

a) (0,0) , (1,1) , (7,7)b) (2,3) , (-4,-6) , (8,12)c) (3,4) , (1,2) , (5,1)

d) (3,-1) , (-6,2) , (3

2, 1)

Exercici 55.- Trobeu l’equació de la recta paral·lela a 4x - y + 2 = 0 que passi pel punt ( 5 , -1 ).

Exercici 56.- Trobeu els coeficients m i n de les rectes 3x - my = 2 i nx + 4y = 5 sabent que són paral·lels i que la primera passa pel punt (2,2 ).

Exercici 57.- Trobeu l’equació general de la recta que passa pel punt d’intersecció de les rectes 3x - 2y + 10 = 0 i 4x + 3y -15 = 0 i pel punt (2,1).

Exercici 58.- Calculeu els productes escalars següents:

a) (0,1)·(-2,1)b) (3,-3)·(3,3)

c) (1

2,1)·(

1

6,1

3)

Exercici 59.- Trobeu l’angle que formen els vectors:

a) (1,-1) i (3,4)b) (0,1) i (2,-3)c) (0,3) i (-1,-2)

Exercici 60.- Determineu si el punt P pertany a la recta r

24

a) P(-1, 0) r: 5

y

4

1x

b) P(2,3) r: 1x2

3y

Exercici 61.- Calculeu la distància del punt P a la recta r

a) P(1,1) r: y = -2x + 3

b) P(0,0) r: 4

1y

3

1x

Exercici 62.- Calculeu la distància entre les rectes r i s

a) r: (x,y) = (-1,3) + k(3,5) s: x - y + 3 = 0

b) r: 1

3y

1

2x

s: y = x - 1

Exercici 63.- Trobeu els angles que determinen les rectes r i s

a) r: 3x + 2y - 4 = 0 s: 2x - 3y + 4 = 0

b) r: 3

y

1

2x

s: 1

3y

2

3x

Exercici 64.- Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt (2,-1) i forma un angle de 60º amb la recta -x + y - 4 = 0

Exercici 65.- Determineu l’equació de la recta que passa per P(-2,-1) i és perpendicular a r: 4x + 5y - 1 = 0

Exercici 66.- Calculeu el valor de m perquè les rectes r i s siguin perpendiculars

r: mx + (2m - 1)y + 3 = 0

25

s: (4m - 7)x - (m + 2)y - 8 = 0

Exercici 67.- Donat el triangle:

A(3,-1) , B(6,2) , C(2,6)

Determineu:

a) els vectors

AB i

AC .

b) el mòdul del vector

BC .

c) l’angle que formen

AB i

AC .

Exercici 68.- Sigui r la recta que passa pels punts (2, -3) i (5, 4) i un punt P(4, 6). Calculeu:

a) l’equació general de la recta que passa per P i és perpendicular a la recta r.

b) l’equació vectorial de la recta que passa per P i és paral·lela a la recta r.

c) distància del punt P a la recta r.

Exercici 69.- Els punts A(0,2) , B(0, -1) i C(3, 2 ) són els vèrtexs del paral·lelogram ABCD. Calculeu les coordenades del quart vèrtex i l’àrea del paral·lelogram. D

A(0,2) C(3,2) B(0,-1)

Exercici 70.- Agrupeu els vectors de la figura següent que tinguin el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit. Determineu també, el mòdul de tots aquests vectors.

26

Exercici 71.- Representeu gràficament i en components les operacions de vectors següents:

Exercici 72.- Per cada una de les rectes representades determineu l’equació general, el pendent, i l’angle que formen amb l’eix d’abscisses.

a) vu

b) w

c) uw2

d) w2

1

e) w3v2

27

Exercici 73.- Determineu l’àrea del triangle ABC.

Exercici 74.- Donat el triangle de vèrtexs A(0,0), B(8,0) i C(4,6):

a) Trobeu les coordenades del baricentre, del circumcentre i de l’ortocentre.

b) Comproveu que aquests tres punts estan alineats.c) Comproveu que la distància entre el baricentre i l’ortocentre és el

doble de la distància que hi ha del circumcentre al baricentre.

Exercici 75.- Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt P(6,-2) i dista dues unitats de l’origen de coordenades.

Exercici 76.- El triangle ABC té àrea 6 u.a. Els vèrtexs són A(1,-3), B(2,1) i C, que és sobre la recta x + y + 3 = 0. Trobeu les coordenades del vèrtex C.

Exercici 77.- Trobeu l’equació d’una recta perpendicular a x + 3y - 5 = 0 que disti cinc unitats del punt (1,-1). Quantes rectes ho compleixen ?

Exercici 78.- Trobeu el punt simètric de A(5,2) respecte de la recta x + y - 5 = 0.

Exercici 79.- Escriviu vectors ortogonals al vector u = (-3,5), tals que:

a) la primera component sigui 12

28

b) la segona component sigui - 1c) el mòdul sigui 1

Exercici 80.- Determineu l’angle que formen el vector v = (5,12) i un

vector desconegut w , sabent que la projecció v

sobre w és 8.

Exercici 81.- Demostreu que els angles inscrits en un circumferència, que abracen un diàmetre, són rectes. Sigui r el radi de la circumferència.

1. Agafeu un sistema de referència centrat en el centre de la circumferència.

2. Trieu un punt A(x,y) qualsevol de la circumferència.a) Es compleix que x2 + y2 = r2 ? Per què ?b) Siguin C(r,0) i B(-r,0), els punts de tall de la circumferència

amb l’eix d’abscisses. Busqueu les components dels vectors AB i AC.c) Demostreu que els vectors AB i AC són ortogonals.

Exercici 82.- Els costats d’un triangle es troben sobre les rectes d’equacions:

x - y + 1 = 0 ; x + y + 5 = 0 ; 5x - 2y -10 = 0

Calculeu:

a) les coordenades dels vèrtexsb) les longituds dels costatsc) els tres anglesd) l’àrea

A

CB

29

Exercici 83.- Determineu el valor que ha de tenir a perquè les rectes:

x + ay - 3 = 0( a + 2 )x - ay + ( a - 2 ) = 0

siguin:a) paral·lelesb) perpendiculars

En el cas a), calculeu quina distància les separa.

Exercici 84.- Des del punt F(5,10) surt un raig de llum que es reflecteix en la recta d’equació 3x + 4y = 30, i després de la reflexió arriba al punt A(13,4). Determineu el punt de la recta on es reflectirà el raig.

Exercici 85.- Busqueu un punt P de la recta x - y = 4, de manera que l’angle APB sigui recte.

30

Exercici 86.- Sigui P un punt de la recta y = 2x + 4. Expresseu en funció de l’abscissa del punt P: la distància de P a A, la distància de P a B i l’àrea del triangle que determinen aquests tres punts.

Exercici 87.- Determineu el perímetre i l’àrea del quadrilàter de vèrtexs A(-4,0), B(0,3), C(6,1) i D(5,-2).

31

Exercici 88.- Determina l’àrea del paral·lelogram OABC i les equacions dels costats AB i BC sabent que OA és la recta d’equació x – 2y =0, que OC té d’equació 3x + y = 0 i que les coordenades de B són (3,5).

Exercici 89.- Els punts B= (-1, 3) i C= (3, -3) són els vèrtexs d’un triangle isòsceles que té el tercer vèrtex A a la recta x + 2y – 15 = 0. AB i AC són els costats iguals. Calcula les coordenades de A i les altures del triangle.

Exercici 90.- Tracem pel punt A (2, 6) dues rectes perpendiculars a les bisectrius del primer quadrant i del segon quadrant. Busca:

a) Les equacions d’aquestes rectes.b) Les coordenades dels vèrtexs del triangle format per la recta

3x – 13y – 8 = 0 i aquestes rectes.

Exercici 91.- Donats els punts A(2, 1), B(-3, 5) i C(4, m), calcula m perquè el triangle ABC tingui una àrea de 6 unitats quadrades.

Exercici 92.- Busca l’àrea del quadrilàter que té per vèrtexs: A(2, -2), B(4,2), C(4, 0) i D(-2,3).

Exercici 93.- Un rombe té un extrem en el punt (6,1) i una diagonal que mesura 2 5 sobre la recta 2x + y – 3 = 0. Troba els altres tres vèrtexs.

Exercici 94.- D’un quadrat en coneixem dos vèrtexs contigus A(3,1) i B(4, 5). Calcula els altres vèrtexs. Quantes solucions hi ha?

Exercici 95.- Determina l’equació d’una recta de pendent -2 que forma amb els eixos de coordenades un triangle d’àrea igual a 81. Quantes solucions hi ha?

32