10 vector es

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

espaciotridimensional

HEDIMA

Espaciovectorial real

Combinacionlineal devectores

Dependenciae indepen-dencialineal

Operacionescon vectores

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Herramientas digitales de

auto-aprendizaje para Matematicas

HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica

Departamento de Matematicas

Universidad de Extremadura

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Bloque: Geometrıa

Tema: Vectores en el espacio tridimensional

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Indice

Espacio vectorial real

Combinacion lineal de vectores

Dependencia e independencia lineal

Operaciones con vectores

Producto escalar. Propiedades. Significado geometrico

Producto vectorial. Propiedades. Significado geometrico

Producto mixto. Propiedades. Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

1. Espacio vectorial real

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Definicion

Consideremos un conjunto V = {u,v,w, ...}, en el que definimos lassiguientes operaciones:

Suma: u+ v

Producto por escalares: ku, (k ∈ R)

El conjunto V, con las operaciones suma y producto por escalares, es unespacio vectorial si se verifican las propiedades que veremos a continuacion

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Propiedades

Asociativa: (u+ v) +w = u+ (v +w)

Conmutativa: u+ v = v + u

Elemento neutro: existe un elemento que designaremos por 0, tal quecualquiera que sea el elemento u se verifica u+ 0 = u

Elemento opuesto: cualquiera que sea el elemento u, existe otro, −u(opuesto de u), tal que u+ (−u) = 0

k(u+ v) = ku +kv (k ∈ R)

(k + h)u = ku +hu (k, h ∈ R)

k(hu) = (kh)u (k, h ∈ R)

1u = u, donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los numerosreales

A los elementos de V se les llama vectores

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos de espacios vectoriales reales

Ejemplos de espacios vectoriales

Los conjuntos R2 = R × R; R3 = R × R × R;...;Rn = R × ...n × R,con las operaciones suma y producto por numeros reales. Por ejemplo,en el espacio vectorial R3, cada vector es una terna de numeros reales(x, y, z), y las operaciones suma y producto por un numero real λ son lassiguientes:

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′) λ · (x, y, z) = (λx, λy, λz)

El conjunto de las matrices de numeros reales de m = 2 filas y n = 3columnas, con las operaciones de suma de matrices y producto de unescalar por una matriz (valido tambien para otros valores de m y n).

El conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado menor oigual a n = 3, con las operaciones usuales de suma de polinomios yproducto de un polinomio por un numero real (valido tambien para otrosvalores de n).

El conjunto de funciones reales continuas definidas en el intervalo [0, 1],con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de unafuncion por un numero real.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Definicion

Un vector u de V es combinacion lineal de los vectores u1,u2, ...,un de V,si puede expresarse ası:

u = a1u1 + a2u2 + ...+ anun,

siendo a1, a2, ..., an numeros reales.

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, podemos escribir el vector (−4, 4, 32), comocombinacion lineal de los vectores: (2, 3, 4), (1, 0,−1) y (−1,−1, 3) de lasiguiente manera:

(−4, 4, 32) = 3(2, 3, 4)− 5(1, 0,−1) + 5(−1,−1, 3)

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Subespacio engendrado

Definicion

Sea V un espacio vectorial. Se dice que W es un subespacio vectorial deV, si se verifican las siguientes condiciones:

1 W es un subconjunto no vacıo de V

2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W

3 El producto de un numero real por un vector de W es otro vector de W

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplo de subespacio engendrado

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, consideremos el subconjunto W formado por losvectores cuya tercera componente es nula, es decir,

W = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.

W verifica:

1 Es un subconjunto no vacıo de R3, ya que, al menos, el vector nulopertenece a W

2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W

3 El producto de un numero real cualquiera por un vector de W es otrovector de W

El conjunto W es un espacio vectorial con las operaciones suma y productopor un numero real usadas en el espacio vectorial R3. Por lo tanto, W es unsubespacio vectorial de R3.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Subespacio engendrado

Definicion

Sea S = {u1,u2, ...,un} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.Se llama subespacio engendrado por S, y se le designa por L(S) o por< u1,u2, ...,un >, al subespacio vectorial formado por todas lascombinaciones lineales que se pueden hacer con los vectores de S, es decir:

L(S) = {a1u1 + a2u2 + ...+ anun}

Los vectores u1,u2, ...,un se dice que forman un sistema generador delespacio L(S)

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, el subespacio vectorial engendrado por losvectores u = (1,−1, 3) y v = (2,−5, 6) es:

L(u,v) = < u,v > = {a1u+ a2v} == {a1(1,−1, 3) + a2(2,−5, 6)} == {(a1 + 2a2, −a1 − 5a2, 3a1 + 6a2)}

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Dependencia e independencialineal

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Definicion

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno deellos se puede expresar como combinacion lineal de los restantes. En casocontrario se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo

En el ejemplo que veıamos anteriormente, los vectores: (−4, 4, 32), (2, 3, 4),(1, 0,−1) y (−1,−1, 3) son linealmente dependientes pues el primero sepuede escribir como combinacion lineal del resto.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Otra forma de definir los conceptos anteriores es la siguiente:

Definicion

Los vectores u1,u2,...,un son linealmente dependientes si existe unacombinacion lineal de los vectores con algun coeficiente no nulo que sea igualal vector cero, es decir:

a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,

con algun ai 6= 0,i = 1, ..., n.

Definicion

Los vectores u1,u2,...,un son linealmente independientes si cualquiercombinacion lineal de los vectores que sea igual al vector cero, tiene quetener todos los coeficientes nulos, es decir:

a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,

solo es posible con todos los ai = 0, i = 1, ..., n.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Ejemplo

Supongamos que queremos estudiar la dependencia lineal en R3 del conjuntode vectores:

{(3, 3, 2), (1, 1,−1), (2, 2, 3)}.

Vamos a tratar de escribir un vector como combinacion lineal del resto:

(3, 3, 2) = a1(1, 1,−1) + a2(2, 2, 3)

Identificando las componentes, obtenemos el siguiente sistema:3 = a1 + 2a2

3 = a1 + 2a2

2 = −a1 + 3a2

La solucion de este sistema es a1 = 1 y a2 = 1, por tanto el vector (3, 3, 2)se puede escribir como combinacion lineal del resto y, en consecuencia, losvectores dados son linealmente dependientes.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Base de un espacio vectorial

Definicion

Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V. Se diceque B es una base de V si se verifican las siguientes condiciones:

B es un sistema generador de V

B es linealmente independiente

Definicion

Llamamos dimension del espacio V al numero de elementos que tienecualquiera de sus bases.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos de bases y dimensiones de espacios vectoriales

Ejemplos

1 El espacio vectorial R2 esta formado por pares de numeros reales (x, y).Tiene como base canonica B = {(1, 0), (0, 1)}, porque

B es sistema generador de R2 porque cualquier par de numeros reales(x, y) es combinacion de B: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).

B es linealmente independiente porque si x(1, 0) + y(0, 1) = (0, 0),entonces x = 0 e y = 0.

Por tanto, R2 tiene dimension 2.

2 El espacio vectorial R3 esta formado por ternas de numeros reales(x, y, z). Tiene como base canonica B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},por lo que tiene dimension 3.

3 En R3, el espacio vectorial W engendrado por el vector u = (1, 2, 3)tiene por base al propio vector u, pues u es no nulo y genera todo elespacio W . Por tanto la dimension de W es 1.

4 La base mas sencilla del espacio vectorial de los polinomios de gradomenor o igual a 2 es {x2, x, 1} y por lo tanto tiene dimension 3.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Coordenadas de un vector

Definicion

Sea V un espacio vectorial de dimension n y B = {u1,u2, ...,un} una basede V. Se llaman coordenadas de un vector v de V, respecto de la base B,al conjunto de numeros reales a1, a2, ..., an, que permite expresar el vector vcomo combinacion lineal de los vectores de la base, es decir:

v = a1u1 + a2u2 + ...+ anun

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Coordenadas de un vector

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, vamos a calcular las coordenadas del vector(1, 0, 0), respecto de la base:

B = {(1,−1, 0), (0, 0, 2), (3, 0, 1)}

Para ello planteamos,

(1, 0, 0) = a1(1,−1, 0) + a2(0, 0, 2) + a3(3, 0, 1),

e igualamos coordenada a coordenada para obtener el siguiente sistema deecuaciones

1 = a1 + 3a3

0 = a1

0 = 2a2 + a3

cuya solucion:a1 = 0, a2 = −1/6, a3 = 1/3,

son las coordenadas del vector (1, 0, 0) en la base B

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

2. Operaciones con vectores

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Vectores fijos en el espacio

Definicion de vector fijo

Llamamos vector fijo de un espacio a un segmento orientado cuyos extremos

estan determinados. Designaremos por−→AB a un vector fijo del espacio que

tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

Definicion de vector nulo

Si en un vector su origen coincide con su extremo, se dice que es el vectorfijo nulo.

Todo vector fijo no nulo−→AB en el espacio queda caracterizado por un par

de puntos (A,B) o por su modulo, direccion y sentido.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Vectores fijos en el espacio

Definicion de modulo de vector fijo

Se llama modulo del vector−→AB, y se denota |

−→AB|, a la longitud del

segmento de extremos los puntos A y B.

Definicion de direccion de un vector fijo

Se llama direccion del vector−→AB a la direccion de la recta que pasa por A y

B.

Definicion de sentido de un vector fijo

Se llama sentido del vector−→AB al sentido de recorrido de la recta AB

cuando nos trasladamos de A a B.

Como estandar, denotaremos −→u o −→v a los vectores fijos.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual modulo, direccion y sentido.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual direccion y sentido pero distintomodulo.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual direccion pero distinto moduloy sentido.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene distinto modulo, direccion y sentido.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Producto escalar. Propiedades.Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion de producto escalar

Definicion

El producto escalar de dos vectores −→u y −→v se designa por −→u · −→v y seobtiene del siguiente modo:

−→u · −→v =

{|−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ), si −→u y −→v son no nulos

0 si −→u o −→v es el vector nulo

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar de un vector por sı mismo es un numero positivo onulo: −→u · −→u ≥ 0

2. El producto escalar es conmutativo: −→u · −→v = −→v · −→u

3. Propiedad homogenea: k(−→u · −→v ) = (k−→u ) · −→v o k(−→u · −→v ) = −→u · (k−→v )siendo k ∈ R.

4. Propiedad distributiva respecto de la suma:−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto escalar

Consideremos las figuras anteriores donde se representan los vectores −→u y−→v . Al proyectar el vector −→v sobre la direccion del vector −→u o viceversa,obtenemos:

Proyeccion de −→v sobre −→u = medida del segmento−→AB = |

−→AB| = vector

proyeccion de −→v sobre −→u

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto escalar

El producto escalar de dos vectores cualesquiera −→u y −→v es igual almodulo de −→u por la proyeccion de −→v sobre −→u o viceversa:

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→u |(proyeccion de −→v sobre −→u )

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v )

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Calculo del modulo y el angulo de un vector

Calcularemos el modulo de un vector como la raız cuadrada positiva delproducto escalar del vector por sı mismo:

|−→u | =√−→u · −→u

Diremos que un vector −→u es unitario si tiene modulo igual a 1 (|−→u | = 1).

Calcularemos el coseno del angulo formado por dos vectores como la divisiondel producto escalar entre el producto de sus modulos:

cos(−→u ,−→v ) =−→u · −→v|−→u ||−→v |

Diremos que dos vectores −→u y −→v son ortogonales si su producto escalar es0.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Expresion analıtica del producto escalar

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base cualquiera y −→u ,−→v dos vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el producto escalar de ambos vectores en terminos decoordenadas se puede expresar ası:

−→u · −→v = (x−→u1 + y−→u2 + z−→u3) · (x′−→u1 + y′−→u2 + z′−→u3)

= xx′(−→u1 · −→u1) + xy′(−→u1−→u2) + xz′(−→u1 · −→u3)

+ yx′(−→u2 · −→u1) + yy′(−→u2−→u2) + yz′(−→u2 · −→u3)

+ zx′(−→u3 · −→u1) + zy′(−→u3−→u2) + zz′(−→u3 · −→u3)

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Expresion analıtica del producto escalar

B es una base normada si esta formada por vectores unitarios, es decir,

−→u1 · −→u1 = −→u2 · −→u2 = −→u3 · −→u3 = 1.

En este caso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′ + (xy′ + yx′)(−→u1−→u2)

+ (xz′ + zx′)(−→u1 · −→u3) + (yz′ + zy′)(−→u2 · −→u3)

B es una base ortogonal si los vectores de la base son ortogonalestomados de dos en dos, es decir,

−→u1 · −→u2 = −→u1 · −→u3 = −→u2 · −→u3 = 0.

En este caso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′(−→u1−→u1) + yy′(−→u2

−→u2) + zz′(−→u3−→u3)

B es una base ortonormal si es una base normada y ortogonal. En estecaso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos de producto escalar

Ejemplo

El producto escalar de dos fuerzas f1 y f2 en el espacio, que tienen,respectivamente, 5 y 2 newton de intensidad y forman un angulo de 60o es:

f1 · f2 = |f1||f2| cos(f1, f2) = 5 · 2 · 0,5 = 5

Ejemplo

Puesto que

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v ),

la proyeccion del vector −→u = (2, 1, 3) sobre el vector −→v = (−3, 4, 2)considerando una base ortonormal es:

proyeccion de −→u sobre −→v =−→u · −→v|−→v |

=2(−3) + 1 · 4 + 3 · 2√

(−3)2 + 42 + 22=

4√29

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Producto vectorial. Propiedades.Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion de producto vectorial

Definicion

El producto vectorial de dos vectores −→u y −→v es otro vector que se designapor −→u ×−→v y que se obtiene del siguiente modo:

1 Si −→u y −→v son dos vectores no nulos, y no proporcionales, −→u ×−→v es unvector que tiene:

modulo: |−→u ||−→v | sin(−→u ,−→v )direccion: perpendicular a los vectores −→u y −→vsentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de−→u a −→v .

2 Si −→u =−→0 o −→v =

−→0 o si −→u y −→v son proporcionales, entonces se tiene

que −→u ×−→v =−→0

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Propiedades del producto vectorial

1. Anticonmutativa: −→u ×−→v = −−→v ×−→u

2. Homogenea: k(−→u ×−→v ) = (k−→u )×−→v = −→u × (k−→v ) (k ∈ R).

3. Distributiva respecto de la suma: −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto vectorial

Sean −→u y −→v los vectores de la figura.

Si trazamos por B una perpendicular a la recta−→OA, corta a esta en el

punto B′ y se verifica que:

sin(−→u ,−→v ) = |−−→BB′||−→v |

,

de donde:

|−−→BB′| = |−→v | sin(−→u ,−→v ).

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto vectorial

Multiplicando ambos miembros por el modulo del vector −→u obtenemos:

|−→u ||−−→BB′| = |−→u | |−→v | sin(−→u ,−→v ) = |−→u ×−→v |,

y como |−→u ||−−→BB′| es el producto de la base por la altura del paralelogramo

OACB se tiene que el modulo del producto vectorial de −→u y −→v es igualal area del paralelogramo que tiene por lados los vectores −→u y −→v .

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Expresion analıtica del producto vectorial

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v dos vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el vector −→u ×−→v tiene las siguientes componentes:

−→u ×−→v =

(∣∣∣∣ y zy′ z′

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ z xz′ x′

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x yx′ y′

∣∣∣∣) ,Podemos recordar lo anterior relacionandolo con el calculo de los

determinantes:

−→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣−→u1

−→u2−→u3

x y zx′ y′ z′

∣∣∣∣∣∣(El ultimo determinante solo es una regla para recordar el calculo de una

producto vectorial, puesto que no tiene sentido matematico el determinantede una matriz cuyos elementos sean vectores mezclados con numeros)

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplo de producto vectorial

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores (1, 2, 3) y (0, 3, 5) da como resultado:

(1, 2, 3)× (0, 3, 5) =

∣∣∣∣∣∣−→u1

−→u2−→u3

1 2 30 3 5

∣∣∣∣∣∣ = u1 − 5u2 + 3u3,

es decir el vector (1,−5, 3)

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Producto mixto. Propiedades.Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion de producto mixto

Definicion

El producto mixto de tres vectores −→u , −→v y −→w es un numero real que sedesigna por [−→u ,−→v ,−→w ] y que se obtiene del siguiente modo:

[−→u ,−→v ,−→w ] = −→u · (−→v ×−→w )

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Propiedades del producto mixto

1. [−→u ,−→v ,−→w ] = [−→v ,−→w ,−→u ] = [−→w ,−→u ,−→v ]

2. [−→u ,−→w ,−→v ] = [−→v ,−→u ,−→w ] = [−→w ,−→v ,−→u ] = −[−→u ,−→v ,−→w ]

3. [−→u ,−→v ,−→w ] = 0 si y solo si, −→u , −→v , −→w son linealmente dependientes.

4. [a−→u , b−→v , c−→w ] = abc[−→u ,−→v ,−→w ]

5. [−→u +−→u′ ,−→v ,−→w ] = [−→u ,−→v ,−→w ] + [

−→u′ ,−→v ,−→w ]

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto mixto

Sean −→u , −→v y −→w los vectores de la figura.

|[−→u ,−→v ,−→w ]| = |−→u · (−→v ×−→w )| = |−→u ||−→v ×−→w || cos( −→u ,−→v ×−→w )|

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto mixto

Como |−→u || cos( −→u ,−→v ×−→w )| = |−−→OH| es la altura del paralelepıpedo

construido sobre los tres vectores, y como |−→v ×−→w | es el area de la base,resulta que:

|[−→u ,−→v ,−→w ]| = base · altura = volumen.

El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual alvolumen del paralelepıpedo que tiene por aristas a los tres vectores.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Expresion analıtica del producto mixto

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v ,−→w tres vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z),(x′, y′, z′) y (x′′, y′′, z′′). Entonces el producto mixto [−→u ,−→v ,−→w ] tiene lasiguiente expresion analıtica:

[−→u ,−→v ,−→w ]

= −→u · (−→v ×−→w )

= (x−→u + y−→v + z−→w ) ·(∣∣∣∣ y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣−→u +

∣∣∣∣ z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣−→v +

∣∣∣∣ x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣−→w)= x

∣∣∣∣ y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣+ y

∣∣∣∣ z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣+ z

∣∣∣∣ x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣x y zx′ y′ z′

x′′ y′′ z′′

∣∣∣∣∣∣ = det(−→u ,−→v ,−→w )

es decir,[−→u ,−→v ,−→w ] = det(−→u ,−→v ,−→w )

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplo de producto mixto

Ejemplo

El producto mixto de los vectores (0, 1, 3), (2, 4, 6) y (1, 2, 1) es:

[(0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)] = det((0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)) = 4

10 vector es

Documents