VECTORESCAPTULO 2

FSICA I

FACULTAD DE CIENCIAS UNI

ARTURO TALLEDO(DOCTOR EN FSICA)

VECTORES1) Cantidades escalares, vectoriales y tensoriales2) Operaciones con vectores 2.1) Suma y resta 2.2) Producto por un escalar 2.3) Producto escalar de dos vectores 2.4) Producto vectorial de dos vectores3) Otros conceptos importantes relativos a vectores 3.1) Vector Unitario 3.2) Componentes de un vector4) Componentes cartesianas de un vector Operaciones de vectores usando componentes cartesianas5) Aplicaciones a la geometra analtica 5.1) Ecuacin de un plano 5.2) Distancia de un punto a un plano 5.3 Distancia entre planos paralelos6) Cambio de la representacin de un vector por una rotacin de coordenadas

Cantidades escalares, vectoriales y tensorialesEn Fsica necesitamos definir diferentes tipos de conceptos, siendo tal vez los ms importantes, aquellos susceptibles de medida como posicin, tiempo, fuerza, velocidad, masa, permitividad elctrica, etc.Las cantidades escalares son aquellas que quedan bien definidas por un nmero real. Las cantidades vectoriales necesitan que se especifique direccin y sentido. Las cantidades tensoriales se refieren a propiedades de los cuerpos que varan al cambiar la direccin.

Definicin de vectorAs como los nmeros reales son entes abstractos sobre los cuales se definen varias operaciones y en Fsica son usados para describir a las magnitudes escalares, los vectores tambin son entes abstractos que los usaremos en Fsica para describir Las magnitudes vectoriales tales como desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.

Representacin geomtrica de vectorLos vectores son representados por segmentos orientados Ntese que los mismos segmentos pueden ser usados para representarmagnitudes fsicas diferentesDesplazamientosexperimentados por una hormigaFuerzas sobre una argolla.

Representacin grfica de los vectoresOABdFVAs como los nmeros reales se representan en la recta numrica y junto con las operaciones suma y producto constituyen el sistema de los nmeros reales, los vectores bidimensionales pueden considerarse como infinitas flechas (o segmentos orientados) saliendo de un punto O llamado origen y llenando todo un plano; junto con las operaciones suma, resta, producto por escalar y producto escalar constituyen el espacio vectorial bidimensional. Los segmentos orientados que salen de O y llenan todo el espacio tridimensional junto con las operaciones mencionadas constituyen el espacio vectorial 3D.La idea se extiende a espacios n -dimensionales (n > 3) pero ya la representacin grfica no es posible.

Suma de dos vectoresPlanteamiento del problema: Dados los vectores A y B, que hacen un ngulo entre s, hallar la suma o vector resultante R.

Suma de dos vectoresProcedimiento: Se traslada el origen del vector B a la punta de la flecha del vector A. El vector resultante R es el que une el origen de A con la punta de la flecha de B.

Suma de dos vectoresLa suma de vectores es conmutativa A + B = B + A

Suma de dos vectores

donde es el ngulo entre A y B a partir del mismo origen y: El mdulo de la suma es Este resultado se obtiene por el teorema de Pitgoras.

Suma de varios vectoresABCR = A + B + CEl vector resultante R es el que une el origen de A con la punta de la flecha de C.A + (B+ C) = (A + B)+ C = A + B+ C

Producto de un vector por un escalarA2AA1/3 A-1,3 AAl multiplicar un vector por un escalar (un nmero real) se obtiene un vector en la misma direccin con un mduloaumentado o disminuido segn sea el valor del nmero real.

Si el nmero real es negativo, el vector producto tiene sentido opuesto.

Suma de varios vectores(ejemplo)ABC.2A + B+ C

Suma de varios vectores (ejemplo)ABCA + B + 2C

Resta de vectoresABHallar D = A - BAB- B - DProcedimiento: Se multiplica B por -1 y se procede a sumar A + ( -B)

Resta de vectoresHallar el mdulo de D = A - BAB- B - D

Resta de vectoresABHallar D = A - BAB- B - DProcedimiento: Se multiplica B por -1 y se procede a sumar A + ( -B).

Ntese que es ms prctico obtener A B trazando un segmento desde la punta de la flecha de B hasta la punta de la flecha de A.A - B

Operaciones combinadasABCV1V2Ejercicio: Escriba los signos y coeficientes correctos en las expresiones: V1 = A 2B + C

y

V2 = 2A B + C

Producto escalar de dos vectoresABEl producto escalar es conmutativo

El Producto escalar es distributivoCBAA + B OabPor un lado:Por otro lado:Sumando, se tiene

Producto VectorialABA X BProducto vectorial de A por B es el vector perpendicular a A y perpendicular a B cuyo sentido se obtiene por la regla de la mano derecha y cuyo mdulo est dado por:

El producto vectorial es anticonmutativoABA X BB X AB X A = - A x B

Interpretacin geomtrica del producto vectorialABA X BEl mdulo producto vectorial de A por B coincide con el rea del paralelogramo definido por los vectores A y B.

El producto vectorial es distributivoCBAA + B OabPor un lado:Por otro lado:Sumando, se tiene

Triple producto escalarABCA X BLlamamos triple producto escalarAl nmero real que se obtiene delproducto escalar del vector ( A x B )por el vector C.

Triple producto escalarABCA X BEl valor absoluto del triple producto escalar de tres segmentos orientadoscoincide con el volumen del paraleppedo definido por estos segmentos.Si dos de los vectores son paralelos o si los tres vectores son coplanares, entonces, el triple producto escalar es cero

Vector unitariouAUn vector unitario es un vector sin unidades cuyo mdulo es uno y slo se usa para especificar una direccinDado un vector A, entonces, el vectores un vector unitario en la direccin y sentido de A

Vector unitariouAABuBCualquier vector puede ser expresado como el producto de un nmero realpor un vector unitario

ABCV = A + B + 2CComponentes de un vector (en general)BEn general, podemos decir que s i un vector V es la suma de varias vectores, cada vector sumandoes una componente del vector V. As por ejemploA, B y 2C son componentes del vector V.

Componentes de un vectorNos interesa estudiar el concepto de componentes de un vector en dos situaciones:Situacin 1: Dados dos vectores A y V, expresar el vector A como la suma de dos vectores: uno paralelo a V y otro perpendicular a V.Situacin 2: Definir tres (dos) vectores mutuamente perpendiculares: i, j, k y expresar cualquier vector A como la suma de tres (dos) vectores paralelos a i, j y k ( i y j).

Componentes de un vector (situacin 1)VAA2A1 es la componente de A en la direccin de VA2 es la componente de A en la direccin perpendicular a VA1

Componentes de un vector (situacin 1)VAA2A1 es la componente de A en la direccin de VA2 es la componente de A en la direccin perpendicular a VA1nmero real negativo

Sistemas de coordenadas cartesianas (situacin 2)XYZAijkson tres vectores unitarios Y mutuamente perpendiculares.

Componentes de un vector (situacin 1)VAA2A1

Sistemas de coordenadas cartesianasXYZAijk

Sistemas de coordenadas cartesianasXYZAAxAyAz

Sistemas de coordenadas cartesianasXYZAAxAyAz

Suma de vectores en coordenadas cartesianasXYZAB

Suma de vectores en coordenadas cartesianasXYZCBA

Producto escalar en coordenadas cartesianasXYZABUsando la propiedad distributiva:

Producto vectorial en coordenadas cartesianasXYZABUsando la propiedad distributiva

Producto vectorial en coordenadas cartesianasXYZABUna frmula sencilla de recordar:

Triple Producto escalar en coordenadas cartesianasXYZABPuede verse que:C

Ejercicio 1:Sean A(-3,4,0); B(3,6,3) y C(-1,2,1) los tres vrtices de un tringulo. Use los conceptos de producto escalar y producto vectorial de vectores para:

Calcular el coseno de cada uno de los tres ngulos del tringulo Calcular el rea del tringulo.CABCos = .Cos = .Cos = .rea = .

Ejercicio 2:Dados los vectores:hallar el triple producto escalar (AxB).C, b) cul es el volumen del paraleppedodefinido por estos tres vectores? b) cules son los vrtices del paraleppedo?

Ejercicio 3:Dados los puntos A(1,0,1); B(1,1,1) y C(1,6,a), se pide:

Hallar el (los) valor(es) del parmetro a de modo que los tres puntos se encuentren en una recta.Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vrtices de un paralelogramo de rea 3.

Ejercicio 4:Encontrar la distancia del punto P(4,5,-7) a la recta que pasa por el punto Q(-3,6,12) y es paralela al vector V = 4 i j + 3 k.

Ejercicio 5:Probar que si la suma y la diferencia de dos vectores son perpendiculares, entonces los vectores tienen igual mdulo. Ejercicio 6:Probar que si dos vectores tienen el mismo mdulo V y hacen un ngulo entonces, el mdulo de la suma es y el mdulo de la diferencia es

Ejercicio 7:Dados los vectores:Hallar la resultante RHallar los cosenos directores de los tres vectores dados y de la resultanteEscriba los 8 vrtices del paraleppedo definido por estos tres vectores.

Definicin de planoUn plano es un conjunto infinito de puntos que queda definido de alguna de las tres siguientes maneras:Tres puntos no colineales P0, Q, R. Un punto y dos vectores no colineales.Un punto y un vector n perpendicular al planoP0QRP0P0uvnu = OQ-OP0

v = OR-OP0n = u X v

Ecuacin vectorial del planoP0uv

Ecuacin escalar del planoP0

Distancia de un punto a un planoPlano visto de perfilP, punto del planoQE l problema es, hallar la distancia del punto Q al plano que pasa por P y es perpendicular al vector d

Ejercicio 8:Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos (1,2,3); (3,2,1) y (5,0,-4).Solucin:

Ejercicio 9:Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto P0(1,2,3) y es paralelo al plano 3x - 2y + 4z = 5Solucin:

Obsrvese que:

Ejercicio 10:Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos P0(1, 2, 3) y P1(3, -2, 1), y es perpendicular al plano 3x - 2y + 4z = 5Solucin:

Obsrvese que en este caso, el vector :

est en el plano pedido

Ejercicio 11:Hallar la distancia del punto Q(1,2,3) al plano

3x - 2y + 5z = 10Solucin:

Obsrvese que la normal al plano dado es:

y que el punto P0(0,0,2) pertenece al plano dado.

Ejercicio 12:ABCXPQOSaaaHallar las ecuaciones de los planos ABC y PQSHallar la distancia entre los dos planos.

Rotacin de coordenadasAhora se trata de resolver el siguiente problema: Si conocemos la expresin de un vector bidimensional en un sistema de coordenadas OXY, expresar el mismo vector en un sistema de coordenadas Oxy rotado un ngulo respecto a OXY. XOYxyPuede verse de la figura que la relacin entre los vectores unitarios es:

Rotacin de coordenadasAhora se trata de resolver el siguiente problema: Si conocemos la expresin de un vector bidimensional en un sistema de coordenadas OXY, expresar el mismo vector en un sistema de coordenadas Oxy rotado un ngulo respecto a OXY. XOYxyA

Rotacin de coordenadasAhora se trata de resolver el siguiente problema: Si conocemos la expresin de un vector bidimensional en un sistema de coordenadas OXY, expresar el mismo vector en un sistema de coordenadas Oxy rotado un ngulo respecto a OXY. XOYxyA

Rotacin de coordenadasAEn general, para el caso de vectores 3D, la situacin se resume as:

Rotacin de coordenadasAEn este curso slo haremos rotaciones tridimensionales que mantienen fijo el eje z. En este caso:

Ejercicio 13AConsidere los vectores:Halle el producto escalar A.BHalle el producto vectorial A x BHalle el triple producto escalar (A x B). CExprese A, B y C en el sistema Oxyz.Repita las partes a), b) y c) con los vectores expresados en el sistema Oxyz.

BC