AULA 1 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II

Fonte: Anton, Stewart, Material Profa. Daniela Buske

Prof. Guilherme J. WeymarCEng - UFPel

Superfícies cilíndricas

TÓPICOS:

O Espaço tridimensional

Representação de ponto

Distância Esferas e Bolas

O Espaço TridimensionalCoordenadas retangulares no espaço; esferas, superfícies

cilíndricas.

Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas:

Eixo x: {(x,0,0) / x є R}Eixo y: {(0,y,0) / y є R} Eixo z: {(0,0,z) / z є R}

Plano xy: {(x,y,0) / x, y є R} Plano yz: {(0,y,z) / y, z є R} Plano xz: {(x,0,z) / x, z є R}

1º octante: {(x,y,z) / x>0, y>0, z>0}

Representação de um ponto:

Plano bidimensional Plano tridimensional

Exemplo ...

Distância no espaço tridimensional:

A distância |P1P2| entre os pontos P2 (x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2) é:

Prova: Vamos construir uma caixa retangular como na

figura ao lado, onde P1 e P2 são vértices opostos

e as faces dessa caixa são paralelas aos planos

coordenados.

Se A(x2,y1,z1) e B(x2,y2,z1) são os vértices da caixa

indicados na figura então:

Como os triângulos P1BP2 e P1AB são retangulares, duas aplicações do teorema de Pitágoras fornecem:

Continuação da Prova:

Combinando as duas equações anteriores obtemos:

Lembrando:

cqd

Exemplo ...

(0 - 5)2

Esferas e Bolas:

Definição: Lugar geométrico: É um conjunto de pontos em

satisfazendo alguma condição (com valor de verdade definido).

Exemplos:

1) Parábola

2) Circunferência

Lembrar: Equação do círculo com centro (xo,yo) e raio r é dada por:

3) Esfera:

Em particular se o centro é a origem a equação da esfera é:

Definição: Bolas:

Teorema: Uma equação da forma

representa uma esfera, um ponto ou não possui gráfico.

Exemplos ...

Em geral completando os quadrados na equação do teorema anterior resulta uma equação da forma:

Se K > 0 então o gráfico dessa equação é uma esfera com centro e raio .

Se K = 0 então a esfera tem raio zero e portanto o gráfico é o único ponto .

Se K < 0, a equação não é satisfeita por quaisquer valores de x, y, z e logo não há gráfico.

Superfícies Cilíndricas:

Gráficos:

de equações de 2 variáveis no espaço 2D OK

de equações de 3 variáveis no espaço 3D OK

de equações de 2 variáveis nos espaço 3D ??

Superfícies Cilíndricas:

Teorema:

Uma equação que contém apenas duas das variáveis x, y, z

representa uma superfície cilíndrica em um sistema de

coordenadas xyz. A superfície pode ser obtida fazendo-se o gráfico

da equação no plano coordenado das duas variáveis que aparecem

na equação e, então, transladando este gráfico paralelamente ao

eixo da variável que não aparece na equação.

Exemplo:

Como fazer este gráfico?

Geometricamente, o ponto (x,y,z) situa-se na reta vertical que passa pelo

ponto (x,y,0) no plano xy. Isto significa que podemos obter o gráfico de y=x^2

em um sistema de coordenadas xyz fazendo 1º o gráfico da equação no plano

xy e então transladando este gráfico paralelamente ao eixo z para obter o

gráfico inteiro.

O processo de gerar uma superfície transladando uma curva plana

paralelamente a alguma reta é chamado de extrusão, e as superfícies que são

geradas por extrusão são chamadas superfícies cilíndricas.

Exemplos:

1) Esboce o gráfico de x2 + z2 =1 no espaço tridimensional.

Uma vez que y não aparece nessa equação, o gráfico é uma superfície

cilíndrica gerada por extrusão paralelamente ao eixo y. No plano xz, o

gráfico da equação x2 + z2 =1 é um círculo.

Assim, no espaço tridimensional o gráfico é um cilindro circular reto ao

longo do eixo y.

Espaço bidimensional Espaço tridimensional

Exemplos:

2) Esboce o gráfico de z = seny no espaço tridimensional.

Espaço bidimensional

Espaço tridimensional