geometria analítica e Álgebra...

2019/Sem_02

NOTAS DE AULA

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Reta e Plano

Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.

Geometria Analítica e Álgebra Linear


ii

Índice 4 Estudo da Reta e do Plano ........................................................................................ 1

4.1 A Reta no Espaço .............................................................................................. 1 4.2 O Plano ........................................................................................................... 13

4.3 Distâncias ........................................................................................................ 22 4.4 Exercícios Propostos ....................................................................................... 27 4.5 Referências Bibliográficas .............................................................................. 29

Prof. Nunes 1


4 Estudo da Reta e do Plano

4.1 A Reta no Espaço

Trabalharemos sempre com uma base ortonormal dextrógira 𝐸 = (𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) .

Dado um ponto P do espaço, podemos escrever 𝑃 − 𝑂 = 𝑥 ⋅ 𝑖 + 𝑦 ⋅ 𝑗 + 𝑧 ⋅ �⃗⃗�. Os números x, y,

z são chamados coordenadas de P no sistema onde O é a origem e E é a base.

Costuma-se indicar ( )zyxP ,, , ou, num abuso de notação indicamos ( )zyxP ,,= .

4.1.1 Equação vetorial da reta

Consideremos a reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor �⃗� ≠ 0⃗⃗.

Se um ponto rX , então 𝑋 − 𝐴 // �⃗�, isto é, 𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ �⃗�.

Desta forma temos:

𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ �⃗� ⇒ 𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ �⃗�.

Esta última equação recebe o nome de equação vetorial da reta.

O vetor �⃗� ≠ 0⃗⃗ é chamado de vetor diretor da reta r.

4.1.2 Equações paramétricas da reta

Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos:

( )zyxX ,,= , ( )000 ,, zyxA = e �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐), então temos:

Prof. Nunes 2


𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ �⃗� ⇒ ( ) ( ) ( )+= cbazyxzyx ,,,,,, 000

( ) ( )czbyaxzyx +++= 000 ,,,,

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas da reta.

Exemplos:

1) Sendo ( )1,3,1 −=A e �⃗� = (1,1,5), escreva as equações paramétricas da reta que passa por A

e tem como �⃗�vetor diretor.

Resolução:

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

+−=

+=

+=

51

13

11

z

y

x

+−=

+=

+=

51

3

1

z

y

x

Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de �⃗� como vetor diretor. Desta

forma se usarmos como vetor diretor 2 ⋅ �⃗�, temos também:

+−=

+=

+=

101

23

21

z

y

x

Resposta:

+−=

+=

+=

51

3

1

z

y

x

2) Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados.

Resolução:

Escolhendo ( )0,0,0=O e 𝑖 = (1,0,0) para o eixo das abscissas, temos:

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

+=

+=

+=

00

00

10

z

y

x

=

=

=

0

0

z

y

x

Analogamente, para o eixo das ordenadas e das cotas temos, respectivamente:

=

=

=

0

0

z

y

x

e

=

=

=

z

y

x

0

0

.

Resposta:

=

=

=

0

0:

z

y

x

Ox

=

=

=

0

0

:

z

y

x

Oy e

=

=

=

z

y

x

Oz 0

0

: .

3) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e B, sendo ( )2,1,4−=A e

( )3,1,1=B .

Resolução:

Para vetor diretor, temos �⃗� = 𝐵 − 𝐴. Logo �⃗� = 𝐵 − 𝐴 = ( )3,1,1 ( ) ( )1,0,52,1,4 =−− .

Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são:

Prof. Nunes 3


+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

+=

+=

+−=

12

01

54

z

y

x

+=

=

+−=

2

1

54

z

y

x

Utilizando o ponto B, as equações pedidas são:

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

+=

+=

+=

13

01

51

z

y

x

+=

=

+=

3

1

51

z

y

x

Resposta:

+=

=

+=

3

1

51

z

y

x

4) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento

BC, sendo: ( )3,0,1=A , ( )8,7,1=B e ( )2,7,1−=C .

Resolução:

O ponto médio do segmento BC e calculado como:

( )( )5,0,1

2

28,

2

77,

2

11=

+−++=M .

Considere o vetor diretor ( ) ( ) ( )2,0,03,0,15,0,1 =−=−= AMv

. Assim, as equações pedidas

são:

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

+=

+=

+=

23

00

01

z

y

x

+=

=

=

23

0

1

z

y

x

Resposta:

+=

=

=

23

0

1

z

y

x

5) Considere as seguintes equações paramétricas da reta r:

−=

+−=

+=

10

21

32

z

y

x

a) Encontre dois pontos de r e um vetor diretor.

Resolução:

Fazendo 0= nas equações paramétricas, obtemos o ponto ( )10,1,2 −=A .

Fazendo 1= nas equações paramétricas, obtemos o ponto ( )9,1,5=B .

Um vetor diretor pode ser �⃗� = (3,2, −1).

Resposta: ( )10,1,2 −=A , ( )9,1,5=B e �⃗� = (3,2, −1)

b) Verifique se os pontos

=

2

19,0,

2

7P e ( )8,1,5=Q pertencem à reta r.

Resolução:

Prof. Nunes 4


Substituindo o ponto

=

2

19,0,

2

7P nas equações

−=

+−=

+=

10

21

32

z

y

x

obtemos:

−=

+−=

+=

102

19

210

322

7

que são todas satisfeitas para 2

1= , logo rP .

Substituindo o ponto ( )8,1,5=Q nas equações

−=

+−=

+=

10

21

32

z

y

x

obtemos:

−=

+−=

+=

108

211

325

que não são todas satisfeitas simultaneamente para nenhum valor de , logo

rQ .

Resposta: rP e rQ .

6) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A ( )4,5,1= e é paralela à reta de

equações paramétricas:

=

+=

−=

z

y

x

220

1

.

Resolução:

O vetor diretor será: �⃗� = (−1,2,1). Logo as equações pedidas são:

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

+=

+=

−=

4

25

1

z

y

x

Resposta:

+=

+=

−=

4

25

1

z

y

x

7) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A ( )4,5,1= e é paralela à reta que

passa pelos pontos B e C, sendo ( )1,1,1=B e ( )1,1,0 −=C .

Resolução:

Para vetor diretor, temos �⃗� = 𝐶 − 𝐵. Logo �⃗� = 𝐶 − 𝐵 = ( )1,1,0 − ( ) ( )2,0,11,1,1 −−=− .

Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são:

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0 ( )

( )

−+=

+=

−+=

24

05

11

z

y

x

−=

=

−=

24

5

1

z

y

x

Prof. Nunes 5


Resposta:

−=

=

−=

24

5

1

z

y

x

8) A reta r tem equação vetorial ( ) ( )2,1,11,0,1 −+=X . Obter os pontos de r que distam 6

de A ( )1,0,1= .

Resolução:

( ) ( )2,1,11,0,1 −+=X

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

+=

+=

−=

21

0

1

z

y

x

+=

=

−=

21

1

z

y

x

‖𝑋 − 𝐴‖ = √6

( ) ( ) ( ) 6121011222=−++−+−− 1666 2 ===

Resposta: Logo os pontos são: ( )3,1,0=P e ( )1,1,2 −−=Q .

9) Dada a reta r tem equação vetorial ( ) ( )1,1,10,0,1 −−−+=X e os pontos ( )1,0,0=A e

( )1,1,1=B , obter o ponto de r equidistante de A e de B.

Resolução:

‖𝑋 − 𝐴‖ = ‖𝑋 − 𝐵‖

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222101011100001 −−+−−+−−=−−+−−+−−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222221111 −−+−−+−=−−+−+− 0= .

Resposta: Logo o ponto procurado é: ( )0,0,1=P .

4.1.3 Equações da reta na forma simétrica

Considere agora uma reta dada pelas equações paramétricas:

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0

, sendo a, b, c não nulos. Temos:

a

xx 0−= ,

b

yy 0−= e

c

zz 0−= ou

=−

a

xx 0

b

yy 0−

c

zz 0−= , que são chamadas de equações da reta na forma simétrica.

Exemplo:

1) Dadas as equações =−

7

23x

4

1 y−

1

5+=

z, mostre que elas representam uma reta, dando um

ponto e um vetor diretor da mesma.

Resolução:

Prof. Nunes 6


=−

7

23x

4

1 y−

1

5+=

z

( ) ( )1

5

4

1

7

3

23

−−=

−−=

−

zyx

( )1

5

4

1

3

73

2

−−=

−

−=

−zy

x

Assim temos um ponto rP que é

−= 5,1,

3

2P e um vetor diretor:

−= 1,4,

3

7v

.

Resposta:

−= 5,1,

3

2P e �⃗� = (

7

3, −4,1).

Retas paralelas aos planos coordenados e aos eixos coordenados

Quando apresentamos as equações simétricas de uma reta: =−

a

xx 0

b

yy 0−

c

zz 0−= ,

consideramos que as componentes do vetor diretor da mesma são todos diferentes de zero.

Assim, temos que a, b, c são não nulos. Agora estudaremos os casos em que uma ou duas destas

componentes são nulas.

a) Um dos componentes do vetor diretor �⃗⃗⃗� é nulo:

Neste caso, o vetor diretor �⃗� é ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r é

paralela ao plano dos outros eixos. Assim,

(i) se a = 0, �⃗� = (0, 𝑏, 𝑐) ⊥ 𝑂𝑥 e yOzr // . Neste caso as equações de r ficam:

−=

−

=

c

zz

b

yy

xx

00

0

Neste caso, nas coordenadas ( )zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente y e z,

conservando-se 0xx = constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano

coordenado yOz .

(ii) se b = 0, �⃗� = (𝑎, 0, 𝑐) ⊥ 𝑂𝑦 e xOzr // . Neste caso as equações de r ficam:

−=

−

=

c

zz

a

xx

yy

00

0

Prof. Nunes 7


Neste caso, nas coordenadas ( )zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente x e z,

conservando-se 0yy = constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano

coordenado xOz .

(iii) se c = 0, �⃗� = (𝑎, 𝑏, 0) ⊥ 𝑂𝑧 e xOyr // . Neste caso as equações de r ficam:

−=

−

=

b

yy

a

xx

zz

00

0

Neste caso, nas coordenadas ( )zyx ,, de um ponto genérico P da reta r, variam somente x e y,

conservando-se 0zz = constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano

coordenado xOy .

b) Dois dos componentes do vetor diretor �⃗⃗⃗� são nulos:

Neste caso, o vetor diretor �⃗� tem a direção de um dos vetores 𝑖 = (1,0,0) ou 𝑗 = (0,1,0) ou 𝑖 =

(1,0,0), e portanto, a reta r é paralela ao eixo que tem a direção de 𝑖, 𝑗 ou �⃗⃗�. Assim:

(i) se a = b= 0, �⃗� = (0,0, 𝑐)//�⃗⃗� e Ozr // . Neste caso as equações de r ficam:

=

=

0

0

yy

xx

Prof. Nunes 8


(ii) se a = c= 0, �⃗� = (0, 𝑏, 0)//𝑗 e Oyr // . Neste caso as equações de r ficam:

=

=

0

0

zz

xx

(iii) se b = c= 0, �⃗� = (𝑎, 0,0)//𝑖 e Oxr // . Neste caso as equações de r ficam:

=

=

0

0

zz

yy

Prof. Nunes 9


4.1.4 Condição de alinhamento de três pontos no espaço

A condição para que três pontos ( )1111 ,, zyxA , ( )2222 ,, zyxA e ( )3333 ,, zyxA estejam em linha

reta é que os vetores 1221 AAAA −= e 1331 AAAA −= sejam paralelos, isto é: 1221 AAAA −=

31AAm = , para algum m , ou: 13

12

13

12

13

12

zz

zz

yy

yy

xx

xx

−

−=

−

−=

−

−.

Exemplo:

1) Os pontos ( )6,2,51 −A , ( )3,4,12 −−−A e ( )7,4,73 −A estão em linha reta. De fato, substituindo

as coordenadas dos pontos nas equações anteriores, obtemos:

67

63

24

24

57

51

+−

+−=

−

−−=

−

−−.

4.1.5 Condição de paralelismo de duas retas

A condição de paralelismo das retas r e s é a mesma dos vetores �⃗⃗� = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e �⃗� =

(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2), que definem estas retas, isto é: �⃗⃗� = 𝑚 ⋅ �⃗� ou 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a== .

4.1.6 Retas ortogonais e perpendiculares

Dadas as retas r e s, sendo �⃗⃗� e �⃗� seus vetores diretores, respectivamente. Então elas fazem

ângulo reto, se e somente se, �⃗⃗� ⊥ �⃗�. Indicamos por sr ⊥ .

Retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Caso sejam concorrentes são ditas

perpendiculares.

𝑟 ⊥ 𝑠 ⇔ �⃗⃗� ⋅ �⃗� = 0

Exemplos:

1) Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais.

r :

+=

=

−=

31

2

z

y

x

e s :

+=

=

=

3

110

2

z

y

x

Resolução:

Vetor diretor de r ⇒ �⃗⃗� = (−1,1,3)

Vetor diretor de s ⇒ �⃗� = (2,1,1

3)

Prof. Nunes 10


�⃗⃗� ⋅ �⃗� = (−1) ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 3 ⋅1

3= 0

Resposta: Logo r e s são ortogonais.

2) Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais.

r :

=

=

−=

6

0

22

z

y

x

e s : zyx

==−

2

1

Resolução:

Vetor diretor de r ⇒ �⃗⃗� = (−2,0,6)

Vetor diretor de s ⇒ �⃗� = (2,1,1)

�⃗⃗� ⋅ �⃗� = (−2) ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 = 2 ≠ 0

Resposta: Logo r e s não são ortogonais.

3) Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s:

r : zyx

−=−=−

232

12 e s :

−=

=

=

1

3

z

y

mx

Resolução:

r : 1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

3

2

2

12

232

12

−

−=

−

−=

−

−

−=

−

−=

−

−=−=− zy

xzy

x

zyx

Vetor diretor de r ⇒ �⃗⃗� = (1, −1, −1)

Vetor diretor de s ⇒ �⃗� = (𝑚, 0, −1)

�⃗⃗� ⋅ �⃗� = 0 ⇒ �⃗⃗� ⋅ �⃗� = 1 ⋅ 𝑚 + (−1) ⋅ 0 + (−1) ⋅ (−1) = 0 ⇒ 𝑚 = −1.

Resposta: Logo r e s são ortogonais se 1−=m .

4.1.7 Ângulo entre retas

Sejam r e s não ortogonais, sendo �⃗⃗� e �⃗� os vetores diretores de r e s, respectivamente. Então

cos 𝜃 =|�⃗⃗⃗�⋅�⃗⃗�|

‖�⃗⃗⃗�‖⋅‖�⃗⃗�‖, onde é o ângulo agudo entre r e s

20

.

( )−−= coscos

Exemplos:

Prof. Nunes 11


1) Calcule a medida do ângulo agudo entre as retas r e s, sendo:

r : 6

12

5

12

4

1 +=

+=

− zyx e s :

=

−=

−=

z

y

x

3

42

Resolução:

r : 6

2

12

5

2

12

4

1

6

12

5

12

4

1

−−

=

−−

=−

+

=+

=−

zyxzyx

3

2

1

2

5

2

1

4

1

−−

=

−−

=−

zyx

Vetor diretor de r ⇒ �⃗⃗� = (4,5

2, 3) ⇒ ‖�⃗⃗�‖ = √42 + (

5

2)

2

+ 32 =√125

2=

5√5

2

Vetor diretor de s ⇒ �⃗� = (−4, −1,1) ⇒ ‖�⃗�‖ = √(−4)2 + (−1)2 + 12 = √18 = 3√2

�⃗⃗� ⋅ �⃗� = 4 ⋅ (−4) +5

2⋅ (−1) + 3 ⋅ 1 = −

31

2

Logo: cos 𝜃 =|�⃗⃗⃗�⋅�⃗⃗�|

‖�⃗⃗⃗�‖⋅‖�⃗⃗�‖ 1015

31

232

55

2

31

cos =

−

=

Resposta: 1015

31cos = o2,49

2) Ache um ponto P da reta r de equações paramétricas:

=

=

−=

1

1

z

y

x

, tal que o cosseno do ângulo

entre as retas r e AP seja 3

2, sendo ( )0,0,1=A .

Resolução:

3

2cos =

�⃗⃗� = (−1,1,0)

Vetor diretor de AP�⃗� = 𝐴 − 𝑃 = (1 − (1 − 𝜆), 0 − (𝜆), 0 − (1))= ( )1,, −− .

Prof. Nunes 12


cos 𝜃 =|�⃗⃗⃗�⋅�⃗⃗�|

‖�⃗⃗⃗�‖⋅‖�⃗⃗�‖

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2222221011

1011

3

2

−+−+++−

−+−+−=

122

2

3

2

2 +

−=

1= .

Assim, se = 1 x = 0, y = 1 e z = 1.

se −= 1 x = 2, y = 1− e z = 1.

Resposta: ( )1,1,0 ou ( )1,1,2 − .

4.1.8 Intersecção de retas

Exemplos:

1) Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção:

−=

+=

−=

z

y

x

r 42

21

: e

−=

=

+=

1

1

:

z

y

x

s

Resolução:

Fazendo

−=−

=+

+=−

1

42

121

Resolvendo, encontramos 3

1−= e

3

2= .

Resposta: Assim, o ponto de intersecção é P

3

1,

3

2,

3

5.


+=

−=

=

4

1

2

:

z

y

x

r e 64

2

1

1:

zyxs =

−=

−

Resolução:

Substituindo os valores de x, y e z de r em s, obtemos:

6

4

4

2112

+=

−−=−

−=−=+

=−=−

2

17

4

3

6

4

8

1

4

312

Resposta: Logo não existe ponto de intersecção entre r e s.


1

1

3

1

2

1:

−=

−=

− zyxr e zyxs ==:

Resolução:

Substituindo os valores de y e z de r por x, obtemos:

1

1

3

1

2

1 −=

−=

− xxxque é satisfeito apenas para x = 1.

Resposta: Logo temos x = y = z = 1 Assim, o ponto de intersecção é P ( )1,1,1 .

Prof. Nunes 13


4.2 O Plano

4.2.1 Equação vetorial do plano

Consideremos um plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores �⃗⃗� e �⃗�, não paralelos.

Se um ponto X , então 𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ �⃗⃗� + 𝜇 ⋅ �⃗�.

Desta forma temos:

𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ �⃗⃗� + 𝜇 ⋅ �⃗�𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ �⃗⃗� + 𝜇 ⋅ �⃗�.

Esta última equação recebe o nome de equação vetorial do plano.

Os vetores �⃗⃗� e �⃗� são chamados de vetores diretores do plano .

4.2.2 Equações paramétricas do plano

Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos:

( )zyxX ,,= , ( )000 ,, zyxA = , �⃗⃗� = (𝑚, 𝑛, 𝑜)e �⃗� = (𝑝, 𝑞, 𝑟), então temos:

𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ �⃗⃗� + 𝜇 ⋅ �⃗� ( ) ( ) ( ) ( )++= rqponmzyxzyx ,,,,,,,, 000

( ) ( )rozqnypmxzyx ++++++= 000 ,,,,

++=

++=

++=

rozz

qnyy

pmxx

0

0

0

Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas do plano.

Exemplos:

1) Sendo ( )1,1,2 −=A , �⃗⃗� = (3,4,5) e �⃗� = (−1,0,4), escreva as equações paramétricas do plano

que passa por A e tem �⃗⃗� e 𝑣 ⃗⃗⃗ ⃗como vetores diretores.

Resolução:

++=

++=

++=

rozz

qnyy

pmxx

0

0

0 ( )

++−=

++=

−++=

451

041

132

z

y

x

++−=

+=

−+=

451

41

32

z

y

x

Resposta:

++−=

+=

−+=

451

41

32

z

y

x

Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de �⃗⃗� e �⃗� como vetores diretores.

2) Escreva as equações paramétricas dos planos coordenados.

Resolução:

Escolhendo ( )0,0,0=O e 𝑖 = (1,0,0) e 𝑗 = (0,1,0) para vetores diretores do plano xOy, temos:

++=

++=

++=

rozz

qnyy

pmxx

0

0

0

++=

++=

++=

000

100

010

z

y

x

=

=

=

0z

y

x

Analogamente, para os planos coordenados xOz e yOz temos, respectivamente:

Prof. Nunes 14


=

=

=

z

y

x

0 e

=

=

=

z

y

x 0

.

Resposta:

=

=

=

0

:

z

y

x

xOy

=

=

=

z

y

x

yOz 0:

=

=

=

z

y

x

yOz

0

:

3) Escreva as equações paramétricas do plano que passa por ( )4,2,1=A e é paralelo ao plano

de equação vetorial ( ) ( ) ( )3,1,42,1,12,0,1 ++−=X .

Resolução:

O plano procurado tem os mesmos vetores diretores do plano dado, logo as equações pedidas

são:

++=

++=

++=

rozz

qnyy

pmxx

0

0

0

++=

++=

++=

324

112

411

z

y

x

++=

++=

++=

324

2

41

z

y

x

Resposta:

++=

++=

++=

324

2

41

z

y

x

4) Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos ( )2,1,1=A , ( )1,1,1 −−=B

e ( )4,2,2=C .

Resolução:

Tomando AB− e AC − para vetores diretores, temos:

�⃗⃗� = 𝐵 − 𝐴 = (−1,1, −1) − (1,1,2) = (−2,0, −3)

�⃗� = 𝐶 − 𝐴 = (2,2,4) − (1,1,2) = (1,1,2). Assim as equações paramétricas ficam:

++=

++=

++=

rozz

qnyy

pmxx

0

0

0 ( )

( )

+−+=

++=

+−+=

232

101

121

z

y

x

+−=

+=

+−=

232

1

21

z

y

x

Resposta:

+−=

+=

+−=

232

1

21

z

y

x

5) Obtenha as equações paramétricas do plano determinado pela reta

r: ( ) ( )1,1,20,1,1 +=X e pelo ponto ( )3,2,1=P .

Resolução:

Um vetor diretor pode ser �⃗⃗� = (2,1,1) e o outro obtido por �⃗� = 𝑃 − 𝐴, onde ( )0,1,1=A . Assim,

�⃗� = 𝑃 − 𝐴 = (1,2,3) − (1,1,0) = (0,1,3). Assim, as equações paramétricas pedidas são:

++=

++=

++=

rozz

qnyy

pmxx

0

0

0

++=

++=

++=

313

112

021

z

y

x

++=

++=

+=

33

2

21

z

y

x

Prof. Nunes 15


Resposta:

++=

++=

+=

33

2

21

z

y

x

4.2.3 Equação geral do plano

Sendo um plano, qualquer vetor não nulo ortogonal ao plano será chamado de vetor normal

a . Seja �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) normal a e ( ) = 000 ,, zyxA , então X se e só se AX − é

ortogonal a �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Logo temos:

(𝑋 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗� = 0 ou ( ) ( ) 0,,,, 000 =−−− cbazzyyxx , ou seja:

( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− czzbyyaxx 0000 =−−−++ zcybxazcybxa

Fazendo 000 zcybxad −−−= , obtemos:

0=+++ dzcybxa que é chamada de equação geral do plano.

Observação: os parâmetros a, b, c não podem ser todos nulos simultaneamente, pois �⃗⃗� ≠ 0⃗⃗.

Exemplos:

1) Obtenha a equação geral do plano 1 que passa por ( )1,0,3−=A e tem �⃗⃗� = (−2,1,3) como

vetor normal.

Resolução:

1 : 0=+++ dzcybxa 0312 =+++− dzyx . Como ( ) 11,0,3 −=A , temos

( ) 0130132 =+++−− d 9−=d . Logo a equação geral de 1 é:

( ) 09312 =−+++− zyx 0932 =−++− zyx .

Resposta: 0932 =−++− zyx

2) Obtenha a equação geral do plano 2 que passa por ( )1,0,3−=A e tem �⃗⃗� = (2,1,3) e �⃗� =

(−1,0,1)como vetores diretores.

Resolução:

Primeiro necessitamos obter um vetor normal ao plano 2 .

O vetor �⃗⃗� ∧ �⃗� ≠ 0⃗⃗ é normal ao plano 2 , logo:

�⃗⃗� ∧ �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗⃗�2 1 3

−1 0 1

] = 𝑖 − 5 ⋅ 𝑗 + �⃗⃗�. Assim,

2 : 0=+++ dzcybxa ( ) 0151 =++−+ dzyx . Como ( ) 21,0,3 −=A , temos

( ) 0110531 =++−− d 2=d . Logo a equação geral de 2 é: ( ) 02151 =++−+ zyx

025 =++− zyx .

Prof. Nunes 16


Resposta: 025 =++− zyx

3) São dadas as equações paramétricas de um plano:

Resolução:

+=

−+=

+−=

3

22

21

z

y

x

. Encontre uma equação geral.

++=

++=

++=

rozz

qnyy

pmxx

0

0

0

++=

−+=

+−=

013

212

121

z

y

x

. Isto os vetores �⃗⃗� = (−2,1,1) e �⃗� = (1, −2,0)

são vetores diretores do plano.

O vetor �⃗⃗� ∧ �⃗� ≠ 0⃗⃗ é normal ao plano, logo:

�⃗⃗� ∧ �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗⃗�

−2 1 11 −2 0

] = 2 ⋅ 𝑖 + 1 ⋅ 𝑗 + 3 ⋅ �⃗⃗�.

Assim, 0=+++ dzcybxa 0312 =+++ dzyx .

Como ( ) = 3,2,1A , temos 0332112 =+++ d 13−=d . Logo a equação geral de

é: ( ) 013312 =−+++ zyx 01332 =−++ zyx .

Resposta: 01332 =−++ zyx

4) Um plano tem equação geral 02532 =−+− zyx . Obter as equações paramétricas

deste plano.

Resolução:

Fazendo =y e =z 02532 =−+− x

=

=

−+=

z

y

x2

5

2

31

Resposta:

=

=

−+=

z

y

x2

5

2

31

4.2.4 Planos perpendiculares

Sejam os planos 1 e 2 , sendo �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 os vetores normais a 1 e 2 , respectivamente. Então,

1 e 2 são perpendiculares, se e somente se, �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 são perpendiculares. Logo �⃗⃗�1 ⋅ �⃗⃗�2 = 0.

Prof. Nunes 17


Exemplo:

1) Verifique se os planos 1 e 2 são perpendiculares, nos seguintes casos:

a) 01104:1 =+−+ zyx e 023:2 =+− zyx Resposta: Sim.

b) 0:1 =− yx e

+−=

+=

=

1

:2

z

y

x

Resposta: Não.

4.2.5 Ângulo entre planos

O ângulo entre os planos 1 e 2 é o ângulo entre duas retas 1r e 2r , perpendiculares a 1 e

2 , respectivamente. Logo cos 𝜃 =|�⃗⃗�1⋅�⃗⃗�2|

‖�⃗⃗�1‖⋅‖�⃗⃗�2‖, sendo �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 os vetores diretores de 1r e 2r ,

respectivamente.

Exemplos:

1) Encontre o ângulo entre os planos 1 e 2 , sendo:

015114:1 =−+− zyx e 0:2 =+ zx

Resolução:

�⃗⃗�1 = (4, −11,5)

�⃗⃗�2 = (1,0,1)

�⃗⃗�1 ⋅ �⃗⃗�2 = (4, −11,5) ⋅ (1,0,1) = 4 ⋅ 1 + (−11) ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 = 9

‖�⃗⃗�1‖ = √42 + (−11)2 + 52 = √162

‖�⃗⃗�2‖ = √12 + 02 + 12 = √2

Prof. Nunes 18


Logocos 𝜃 =|�⃗⃗�1⋅�⃗⃗�2|

‖�⃗⃗�1‖⋅‖�⃗⃗�2‖ 32

1

2162

9cos

==

=

Resposta: 3

=

2) Encontre o ângulo entre os planos 1 e 2 , sendo:

1:1 =++ zyx e 0:2 = z Resposta: 3

3cosarc=

4.2.6 Intersecção de planos

Sejam os planos 1 e 2 , sendo �⃗⃗�1 e �⃗⃗�2 os vetores normais a 1 e 2 , respectivamente. Se �⃗⃗�1

e �⃗⃗�2 não forem paralelos (o que equivale a dizer que �⃗⃗�1 ∧ �⃗⃗�2 ≠ 0⃗⃗), então 1 e 2 se intersectam

e a intersecção é uma reta r.

Temos ainda que �⃗⃗�1 ∧ �⃗⃗�2 é um vetor diretor da reta r. Um ponto de r pode ser obtido pelas

equações dos planos.

Exemplos:

1) Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos:

02:1 =−+ zyx e 012:2 =−+− zyx

Resolução:

�⃗⃗�1 = (2,1, −1)

�⃗⃗�2 = (1, −2,1)

�⃗⃗�1 ∧ �⃗⃗�2 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗⃗�2 1 −11 −2 1

] = −1 ⋅ 𝑖 − 3 ⋅ 𝑗 − 5 ⋅ �⃗⃗�

Para obter um ponto de r, podemos fazer, por exemplo x = 0 nas equações dos planos. Neste

caso obtemos o sistema:

=−+−

=−

012

0

zy

zy cuja solução é y = z = 1− .

Assim, um ponto da reta procurada é ( )1,1,0 −−=P . Desta forma, as equações procuradas são:

+=

+=

+=

czz

byy

axx

0

0

0 ( )( )( )

−+−=

−+−=

−+=

51

31

10

z

y

x

−−=

−−=

−=

51

31

z

y

x

Prof. Nunes 19


Resposta:

−−=

−−=

−=

51

31

z

y

x

2) Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos:

0:1 =−+ zyx e 1:2 =++ zyx Resposta:

=

−=

=

2

1

22

1

2

z

y

x

4.2.7 Intersecção entre reta e plano

Exemplos:

1) Ache a intersecção da reta r com o plano , sendo:

r :

=

+=

−=

z

y

x

3

22

e 0642: =−+− zyx

Resolução:

Substituindo x, y e z da reta no plano, obtemos:

( ) ( ) ( ) 0634222 =−++−− 2−= .

Logo, temos que:

=

+=

−=

z

y

x

3

22 ( )( )

( )

−=

−+=

−−=

2

23

222

z

y

x

−=

=

=

2

1

6

z

y

x

Resposta: Então, o ponto procurado é ( )2,1,6 −=P .

2) Ache a intersecção da reta r com o plano , sendo:

r : é a intersecção dos planos 0:1 =+− zyx e 12:2 =−+ zyx e é dado pela equação

geral: 02 =+ yx .

Resolução:

O ponto procurado é a intersecção dos três planos, isto é, a solução do sistema:

=+

=−+

=+−

02

12

0

yx

zyx

zyx

Solução:

−−=

7

3,

7

1,

7

2P

Resposta:

−−=

7

3,

7

1,

7

2P

4.2.8 Equação segmentária do plano

A partir da equação geral do plano, podemos obter a equação segmentária do mesmo:

Prof. Nunes 20


→=−

+−

+−

→−=++→=+++ 10 zd

cy

d

bx

d

adzcybxadzcybxa

1=

−

+

−

+

−

z

c

d

cy

b

d

b

a

d

x.

Fazendo =−=−=−c

d

b

d

a

de, , obtemos 1=++

zyx, que é a equação

segmentária do plano.

4.2.9 Alguns planos especiais

Considere a equação geral do plano: 0=+++ dzcybxa .

Faça um esboço de cada um dos planos que seguem:

a) 02 =+− yx )0e0( = dc

b) 022 =−+ yx )0e0( = dc

Prof. Nunes 21


c) 0=− yx )0e0( == dc

d) 033 =−+ zy )0e0( = da

e) 052 =− zy )0e0( == da

Prof. Nunes 22


f) 0623 =−+ zx )0e0( = db

4.3 Distâncias

4.3.1 Distância entre pontos

Se ( )111 ,, zyxA = e ( )222 ,, zyxB= , então, a distância entre A e B é BA− . Como

( )212121 ,, zzyyxxBA −−−=− , então,

2

21

2

21

2

21 )()()(),( zzyyxxBABAd −+−+−=−=

Exemplo:

1) Se ( )1,0,1 −=A e ( )0,1,1−=B , então, a distância entre A e B.

Resolução:

=−+−+−= 2

21

2

21

2

21 )()()(),( zzyyxxBAd 6)0)1(()10())1(1( 222 =−−+−+−−

Resposta: 6

Prof. Nunes 23


4.3.2 Distância entre ponto e reta

A área do triângulo ABP pode ser calculada como:

𝑆𝛥𝐴𝐵𝑃 =1

2(𝑏𝑎𝑠𝑒) ⋅ ℎ =

1

2‖�⃗�‖ ⋅ ℎ (I)

Este mesmo valor pode ser obtido por:

𝑆𝛥𝐴𝐵𝑃 =1

2‖(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗�‖ (II)

Igualando (I) e (II), obtemos:

1

2(𝑏𝑎𝑠𝑒) ⋅ ℎ =

1

2‖�⃗�‖ ⋅ ℎ =

1

2‖(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗�‖ ⇒ ℎ = 𝑑(𝑃, 𝑟) =

‖(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗�‖

‖�⃗�‖

Exemplo:

1) Calcule a distância do ponto ( )1,0,1 −=P à reta de equações paramétricas:

=

+=

−=

2

3

2

:

z

y

x

r .

Resolução:

( ) rA = 0,3,2 e �⃗� = (−1,1,2) é um vetor diretor de r.

( ) ( ) ( )1,3,10,3,21,0,1 −−−=−−=− AP

(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘

−1 −3 −1−1 1 2

| = −5𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 = (−5,3, −4)

‖(𝑃 − 𝐴) ∧ �⃗�‖ = √(−5)2 + (3)2 + (−4)2 = √50 = 5√2

‖�⃗�‖ = √(−1)2 + (1)2 + (2)2 = √6

Logo, 𝑑(𝑃, 𝑟) =‖(𝑃−𝐴)∧�⃗⃗�‖

‖�⃗⃗�‖=

5√2

√6=

5√3

3

Resposta: 3

35

Prof. Nunes 24


4.3.3 Distância entre ponto e plano

Se A e �⃗⃗� é um vetor normal ao plano , podemos observar que ),( Pd é a norma da

projeção ortogonal de AP − sobre �⃗⃗�.

Lembrar que: 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗��⃗� = (�⃗⃗�⋅�⃗⃗�

‖�⃗⃗�‖2) ⋅ �⃗⃗�

𝑑(𝑃, 𝜋) = ‖𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗�(𝑃 − 𝐴)‖ = ‖((𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗�

‖�⃗⃗⃗�‖2) ⋅ �⃗⃗�‖ = |(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗�| ⋅

‖�⃗⃗⃗�‖

‖�⃗⃗⃗�‖2=

|(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗�|

‖�⃗⃗⃗�‖

Assim,

𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗�|

‖�⃗⃗�‖

Se ),,( 000 zyxP = e 0: =+++ dczbyax , então teremos �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐).

Seja = ),,( 111 zyxA , então:

),,()( 101010 zzyyxxAP −−−=−

(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗� = 𝑎 ⋅ (𝑥0 − 𝑥1) + 𝑏 ⋅ (𝑦0 − 𝑦1) + 𝑐 ⋅ (𝑧0 − 𝑧1) =

)( 111000 czbyaxczbyax ++−++= .

Fazendo dczbyax −=++ 111 , obtemos:

(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗� = 𝑎 ⋅ 𝑥0 + 𝑏 ⋅ 𝑦0 + 𝑐 ⋅ 𝑧0 + 𝑑.

Assim, 𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃−𝐴)⋅�⃗⃗�|

‖�⃗⃗�‖=

|𝑎⋅𝑥0+𝑏⋅𝑦0+𝑐⋅𝑧0+𝑑|

√𝑎2+𝑏2+𝑐2.

Exemplos:

1) Calcule a distância do ponto ( )3,4,1=P ao plano de equações paramétricas:

+=

=

+−−=

33

1

3

:

z

y

x

.

Resolução:

( ) −= 3,1,3A ( ) ( ) ( )0,3,43,1,33,4,1 =−−=− AP

(𝑃 − 𝐴) ⋅ �⃗⃗� = 4 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 + 0 ⋅ 0 = 9

Prof. Nunes 25


�⃗⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘

−1 0 01 0 3

| = 3𝑗 = (0,3,0) ⇒ ‖�⃗⃗�‖ = √(0)2 + (3)2 + (0)2 = 3

Assim,

𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃−𝐴)⋅�⃗⃗�|

‖�⃗⃗�‖=

9

3= 3

Resposta: 3

2) Calcule a distância do ponto ( )6,5,4=P ao plano de equação geral:

01422 =−−+ zyx .

Resolução:

4)2()2()1(

14625241),(

222222

000=

−++

−−+=

++

+++=

cba

dzcybxaPd

Resposta: 4

4.3.4 Distância entre retas

Dadas duas retas r e s, achar ),( srd , sendo �⃗⃗� e �⃗� os vetores diretores de r e s, respectivamente.

Caso 1: Se �⃗⃗� ∧ �⃗� = 0⃗⃗:

Neste caso, r e s são coincidentes ou paralelas.

Se as retas são coincidentes, então 0),( =srd .

Se r e s não são coincidentes, escolher um ponto em uma das retas e calcular a distância deste

ponto até a outra reta. Assim, se tivermos rP e sQ , temos que:

),(),(),( rQdsPdsrd == .

Caso 2: Se �⃗⃗� ∧ �⃗� ≠ 0⃗⃗:

Neste caso, r e s são concorrentes ou reversas.

Se as retas são concorrentes, então 0),( =srd .

Prof. Nunes 26


Se r e s são reversas, considere rP e sQ . Podemos observar que ),( srd é a norma da

projeção ortogonal de QP − sobre �⃗⃗� ∧ �⃗�.

Lembrar que: 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗��⃗� = (�⃗⃗�⋅�⃗⃗�

‖�⃗⃗�‖2) ⋅ �⃗⃗�

𝑑(𝑟, 𝑠) = ‖𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�(𝑃 − 𝑄)‖ = ‖((𝑃 − 𝑄) ⋅ �⃗⃗� ∧ �⃗�

‖�⃗⃗� ∧ �⃗�‖2 ) ⋅ �⃗⃗� ∧ �⃗�‖ =|(𝑃 − 𝑄) ⋅ �⃗⃗� ∧ �⃗�|

‖�⃗⃗� ∧ �⃗�‖2⋅ ‖�⃗⃗� ∧ �⃗�‖ =

=|(𝑃−𝑄)⋅�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�|

‖�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�‖.

Logo, 𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃−𝑄)⋅�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�|

‖�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�‖

Exemplos:

1) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo:

=

=

−=

2

1

:

z

y

x

r e

=

−=

+=

0

2

2

:

z

y

x

s

.

Resolução:

Os vetores diretores de r e s são �⃗⃗� = (−1,1,2) e �⃗� = (1, −1,0), respectivamente.

�⃗⃗� ∧ �⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘

−1 1 21 −1 0

| = 2𝑖 + 2𝑗 = (2,2,0) ≠ 0⃗⃗

( ) rP = 0,0,1 e ( ) sQ = 0,2,2 ( )0,2,1 −−=− QP

Assim, 𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃−𝑄)⋅�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�|

‖�⃗⃗⃗�∧�⃗⃗�‖=

|(−1,−2,0)⋅(2,2,0)|

‖(2,2,0)‖=

6

2√2=

3√2

2

Resposta: 2

23


+=

+=

=

33

2

1

:

z

y

x

r e s é a intersecção dos planos:

05:1 =−+ zy e 06:2 =−++ zyx

Resolução:

O vetor diretor de r é �⃗⃗� = (0,1,3).

O vetor diretor �⃗� de s é: �⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘0 1 11 1 1

| = 𝑗 − 𝑘 = (0,1, −1)

�⃗⃗� ∧ �⃗� = |𝑖 𝑗 𝑘0 1 30 1 −1

| = −4𝑖 = (−4,0,0) ≠ 0⃗⃗

Podemos obter: ( ) rP = 3,2,1 e ( ) sQ = 5,0,1 (para obter Q, podemos, por exemplo, fazer

0=y em s, obtendo 1=x e 5=z ).

Logo ( )2,2,0 −=−QP . Assim:

Prof. Nunes 27


𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃 − 𝑄) ⋅ �⃗⃗� ∧ �⃗�|

‖�⃗⃗� ∧ �⃗�‖=

|(0,2, −2) ⋅ (−4,0,0)|

‖(−4,0,0)‖=

0

4= 0

Como �⃗⃗� e �⃗� não são paralelos e 0),( =srd , concluímos que r e s são concorrentes.

Resposta: 0

4.4 Exercícios Propostos 1) Determine as equações simétricas da reta t que passa pelo ponto A=(−2, 1, 3) e é ortogonal

às retas 2= , 13

1- : e

3=

2+1=

2=

: yzx

s

z

y

x

r−

=−

−

−

. Resposta: 6

3

8

1

2

2 −=

−=

−

+ zyx

2) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A=(3, m, 1); B=(1, 1, −1) e C=(−2, 10, −4)

pertençam a mesma reta? Resposta: 5−=m

3) A reta

−

3=

=

2+1=

:

z

y

x

r forma um ângulo de 60º com a reta determinada pelos pontos

A=(3, 1, -2) e B=(4, 0, m). Calcular o valor de m. Resposta: 4−=m

4) Seja o triângulo de vértices A=(1, 0, −2), B=(2, −1, −6) e C=(−4, 5, 2). Estabelecer as

equações paramétricas da reta suporte da mediana do triângulo ABC, relativa ao lado BC.

Resposta:

−

−

2=

2=

2+1=

z

y

x

5) Dados os pontos A=(1, 2, 5) e B=(0, 1, 0), determine P sobre a reta que passa por A e B

tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA.

Resposta:

4

15,

4

7,

4

3ou

2

15,

2

5,

2

3

6) Dados A(0, 2, 1), r : X=(0, 2, −2) + (1, −1, 2), ache os pontos de r que distam 3

de A . Com base neste resultado, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou

igual a 3 e por quê. Resposta: 3=r

7) Determine m de modo que os planos 1 e 2 sejam perpendiculares, nos seguintes casos:

a) 0:1 =−+ zyxm e 01:2 =−+− zmymx Resposta: 0=m .

b) 013:1 =−−+ zyxm e 01:2 =+− ymxm Resposta: 0=m ou 1=m .

c) 0:1 =−++ mzyx e 0:2 =++− myx Resposta: m qualquer.

8) Determine o plano que contém o ponto A=(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos

0=32++ : e 0=642 : 21 −−−− zyxzyx . Resposta: 0382 =+− zyx

9) Determine o plano que passa pelos pontos A=(1, −2, 2) e B=(−3, 1, −2) e é perpendicular

ao plano : 2x + y − z + 8 = 0. Resposta: 051012 =−−− zyx

Prof. Nunes 28


10) Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos

0.=23+5+4 : e 0=72++ : 21 −− zyxzymx Resposta: 1=m ou 7=m

11) O plano : x + y − z − 2 = 0 intersecta os eixos cartesianos nos pontos A, B, C. Calcular

a área do triângulo ABC. Resposta: 32=S

12) Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x + 2y − 4z − 12 = 0 e pelos planos

coordenados. Resposta: 12=V

13) Mostrar que o ponto )3,2,2(=P é equidistante dos pontos )2,4,1( −=A e )5,7,3(=B .

Resposta: 30),(),( == BPdAPd

14) Calcule a distância entre o ponto )0,2

3,

2

1(=P , à reta r, intersecção dos planos:

x −y − z = 1 e x + y = 0. Resposta: 6

302=V

15) Calcule a distância entre o ponto )1,1,1( −=P até cada um dos eixos coordenados.

Resposta: 2),(),(),( === OzPdOyPdOxPd

16) Calcule a distância do ponto ( )2,1,2 −=P ao plano de equações paramétricas:

−−=

=

=

z

y

x

: . Resposta: 3

17) Calcule a distância do ponto ( )3,0,1=P ao plano de equação geral:

0143 =−+ yx . Resposta: 5

2

18) Calcule a distância do ponto ( )7,5,2 −=P até cada um dos planos coordenados.

Respostas: 7),( =xOyPd , 5),( =xOzPd e 2),( =yOzPd


+=

=

+=

2

1

:

z

y

x

r e

+=

+=

+=

30

31

32

:

z

y

x

s .

Resposta: 6

20) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo que r é a intersecção dos planos:

01:1 =−+ yx e 02:2 =−+− zyx e s a intersecção entre os planos:

02:3 =− yx e 02:4 =−− zyx

Resposta: 59

5910

Prof. Nunes 29


4.5 Referências Bibliográficas

1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e

Editora Unificado, 1984.

2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial.

São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.

3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. São

Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997.

4. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-

Hill, 1987.

5. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas

e Editora Unificado, 1987.

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