CÁLCULO VETORIAL E

GEOMETRIA ANALÍTICA

EDILENE PEREIRA BORGES CARLOS

Equações Reduzidas da Reta

Equações reduzidas da reta

2

Equações simétricas da reta

3

Na reta dada abaixo, determine o ponto de: a) Ordenada 9 b) Abscissa igual ao dobro da cota c) Ordenada igual ao triplo da cota

Y = 2x + 3 Z = x – 1

a) 9 = 2x +3 Z= 3-1 = 2 X = 3 p( 3, 9, 2) b) x= 2z Z = x -1 = 2z -1 z = x -1 y= 2x+3 Z-2z = -1 x-1 y= 2.2 +3 z = 1 x = 2 y= 7 p( 2,7,1) c) y=3z 3z = 2x + 3 y = 2x +3 z=x-1 3(x-1) = 2x +3 y= 2(6) +3 z=6-1 3x-3 = 2x +3 y= 15 z=5 X=6 p(6, 15, 5)

Ângulo entre duas retas

4

Ângulo entre duas retas

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Reta ortogonal a duas retas

6

Reta ortogonal a duas retas

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Equações simétricas da reta

8

Verifique se as retas r1 e r2 são ortogonais r1 y = -2x + 1 r2 x= 3 – 2t z = 4x (forma reduzida) y = 4 + t (forma paramétrica) z= t

Transformando da forma reduzida para paramétrica: basta substituir x por t: X = t Y = -2t+1 Z = 4t logo: X = 0 + 1t Y= 1 – 2t Z = 0 + 4t V1= (1, -2, 4)

V2 = (-2, 1,1)

Cos Ɵ = (1, -2, 4) . (-2, 1, 1) /v1/ . /v2/ Cos 90 = 0 = (-2 -2 +4)

Ponto de intersecção entre duas retas

9

R1 y = 2x – 3 r2 x = -t z = -x y = 4 - t Equação reduzida z = 2 + 2t Equação paramétrica

1)) Z= - (-t) Z = t

x,y,z: iguais

2)) t = 2 + 2t t = -2 X = -(-2) X = 2 Y = 4 – (-2) Y = 6 Z = 2 + 2(-2) Z = -2

3)) Y = 2 (2) – 3 Y = 1 ≠

Não existe ponto de intersecção

Ponto de intersecção entre duas retas

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R1 y = 2x – 3 r2 y = -3x + 7 z = -x + 5 z = x + 1 Equação reduzida Equação reduzida

1) 2x – 3 = -3x + 7 x = 2

2) Y = -3 (2) + 7 Y = 1 Z = 2 + 1 Z = 3

3) Y = 2(2) – 3 Y = 1 Z = -2 + 5 Z=3 Logo existe ponto de intersecção entre as retas

Verifique se existe ponto de intersecção entre as duas retas

11

x - 3 = y + 1 = z – 2 2 -3 4 Forma simétrica

X = -1 + t Y = 4 – t Z = -8 + 3t Forma paramétrica

1) (-1 + t) - 3 = (4 – t) + 1 2 -3 t - 4 = 5 - t 2 -3 10 – 2t = -3t +12 T =2

2) X = -1 + 2 X= 1 Y = 4 – 2 Y = 2 z = -8 + 3(2) Z = -2 (1, 2, -2)

3) x - 3 = y + 1 = z – 2 2 -3 4 1 - 3 = 2 + 1 = -2 – 2 2 -3 4 -1 = -1 = -1

Logo, o ponto (1 , 2, -2) é ponto de intersecção entre as duas retas